एक रेडियो न्यूक्लाइड A_1 जिसका क्षय नियतांक l | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर $A_1$ और $A_2$ न्यूक्लाइड की संख्या $N_1$ और $N_2$ है। दिया गया है $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1$,जिसका समाकलन करने पर

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$\frac{\ln(\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}$

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(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर $A_1$ और $A_2$ न्यूक्लाइड की संख्या $N_1$ और $N_2$ है। दिया गया है $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1$,जिसका समाकलन करने पर $N_1(t) = N_{10} e^{-\lambda_1 t}$ प्राप्त होता है। $N_2$ के परिवर्तन की दर $\frac{dN_2}{dt} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2$ है। $N_1$ का मान रखने पर,$\frac{dN_2}{dt} + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t}$ प्राप्त होता है। इस रैखिक अवकल समीकरण को प्रारंभिक शर्त $N_2(0) = 0$ के साथ हल करने पर,$N_2(t) = \frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t})$ प्राप्त होता है। $A_2$ की सक्रियता $R_2 = \lambda_2 N_2$ है। $R_2$ के अधिकतम होने के लिए $\frac{dR_2}{dt} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{dN_2}{dt} = 0$। $\lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2$ रखने पर,$\lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t} = \lambda_2 \left[ \frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}) \right]$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$e^{-\lambda_1 t} = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t})$ मिलता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ प्राप्त होता है। दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$t = \frac{\ln(\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}$ प्राप्त होता है।

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