Brewster's Law and Other methods of polarisation Questions in Hindi

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार, जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत होती हैं, तो आपतन कोण को ध्रुवण कोण या ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ कहा जाता है।
इस कोण पर, अपवर्तनांक $(\mu)$ और आपतन कोण $(i_p)$ के बीच का संबंध $\mu = \tan(i_p)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu = 1.62$ दिया गया है, इसलिए $\tan(i_p) = 1.62$ है।
अतः, $i_p = \tan^{-1}(1.62)$।
इस मान की गणना करने पर, हमें $i_p \approx 58.3^\circ$ प्राप्त होता है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$ और ध्रुवण कोण $\theta_p$ के बीच संबंध $\mu = \tan \theta_p$ होता है।
यहाँ $\theta_p = 60^o$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \tan 60^o = \sqrt{3}$ होगा।
क्रांतिक कोण $C$ और अपवर्तनांक $\mu$ के बीच संबंध $\sin C = \frac{1}{\mu}$ होता है।
$\mu$ का मान रखने पर,$\sin C = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ होगा।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण,$\theta_p$) पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवीकृत हो जाता है।
ब्रूस्टर का नियम बताता है कि माध्यम का अपवर्तनांक $n$,ध्रुवण कोण $\theta_p$ के स्पर्शज्या (tangent) के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$n = \tan(\theta_p)$।
इसलिए,ध्रुवण कोण $\theta_p = \tan^{-1}(n)$ है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार, जब प्रकाश ध्रुवण कोण (जिसे ब्रूस्टर कोण, $\theta_P$ भी कहा जाता है) पर आपतित होता है, तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
इसलिए, आपतन कोण (जो ध्रुवण कोण $\theta_P$ है) और अपवर्तन कोण $(r)$ का योग $90^\circ$ होता है।
गणितीय रूप से, $\theta_P + r = 90^\circ$।
दिया गया है कि $\theta_P = 53^\circ 4'$, इसलिए हम $r$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$r = 90^\circ - 53^\circ 4'$।
चूंकि $90^\circ = 89^\circ 60'$, इसलिए:
$r = 89^\circ 60' - 53^\circ 4' = 36^\circ 56'$।
अतः, अपवर्तन कोण $36^\circ 56'$ है।

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि एक पारदर्शी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,ध्रुवण कोण $i_p$ की स्पर्शज्या (tangent) के बराबर होता है। गणितीय रूप से,इसे $\mu = \tan(i_p)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
लैम्बर्ट का कोसाइन नियम एक विसरित सतह की विकिरण तीव्रता को अवलोकन कोण के कोसाइन से संबंधित करता है।
मेलस का नियम बताता है कि विश्लेषक (analyzer) से गुजरने वाले समतल-ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता,ध्रुवक (polarizer) और विश्लेषक के संचरण अक्षों के बीच के कोण के कोसाइन के वर्ग के समानुपाती होती है।
ब्रैग का नियम क्रिस्टल जाली द्वारा बिखरे हुए $X$-किरणों के रचनात्मक व्यतिकरण के लिए स्थिति का वर्णन करता है।
अतः,सही उत्तर ब्रूस्टर का नियम है,जो विकल्प $(A)$ के अनुरूप है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब सामान्य (अध्रुवित) प्रकाश का एक पुंज किसी पारदर्शी माध्यम (जैसे कांच) पर ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण) पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवित होता है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि आपतन तल के लंबवत विद्युत क्षेत्र सदिश के कंपन परावर्तित हो जाते हैं,जबकि आपतन तल के समानांतर कंपन अपवर्तित हो जाते हैं।
इसलिए,परावर्तित पुंज $100$ प्रतिशत ध्रुवित होता है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu = \tan(i_p)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i_p$ ध्रुवण कोण (पूर्ण ध्रुवीकरण के लिए आपतन कोण) है।
यहाँ $i_p = 60^\circ$ दिया गया है।
इसलिए,$\mu = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$।
अपवर्तनांक को निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{c}{v}$।
मान रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{3 \times 10^8}{v}$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times 10^8 \ m/s$।

(A) जब प्रकाश ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण) $\theta_p$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण पर परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
आपतित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $180^{\circ} - (\theta_p - r)$ होता है,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
चूंकि $\theta_p + r = 90^{\circ}$,इसलिए $r = 90^{\circ} - \theta_p$।
अतः कोण $180^{\circ} - (\theta_p - (90^{\circ} - \theta_p)) = 270^{\circ} - 2\theta_p = 270^{\circ} - 115^{\circ} = 155^{\circ}$ होगा।
दिए गए विकल्पों में यह मान उपलब्ध नहीं है,लेकिन मानक भौतिकी के अनुसार परावर्तित और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(B) जब अध्रुवित प्रकाश कांच जैसे पारदर्शी माध्यम पर ब्रूस्टर कोण के अलावा किसी अन्य कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित और अपवर्तित दोनों किरणें आंशिक रूप से ध्रुवित हो जाती हैं।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित किरण पूरी तरह से समतल-ध्रुवित होती है,लेकिन आपतन कोण के किसी अन्य मान के लिए,दोनों किरणें केवल आंशिक रूप से ध्रुवित होती हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें आंशिक रूप से ध्रुवित होती हैं।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
इसलिए,आपतन कोण $(i_p)$ और अपवर्तन कोण $(r_p)$ के बीच का संबंध $i_p + r_p = 90^o$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि ध्रुवण कोण $i_p = 56.3^o$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r_p = 90^o - 56.3^o$ प्राप्त होता है।
अतः,अपवर्तन कोण $r_p = 33.7^o$ है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित होता है,तो आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ होता है।
यहाँ $i_p = 60^{\circ}$ दिया गया है।
अपवर्तनांक $\mu$ को $\mu = \tan(i_p)$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक को निर्वात में प्रकाश की चाल $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $(v)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है:
$\mu = \frac{c}{v}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{3} = \frac{3 \times 10^{8}}{v}$।
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times 10^{8} \ m/s$।

(D) अपवर्तनांक $\mu$,ध्रुवण कोण $i_p$ और क्रांतिक कोण $i_c$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\mu = \tan i_p$ और $\mu = \frac{1}{\sin i_c}$.
इन दोनों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan i_p = \frac{1}{\sin i_c}$.
यहाँ $i_p = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{1}{\sin i_c}$.
हम जानते हैं कि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{1}{\sin i_c}$.
अतः,$\sin i_c = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $i_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल-ध्रुवीकृत होता है।
ब्रूस्टर का नियम बताता है कि माध्यम का अपवर्तनांक $(n)$ ध्रुवण कोण $(i_p)$ के स्पर्शज्या (tangent) के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$n = \tan(i_p)$।
इसलिए,आपतन कोण $i_p = \tan^{-1}(n)$ है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित हो जाता है।
ब्रूस्टर का नियम बताता है कि माध्यम का अपवर्तनांक $(n)$ ध्रुवण कोण के स्पर्शज्या (tangent) के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$n = \tan(i_p)$।
अतः,ध्रुवण कोण $i_p = \tan^{-1}(n)$ द्वारा दिया जाता है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \tan(i_p)$ होता है,जहाँ $i_p$ ध्रुवण कोण है।
यहाँ $i_p = 60^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$।
किसी माध्यम के लिए अपवर्तनांक $\mu$ और क्रांतिक कोण $i_c$ के बीच संबंध $\mu = \frac{1}{\sin(i_c)}$ होता है।
$\mu$ का मान रखने पर,$\sqrt{3} = \frac{1}{\sin(i_c)}$।
अतः,$\sin(i_c) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $i_c = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ब्रूस्टर कोण $\phi$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार, जब प्रकाश ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है, तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल-ध्रुवित होता है। माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ और ध्रुवण कोण $(i_p)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \tan(i_p)$। अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,वह आपतन कोण $i_p$ (ध्रुवण कोण) जिस पर परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित होता है,उसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan(i_p) = \mu$
पानी का अपवर्तनांक $\mu = 1.33$ दिया गया है।
अतः,$\tan(i_p) = 1.33$.
दोनों पक्षों का प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) लेने पर:
$i_p = \tan^{-1}(1.33) \approx 53^\circ$.
इस प्रकार,$53^\circ$ के आपतन कोण पर परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित हो जाएगा।

(B) जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण $i$ को ब्रूस्टर कोण $(i_B)$ कहा जाता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ को $\mu = \tan(i_B)$ द्वारा दिया जाता है।
इस स्थिति में,परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल-ध्रुवित होता है,और इसका विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल के लंबवत होता है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण,$i_p$) पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित होता है।
इस स्थिति में,आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ दिया गया है,जो कि ध्रुवण कोण है।
ब्रूस्टर का नियम बताता है कि माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan(i_p)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu = \tan(60^{\circ})$.
चूँकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$,इसलिए काँच का अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ है।

(A) जब परावर्तित प्रकाश की तीव्रता सबसे कम होती है,तो इसका अर्थ है कि प्रकाश ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ पर ध्रुवीकृत है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,$\tan i_p = \mu = \frac{4}{3}$ है।
मान लीजिए $d_1$ प्रेक्षक से नदी की सतह पर परावर्तन बिंदु तक की क्षैतिज दूरी है,और $d_2$ परावर्तन बिंदु से टावर तक की क्षैतिज दूरी है।
परावर्तन की ज्यामिति से:
$\tan i_p = \frac{d_1}{30} = \frac{d_2}{60}$ है।
चूंकि $\tan i_p = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{d_1}{30} = \frac{4}{3} \Rightarrow d_1 = 40 \ m$ है।
$\frac{d_2}{60} = \frac{4}{3} \Rightarrow d_2 = 80 \ m$ है।
नदी की कुल चौड़ाई $d = d_1 + d_2 = 40 + 80 = 120 \ m$ है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी माध्यम पर ध्रुवण कोण $i_p$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित होता है।
इस कोण पर,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,जिसका अर्थ है $i_p + r = 90^{\circ}$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\mu = \frac{\sin i_p}{\sin r} = \frac{\sin i_p}{\sin(90^{\circ} - i_p)} = \frac{\sin i_p}{\cos i_p} = \tan i_p$।
अतः,$\tan i_p = \mu$,जिसका अर्थ है कि विकल्प $A$ सही है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब एक अध्रुवित प्रकाश किरण किसी पारदर्शी माध्यम पर ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होती है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवित होता है।
यह संबंध इस प्रकार है: $\tan(i_p) = \mu$
यहाँ क्रिस्टल का अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\tan(i_p) = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$,इसलिए:
$i_p = 60^{\circ}$
अतः,आपतन कोण $60^{\circ}$ होना चाहिए।

(C) परावर्तन द्वारा प्रकाश के पूर्णतः ध्रुवीकृत होने के लिए,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण परस्पर लंबवत होनी चाहिए।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $i_p$ पर,आपतन कोण $i$ और अपवर्तन कोण $r$ के लिए शर्त $i + r = 90^{\circ}$ होती है।
यहाँ अपवर्तन कोण $r = 33.6^{\circ}$ दिया गया है।
अतः,$i + 33.6^{\circ} = 90^{\circ}$।
$i = 90^{\circ} - 33.6^{\circ} = 56.4^{\circ}$।
इस प्रकार,आपतन कोण $56.4^{\circ}$ है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ और ध्रुवण कोण $i_p$ के बीच संबंध $\mu = \tan i_p$ है।
यहाँ $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए $\tan i_p = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $i_p = 60^{\circ}$।
ध्रुवण कोण पर,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं। इसलिए,$i_p + r = 90^{\circ}$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
$i_p$ का मान रखने पर,$60^{\circ} + r = 90^{\circ}$।
अतः,$r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ और ध्रुवण कोण $i_{p}$ के बीच संबंध $\mu = \tan i_{p}$ होता है।
यहाँ $i_{p} = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध $\sin \theta_{c} = \frac{1}{\mu}$ होता है।
$\mu$ का मान रखने पर,$\sin \theta_{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $\theta_{c} = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ होगा।

(A) जब अध्रुवित प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवित होता है,जिसमें इसका विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल के लंबवत होता है।
चूंकि आपतित प्रकाश अध्रुवित होता है,इसमें समानांतर और लंबवत दोनों दिशाओं में $\frac{I_0}{2}$ तीव्रता के समान घटक होते हैं।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित किरण में केवल आपतन तल के लंबवत घटक ही होता है,लेकिन सतह पर परावर्तन के नुकसान के कारण,इसकी तीव्रता $\frac{I_0}{2}$ से कम होती है।
पारगमित प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित होता है क्योंकि इसमें समानांतर घटक का पूरा भाग और लंबवत घटक का शेष भाग होता है।

(C) माना सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_1$ और विरल माध्यम का $\mu_2$ है। सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu = \mu_1 / \mu_2$ है।
क्रांतिक कोण $\theta_{iC}$ के लिए,$\sin \theta_{iC} = \mu_2 / \mu_1 = 1 / \mu$ होता है।
ब्रूस्टर कोण $\theta_{iB}$ के लिए,$\tan \theta_{iB} = \mu_1 / \mu_2 = \mu$ होता है।
दिया गया है कि $\sin \theta_{iC} / \sin \theta_{iB} = 1.28$,इसलिए $(1 / \mu) / \sin \theta_{iB} = 1.28 \implies \sin \theta_{iB} = 1 / (1.28 \mu)$।
हम जानते हैं कि $\sin \theta_{iB} = \mu / \sqrt{1 + \mu^2}$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\mu / \sqrt{1 + \mu^2} = 1 / (1.28 \mu)$।
इस समीकरण को हल करने पर हमें सापेक्ष अपवर्तनांक प्राप्त होता है,जो $0.8$ है।

(B) परावर्तित प्रकाश की तीव्रता तब न्यूनतम होती है जब आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $(i_B)$ होता है।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित किरण पूरी तरह से ध्रुवीकृत हो जाती है।
दिया गया है $\mu = \tan i_B = \frac{4}{3}$।
समस्या की ज्यामिति के अनुसार,मान लें कि नदी पर परावर्तन बिंदु $A$ है। व्यक्ति $10\, m$ की ऊंचाई पर बिंदु $C$ पर है और प्रकाश स्रोत टॉवर पर $Y$ ऊंचाई पर बिंदु $E$ पर है।
$\triangle ABC$ में,$\tan(90^{\circ} - i_B) = \frac{BC}{AB} \implies \cot i_B = \frac{10}{X}$।
चूंकि $\tan i_B = \frac{4}{3}$,इसलिए $\cot i_B = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$\frac{3}{4} = \frac{10}{X} \implies X = \frac{40}{3} \approx 13.33\, m$।
$\triangle AEF$ में,$\tan(90^{\circ} - i_B) = \frac{EF}{AF} \implies \cot i_B = \frac{Y}{50 - X}$।
मान रखने पर,$\frac{3}{4} = \frac{Y}{50 - 13.33} = \frac{Y}{36.67}$।
$Y = \frac{3}{4} \times 36.67 \approx 27.5\, m$।
निकटतम मान लेने पर,$X \approx 13\, m$ और $Y \approx 27\, m$।

(B) द्रव-कांच इंटरफ़ेस पर परावर्तित प्रकाश के पूरी तरह से ध्रुवीकृत होने के लिए,आपतन कोण $\theta$ को ब्रूस्टर के नियम का पालन करना चाहिए: $\tan \theta = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.5}{\mu}$।
यदि प्रकाश किसी भी आपतन कोण $i$ के लिए कभी भी पूरी तरह से ध्रुवीकृत नहीं होता है,तो इसका मतलब है कि ब्रूस्टर कोण $\theta_B$ द्रव-कांच इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $\theta_c$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए,ताकि ब्रूस्टर स्थिति पूरी होने से पहले ही पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो जाए।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ को $\sin \theta_c = \frac{1.5}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है (यह मानते हुए कि $\mu > 1.5$)। हालाँकि,चूंकि प्रकाश हवा से द्रव में प्रवेश करता है,इसलिए द्रव में अपवर्तन कोण $\theta$ का अधिकतम मान हवा-द्रव इंटरफ़ेस के क्रांतिक कोण द्वारा सीमित होता है। यदि प्रकाश हवा से $90^{\circ}$ पर आपतित होता है,तो $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$।
अतः,हमें $\tan \theta_B \ge \tan \theta_{max}$ की आवश्यकता है।
दिया गया है $\tan \theta_B = \frac{1.5}{\mu}$ और $\sin \theta_{max} = \frac{1}{\mu}$,तो $\cos \theta_{max} = \sqrt{1 - \frac{1}{\mu^2}} = \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$।
इसलिए,$\tan \theta_{max} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$।
$\frac{1.5}{\mu} \ge \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ रखने पर,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2.25}{\mu^2} \ge \frac{1}{\mu^2 - 1}$।
$2.25(\mu^2 - 1) \ge \mu^2 \Rightarrow 2.25\mu^2 - 2.25 \ge \mu^2 \Rightarrow 1.25\mu^2 \ge 2.25$।
$\mu^2 \ge \frac{2.25}{1.25} = \frac{9}{5} \Rightarrow \mu \ge \frac{3}{\sqrt{5}}$।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार ध्रुवण कोण $(i_p)$ और अपवर्तनांक $(\mu)$ के बीच संबंध: $\mu = \tan i_p$ है।
यहाँ $i_p = 60^o$ दिया गया है, इसलिए $\mu = \tan 60^o = \sqrt{3} \approx 1.732$ होगा।
क्रांतिक कोण $(i_c)$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध: $\sin i_c = \frac{1}{\mu}$ है।
$\mu$ का मान रखने पर: $\sin i_c = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{1.732} \approx 0.577$ प्राप्त होता है।
अतः, क्रांतिक कोण $i_c = \sin^{-1}(0.577)$ होगा।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $i_p$ अपवर्तनांक $\mu$ से इस प्रकार संबंधित है: $i_p = \tan^{-1}(\mu)$.
अपवर्तनांक $\mu$,हवा में प्रकाश के वेग $(c)$ और माध्यम में प्रकाश के वेग $(v)$ का अनुपात है: $\mu = \frac{c}{v}$.
दिया गया है $c = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$ और $v = 2.2 \times 10^8 \, ms^{-1}$।
$\mu$ की गणना करने पर: $\mu = \frac{3 \times 10^8}{2.2 \times 10^8} = \frac{3}{2.2} \approx 1.3636$.
अब,$i_p = \tan^{-1}(1.3636) \approx 53.74^o$।

(B) क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ है,जहाँ $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि $\sin \theta_c = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{5}{3}$।
ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण) $i_p$ का सूत्र $i_p = \tan^{-1}(\mu)$ है।
$\mu$ का मान रखने पर,हमें $i_p = \tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,परावर्तित प्रकाश के पूर्ण ध्रुवीकरण के लिए,आपतन कोण $\phi$ को $\mu = \tan \phi$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
दिया गया है $\mu = 1.54$,इसलिए $\phi = \tan^{-1}(1.54) = 57^{\circ}$।
चित्र से,आपतित किरण और सतह के बीच का कोण $33^{\circ}$ है। इसलिए,आपतन कोण (अभिलंब के साथ कोण) $i = 90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ है।
चूंकि आपतन कोण ब्रूस्टर कोण के बराबर है,इसलिए परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवीकृत है।
जब समतल ध्रुवीकृत प्रकाश को एक घूमते हुए निकोल प्रिज्म के माध्यम से देखा जाता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता मेलस के नियम $I = I_0 \cos^2 \theta$ के अनुसार बदलती है। जैसे-जैसे प्रिज्म घूमता है,तीव्रता धीरे-धीरे घटकर शून्य हो जाती है (जब संचरण अक्ष ध्रुवीकरण के तल के लंबवत होता है) और फिर से बढ़ जाती है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश का एक पुंज किसी पारदर्शी परावैद्युत सतह पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल-ध्रुवित होता है यदि आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ के बराबर हो।
ब्रूस्टर का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \tan(i_p)$.
यहाँ अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है।
अतः,$\tan(i_p) = \sqrt{3}$.
चूँकि $\tan(60^o) = \sqrt{3}$,इसलिए आपतन कोण $i_p = 60^o$ होगा।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण $i$,ब्रूस्टर कोण $i_B$ के बराबर होता है।
स्नेल के नियम से,$\mu = \frac{\sin i_B}{\sin r}$।
चूंकि परावर्तित और अपवर्तित किरणें लंबवत हैं,$i_B + r = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $r = 90^{\circ} - i_B$।
इसे स्नेल के नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\mu = \frac{\sin i_B}{\sin(90^{\circ} - i_B)} = \frac{\sin i_B}{\cos i_B} = \tan i_B$।
कांच का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $\tan i_B = 1.5$।
अतः,$i_B = \tan^{-1}(1.5) \approx 57^{\circ}$।

(A) कांच का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ दिया गया है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ब्रूस्टर कोण $\theta$ का स्पर्शज्या (tangent) माध्यम के अपवर्तनांक के बराबर होता है:
$\tan \theta = \mu$
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = 1.5$
कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) लेते हैं:
$\theta = \tan^{-1}(1.5)$
मान की गणना करने पर:
$\theta \approx 56.31^{\circ}$
अतः,वायु से कांच के संक्रमण के लिए ब्रूस्टर कोण $56.31^{\circ}$ है।

(N/A) जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी माध्यम की सतह पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश आंशिक रूप से समतल ध्रुवित होता है और अपवर्तित प्रकाश भी आंशिक रूप से ध्रुवित होता है। परावर्तित किरण के ध्रुवण की स्थिति आपतन कोण पर निर्भर करती है।
जब प्रकाश की एक किरण किसी पारदर्शी माध्यम की सतह पर एक विशिष्ट आपतन कोण पर आपतित होती है,तो परावर्तित किरण पूर्णतः समतल ध्रुवित पाई जाती है। इस स्थिति में,परावर्तित किरण में सभी विद्युत क्षेत्र सदिश एक-दूसरे के समानांतर और आपतन तल के लंबवत होते हैं। इस आपतन कोण को ध्रुवण कोण या ब्रूस्टर कोण कहा जाता है,जिसे $i_{B}$ या $\theta_{P}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
ध्रुवण कोण पर,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं। इसलिए,अपवर्तन कोण $r$ का मान $r = 90^{\circ} - i_{B}$ होता है।
स्नेल के नियम के अनुसार:
$\mu = \frac{\sin i_{B}}{\sin r}$
$r = 90^{\circ} - i_{B}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{\sin i_{B}}{\sin(90^{\circ} - i_{B})}$
$\mu = \frac{\sin i_{B}}{\cos i_{B}}$
$\mu = \tan i_{B}$
इसे ब्रूस्टर का नियम कहा जाता है। यह बताता है कि ध्रुवण कोण का स्पर्शज्या (tangent) पारदर्शी माध्यम के अपवर्तनांक के बराबर होता है।

(YES) यहाँ,आपतित किरण सघन माध्यम (माध्यम-$2$) में है और अपवर्तित किरण विरल माध्यम (माध्यम-$1$) में है। अतः,ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,
$\tan \theta_{P} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \quad \ldots (1)$
(जहाँ $\theta_{P} =$ ध्रुवण कोण या ब्रूस्टर कोण है)
यहाँ यदि विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का क्रांतिक कोण $C$ है,तो स्नेल के नियम के अनुसार,$n_{2} \sin C = n_{1} \sin 90^{\circ}$
$\therefore \sin C = \frac{n_{1}}{n_{2}} \quad \ldots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,$\tan \theta_{P} = \sin C$
$\therefore \frac{\sin \theta_{P}}{\cos \theta_{P}} = \sin C$
$\therefore \sin \theta_{P} = (\cos \theta_{P}) \sin C$
परंतु यहाँ $0 < \cos \theta_{P} < 1$
$\Rightarrow \sin \theta_{P} < \sin C$
$\therefore \theta_{P} < C$
उपरोक्त शर्त को पूरा करने वाले ध्रुवण कोण पर विरल माध्यम की सतह पर आपतित प्रकाश की किरण के लिए,परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित होगा।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,$\tan i_b = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ होता है।
मान लीजिए कि पहला माध्यम हवा है,इसलिए $\mu_1 = 1$ है।
अतः,$\tan i_b = \mu_2$।
चूंकि किसी भी सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_2$,$1$ से अधिक होता है (अर्थात $\mu_2 > 1$),इसलिए $\tan i_b > 1$ होगा।
हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\tan i_b > 1$ के लिए,कोण $i_b$ का मान $45^{\circ}$ से अधिक होना चाहिए।
साथ ही,इंटरफ़ेस के लिए आपतन कोण $90^{\circ}$ से कम होना चाहिए।
इसलिए,$45^{\circ} < i_b < 90^{\circ}$।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल-ध्रुवित होता है,जिसका विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल के लंबवत होता है।
यदि आपतित प्रकाश पहले से ही इस प्रकार ध्रुवित है कि उसके विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल में पूरी तरह से हटा दिए गए हैं (अर्थात,प्रकाश आपतन तल के लंबवत ध्रुवित है),तो ब्रूस्टर कोण पर,विद्युत क्षेत्र का कोई भी घटक परावर्तित नहीं हो सकता है।
परिणामस्वरूप,कोई परावर्तन नहीं होता है,और प्रकाश पूरी तरह से प्रिज्म में संचरित हो जाता है।
यह $NCERT$ भौतिकी भाग-$2$,अध्याय $10$ (तरंग प्रकाशिकी) में चर्चा किए गए पूर्ण संचरण का एक विशेष मामला है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही उत्तर है।

(B) परावर्तित प्रकाश की तीव्रता तब सबसे कम देखी जाती है जब वह पूरी तरह से ध्रुवीकृत (polarized) होता है। यह ब्रूस्टर के कोण $(i_p)$ पर होता है,जो निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan i_p = \mu = 1.33 = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow i_p = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) = 53^{\circ}$
दी गई ज्यामिति में,सूर्य क्षितिज ($A$,$6.00 \, AM$) से उस स्थिति $P$ तक जाता है जहाँ आपतन कोण $53^{\circ}$ है। सूर्योदय से सूर्यास्त तक का कुल समय $12$ घंटे है,जो सूर्य की स्थिति में $180^{\circ}$ के परिवर्तन के अनुरूप है।
सूर्य को क्षितिज $(A)$ से स्थिति $P$ (जहाँ अभिलंब के साथ आपतन कोण $53^{\circ}$ है) तक जाने में लगा समय इस प्रकार है:
$t = \frac{12 \, h}{180^{\circ}} \times (90^{\circ} + 53^{\circ})$
$t = \frac{12}{180} \times 143^{\circ} = \frac{143}{15} \, h = 9 \, h + \frac{8}{15} \, h = 9 \, h + 32 \, min$
$6.00 \, AM$ से शुरू करते हुए,समय $6.00 + 9 \, h \, 32 \, min = 15:32$ होगा,जो $3:32 \, PM$ के बराबर है।

(C) यह तथ्य कि पोलराइज़र को घुमाने पर परावर्तित प्रकाश की तीव्रता शून्य हो जाती है,यह दर्शाता है कि परावर्तित प्रकाश समतल-ध्रुवित है। यह तब होता है जब प्रकाश ब्रूस्टर कोण $\theta_p$ पर आपतित होता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n$,$n = \tan \theta_p$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक लाल प्रकाश की तुलना में नीले प्रकाश के लिए अधिक होता है $(n_{\text{blue}} > n_{\text{red}})$,इसलिए $\tan \theta_B > \tan \theta_R$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta_B > \theta_R$।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं। परावर्तन और अपवर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण $\theta_p$ और अपवर्तन कोण $r$ के लिए $\theta_p + r = 90^{\circ}$ होता है। चूंकि प्रकाश हवा से पानी में यात्रा करता है,इसलिए अपवर्तन कोण $r$ आपतन कोण $\theta_p$ से कम होता है (क्योंकि $n_{\text{water}} > n_{\text{air}}$)। इसलिए,$\theta_p > r$,जिसका अर्थ है कि $\theta_p + \theta_p > \theta_p + r = 90^{\circ}$,यानी $2\theta_p > 90^{\circ}$,या $\theta_p > 45^{\circ}$।
इस प्रकार,हमारे पास $\theta_B > \theta_R > 45^{\circ}$ है।

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि $\tan \theta_B = \frac{\mu_2}{\mu_1}$,जहाँ $\mu_1$ आपतित माध्यम का अपवर्तनांक है और $\mu_2$ अपवर्तक माध्यम का अपवर्तनांक है।
हवा $(\mu_a = 1)$ से कांच $(\mu_g = \mu)$ में गमन करने वाले प्रकाश के लिए,$\tan \theta_B = \frac{\mu}{1} = \mu$.
कांच $(\mu_g = \mu)$ से हवा $(\mu_a = 1)$ में गमन करने वाले प्रकाश के लिए,मान लीजिए ब्रूस्टर कोण $\theta'_B$ है। तब $\tan \theta'_B = \frac{\mu_a}{\mu_g} = \frac{1}{\mu} = \cot \theta_B = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta_B)$.
अतः,$\theta'_B = \frac{\pi}{2} - \theta_B$. इसलिए कथन $I$ सत्य है।
कांच से हवा में गमन करने वाले प्रकाश के लिए,$\tan \theta'_B = \frac{1}{\mu_g}$ होता है। कथन $II$ में इसे $\tan^{-1}(\mu_g)$ कहा गया है,जो गलत है। इसलिए कथन $II$ असत्य है।

(B) परावैद्युत माध्यमों के लिए,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ द्वारा दिया जाता है। $\mu_r = 1$ दिया गया है,इसलिए $\mu_1 = \sqrt{2.8}$ और $\mu_2 = \sqrt{6.8}$ है।
जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण $i$ ब्रूस्टर कोण होता है,जो $\tan i = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर,$\tan i = \sqrt{\frac{6.8}{2.8}}$ प्राप्त होता है।
हम भिन्न को $\frac{6.8}{2.8} = \frac{2.8 + 4}{2.8} = 1 + \frac{4}{2.8} = 1 + \frac{40}{28} = 1 + \frac{10}{7}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\tan i = \sqrt{1 + \frac{10}{7}}$।
इसे दिए गए व्यंजक $\tan i = \sqrt{1 + \frac{10}{\theta}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\theta = 7$ प्राप्त होता है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित किरण पूर्णतः ध्रुवित होती है,तो आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ होता है।
इस कोण पर,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
मान लीजिए $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
स्थिति की ज्यामिति से,आपतन कोण,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण,और अपवर्तन कोण का योग इंटरफ़ेस की सीधी रेखा पर $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $i = 60^{\circ}$,इसलिए $60^{\circ} + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
$150^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
$r = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी माध्यम पर ब्रूस्टर कोण $(i_B)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल-ध्रुवित होता है,जिसमें इसका विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल के लंबवत होता है।
हालाँकि,अपवर्तित प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित रहता है क्योंकि इसमें विद्युत क्षेत्र सदिश के दोनों घटक मौजूद होते हैं,यद्यपि आपतन तल के समानांतर घटक की तीव्रता लंबवत घटक की तुलना में अधिक होती है।

(A) जब अध्रुवित प्रकाश $1.73$ अपवर्तनांक वाले माध्यम पर ब्रूस्टर कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित हो जाता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार:
$\mu = \tan(i_p)$
$1.73 = \tan(i_p)$
चूंकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1.732$,इसलिए $i_p = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण $r$ आपतन कोण $i_p$ के बराबर होता है,इसलिए $r = 60^{\circ}$।
अतः,परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित है और परावर्तन कोण $60^{\circ}$ है।

(C) परावर्तन के बाद प्रकाश के पूर्णतः ध्रुवित होने के लिए,आंतरिक सतह पर आपतन कोण ब्रूस्टर कोण,$\alpha$ होना चाहिए। ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,$\tan \alpha = \frac{n_{glass}}{n_{air}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
अतः,$\alpha = 60^{\circ}$.
मान लीजिए कि $\beta$ आंतरिक सतह पर अपवर्तन कोण है। स्नेल के नियम के अनुसार,$n_{glass} \sin \beta = n_{air} \sin \alpha$,इसलिए $\sqrt{3} \sin \beta = 1 \times \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिससे $\sin \beta = 0.5$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = 30^{\circ}$.
गोले के केंद्र,गुहा के केंद्र और बिंदु $O$ द्वारा निर्मित त्रिभुज में,भुजाएँ $R/2$,$R/2$ हैं और गोले के केंद्र से $O$ तक की दूरी $R/2$ है। $R/2$ और $R/2$ भुजाओं और $\beta=30^{\circ}$ कोण वाले त्रिभुज में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,ज्यामिति के अनुसार $\sin \theta = \frac{3}{4} = 0.75$ प्राप्त होता है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n = \tan(i_B)$ होता है,जहाँ $i_B$ ब्रूस्टर कोण है।
दिया गया है $i_B = 54.74^{\circ}$,इसलिए $n = \tan(54.74^{\circ}) = \sqrt{2}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n = \frac{\sin i}{\sin r}$,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
दिया गया है $i = 45^{\circ}$ और $n = \sqrt{2}$,इन मानों को रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin r}$
$\sqrt{2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin r}$
$\sin r = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5$
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}(0.5)$ होगा।