Classification of Materials and Energy Band Theory Questions in Hindi

(A) ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_g)$ वैलेंस बैंड और कंडक्शन बैंड के बीच का ऊर्जा अंतर है।
कार्बन (हीरा) के लिए, ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $5.4 \text{ eV}$ है।
सिलिकॉन के लिए, ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $1.1 \text{ eV}$ है।
जर्मेनियम के लिए, ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $0.7 \text{ eV}$ है।
इन मानों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $(E_g)_C > (E_g)_{Si} > (E_g)_{Ge}$।
अतः, सही संबंध $(E_g)_C > (E_g)_{Si}$ है।

(A) अर्धचालक में,आवेश वाहकों की गतिशीलता को प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र में अपवाह वेग (drift velocity) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इलेक्ट्रॉन हल्के होते हैं और चालन बैंड (conduction band) में गति करते हैं,जबकि होल्स संयोजी बैंड (valence band) में रिक्तियां होती हैं जो क्रमिक इलेक्ट्रॉन जंप की प्रक्रिया के माध्यम से गति करती हैं।
अपने कम प्रभावी द्रव्यमान और चालन बैंड में गति की प्रकृति के कारण,इलेक्ट्रॉन होल्स की तुलना में कम प्रकीर्णन (scattering) का सामना करते हैं और उनकी गतिशीलता अधिक होती है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता हमेशा होल्स की गतिशीलता से अधिक होती है,अर्थात $\mu_e > \mu_h$।

(A) किसी ऊर्जा अवस्था $E$ में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $P(E)$ फर्मी-डिराक वितरण फलन द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{1}{1 + e^{(E - E_F) / kT}}$
जहाँ $E_F$ फर्मी स्तर है,$k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,और $T$ परम तापमान है।
एक आंतरिक अर्धचालक के लिए,चालन बैंड $E_c$ ऊर्जा से शुरू होता है। चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $e^{-(E_c - E_F) / kT}$ के समानुपाती होती है।
चूंकि बैंड गैप $E_g = E_c - E_v$ फर्मी स्तर से संबंधित है (लगभग $E_g \approx 2(E_c - E_F)$),प्रायिकता $e^{-E_g / 2kT}$ पद पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे बैंड गैप $E_g$ बढ़ता है,$e^{-E_g / 2kT}$ पद घातांकीय रूप से घटता जाता है।
इसलिए,चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के पाए जाने की प्रायिकता बैंड गैप बढ़ने के साथ घातांकीय रूप से घटती है।

(B) एक ठोस में,जब परमाणुओं को क्रिस्टल बनाने के लिए एक साथ लाया जाता है,तो पड़ोसी परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया के कारण उनके व्यक्तिगत ऊर्जा स्तर बैंड में विभाजित हो जाते हैं।
$Pauli$ के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है।
जैसे-जैसे परमाणु करीब आते हैं,इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तर ओवरलैप हो जाते हैं और बड़ी संख्या में निकट स्थित ऊर्जा स्तरों में विभाजित हो जाते हैं,जिससे ऊर्जा बैंड बनते हैं।
इस प्रकार,बैंड संरचना $Pauli$ के अपवर्जन सिद्धांत का सीधा परिणाम है।

(C) तांबा एक धातु (चालक) है,और जर्मेनियम एक अर्धचालक है।
चालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम हो जाता है।
अर्धचालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि तापीय उत्तेजना में कमी के कारण मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में काफी कमी आती है।
इसलिए,जब $80 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो तांबे की पट्टी का प्रतिरोध घट जाएगा और जर्मेनियम की पट्टी का प्रतिरोध बढ़ जाएगा।

(D) $Ge$ (जर्मेनियम) एक अर्धचालक है। जब किसी अर्धचालक को गर्म किया जाता है,तो सहसंयोजक बंध टूटने के कारण आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या बढ़ जाती है,जिससे इसकी विद्युत चालकता $\sigma_1$ बढ़ जाती है।
$Na$ (सोडियम) एक धातु (सुचालक) है। जब किसी धातु को गर्म किया जाता है,तो जालक आयनों के कंपन का आयाम बढ़ जाता है,जिससे इलेक्ट्रॉनों के साथ टकराव अधिक बार होता है। इससे धातु का प्रतिरोध बढ़ जाता है,जिससे इसकी विद्युत चालकता $\sigma_2$ कम हो जाती है।
अतः,$\sigma_1$ बढ़ती है और $\sigma_2$ घटती है।

(B) $GaAs$ (गैलियम आर्सेनाइड) गैलियम और आर्सेनिक तत्वों का एक रासायनिक यौगिक है। यह यौगिक अर्धचालक का एक प्रसिद्ध उदाहरण है,जिसे आवर्त सारणी के समूह $13$ और $15$ के तत्वों को मिलाकर बनाया जाता है। सिलिकॉन $(Si)$ या जर्मेनियम $(Ge)$ जैसे मौलिक अर्धचालकों के विपरीत,यौगिक अर्धचालक दो या दो से अधिक तत्वों से संश्लेषित होते हैं। इसलिए,$GaAs$ का सही वर्गीकरण यौगिक अर्धचालक है।

(C) तांबा एक सुचालक (धातु) है। धातुओं के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध घटता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों और जाली आयनों के बीच टकराव की संख्या कम हो जाती है।
जर्मेनियम एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि तापमान के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,जब $77 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो तांबे का प्रतिरोध घट जाता है और जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ जाता है।

(C) $1$. दृश्य प्रकाश के लिए पारदर्शी होने का गुण यह दर्शाता है कि पदार्थ में एक बड़ा बैंड गैप है,जो कुचालकों या अर्धचालकों की विशेषता है।
$2$. विद्युत चालकता का तापमान के साथ बढ़ना अर्धचालकों की एक परिभाषित विशेषता है।
$3$. सिलिकॉन $(Si)$ और जर्मेनियम $(Ge)$ जैसे अर्धचालक परमाणुओं के बीच सहसंयोजक बंधों द्वारा बनते हैं।
$4$. इन पदार्थों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में कूदने के लिए पर्याप्त तापीय ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं,जिससे चालकता बढ़ जाती है।
$5$. इसलिए,सही उत्तर सहसंयोजक बंध है।

(A) जर्मेनियम $(Ge)$ के लिए फॉरबिडन एनर्जी गैप $(E_g)$ कमरे के तापमान पर लगभग $0.7 \, eV$ होता है।
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ से जूल $(J)$ में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$ का उपयोग करते हैं।
इसलिए,$E_g = 0.7 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.12 \times 10^{-19} \, J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) वर्जित ऊर्जा अंतराल $(E_g)$ संयोजी बैंड और चालन बैंड के बीच का ऊर्जा अंतर है।
जर्मेनियम $(Ge)$ के लिए,कमरे के तापमान $(300 \ K)$ पर वर्जित ऊर्जा अंतराल लगभग $0.72 \ eV$ होता है।
सिलिकॉन $(Si)$ के लिए,वर्जित ऊर्जा अंतराल लगभग $1.1 \ eV$ होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक अर्धचालक में,$0 \ K$ पर चालन बैंड खाली होता है। जब इलेक्ट्रॉन पर्याप्त ऊर्जा प्राप्त करके संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड में कूदते हैं,तो वे किसी विशिष्ट परमाणु से बंधे नहीं रहते हैं। चूंकि चालन बैंड इन इलेक्ट्रॉनों को क्रिस्टल जालक में स्वतंत्र रूप से घूमने की अनुमति देता है,इसलिए इन्हें मुक्त इलेक्ट्रॉन कहा जाता है।

(B) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है।
जब परमाणु मिलकर एक ठोस बनाते हैं,तो परमाणुओं के बीच परस्पर क्रिया के कारण इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तर बैंड में विभाजित हो जाते हैं।
इन ऊर्जा बैंडों में इलेक्ट्रॉनों का वितरण पाउली के अपवर्जन सिद्धांत द्वारा नियंत्रित होता है,जो यह निर्धारित करता है कि एक विशिष्ट ऊर्जा अवस्था में कितने इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
इसलिए,ठोस पदार्थों में ऊर्जा बैंड का निर्माण और वर्गीकरण पाउली के अपवर्जन सिद्धांत पर आधारित है।

(B) अर्धचालक की प्रतिरोधकता पदार्थ का एक आंतरिक गुण है। यह आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की सांद्रता पर निर्भर करती है,जो अर्धचालक पदार्थ में मौजूद परमाणुओं की संरचना और उनकी प्रकृति द्वारा निर्धारित होती है। इसलिए,प्रतिरोधकता परमाणुओं की प्रकृति पर निर्भर करती है।

(A) कमरे के तापमान पर,वैलेंस बैंड के कुछ इलेक्ट्रॉन पर्याप्त ऊष्मीय ऊर्जा प्राप्त करके कंडक्शन बैंड में चले जाते हैं।
परिणामस्वरूप,वैलेंस बैंड आंशिक रूप से खाली और कंडक्शन बैंड आंशिक रूप से भर जाता है।
$0 \ K$ तापमान पर,एक अर्धचालक में वैलेंस बैंड पूरी तरह से भरा होता है और कंडक्शन बैंड पूरी तरह से खाली होता है।

(D) परम शून्य तापमान $(0 \ K)$ पर,शुद्ध सिलिकॉन $(Si)$ में सभी संयोजी इलेक्ट्रॉन सहसंयोजक बंधों में मजबूती से बंधे होते हैं।
संयोजी बैंड से चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों को उत्तेजित करने के लिए कोई तापीय ऊर्जा उपलब्ध नहीं होती है।
परिणामस्वरूप,चालन बैंड खाली रहता है और चालन के लिए कोई मुक्त आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन या होल) उपलब्ध नहीं होते हैं।
इसलिए,परम शून्य तापमान पर शुद्ध सिलिकॉन एक कुचालक (insulator) के रूप में कार्य करता है।

(A) कार्बन (हीरा) के लिए बैंडगैप ऊर्जा $(E_g)$ लगभग $5.5 \ eV$ है।
सिलिकॉन के लिए बैंडगैप ऊर्जा $(E_g)$ लगभग $1.1 \ eV$ है।
जर्मेनियम के लिए बैंडगैप ऊर्जा $(E_g)$ लगभग $0.7 \ eV$ है।
इन मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $(E_g)_C > (E_g)_{Si} > (E_g)_{Ge}$।
अतः,सही संबंध $(E_g)_C > (E_g)_{Si}$ है।

(C) अर्धचालकों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड से चालन बैंड में उत्तेजित होते हैं। इससे आवेश वाहकों की संख्या में वृद्धि होती है,जिसके कारण चालकता बढ़ती है और प्रतिरोधकता घटती है। इसलिए,यह कथन कि अर्धचालक की प्रतिरोधकता तापमान के साथ बढ़ती है,गलत है।

(C) ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_g)$ संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) के बीच का ऊर्जा अंतर है।
धातुओं में,संयोजी और चालन बैंड एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (overlap) होते हैं,इसलिए $E_g = 0$ होता है।
अर्धचालकों में,ऊर्जा बैंड अंतराल छोटा होता है,जो आमतौर पर लगभग $1 \ eV$ होता है।
कुचालकों (insulators) में,ऊर्जा बैंड अंतराल बहुत बड़ा होता है,आमतौर पर $E_g > 3 \ eV$,जो इलेक्ट्रॉनों को कमरे के तापमान पर भी संयोजी बैंड से चालन बैंड में जाने से रोकता है।
इसलिए,कुचालक पदार्थों में ऊर्जा बैंड अंतराल अधिकतम होता है।

(B) $Cu$ एक चालक (धातु) है। धातुओं के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध घटता है क्योंकि जालक कंपन (lattice vibrations) कम हो जाते हैं।
$Ge$ एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉन और होल) की संख्या तापमान के साथ घातांकीय रूप से कम हो जाती है।
इसलिए,जब $70 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो $Cu$ का प्रतिरोध घट जाएगा और $Ge$ का प्रतिरोध बढ़ जाएगा।

(A) $1$. अर्धचालकों में, जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, अधिक इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में कूदने के लिए पर्याप्त तापीय ऊर्जा प्राप्त करते हैं।
$2$. आवेश वाहकों की संख्या में यह वृद्धि चालकता में वृद्धि की ओर ले जाती है, जिसका अर्थ है कि प्रतिरोधकता में कमी आती है।
$3$. इसलिए, 'अर्धचालक की प्रतिरोधकता तापमान के साथ बढ़ती है' यह कथन गलत है, क्योंकि यह वास्तव में घटती है।
$4$. बड़े ऊर्जा अंतराल (आमतौर पर $ > 3 \text{ eV}$) वाले पदार्थ, जैसे $10 \text{ eV}$, कुचालक के रूप में वर्गीकृत किए जाते हैं।
$5$. चालकों में, संयोजी और चालन बैंड एक-दूसरे पर ओवरलैप होते हैं, जिससे इलेक्ट्रॉनों का प्रवाह आसानी से होता है।
$6$. अतः, विकल्प $A$ गलत कथन है।

(A) पहले आरेख (बाएं) में,दाता ऊर्जा स्तर $E_D$ चालन बैंड $C$ के ठीक नीचे स्थित है। यह $n$-प्रकार के अर्धचालक की विशेषता है।
दूसरे आरेख (मध्य) में,फर्मी स्तर $E_F$ संयोजी बैंड $V$ और चालन बैंड $C$ के बीच वर्जित ऊर्जा अंतराल के ठीक बीच में स्थित है। यह एक नैज (intrinsic) अर्धचालक की विशेषता है।
तीसरे आरेख (दाएं) में,ग्राही ऊर्जा स्तर $E_A$ संयोजी बैंड $V$ के ठीक ऊपर स्थित है। यह $p$-प्रकार के अर्धचालक की विशेषता है।
इसलिए,बाएं से दाएं क्रम है: $n$-प्रकार का अर्धचालक,नैज अर्धचालक,$p$-प्रकार का अर्धचालक।

(A) $Si$ और $Ge$ में कमरे के तापमान $(300 \ K)$ पर,ऊर्जा बैंड अंतराल अपेक्षाकृत कम होता है। परिणामस्वरूप,सहसंयोजक बंधों में मौजूद इलेक्ट्रॉन पर्याप्त तापीय ऊर्जा प्राप्त करके बंध को तोड़ सकते हैं और चालन बैंड में चले जाते हैं,जिससे वैलेंस बैंड में एक होल उत्पन्न होता है।
इसलिए,$Si$ और $Ge$ में चालन के लिए उपलब्ध मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या महत्वपूर्ण होती है।
कार्बन (हीरे) के मामले में,ऊर्जा बैंड अंतराल बहुत अधिक $(5.4 \ eV)$ होता है। परिणामस्वरूप,कमरे के तापमान पर भी चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की संख्या महत्वपूर्ण नहीं होती है,जो इसे एक कुचालक बनाता है।

(A) अर्धचालकों में,संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) एक छोटे ऊर्जा अंतराल द्वारा अलग होते हैं,जिसे वर्जित ऊर्जा अंतराल $(E_g)$ कहा जाता है।
सिलिकॉन $(Si)$ और जर्मेनियम $(Ge)$ जैसे अर्धचालकों के लिए,यह ऊर्जा अंतराल आमतौर पर $1 \ eV$ के आसपास होता है।
विशेष रूप से,$Si$ के लिए $E_g \approx 1.1 \ eV$ और $Ge$ के लिए $E_g \approx 0.7 \ eV$ होता है।
इसलिए,अर्धचालकों में ऊर्जा अंतराल की कोटि $1 \ eV$ है।

(D) एक शुद्ध अर्धचालक में,संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) के बीच ऊर्जा अंतराल कम होता है।
$T = 0 \ K$ पर,संयोजी बैंड पूरी तरह से भरा होता है और चालन बैंड खाली होता है,जिससे यह एक कुचालक की तरह व्यवहार करता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,ऊष्मीय ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों को संयोजी बैंड से चालन बैंड में जाने की अनुमति देती है।
इससे आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या बढ़ जाती है,जिससे विद्युत प्रतिरोध कम हो जाता है।
चूंकि तापमान बढ़ने के साथ प्रतिरोध घटता है,इसलिए प्रतिरोध का ताप गुणांक ऋणात्मक होता है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) अर्धचालकों में,$0 \ K$ तापमान पर,इलेक्ट्रॉनों के लिए संयोजी बैंड से चालन बैंड में जाने के लिए कोई तापीय ऊर्जा उपलब्ध नहीं होती है।
चूंकि संयोजी बैंड वह उच्चतम ऊर्जा बैंड है जो परम शून्य तापमान पर इलेक्ट्रॉनों द्वारा भरा होता है,इसलिए यह इलेक्ट्रॉनों से पूर्णतः भरा रहता है।
दूसरी ओर,चालन बैंड $0 \ K$ पर पूर्णतः खाली रहता है क्योंकि किसी भी इलेक्ट्रॉन के पास वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) को पार करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं होती है।

(B) एक अर्धचालक में,जालक नियतांक परमाणुओं के बीच की दूरी होती है। जब जालक नियतांक घटता है,तो परमाणु एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं,जिससे परमाणु कक्षकों (atomic orbitals) का अतिव्यापन (overlap) बढ़ जाता है।
यह बढ़ा हुआ अतिव्यापन ऊर्जा बैंड के विस्तार की ओर ले जाता है,जिसका अर्थ है कि बैंडविड्थ $E_c$ (चालन बैंड चौड़ाई) और $E_v$ (संयोजी बैंड चौड़ाई) बढ़ जाते हैं।
हालाँकि,अतिव्यापन में वृद्धि के कारण ऊर्जा स्तर इस तरह से स्थानांतरित हो जाते हैं कि संयोजी बैंड और चालन बैंड के बीच का वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) $E_g$ कम हो जाता है।
इसलिए,$E_c$ और $E_v$ बढ़ते हैं,जबकि $E_g$ घटता है।

(A) बैंडगैप ऊर्जा $E_g$ आपतित फोटॉन की अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2480 \, nm$ के अनुरूप है,जो एक इलेक्ट्रॉन को बैंडगैप के पार उत्तेजित कर सकती है।
सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,और $1 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$ है:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2480 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \, eV$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{3968 \times 10^{-28}} \, eV$
$E = \frac{1989}{3968} \approx 0.5 \, eV$.
अतः,अर्धचालक का बैंडगैप $0.5 \, eV$ है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc = 12400 eV \cdot \mathring{A}$ और $\lambda = 589 nm = 5890 \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{12400}{5890} \approx 2.105 eV$ प्राप्त होता है।
$E/kT$ अनुपात ज्ञात करने के लिए, ऊर्जा को जूल में बदलते हैं: $E = 2.105 \times 1.6 \times 10^{-19} J$.
$T = 300 K$ तापमान पर तापीय ऊर्जा $kT$ के लिए $k = 1.38 \times 10^{-23} J/K$ है।
$kT = 1.38 \times 10^{-23} \times 300 = 4.14 \times 10^{-21} J$.
अब, $\frac{E}{kT} = \frac{2.105 \times 1.6 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-21}} = \frac{3.368 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-21}} \approx 81.35$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, उत्तर $81$ प्राप्त होता है।

(A) ठोस-अवस्था भौतिकी में,पदार्थों को उनके ऊर्जा बैंड गैप के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
चालकों के लिए,वैलेंस और कंडक्शन बैंड एक-दूसरे पर ओवरलैप करते हैं।
अर्धचालकों के लिए,बैंड गैप अपेक्षाकृत छोटा होता है (आमतौर पर $1 \ eV$ से $1.5 \ eV$ के आसपास)।
अचालकों के लिए,ऊर्जा बैंड गैप बहुत बड़ा होता है,जो आमतौर पर $3 \ eV$ से $6 \ eV$ से अधिक होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$6 \ eV$ वह मान है जो एक अचालक के लिए विशिष्ट बैंड गैप को दर्शाता है।

(A) जर्मेनियम $(Ge)$ के लिए बैंड गैप ऊर्जा $(E_g)$ लगभग $0.7 \ eV$ होती है।
इस ऊर्जा को जूल $(J)$ में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$E_g = 0.7 \ eV = 0.7 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.12 \times 10^{-19} \ J$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक अर्धचालक में,आंतरिक वाहक सांद्रता $n_i$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$n_i = A T^{3/2} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)$
जहाँ $A$ एक स्थिरांक है,$E_g$ बैंड गैप ऊर्जा है,और $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
किसी दिए गए अर्धचालक के लिए,तापमान पर निर्भरता मुख्य रूप से इसके पूर्व-घातांकीय पद में मौजूद $T^{3/2}$ कारक द्वारा निर्धारित होती है।
इसलिए,मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या घनत्व $n$,$T^{3/2}$ के समानुपाती होती है।

(C) कार्बन $(^{6}C)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^{2} 2s^{2} 2p^{2}$ है।
सिलिकॉन $(_{14}Si)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{2}$ है।
$C$ में,संयोजी इलेक्ट्रॉन $n=2$ कक्षा में होते हैं,जो नाभिक के करीब होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक बड़ा ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_{g} \approx 5.4 \ eV)$ होता है,जो इसे एक कुचालक बनाता है।
$Si$ में,संयोजी इलेक्ट्रॉन $n=3$ कक्षा में होते हैं,जो नाभिक से दूर होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_{g} \approx 1.1 \ eV)$ होता है,जो इसे एक नैज अर्धचालक के रूप में कार्य करने की अनुमति देता है।
अतः,$C$ और $Si$ के चार बंधन इलेक्ट्रॉन क्रमशः दूसरी और तीसरी कक्षा में स्थित होते हैं।

(A) सोडियम क्लोराइड $(NaCl)$ में,$Na^+$ और $Cl^-$ दोनों आयनों में उत्कृष्ट गैस (noble gas) जैसी स्थिर इलेक्ट्रॉन विन्यास होती है,जो पूरी तरह से भरे हुए ऊर्जा बैंड के अनुरूप है।
चूंकि ये भरे हुए बैंड खाली चालन बैंड के साथ अतिव्याप्त नहीं होते हैं,इसलिए संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड के बीच एक बड़ा ऊर्जा अंतराल (वर्जित ऊर्जा अंतराल) मौजूद होता है।
इस बड़े ऊर्जा अंतराल के कारण,इलेक्ट्रॉन आसानी से चालन बैंड में नहीं जा सकते हैं,जिससे $NaCl$ एक कुचालक बन जाता है।

(B) सही उत्तर $B$ है। शुद्ध $Cu$ पहले से ही एक उत्कृष्ट चालक है क्योंकि इसमें आंशिक रूप से भरी हुई चालन बैंड (conduction band) होती है।
इसके अलावा,$Cu$ एक धात्विक क्रिस्टल जालक बनाता है,जो सिलिकॉन या जर्मेनियम जैसे अर्धचालकों की सहसंयोजक क्रिस्टल संरचनाओं से भिन्न है।
इसलिए,अर्धचालकों में इलेक्ट्रॉन दान करने या स्वीकार करने के लिए उपयोग की जाने वाली डोपिंग योजना कॉपर के लिए काम नहीं करती है।
वास्तव में,कॉपर में अशुद्धियाँ मिलाने से इसकी विद्युत चालकता कम हो जाती है क्योंकि अशुद्धि के परमाणु इलेक्ट्रॉनों के लिए प्रकीर्णन केंद्र (scattering centers) के रूप में कार्य करते हैं,जो विद्युत धारा के प्रवाह में बाधा उत्पन्न करते हैं।

(A) एक पृथक मुक्त परमाणु की आयनन ऊर्जा क्रिस्टलीय जालक में इसके मान से भिन्न होती है।
क्रिस्टलीय जालक में,प्रत्येक परमाणु अन्य परमाणुओं से घिरा होता है।
क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा आवर्ती क्रिस्टलीय जालक में सभी पड़ोसी परमाणुओं के विद्युत क्षेत्रों से प्रभावित होती है।
यह परस्पर क्रिया इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तरों को संशोधित करती है,जिससे आयनन ऊर्जा एक पृथक परमाणु की तुलना में भिन्न हो जाती है।

(A) सिलिकॉन का ऊर्जा अंतराल $E_g = 1.1 \, eV$ दिया गया है।
अवशोषित की जा सकने वाली अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ज्ञात करने के लिए,हम $E_g = \frac{hc}{\lambda}$ संबंध का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,और $1 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
$\lambda = \frac{hc}{E_g} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.1 \times 1.6 \times 10^{-19}} \, m$.
$\lambda \approx 1.13 \times 10^{-6} \, m = 11272 \, \mathring A$.
इस तरंगदैर्ध्य से अधिक तरंगदैर्ध्य वाले फोटॉन के पास बैंड गैप को पार करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं होगी।

(C) कथन $Y$ सत्य है: अर्धचालकों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) बैंड गैप के पार तापीय रूप से उत्तेजित होते हैं,जिससे चालकता बढ़ती है और प्रतिरोधकता कम हो जाती है।
कथन $Z$ सत्य है: एक चालक ठोस (धातु) में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली कंपन (फोनोन) बढ़ जाते हैं,जिससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों और आयनों के बीच टक्कर की आवृत्ति बढ़ जाती है,जिससे प्रतिरोध बढ़ जाता है।
अतः,कथन $Y$ और $Z$ दोनों सत्य हैं।

(C) तापमान बढ़ने के साथ चालकता में वृद्धि होना अर्धचालकों की एक विशेषता है।
अर्धचालक आमतौर पर सहसंयोजक बंधन द्वारा बनते हैं (जैसे,सिलिकॉन,जर्मेनियम)।
धातुओं (धात्विक बंधन) में तापमान बढ़ने पर चालकता कम हो जाती है।
आयनिक ठोस आमतौर पर दृश्य प्रकाश के लिए पारदर्शी होते हैं और कुचालक होते हैं।
इसलिए,वर्णित ठोस सहसंयोजक बंधन द्वारा बनता है।

(C) एक अर्धचालक क्रिस्टल में,जालक नियतांक परमाणुओं के बीच की दूरी को दर्शाता है।
जब जालक नियतांक कम हो जाता है,तो परमाणु एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं,जिससे परमाणु कक्षकों (atomic orbitals) का अतिव्यापन (overlap) बढ़ जाता है।
यह बढ़ा हुआ अतिव्यापन ऊर्जा बैंड के चौड़े होने का कारण बनता है,जिसका अर्थ है कि चालन बैंड $(E_c)$ और संयोजी बैंड $(E_v)$ की चौड़ाई बढ़ जाती है।
साथ ही,परमाणुओं के बीच बढ़ी हुई परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप बैंड गैप $(E_g)$ कम हो जाता है।
इसलिए,$E_c$ और $E_v$ बढ़ते हैं,जबकि $E_g$ घटता है।

(A) कार्बन $(C)$,सिलिकॉन $(Si)$,और जर्मेनियम $(Ge)$ तीनों आवर्त सारणी के समूह $14$ से संबंधित हैं और इनमें $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
कमरे के तापमान पर,कार्बन (हीरा) के लिए ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_g)$ लगभग $5.4 \ eV$ है,जो बहुत बड़ा है,जिससे यह एक कुचालक बन जाता है।
सिलिकॉन के लिए ऊर्जा बैंड अंतराल लगभग $1.1 \ eV$ है और जर्मेनियम के लिए लगभग $0.7 \ eV$ है।
चूंकि ये बैंड अंतराल अपेक्षाकृत छोटे हैं,इसलिए कमरे के तापमान पर तापीय ऊर्जा $Si$ और $Ge$ में संयोजी बैंड से चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की एक महत्वपूर्ण संख्या को उत्तेजित करने के लिए पर्याप्त है।
इसलिए,$Si$ और $Ge$ अर्धचालक के रूप में कार्य करते हैं,जबकि $C$ अपने बड़े बैंड अंतराल के कारण एक कुचालक के रूप में कार्य करता है।

(A) $Cu$ (तांबा) एक धातु/चालक है। धातुओं के लिए,तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ संबंध के अनुसार रैखिक रूप से बढ़ता है।
$Si$ (सिलिकॉन) एक नैज अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों की संख्या चरघातांकीय (exponential) रूप से बढ़ती है,जिससे प्रतिरोध में चरघातांकीय कमी आती है,जिसे $R = R_0 e^{E_g / 2kT}$ द्वारा वर्णित किया जाता है।

(A) फर्मी ऊर्जा स्तर $(E_F)$ को उस ऊर्जा अवस्था के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ किसी भी तापमान पर इलेक्ट्रॉन द्वारा अधिभोग (occupancy) की संभावना ठीक $50 \%$ या $0.5$ होती है।
एक नैज अर्धचालक के लिए,चालन बैंड (conduction band) में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n_e)$ संयोजी बैंड (valence band) में होल्स की संख्या $(n_h)$ के बराबर होती है,अर्थात $n_e = n_h = n_i$।
चूंकि इलेक्ट्रॉनों और होल्स का प्रभावी द्रव्यमान लगभग समान होता है,इसलिए फर्मी स्तर वर्जित ऊर्जा अंतराल के ठीक मध्य में स्थित होता है।
गणितीय रूप से,$E_F = \frac{E_c + E_v}{2}$,जहाँ $E_c$ चालन बैंड की ऊर्जा है और $E_v$ संयोजी बैंड की ऊर्जा है।

(D) कार्बन,सिलिकॉन और जर्मेनियम आवर्त सारणी के समूह $14$ के तत्व हैं और इनकी क्रिस्टल संरचना समान (हीरे जैसी) होती है।
हालाँकि,ऊर्जा अंतराल $(E_g)$ परमाणु के आकार और अंतर-परमाणु बंधों की मजबूती पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे हम समूह में नीचे जाते हैं,परमाणु का आकार बढ़ता है,जिससे सहसंयोजक बंधों की मजबूती कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,कार्बन से सिलिकॉन और फिर जर्मेनियम की ओर जाने पर ऊर्जा अंतराल कम होता जाता है।
ऊर्जा अंतराल के मान लगभग इस प्रकार हैं:
$E_g(C) \approx 5.4 \ eV$
$E_g(Si) \approx 1.1 \ eV$
$E_g(Ge) \approx 0.7 \ eV$
अतः,सही संबंध $E_g(C) > E_g(Si) > E_g(Ge)$ है,जिसका अर्थ है कि $E_g(Si) > E_g(Ge)$ और $E_g(C)$ सबसे बड़ा है। विकल्प $D$ इस क्रम को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) नमूना $X$ में वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) के भीतर कोई अशुद्धि ऊर्जा स्तर नहीं है,इसलिए यह एक आंतरिक (अशुद्धि-रहित) अर्धचालक है।
नमूना $Y$ में,अशुद्धि ऊर्जा स्तर चालन बैंड (conduction band) के ठीक नीचे स्थित है। यह $n$-प्रकार के अर्धचालक की विशेषता है,जो पांचवें समूह (पंचसंयोजी) की अशुद्धि को मिलाकर बनाया जाता है।
नमूना $Z$ में,अशुद्धि ऊर्जा स्तर संयोजी बैंड (valence band) के ठीक ऊपर स्थित है। यह $p$-प्रकार के अर्धचालक की विशेषता है,जो तीसरे समूह (त्रिसंयोजी) की अशुद्धि को मिलाकर बनाया जाता है।
इसलिए,नमूना $X$ अशुद्धि-रहित है,नमूना $Y$ पांचवें समूह की अशुद्धि के साथ डोप किया गया है,और नमूना $Z$ तीसरे समूह की अशुद्धि के साथ डोप किया गया है।

(A) जब किसी अर्धचालक का तापमान बढ़ाया जाता है,तो तापीय ऊर्जा के कारण अधिक सहसंयोजक बंध टूट जाते हैं,जिससे मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में वृद्धि होती है।
आवेश वाहकों में यह वृद्धि चालकता को काफी बढ़ा देती है,जिसका अर्थ है कि प्रतिरोधकता में कमी आती है।
हालाँकि,जाली (lattice) परमाणुओं के बढ़ते तापीय कंपन के कारण टक्करें अधिक बार होती हैं,जिससे आवेश वाहकों की गतिशीलता कम हो जाती है।

(D) तांबा एक धातु है और जर्मेनियम एक अर्धचालक है।
धातुओं के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध घटता है क्योंकि जाली आयनों (lattice ions) के साथ इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति कम हो जाती है।
अर्धचालकों के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि तापमान में कमी के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,जब कमरे के तापमान से $80\, K$ तक ठंडा किया जाता है,तो तांबे का प्रतिरोध घटता है और जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।

(A) ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_g)$ चालन बैंड और संयोजी बैंड के बीच का ऊर्जा अंतर है।
कार्बन (हीरा) के लिए, ऊर्जा अंतराल लगभग $5.4 \text{ eV}$ है।
सिलिकॉन के लिए, ऊर्जा अंतराल लगभग $1.1 \text{ eV}$ है।
जर्मेनियम के लिए, ऊर्जा अंतराल लगभग $0.7 \text{ eV}$ है।
इन मानों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $(E_g)_C > (E_g)_{Si} > (E_g)_{Ge}$।
अतः, सही संबंध $(E_g)_C > (E_g)_{Si} > (E_g)_{Ge}$ है।

(A) एक अर्धचालक में,तापमान में वृद्धि के कारण वैलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के थर्मल उत्तेजन के कारण आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से बढ़ती है।
यद्यपि बढ़े हुए प्रकीर्णन (scattering) के कारण आवेश वाहकों की गतिशीलता में थोड़ी कमी आती है,लेकिन आवेश वाहकों की संख्या में तीव्र वृद्धि का प्रभाव प्रभावी रहता है।
परिणामस्वरूप,अर्धचालक की चालकता बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि तापमान बढ़ने के साथ इसका प्रतिरोध घट जाता है।