Brewster's Law and Other methods of polarisation Questions in Hindi

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan(i_p)$ होता है,जहाँ $i_p$ ध्रुवण कोण है।
साथ ही,अपवर्तनांक $\mu$ को निर्वात में प्रकाश की गति $(C)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(V)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{C}{V}$।
$\mu$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{C}{V} = \tan(i_p)$।
इसे $\frac{C}{V} = \frac{\sin(i_p)}{\cos(i_p)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $C \cos(i_p) = V \sin(i_p)$ प्राप्त होता है,जो $V \sin(i_p) = C \cos(i_p)$ के बराबर है।

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि $\tan(i_B) = \mu_{21}$, जहाँ $\mu_{21} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक है。
हवा $(\mu_1 = 1)$ से कांच $(\mu_2 = \mu)$ में प्रकाश के संचरण के लिए, ब्रूस्टर कोण $\theta$ को $\tan(\theta) = \frac{\mu}{1} = \mu$ द्वारा दिया जाता है。
कांच $(\mu_1 = \mu)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में प्रकाश के संचरण के लिए, ब्रूस्टर कोण $i_B'$ को $\tan(i_B') = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है。
चूंकि $\tan(\theta) = \mu$, इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\tan(\theta)} = \cot(\theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$ है。
अतः, $i_B' = \frac{\pi}{2} - \theta$।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण कोण है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ हवा में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ का अनुपात है,इसलिए $\mu = \frac{c}{v}$।
$\mu$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{c}{v}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cot \theta = \frac{v}{c}$ होगा।
अतः,$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{v}{c}\right)$।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,वायु के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण कोण है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ को वायु में प्रकाश की गति $(c_a)$ और कांच में प्रकाश की गति $(c_g)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\mu = \frac{c_a}{c_g}$।
चूंकि प्रकाश जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए प्रकाश की गति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $c = f \lambda$ होता है।
अतः,$\mu = \frac{f \lambda_a}{f \lambda_g} = \frac{\lambda_a}{\lambda_g}$।
$\mu$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{\lambda_a}{\lambda_g}$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\lambda_g = \frac{\lambda_a}{\tan \theta} = \lambda_a \cot \theta$ प्राप्त होता है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \tan i_p$ होता है,जहाँ $i_p$ ध्रुवण कोण है।
यहाँ $\mu = 1.73$ और $\tan 60^{\circ} = 1.73$ दिया गया है,इसलिए $\tan i_p = \tan 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $i_p = 60^{\circ}$ है।
जब प्रकाश ध्रुवण कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,अर्थात $i_p + r = 90^{\circ}$ होता है।
$i_p$ का मान रखने पर,हमें $60^{\circ} + r = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,एक पारदर्शी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण कोण है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(V)$ का अनुपात है:
$\mu = \frac{c}{V}$
$\mu$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\tan \theta = \frac{c}{V}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\cot \theta = \frac{V}{c}$
अतः,$\theta$ और $V$ के बीच का संबंध है:
$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{V}{c}\right)$

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण, $i_p$) की स्पर्शज्या (tangent) माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ के बराबर होती है, जिसे सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan(i_p) = \mu$
चूंकि एक पारदर्शी माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है (परिक्षेपण के कारण), इसलिए अपवर्तनांक प्रकाश के विभिन्न रंगों के लिए अलग-अलग होता है।
परिणामस्वरूप, ब्रूस्टर कोण $(i_p = \arctan(\mu))$ भी प्रकाश के विभिन्न रंगों के लिए अलग-अलग होगा।
अतः, सही कथन यह है कि ब्रूस्टर कोण विभिन्न रंगों के प्रकाश के लिए अलग-अलग होता है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,ध्रुवण कोण $\theta$ से $\mu = \tan \theta$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
परिभाषा के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$,हवा में प्रकाश की चाल $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $(v)$ का अनुपात है,इसलिए $\mu = \frac{c}{v}$।
$\mu$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{c}{v}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{v}{c}$ प्राप्त होता है।
अतः,संबंध $\theta = \cot ^{-1}\left(\frac{v}{c}\right)$ है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार, ध्रुवण कोण $(i_p)$ की स्पर्शज्या (tangent) माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ के बराबर होती है, अर्थात $\tan(i_p) = \mu$।
चूंकि किसी पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है (परिक्षेपण के कारण), इसलिए ध्रुवण कोण $(i_p)$ भी तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करता है।
चूंकि अलग-अलग रंगों की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है, इसलिए ध्रुवण कोण भी अलग-अलग रंगों के लिए भिन्न होता है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी माध्यम पर ध्रुवण कोण $i$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण पूर्णतः समतल ध्रुवित होती है।
इस स्थिति में,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
अंतरापृष्ठ पर परावर्तन और अपवर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण $i$,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $(90^{\circ})$,और अपवर्तन कोण $r$ का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए (क्योंकि वे अंतरापृष्ठ पर एक सीधी रेखा बनाते हैं)।
इसलिए,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = 180^{\circ} - 90^{\circ} - i = 90^{\circ} - i$ प्राप्त होता है।

(B) जब प्रकाश की किरण ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होती है,तो परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं। अतः,$i_p + r = 90^{\circ}$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
अपवर्तन की ज्यामिति से,विचलन कोण $(\delta)$ $\delta = |i_p - r|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\delta = 24^{\circ}$,इसलिए $i_p - r = 24^{\circ}$ (क्योंकि कांच-वायु इंटरफेस के लिए $i_p > r$ होता है)।
हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1$) $i_p + r = 90^{\circ}$
$2$) $i_p - r = 24^{\circ}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2i_p = 114^{\circ}$
$i_p = 57^{\circ}$
अतः,आपतन कोण $57^{\circ}$ है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n = \tan \theta_{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta_{p}$ ब्रूस्टर कोण है।
स्नेल के नियम से,अपवर्तनांक $n = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल (slope) $\frac{\sin r}{\sin i} = \tan 30^{\circ}$ है।
इसलिए,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{1}{\tan 30^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
अतः,$n = \sqrt{3}$।
$n$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta_{p} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\theta_{p} = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$।

(B) क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{3}{5}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}$ होता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $i_p$ और अपवर्तनांक $\mu$ के बीच संबंध $\tan i_p = \mu$ होता है।
$\mu$ का मान रखने पर,$\tan i_p = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुवण कोण $i_p = \tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)$ होगा।

(C) क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin(C) = 0.6$ दिया गया है।
माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,क्रांतिक कोण से $\mu = \frac{1}{\sin(C)}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर,$\mu = \frac{1}{0.6} = \frac{10}{6} = 1.6667$ प्राप्त होता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $i_p$ का मान $\tan(i_p) = \mu$ होता है।
अतः,$i_p = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(1.6667)$ होगा।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित किरण पूरी तरह से ध्रुवीकृत होती है,तो आपतन कोण ध्रुवण कोण $(\theta_p)$ के बराबर होता है।
दिया गया है,$\theta_p = 60^{\circ}$।
कांच का अपवर्तनांक $(\mu_g)$,$\mu_g = \tan \theta_p$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_g = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v_g)$ का अनुपात होता है:
$\mu_g = \frac{c}{v_g}$।
मान रखने पर,$\sqrt{3} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{v_g}$।
$v_g = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \text{ m/s} = \sqrt{3} \times 10^8 \text{ m/s}$।

(B) दिया गया है,कांच का ध्रुवण कोण $i_{p} = 57^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि जब प्रकाश ध्रुवण कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत (समकोण पर) होती हैं।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,आपतन कोण $(i_{p})$ और अपवर्तन कोण $(r)$ के बीच का संबंध $i_{p} + r = 90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$r = 90^{\circ} - i_{p}$.
दिए गए मान को रखने पर,$r = 90^{\circ} - 57^{\circ} = 33^{\circ}$.
अतः,अपवर्तन कोण $33^{\circ}$ है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार ध्रुवण कोण $i_{p}$ का मान होता है: $\mu = \tan i_{p}$.
यहाँ $i_{p} = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए अपवर्तनांक $\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
क्रांतिक कोण $C$ और अपवर्तनांक के बीच का संबंध है: $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
$\mu$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin C = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ होगा।

(A) मान लीजिए $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है,जो $i$ है।
आपतन बिंदु पर एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
इसे सरल करने पर $i + r = 90^{\circ}$,या $r = 90^{\circ} - i$ प्राप्त होता है।
इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_1 \sin i = n_2 \sin r$
यहाँ $n_1 = 1$ (हवा) और $n_2 = 1.4$ (कांच) है:
$1 \cdot \sin i = 1.4 \cdot \sin(90^{\circ} - i)$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,इसलिए:
$\sin i = 1.4 \cos i$
$\frac{\sin i}{\cos i} = 1.4$
$\tan i = 1.4$
$i = \tan^{-1}(1.4)$

(A) दिया गया है,कांच की प्लेट का अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $\theta_p$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध $\mu = \tan \theta_p$ है।
मान रखने पर,$\sqrt{3} = \tan \theta_p$,जिससे $\theta_p = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि किरण ध्रुवण कोण पर आपतित हो रही है,इसलिए आपतन कोण $i = \theta_p = 60^{\circ}$ होगा।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,हमारे पास $\sqrt{3} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin r}$ है।
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin r}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin r = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $r = 30^{\circ}$।
वैकल्पिक रूप से,ध्रुवण कोण पर परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,इसलिए $i + r = 90^{\circ}$। अतः,$r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश की किरण ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण) पर आपतित होती है,तो परावर्तित किरण पूर्णतः समतल-ध्रुवित हो जाती है।
इस स्थिति में,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल ध्रुवित होता है।
इस कोण पर,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
ब्रूस्टर का नियम कहता है कि $\tan(i_p) = \mu$.
यहाँ $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए $\tan(i_p) = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $i_p = 60^{\circ}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin(i_p) = \mu_2 \sin(r)$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा) और $\mu_2 = \sqrt{3}$ है।
$1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \sin(r)$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \sin(r)$.
$\sin(r) = \frac{1}{2}$.
अतः,$r = 30^{\circ}$।

(C) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि ब्रूस्टर कोण $i_p$ माध्यम के अपवर्तनांक $\mu$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $i_p = \tan ^{-1}(\mu)$.
दिया गया है कि कांच का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $i_p = \tan ^{-1}(1.5)$.
चूंकि $1.5 = \frac{3}{2}$,इसलिए ब्रूस्टर कोण $i_p = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$ होगा।

(D) दिया गया है कि आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण ध्रुवण कोण $(i_p)$ होता है।
स्नेल के नियम से,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
चूंकि परावर्तित और अपवर्तित किरणें लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
ज्यामिति के अनुसार,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$,जिससे $r = 90^{\circ} - i$ प्राप्त होता है।
इसे स्नेल के नियम में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$।
चूंकि $i = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $i_p$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण पूरी तरह से ध्रुवित होती है,और परावर्तित किरण अपवर्तित किरण के लंबवत होती है।
ब्रूस्टर का नियम कहता है: $\tan i_p = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\mu_{glass}}{\mu_{air}}$.
यहाँ $\mu_{glass} = 1.52$ और $\mu_{air} = 1.00$ दिया गया है,इसलिए $\tan i_p = 1.52$।
दिए गए आंकड़ों से,$i_p = \tan^{-1}(1.52) = 57.7^{\circ}$।
ध्रुवण कोण पर,आपतन कोण $i_p$ और अपवर्तन कोण $r$ के बीच संबंध $i_p + r = 90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$r = 90^{\circ} - i_p = 90^{\circ} - 57.7^{\circ} = 32.3^{\circ}$।
अतः,अभिलंब के सापेक्ष अपवर्तित किरण का कोण $32.3^{\circ}$ है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश आपतन के तल के लंबवत पूरी तरह से समतल-ध्रुवित होता है।
आपतन का तल इंटरफेस के अभिलंब और संचरण की दिशा द्वारा परिभाषित होता है। दिए गए चित्र में,इंटरफेस $x-y$ तल है और अभिलंब $z$-अक्ष के अनुदिश है।
आपतित प्रकाश $x-z$ तल में संचरित होता है। इसलिए,आपतन का तल $x-z$ तल है।
परावर्तित प्रकाश को आपतन के तल ($x-z$ तल) के लंबवत ध्रुवित होना चाहिए। इसका अर्थ है कि परावर्तित प्रकाश का विद्युत क्षेत्र सदिश $y$-अक्ष की दिशा में होना चाहिए।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखने पर,व्यंजक $(E_x\hat{j} + E_y\hat{k})\sin(ky + kz - \omega t)$ एक ऐसी तरंग को दर्शाता है जो $y-z$ तल में ध्रुवित है,जो इंटरफेस के समानांतर है। इस विशिष्ट समस्या के लिए मानक भौतिकी संदर्भ को देखते हुए,परावर्तित विद्युत क्षेत्र सदिश वास्तव में आपतन के तल के लंबवत दिशा तक सीमित है,जो $y$-दिशा के अनुरूप है। दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $C$ इंटरफेस के सापेक्ष ध्रुवीकरण ज्यामिति के आधार पर सही उत्तर है।