Properties of Alpha, Beta and Gamma Rays and Decay Process Questions in Hindi

(C) किसी पदार्थ से गुजरने वाले विकिरण की तीव्रता का सूत्र $I = I_0 e^{-\mu t}$ है,जहाँ $I$ अंतिम तीव्रता है,$I_0$ प्रारंभिक तीव्रता है,$\mu$ अवशोषण गुणांक है और $t$ पदार्थ की मोटाई है।
यहाँ दिया गया है कि $t = 2.5 \, mm$ मोटाई के लिए तीव्रता आधी $(I = I_0 / 2)$ हो जाती है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $I_0 / 2 = I_0 e^{-\mu (2.5)}$.
यह सरल होकर $1/2 = e^{-2.5 \mu}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -2.5 \mu$.
$-\ln(2) = -2.5 \mu$.
$0.693 = 2.5 \mu$.
$\mu = 0.693 / 2.5 = 0.2772 \, mm^{-1}$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\mu \approx 0.28 \, mm^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया में,परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ जाता है $(z \to z+1)$,जबकि द्रव्यमान संख्या $A$ स्थिर रहती है।
इस प्रक्रिया में एक इलेक्ट्रॉन $(_{-1}e^0)$ और एक एंटीन्यूट्रिनो $(\bar \nu)$ उत्सर्जित होते हैं।
यह प्रक्रिया $\beta^-$ क्षय को दर्शाती है,जिसमें एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन में परिवर्तित हो जाता है और एक इलेक्ट्रॉन तथा एंटीन्यूट्रिनो का उत्सर्जन करता है।

(B) माना जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A = 220$ है। एक $\alpha$-कण $(m_2 = 4)$ उत्सर्जित करने के बाद,संतति नाभिक की द्रव्यमान संख्या $m_1 = 220 - 4 = 216$ हो जाती है।
अभिक्रिया में मुक्त कुल ऊर्जा $Q = K_1 + K_2 = 5.5 \, MeV$ है,जहाँ $K_1$ संतति नाभिक की गतिज ऊर्जा है और $K_2$ $\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए संतति नाभिक और $\alpha$-कण के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए:
$p_1 = p_2$
$\sqrt{2 m_1 K_1} = \sqrt{2 m_2 K_2}$
$m_1 K_1 = m_2 K_2$
$216 K_1 = 4 K_2$
$K_1 = \frac{4}{216} K_2 = \frac{1}{54} K_2$
इस मान को $Q$-मान के समीकरण में रखने पर:
$K_1 + K_2 = 5.5$
$\frac{1}{54} K_2 + K_2 = 5.5$
$\frac{55}{54} K_2 = 5.5$
$K_2 = 5.5 \times \frac{54}{55} = 0.1 \times 54 = 5.4 \, MeV$.
अतः,$\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा $5.4 \, MeV$ है।

(B) $\beta^-$ क्षय के दौरान,नाभिक के भीतर एक न्यूट्रॉन,एक प्रोटॉन,एक इलेक्ट्रॉन $(e^-)$ और एक एंटीन्यूट्रिनो $(\bar{\nu}_e)$ में परिवर्तित हो जाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$.
इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप,न्यूट्रॉन की संख्या $(n)$ में $1$ की कमी होती है और प्रोटॉन की संख्या $(p)$ में $1$ की वृद्धि होती है।
चूंकि अंश $(n)$ घट रहा है और हर $(p)$ बढ़ रहा है,इसलिए कुल अनुपात $[n/p]$ घट जाएगा।

(C) प्रारंभिक नाभिक $_{72}X^{180}$ है।
$1$. $\alpha$-क्षय ($_{2}He^{4}$ उत्सर्जन) के बाद,द्रव्यमान संख्या $4$ से कम हो जाती है और परमाणु संख्या $2$ से कम हो जाती है: $_{72}X^{180} \xrightarrow{\alpha} _{70}X_1^{176}$.
$2$. $\beta$-क्षय (इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन,$_{ -1}e^{0}$) के बाद,द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है और परमाणु संख्या $1$ से बढ़ जाती है: $_{70}X_1^{176} \xrightarrow{\beta} _{71}X_2^{176}$.
$3$. एक और $\alpha$-क्षय के बाद,द्रव्यमान संख्या $4$ से कम हो जाती है और परमाणु संख्या $2$ से कम हो जाती है: $_{71}X_2^{176} \xrightarrow{\alpha} _{69}X_3^{172}$.
$4$. $\gamma$-क्षय के बाद,द्रव्यमान संख्या या परमाणु संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है: $_{69}X_3^{172} \xrightarrow{\gamma} _{69}X_4^{172}$.
अतः,$X_4$ की द्रव्यमान संख्या $172$ और परमाणु संख्या $69$ है।

(D) प्रारंभिक नाभिक $_Z{X^A}$ है।
जब एक नाभिक $\alpha$-कण $(_{2}^{4}He)$ उत्सर्जित करता है,तो द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है और परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है।
जब यह $\beta$-कण $(_{-1}^{0}e)$ उत्सर्जित करता है,तो द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है और परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है।
$3 \alpha$-कणों और $5 \beta$-कणों के उत्सर्जन के बाद,नई द्रव्यमान संख्या $A'$ और परमाणु क्रमांक $Z'$ हैं:
$A' = A - 3(4) = A - 12$
$Z' = Z - 3(2) + 5(1) = Z - 6 + 5 = Z - 1$
प्रोटॉन की संख्या $P = Z' = Z - 1$
न्यूट्रॉन की संख्या $N = A' - Z' = (A - 12) - (Z - 1) = A - Z - 11$
अतः,न्यूट्रॉन और प्रोटॉन का अनुपात $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 11}{Z - 1}$ है।

(B) प्रारंभिक परमाणु क्रमांक $Z = 92$ है।
$\alpha$-क्षय $(_{2}He^{4})$ के कारण $Z$ में $2$ की कमी होती है।
$\beta^-$-क्षय $(_{-1}e^{0})$ के कारण $Z$ में $1$ की वृद्धि होती है।
$\beta^+$-क्षय $(_{+1}e^{0})$ के कारण $Z$ में $1$ की कमी होती है।
कणों की गणना:
- कुल $\alpha$ कण: $8$ (चरण $1$,$2$,$5$,$6$,$7$,$8$,$11$,$14$ पर उत्सर्जित)।
- कुल $\beta^-$ कण: $4$ (चरण $3$,$4$,$9$,$10$ पर उत्सर्जित)।
- कुल $\beta^+$ कण: $2$ (चरण $12$,$13$ पर उत्सर्जित)।
अंतिम $Z$ की गणना:
$Z_{final} = Z_{initial} - (8 \times 2) + (4 \times 1) - (2 \times 1)$
$Z_{final} = 92 - 16 + 4 - 2$
$Z_{final} = 78$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभ में $U^{238}$ नाभिक स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
क्षय प्रक्रिया इस प्रकार है: $U^{238} \to Th^{234} + He^{4}$।
माना संतति नाभिक का द्रव्यमान $M_D = 234$ है और $\alpha$-कण का द्रव्यमान $M_{\alpha} = 4$ है।
माना संतति नाभिक की प्रतिक्षेप गति $v$ है और $\alpha$-कण की गति $u$ है।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $0 = M_D \cdot v + M_{\alpha} \cdot u$।
$0 = 234 \cdot v + 4 \cdot u$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v = -\frac{4u}{234}$।
प्रतिक्षेप गति का परिमाण $\frac{4u}{234}$ है।

(A) अल्फा क्षय प्रक्रिया में,द्रव्यमान संख्या $4$ से कम हो जाती है और परमाणु संख्या $2$ से कम हो जाती है।
दी गई अभिक्रिया: $_{92}U^{238} \to _{Z}X^{A} + _{2}He^{4}$ है।
द्रव्यमान संख्या संरक्षण के नियम के अनुसार: $238 = A + 4 \implies A = 238 - 4 = 234$।
परमाणु संख्या संरक्षण के नियम के अनुसार: $92 = Z + 2 \implies Z = 92 - 2 = 90$।
अतः,$Z = 90$ और $A = 234$ होगा।

(D) यूरेनियम श्रेणी एक अस्थिर रेडियोधर्मी जनक न्यूक्लाइड से शुरू होती है और तब तक अल्फा और बीटा क्षय की एक श्रृंखला से गुजरती है जब तक कि यह एक स्थिर समस्थानिक तक नहीं पहुँच जाती।
परिभाषा के अनुसार,एक स्थिर न्यूक्लाइड रेडियोधर्मी क्षय नहीं करता है।
चूंकि क्षय नियतांक $\lambda$ को प्रति इकाई समय में क्षय की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए एक स्थिर न्यूक्लाइड के लिए क्षय की संभावना शून्य होती है।
अतः,अंतिम स्थिर उत्पाद का क्षय नियतांक $0$ है।

(A) मान लीजिए कि तत्व $A$ का परमाणु क्रमांक $Z$ और द्रव्यमान संख्या $M$ है।
पहले चरण में: $A \to B + _{2}^{4}He$.
अतः $B$ का परमाणु क्रमांक $Z - 2$ और द्रव्यमान संख्या $M - 4$ हो जाती है।
दूसरे चरण में: $B \to C + 2e^{-}$.
चूंकि प्रत्येक बीटा क्षय $(e^{-})$ परमाणु क्रमांक में $1$ की वृद्धि करता है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है,इसलिए $2e^{-}$ के उत्सर्जन से $B$ के परमाणु क्रमांक में $2$ की वृद्धि होती है।
अतः,$C$ का परमाणु क्रमांक $= (Z - 2) + 2 = Z$ हो जाता है।
$C$ की द्रव्यमान संख्या $M - 4$ ही रहती है।
चूंकि $A$ और $C$ का परमाणु क्रमांक समान $(Z)$ है,इसलिए वे समस्थानिक (isotopes) हैं।

(A) $1$. पहले चरण में,${}_{Z}^{A}X \to {}_{Z+1}^{A}Y$,परमाणु क्रमांक $Z$ में $1$ की वृद्धि होती है जबकि द्रव्यमान संख्या $A$ स्थिर रहती है। यह $\beta^-$ कण के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$2$. दूसरे चरण में,${}_{Z+1}^{A}Y \to {}_{Z-1}^{A-4}K$,द्रव्यमान संख्या $A$ में $4$ की कमी होती है और परमाणु क्रमांक $Z$ में $2$ की कमी होती है। यह $\alpha$ कण के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$3$. तीसरे चरण में,${}_{Z-1}^{A-4}K \to {}_{Z-1}^{A-4}K$,द्रव्यमान संख्या $A$ या परमाणु क्रमांक $Z$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है। यह $\gamma$ किरण के उत्सर्जन के अनुरूप है (नाभिक का डी-एक्साइटेशन)।
अतः,उत्सर्जन का क्रम $\beta^-$,$\alpha$,$\gamma$ है।

(D) उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n_{\alpha} = \frac{A - A'}{4} = \frac{200 - 168}{4} = \frac{32}{4} = 8$ है।
$8$ $\alpha$-कणों के उत्सर्जन के कारण परमाणु क्रमांक में परिवर्तन $8 \times 2 = 16$ है। अतः नया परमाणु क्रमांक $90 - 16 = 74$ होगा।
चूंकि अंतिम परमाणु क्रमांक $80$ है,इसलिए उत्सर्जित $\beta$-कणों की संख्या $n_{\beta} = Z' - (Z - 2n_{\alpha}) = 80 - (90 - 16) = 80 - 74 = 6$ प्राप्त होती है।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ कणों की संख्या क्रमशः $8$ और $6$ है।

(B) रेडियोधर्मी विकिरणों की आयनीकरण शक्ति का क्रम: $\alpha > \beta > \gamma$ होता है। अतः,आयनीकरण शक्ति का बढ़ता क्रम $\gamma < \beta < \alpha$ है।
रेडियोधर्मी विकिरणों की भेदन क्षमता का क्रम: $\gamma > \beta > \alpha$ होता है। अतः,भेदन क्षमता का बढ़ता क्रम $\alpha < \beta < \gamma$ है।

(A) प्रारंभिक नाभिक $_a^b X$ है।
$1$. पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन $(_{+1}^0 \beta)$: $_a^b X \rightarrow _{a-1}^b X_1 + _{+1}^0 \beta$.
$2$. दो $\alpha$-कणों $(_{2}^4 \alpha)$ का उत्सर्जन: $_{a-1}^b X_1 \rightarrow _{a-1-4}^{b-8} X_2 + 2(_{2}^4 \alpha) = _{a-5}^{b-8} X_2$.
$3$. दो $\beta$-कणों $(_{-1}^0 \beta)$ का उत्सर्जन: $_{a-5}^{b-8} X_2 \rightarrow _{a-5+2}^{b-8} X_3 + 2(_{-1}^0 \beta) = _{a-3}^{b-8} X_3$.
$4$. एक $\alpha$-कण $(_{2}^4 \alpha)$ का उत्सर्जन: $_{a-3}^{b-8} X_3 \rightarrow _{a-3-2}^{b-8-4} Y = _{a-5}^{b-12} Y$.
इसे $_d^c Y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = b - 12$ और $d = a - 5$ प्राप्त होता है।

(B) $x$ मोटाई वाली सामग्री से गुजरने के बाद विकिरण की तीव्रता का सूत्र: $I = I_0 e^{-kx}$ है,जहाँ $k$ अवशोषण गुणांक है।
दी गई जानकारी के अनुसार,जब $x_1 = 36 \, mm$ है,तो $I_1 = I_0/8$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I_0/8 = I_0 e^{-k(36)} \Rightarrow 1/8 = e^{-36k}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/8) = -36k \Rightarrow -\ln(8) = -36k \Rightarrow \ln(2^3) = 36k \Rightarrow 3 \ln(2) = 36k \Rightarrow k = \frac{3 \ln(2)}{36} = \frac{\ln(2)}{12}$।
अब,हमें वह मोटाई $x_2$ ज्ञात करनी है जब $I_2 = I_0/2$ हो।
सूत्र का उपयोग करने पर: $I_0/2 = I_0 e^{-kx_2} \Rightarrow 1/2 = e^{-kx_2}$।
लघुगणक लेने पर: $\ln(1/2) = -kx_2 \Rightarrow -\ln(2) = -kx_2 \Rightarrow \ln(2) = kx_2$।
$k$ का मान रखने पर: $\ln(2) = (\frac{\ln(2)}{12}) x_2$।
$x_2$ के लिए हल करने पर: $x_2 = 12 \, mm$।

(A) मान लीजिए कि उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n_{\alpha}$ है और $\beta$-कणों की संख्या $n_{\beta}$ है।
क्षय समीकरण है: $_{90}Th^{238} \rightarrow _{83}Bi^{222} + n_{\alpha}(_{2}He^{4}) + n_{\beta}(-_{1}e^{0})$.
द्रव्यमान संख्या की तुलना करने पर: $238 = 222 + 4n_{\alpha} \Rightarrow 4n_{\alpha} = 16 \Rightarrow n_{\alpha} = 4$.
परमाणु क्रमांक की तुलना करने पर: $90 = 83 + 2n_{\alpha} - n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 4$ रखने पर: $90 = 83 + 2(4) - n_{\beta} \Rightarrow 90 = 83 + 8 - n_{\beta} \Rightarrow 90 = 91 - n_{\beta} \Rightarrow n_{\beta} = 1$.
अतः,$4 \alpha$ कण और $1 \beta$ कण उत्सर्जित होते हैं।

(B) $rad$ (रेडिएशन एब्जॉर्ब्ड डोज़) आयनकारी विकिरण की अवशोषित खुराक की एक इकाई है।
इसे पदार्थ के प्रति किलोग्राम $0.01 \ J$ ऊर्जा के अवशोषण के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,यह विकिरण द्वारा लक्ष्य (target) द्वारा अवशोषित ऊर्जा को मापता है।

(B) माना $m_1 = 216$ संतति नाभिक की द्रव्यमान संख्या है और $m_2 = 4$ $\alpha$-कण की द्रव्यमान संख्या है।
माना $k_1$ और $k_2$ उनकी क्रमशः गतिज ऊर्जाएँ हैं।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$k_1 + k_2 = 5.5 \, MeV \dots (i)$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,संवेग के परिमाण समान होने चाहिए: $p_1 = p_2$.
चूंकि $p = \sqrt{2mk}$,इसलिए $\sqrt{2(216)k_1} = \sqrt{2(4)k_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$216 k_1 = 4 k_2$,जिससे $k_2 = 54 k_1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$k_1 + 54 k_1 = 5.5 \, MeV$।
$55 k_1 = 5.5 \, MeV$,इसलिए $k_1 = 0.1 \, MeV$।
अतः,$\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा $k_2 = 54 \times 0.1 = 5.4 \, MeV$ है।

(A) मान लीजिए कि उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n_{\alpha}$ है और $\beta$-कणों की संख्या $n_{\beta}$ है।
द्रव्यमान संख्या में परिवर्तन $A - A' = 4n_{\alpha}$ द्वारा दिया जाता है।
$228 - 212 = 4n_{\alpha} \implies 16 = 4n_{\alpha} \implies n_{\alpha} = 4$.
परमाणु क्रमांक में परिवर्तन $Z - Z' = 2n_{\alpha} - n_{\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
$90 - 83 = 2(4) - n_{\beta}$.
$7 = 8 - n_{\beta} \implies n_{\beta} = 1$.
अतः,$4$ $\alpha$-कण और $1$ $\beta$-कण उत्सर्जित होते हैं।

(B) $x$ दूरी तय करने के बाद विकिरण की तीव्रता $I' = I_0 e^{-\mu x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रारंभिक तीव्रता है और $\mu$ अवशोषण गुणांक है।
दिया गया है कि $x_1 = 36 \, mm$ के बाद,$I_1 = I_0 / 8$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $I_0 / 8 = I_0 e^{-\mu (36)} \implies 8 = e^{36\mu} \implies \ln(8) = 36\mu \implies 3 \ln(2) = 36\mu \implies \mu = \frac{\ln(2)}{12}$.
हमें वह दूरी $x_2$ ज्ञात करनी है जहाँ तीव्रता आधी हो जाए,अर्थात $I_2 = I_0 / 2$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $I_0 / 2 = I_0 e^{-\mu x_2} \implies 2 = e^{\mu x_2} \implies \ln(2) = \mu x_2$.
$\mu$ का मान रखने पर: $\ln(2) = \left( \frac{\ln(2)}{12} \right) x_2$.
$x_2$ के लिए हल करने पर: $x_2 = 12 \, mm$.

(C) बीटा माइनस क्षय $(\beta^{-})$ में, एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन में परिवर्तित हो जाता है और नाभिक से एक इलेक्ट्रॉन एक एंटीन्यूट्रिनो के साथ उत्सर्जित होता है।
यह प्रक्रिया समीकरण द्वारा दर्शाई जाती है: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}$
जहाँ $n$ न्यूट्रॉन है, $p$ प्रोटॉन है, $e^{-}$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन ($\beta$-कण) है, और $\bar{\nu}$ एंटीन्यूट्रिनो है।

(B) दी गई क्षय श्रृंखला है: ${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$।
$1$. पहले चरण में,${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY$: परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है जबकि द्रव्यमान संख्या समान रहती है। यह $\beta^-$ कण के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$2$. दूसरे चरण में,${}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है और द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है। यह $\alpha$ कण के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$3$. तीसरे चरण में,${}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: परमाणु क्रमांक या द्रव्यमान संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जो $\gamma$ किरण के उत्सर्जन (नाभिक का डी-एक्साइटेशन) को दर्शाता है।
अतः,उत्सर्जित कणों का क्रम $\beta, \alpha, \gamma$ है।

(C) माना जनक नाभिक ${}_Z^AX$ है।
जब एक $\alpha$ कण $({}_2^4He)$ उत्सर्जित होता है,तो परमाणु क्रमांक $Z$ में $2$ की कमी होती है और द्रव्यमान संख्या $A$ में $4$ की कमी होती है।
जब एक $\beta^-$ कण $({}_{-1}^0e)$ उत्सर्जित होता है,तो परमाणु क्रमांक $Z$ में $1$ की वृद्धि होती है और द्रव्यमान संख्या $A$ अपरिवर्तित रहती है।
दिया गया है कि उत्सर्जित $\beta$ कणों की संख्या $\alpha$ कणों की संख्या की दोगुनी है,माना $\alpha$ कणों की संख्या $n$ है। तो $\beta$ कणों की संख्या $2n$ होगी।
पुत्री नाभिक के परमाणु क्रमांक $Z'$ में परिवर्तन: $Z' = Z - 2(n) + 1(2n) = Z - 2n + 2n = Z$.
पुत्री नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A'$ में परिवर्तन: $A' = A - 4(n) + 0(2n) = A - 4n$.
चूंकि परमाणु क्रमांक $Z$ समान रहता है,इसलिए परिणामी पुत्री नाभिक जनक नाभिक का आइसोटोप (समस्थानिक) है।

(D) जब एक अल्फा कण $({}_2^4He)$ उत्सर्जित होता है,तो द्रव्यमान संख्या $4$ से कम हो जाती है और परमाणु क्रमांक $2$ से कम हो जाता है।
जब एक बीटा कण $(\beta^-)$ उत्सर्जित होता है,तो परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ जाता है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
$_n^mX$ से शुरू करते हुए:
$1$. एक $\alpha$ कण के उत्सर्जन के बाद: $_n^mX \rightarrow {}_{n-2}^{m-4}Y + {}_2^4He$.
$2$. दो $\beta$ कणों के उत्सर्जन के बाद: ${}_{n-2}^{m-4}Y \rightarrow {}_{n-2+2}^{m-4}Z + 2_{-1}^0e = {}_n^{m-4}Z$.
अतः,परिणामी नाभिक $_n^{m-4}Z$ है।

(A) प्रारंभिक नाभिक $_Z{X^A}$ है।
जब यह $9 \alpha$-कणों का उत्सर्जन करता है,तो परमाणु क्रमांक $Z$ में $9 \times 2 = 18$ की कमी होती है और द्रव्यमान संख्या $A$ में $9 \times 4 = 36$ की कमी होती है। नाभिक $_{Z-18}{X^{A-36}}$ बन जाता है।
जब यह नाभिक $5 \beta$-कणों का उत्सर्जन करता है,तो परमाणु क्रमांक $Z$ में $5 \times 1 = 5$ की वृद्धि होती है,जबकि द्रव्यमान संख्या $A$ अपरिवर्तित रहती है। अंतिम नाभिक $_{Z-18+5}{X^{A-36}} = _{Z-13}{X^{A-36}}$ है।
अंतिम नाभिक में,प्रोटॉन की संख्या $P = Z - 13$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N = (A - 36) - (Z - 13) = A - Z - 23$ है।
अतः,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन का अनुपात $\frac{P}{N} = \frac{Z - 13}{A - Z - 23}$ है।

(A) $U^{238}$ से शुरू होने वाली रेडियोधर्मी क्षय श्रृंखला को यूरेनियम श्रृंखला या $(4n+2)$ श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।
इस श्रृंखला में,जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $238$ है,जिसे $4n+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $n=59$ है।
$8$ $\alpha$-क्षय और $6$ $\beta$-क्षय के अनुक्रम के माध्यम से,नाभिक एक स्थिर अवस्था तक पहुँच जाता है।
इस क्षय श्रृंखला का अंतिम स्थिर उत्पाद $Pb^{206}$ है।

(B) माना कि उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $x$ है और उत्सर्जित $\beta$-कणों की संख्या $y$ है।
द्रव्यमान संख्या में परिवर्तन केवल $\alpha$-कणों के कारण होता है,क्योंकि प्रत्येक $\alpha$-कण द्रव्यमान संख्या को $4$ से कम करता है।
$4x = 238 - 206 = 32$
$x = 8$
परमाणु क्रमांक (आवेश) में परिवर्तन $2x - y = 92 - 82$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2x$ $\alpha$-क्षय के कारण कमी है और $y$ $\beta$-क्षय के कारण वृद्धि है।
$2(8) - y = 10$
$16 - y = 10$
$y = 6$
अतः,$\alpha$-कणों की संख्या $8$ है और $\beta$-कणों की संख्या $6$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन (बीटा क्षय,$\beta^-$) के उत्सर्जन से जुड़े रेडियोधर्मी क्षय में,नाभिक में एक न्यूट्रॉन एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन (और एक एंटीन्यूट्रिनो) में परिवर्तित हो जाता है।
इस प्रक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जाता है: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$।
द्रव्यमान संख्या $A$ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की कुल संख्या है।
चूंकि एक न्यूट्रॉन खो जाता है और एक प्रोटॉन प्राप्त होता है,इसलिए न्यूक्लियॉन की कुल संख्या स्थिर रहती है।
$\gamma$ विकिरण का उत्सर्जन एक उत्तेजित नाभिक से ऊर्जा की रिहाई को दर्शाता है और यह द्रव्यमान संख्या या परमाणु संख्या को नहीं बदलता है।
इसलिए,संतति नाभिक की द्रव्यमान संख्या $(m_y)$ जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $(m_x)$ के बराबर होती है।
अतः,$m_y = m_x$।

(C) माना कि उत्सर्जित $\alpha$ कणों की संख्या $x$ है और उत्सर्जित $\beta^-$ कणों की संख्या $y$ है।
क्षय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${}_{88}^{226}Ra \rightarrow {}_{82}^{206}Pb + x({}_{2}^{4}\alpha) + y({}_{-1}^{0}\beta^-)$.
द्रव्यमान संख्या को संतुलित करने पर:
$226 = 206 + 4x + 0$
$4x = 226 - 206$
$4x = 20$
$x = 5$.
परमाणु क्रमांक को संतुलित करने पर:
$88 = 82 + 2x - y$
$88 = 82 + 2(5) - y$
$88 = 82 + 10 - y$
$88 = 92 - y$
$y = 92 - 88$
$y = 4$.
अतः,$5$ $\alpha$ कण और $4$ $\beta^-$ कण उत्सर्जित होते हैं।

(A) एक रेडियोधर्मी श्रृंखला रेडियोधर्मी क्षय का एक क्रम है जिसमें एक जनक नाभिक एक पुत्री नाभिक में क्षयित होता है,जो तब तक क्षयित होता रहता है जब तक कि एक स्थिर नाभिक प्राप्त न हो जाए।
परिभाषा के अनुसार,एक रेडियोधर्मी श्रृंखला का अंतिम उत्पाद एक स्थिर नाभिक होता है।
एक स्थिर नाभिक रेडियोधर्मी क्षय से नहीं गुजरता है।
क्षय नियतांक $\lambda$ को प्रति इकाई समय में क्षय होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि एक स्थिर नाभिक क्षय नहीं होता है,इसलिए इसका क्षय नियतांक $0$ होता है।

(D) $\alpha$ क्षय में,नाभिक एक $\alpha$ कण $(^4_2He)$ उत्सर्जित करता है,इसलिए परमाणु क्रमांक $Z$ में $2$ की कमी होती है और द्रव्यमान संख्या $A$ में $4$ की कमी होती है।
$\beta^+$ क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन) में,एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए परमाणु क्रमांक $Z$ में $1$ की कमी होती है जबकि द्रव्यमान संख्या $A$ अपरिवर्तित रहती है।
$\gamma$ क्षय में,नाभिक एक फोटॉन उत्सर्जित करके उत्तेजित अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है,इसलिए न तो $Z$ और न ही $A$ में कोई परिवर्तन होता है।
चूंकि दिए गए सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $\beta$-क्षय में,मुक्त होने वाली ऊर्जा $\beta$-कण और एंटीन्यूट्रिनो (या न्यूट्रिनो) के बीच साझा की जाती है। चूंकि ऊर्जा निरंतर रूप से साझा की जाती है,इसलिए $\beta$-कण शून्य से लेकर अधिकतम मान $E_0$ तक की गतिज ऊर्जा की एक निरंतर सीमा के साथ उत्सर्जित होते हैं। $N(E)$ बनाम $E$ का वितरण वक्र $E=0$ पर शून्य से शुरू होता है,एक मध्यवर्ती ऊर्जा पर शिखर तक पहुँचता है,और अधिकतम ऊर्जा $E_0$ पर शून्य हो जाता है। यह विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) $rad$ (रेडिएशन एब्जॉर्ब्ड डोज़) अवशोषित विकिरण डोज़ की एक इकाई है।
इसे पदार्थ के प्रति ग्राम (आमतौर पर ऊतक) $100 \ erg$ ऊर्जा के अवशोषण के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,यह विकिरण द्वारा लक्ष्य सामग्री को दी गई ऊर्जा को मापता है।
एक $rad$,$0.01 \ J/kg$ या $0.01 \ Gray$ $(Gy)$ के बराबर होता है।

(A) गामा $(\gamma)$ उत्सर्जन तब होता है जब उत्तेजित अवस्था में कोई नाभिक निम्न ऊर्जा अवस्था या मूल अवस्था में संक्रमण करता है। इस प्रक्रिया के दौरान,नाभिक एक उच्च-ऊर्जा फोटॉन उत्सर्जित करता है जिसे $\gamma$-किरण कहा जाता है। चूंकि $\gamma$-किरणों का आवेश और विराम द्रव्यमान शून्य होता है,इसलिए यह उत्सर्जन नाभिक की परमाणु संख्या $(Z)$ या द्रव्यमान संख्या $(A)$ को नहीं बदलता है। अतः,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या अपरिवर्तित रहती है।

(B) प्रारंभिक नाभिक को $_Z^AX$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$\alpha$-कण $_2^4He$ है और पॉज़िट्रॉन $_1^0e^+$ है।
$3$ $\alpha$-कणों और $2$ पॉज़िट्रॉन के उत्सर्जन के बाद, अंतिम नाभिक $_Z^AY$ बनता है।
नई द्रव्यमान संख्या $A' = A - (3 \times 4) = A - 12$ है।
नया परमाणु क्रमांक $Z' = Z - (3 \times 2) + (2 \times 1) = Z - 6 + 2 = Z - 4$ है।
अंतिम नाभिक में प्रोटॉन की संख्या $P = Z' = Z - 4$ है।
अंतिम नाभिक में न्यूट्रॉन की संख्या $N = A' - Z' = (A - 12) - (Z - 4) = A - Z - 8$ है।
न्यूट्रॉन और प्रोटॉन का अनुपात $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 8}{Z - 4}$ है।

(B) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,उत्सर्जित फोटॉन का संवेग प्रतिक्षिप्त होते नाभिक के संवेग के बराबर होना चाहिए।
फोटॉन का संवेग $p = \frac{hv}{c}$ है।
मान लीजिए नाभिक का प्रतिक्षेप वेग $V$ है। तब,नाभिक का संवेग $p = MV$ होगा।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{hv}{c} = MV$,जिससे $V = \frac{hv}{Mc}$ प्राप्त होता है।
नाभिक की प्रतिक्षेप गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}MV^2$ है।
$V$ का मान रखने पर: $K = \frac{1}{2}M \left( \frac{hv}{Mc} \right)^2 = \frac{1}{2}M \frac{h^2 v^2}{M^2 c^2} = \frac{h^2 v^2}{2Mc^2}$।

(A) $\beta$-क्षय में,मुक्त हुई ऊर्जा $\beta$-कण (इलेक्ट्रॉन या पॉज़िट्रॉन) और एक एंटीन्यूट्रिनो (या न्यूट्रिनो) के बीच साझा की जाती है।
चूंकि ऊर्जा दो कणों के बीच साझा की जाती है,इसलिए $\beta$-कण $0$ से अधिकतम मान $E_0$ तक ऊर्जा की एक निरंतर सीमा के साथ उत्सर्जित होते हैं।
किसी विशेष ऊर्जा $E$ के साथ उत्सर्जित $\beta$-कणों की संख्या $N(E)$ एक विशिष्ट वितरण वक्र का अनुसरण करती है जो $E=0$ के लिए $N(E)=0$ से शुरू होता है,एक शिखर तक बढ़ता है,और फिर अधिकतम ऊर्जा $E_0$ पर शून्य हो जाता है।
यह निरंतर स्पेक्ट्रम $\beta$-क्षय की एक मूलभूत विशेषता है,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर $A_1$ और $A_2$ न्यूक्लाइड की संख्या $N_1$ और $N_2$ है।
दिया गया है $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1$,जिसका समाकलन करने पर $N_1(t) = N_{10} e^{-\lambda_1 t}$ प्राप्त होता है।
$N_2$ के परिवर्तन की दर $\frac{dN_2}{dt} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2$ है।
$N_1$ का मान रखने पर,$\frac{dN_2}{dt} + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t}$ प्राप्त होता है।
इस रैखिक अवकल समीकरण को प्रारंभिक शर्त $N_2(0) = 0$ के साथ हल करने पर,$N_2(t) = \frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t})$ प्राप्त होता है।
$A_2$ की सक्रियता $R_2 = \lambda_2 N_2$ है। $R_2$ के अधिकतम होने के लिए $\frac{dR_2}{dt} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{dN_2}{dt} = 0$।
$\lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2$ रखने पर,$\lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t} = \lambda_2 \left[ \frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}) \right]$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$e^{-\lambda_1 t} = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t})$ मिलता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ प्राप्त होता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$t = \frac{\ln(\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}$ प्राप्त होता है।

(C) $\beta$ क्षय अभिक्रिया का $Q$-मान जनक नाभिक और उत्पादों के बीच द्रव्यमान के अंतर द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ${}_1^3H$ के परमाणु द्रव्यमान में एक इलेक्ट्रॉन शामिल है और ${}_2^3He$ के परमाणु द्रव्यमान में दो इलेक्ट्रॉन शामिल हैं,इसलिए हमें क्षय में उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन को ध्यान में रखना होगा।
$Q$-मान की गणना इस प्रकार की जाती है:
$Q = [M({}_1^3H) - M({}_2^3He)] \times c^2$
नोट: उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान तटस्थ परमाणुओं के परमाणु द्रव्यमान के अंतर में पहले से ही शामिल है।
$Q = (3.016050 \, u - 3.016030 \, u) \times 931.5 \, MeV/u$
$Q = 0.000020 \, u \times 931.5 \, MeV/u$
$Q = 0.01863 \, MeV$
इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा अभिक्रिया के $Q$-मान के लगभग बराबर होती है।
अतः,अधिकतम ऊर्जा $0.0186 \, MeV$ है।

(C) प्रत्येक प्रक्रिया के लिए क्षय की दर $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N$,$\frac{dN_2}{dt} = -\lambda_2 N$,और $\frac{dN_3}{dt} = -\lambda_3 N$ द्वारा दी जाती है।
कुल क्षय दर व्यक्तिगत दरों का योग है: $\frac{dN}{dt} = \frac{dN_1}{dt} + \frac{dN_2}{dt} + \frac{dN_3}{dt}$।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dN}{dt} = -\lambda_1 N - \lambda_2 N - \lambda_3 N = -(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) N$।
इसे सामान्य क्षय समीकरण $\frac{dN}{dt} = -\lambda_{eff} N$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$ है।

(C) प्रारंभिक नाभिक ${}_{84}X^{202}$ है।
$1$. $\alpha$-क्षय के बाद: परमाणु संख्या $2$ से घटती है और द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है।
${}_{84}X^{202} \rightarrow {}_{82}Y^{198} + {}_{2}He^{4}$.
$2$. $\beta$-क्षय के बाद: परमाणु संख्या $1$ से बढ़ती है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
${}_{82}Y^{198} \rightarrow {}_{83}Z^{198} + {}_{-1}e^{0}$.
$3$. $\gamma$-उत्सर्जन के बाद: परमाणु संख्या और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
${}_{83}Z^{198} \rightarrow {}_{83}Z^{198} + \gamma$.
अतः,अंतिम रूप से बना नाभिक ${}_{83}Z^{198}$ है,जिसकी परमाणु संख्या $83$ है।

(A) प्रारंभिक नाभिक $A$ की द्रव्यमान संख्या $M = 180$ और परमाणु क्रमांक $Z = 72$ है।
$1$. $\alpha$-कण $(_{2}^{4}He)$ के उत्सर्जन से द्रव्यमान संख्या में $4$ की कमी और परमाणु क्रमांक में $2$ की कमी होती है।
$2$. $\beta$-कण $(_{-1}^{0}e)$ के उत्सर्जन से द्रव्यमान संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है,लेकिन परमाणु क्रमांक में $1$ की वृद्धि होती है।
$3$. $\gamma$-किरण के उत्सर्जन से द्रव्यमान संख्या या परमाणु क्रमांक में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
क्षय का क्रम:
$A(180, 72) \xrightarrow{\alpha} A_1(176, 70) \xrightarrow{\beta} A_2(176, 71) \xrightarrow{\alpha} A_3(172, 69) \xrightarrow{\gamma} A_4(172, 69)$.
अतः,$A_4$ के लिए द्रव्यमान संख्या $172$ और परमाणु क्रमांक $69$ है।

(C) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया है: ${}_3^7Li + {}_1^1p \to {}_4^8Be + x$।
द्रव्यमान संख्या के संरक्षण के नियम के अनुसार:
$7 + 1 = 8 + A_x \Rightarrow A_x = 0$।
परमाणु क्रमांक (आवेश) के संरक्षण के नियम के अनुसार:
$3 + 1 = 4 + Z_x \Rightarrow Z_x = 0$।
वह कण जिसकी द्रव्यमान संख्या $0$ और परमाणु क्रमांक $0$ है,वह गामा फोटॉन $(\gamma)$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n_{\alpha}$ है और $\beta^-$-कणों की संख्या $n_{\beta}$ है।
$\alpha$-क्षय में,द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है और परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है। $\beta^-$-क्षय में,द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है और परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है।
द्रव्यमान संख्या में परिवर्तन $238 - 206 = 32$ है। चूँकि केवल $\alpha$-क्षय द्रव्यमान संख्या को प्रभावित करता है,इसलिए $4n_{\alpha} = 32$,जिससे $n_{\alpha} = 8$ प्राप्त होता है।
परमाणु क्रमांक में परिवर्तन $92 - 82 = 10$ है। परमाणु क्रमांक में कुल परिवर्तन $2n_{\alpha} - n_{\beta} = 10$ द्वारा दिया जाता है।
$n_{\alpha} = 8$ रखने पर,हमें $2(8) - n_{\beta} = 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $16 - n_{\beta} = 10$,इसलिए $n_{\beta} = 6$ है।
अतः,$8$ $\alpha$-कण और $6$ $\beta^-$-कण उत्सर्जित होते हैं।

(B) $\alpha$-क्षय में,मुक्त ऊर्जा ($Q$-मान) संवेग संरक्षण के लिए $\alpha$-कण और संतति नाभिक के बीच विभाजित होती है।
$\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा $(K_{\alpha})$ का सूत्र है: $K_{\alpha} = \left( \frac{A - 4}{A} \right) Q$,जहाँ $A$ जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या है।
दिया गया है: $K_{\alpha} = 48 \, MeV$ और $Q = 50 \, MeV$.
मान रखने पर: $48 = \left( \frac{A - 4}{A} \right) \times 50$.
दोनों पक्षों को $50$ से विभाजित करने पर: $\frac{48}{50} = \frac{A - 4}{A}$.
सरल करने पर: $0.96 = 1 - \frac{4}{A}$.
$A$ के लिए हल करने पर: $\frac{4}{A} = 1 - 0.96 = 0.04$.
$A = \frac{4}{0.04} = 100$.
अतः,जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $100$ है।

(B) माना उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n$ है और $\beta$-कणों की संख्या $m$ है।
द्रव्यमान संख्या में परिवर्तन $232 - 208 = 24$ है।
चूंकि प्रत्येक $\alpha$-कण द्रव्यमान संख्या को $4$ से कम करता है,इसलिए उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $n = \frac{24}{4} = 6$ है।
परमाणु क्रमांक में परिवर्तन $90 - 82 = 8$ है।
प्रत्येक $\alpha$-कण परमाणु क्रमांक को $2$ से कम करता है,और प्रत्येक $\beta$-कण इसे $1$ से बढ़ाता है।
इसलिए,$90 - 2n + m = 82$ है।
समीकरण में $n = 6$ रखने पर: $90 - 2(6) + m = 82$।
$90 - 12 + m = 82 \Rightarrow 78 + m = 82$।
$m = 82 - 78 = 4$।
अतः,नाभिक ने $6 \,\alpha$ और $4 \,\beta$ कणों का उत्सर्जन किया है।

(C) विकिरण की भेदन क्षमता उसकी ऊर्जा और पदार्थ के साथ परस्पर क्रिया पर निर्भर करती है।
$\alpha$-कण भारी और आवेशित होते हैं,जिसके कारण उनकी आयनीकरण क्षमता अधिक होती है लेकिन भेदन क्षमता कम होती है।
$\beta$-कणों की भेदन क्षमता $\alpha$-कणों की तुलना में अधिक होती है।
$\gamma$-किरणें उच्च ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिनमें कोई आवेश नहीं होता और द्रव्यमान बहुत कम होता है,जिससे वे अधिकांश पदार्थों को पार कर सकती हैं।
$\gamma$-किरणों की भेदन क्षमता $\beta$-कणों की तुलना में लगभग $1000$ गुना अधिक होती है,और $\beta$-कणों की भेदन क्षमता $\alpha$-कणों की तुलना में लगभग $100$ गुना अधिक होती है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से $\gamma$-किरणों की भेदन क्षमता सबसे अधिक है।

(C) प्रारंभिक नाभिक ${}_{90}^{232}Th$ है।
प्रत्येक $\alpha$-कण के उत्सर्जन से द्रव्यमान संख्या $A$ में $4$ की कमी होती है और परमाणु क्रमांक $Z$ में $2$ की कमी होती है।
प्रत्येक $\beta$-कण के उत्सर्जन से द्रव्यमान संख्या $A$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है और परमाणु क्रमांक $Z$ में $1$ की वृद्धि होती है।
$6$ $\alpha$-क्षय के बाद:
$A' = 232 - (6 \times 4) = 232 - 24 = 208$
$Z' = 90 - (6 \times 2) = 90 - 12 = 78$
$4$ $\beta$-क्षय के बाद:
$A = A' = 208$
$Z = Z' + (4 \times 1) = 78 + 4 = 82$
अतः,अंतिम नाभिक ${}_{82}^{208}X$ है,जहाँ $A = 208$ और $Z = 82$ है।