Bar Magnet and Magnetic Dipole and Magnetic Moment Questions in Gujarati

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા ચુંબકના દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ હોય છે.
ગોઠવણી $(1)$ માં,બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2m^2} = m\sqrt{2} \approx 1.414m$ છે.
ગોઠવણી $(2)$ માં,ચુંબકીય મોમેન્ટ વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી ખૂણો $180^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = m - m = 0$ છે.
ગોઠવણી $(3)$ માં,બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 30^{\circ}} = \sqrt{2m^2 + 2m^2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = m\sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx m\sqrt{3.732} \approx 1.932m$ છે.
ગોઠવણી $(4)$ માં,બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2m^2 + 2m^2(\frac{1}{2})} = m\sqrt{3} \approx 1.732m$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ગોઠવણી $(3)$ માં સૌથી વધુ ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.

(C) મધ્યબિંદુ $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ અને દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
બિંદુ $P$ એ ધ્રુવોની બરાબર વચ્ચે હોવાથી,દરેક ધ્રુવથી $P$ સુધીનું અંતર $r = \frac{0.1\, m}{2} = 0.05\, m$ થાય.
$m$ ધ્રુવ પ્રબળતા ધરાવતા એક ધ્રુવને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\, T\cdot m/A$ છે.
તેથી,$N$-ધ્રુવને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_N = 10^{-7} \times \frac{0.01}{(0.05)^2} = 10^{-7} \times \frac{0.01}{0.0025} = 4 \times 10^{-7}\, T$ મળે.
તે જ રીતે,$S$-ધ્રુવને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_S = 10^{-7} \times \frac{0.01}{(0.05)^2} = 4 \times 10^{-7}\, T$ મળે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ($N$ થી $S$ તરફ) હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_N + B_S = 4 \times 10^{-7} + 4 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-7}\, T$ થાય.

(B) દરેક ગજિયા ચુંબક ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે,જેની ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ થી ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરફ હોય છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ગોઠવણીમાં,ત્રણ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશો $\vec{M}_1, \vec{M}_2, \vec{M}_3$ ને ત્રિકોણની બાજુઓ પર એકબીજા સાથે જોડાયેલા રાખવામાં આવ્યા છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_{net} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3$ થાય.
જો સદિશો બંધ ગાળો (સમબાજુ ત્રિકોણ) બનાવે,તો તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. જો કે,આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગોઠવણી મુજબ,ચુંબકો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે જેથી એકનું ઉત્તર ધ્રુવ બીજાના દક્ષિણ ધ્રુવની નજીક રહે. ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ગોઠવણીને કારણે પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $2M$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્ટીલના તારની લંબાઈ $l$ છે. પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot l$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
તેથી,ધ્રુવ પ્રબળતા $m = \frac{M}{l}$ થાય.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની લંબાઈ અર્ધવર્તુળના પરિઘ જેટલી થાય છે: $\pi r = l$,જે આપણને $r = \frac{l}{\pi}$ આપે છે.
બે ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) $d = 2r = \frac{2l}{\pi}$ છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને ધ્રુવો વચ્ચેના અંતરનો ગુણાકાર છે:
$M' = m \cdot (2r) = \left(\frac{M}{l}\right) \cdot \left(\frac{2l}{\pi}\right) = \frac{2M}{\pi}$.

(D) ધારો કે $q_{m}$ એ ચુંબકીય સ્ટીલના તારની ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = q_{m} L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $L$ એ અર્ધવર્તુળનો પરિઘ બને છે,તેથી $\pi r = L$,જેનો અર્થ છે કે $r = L/\pi$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને બે ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે.
$M^{\prime} = q_{m} \times (2r) = q_{m} \times (2L/\pi)$.
$M = q_{m} L$ મૂકતા,આપણને $M^{\prime} = 2M/\pi$ મળે છે.

(D) $1$. લોખંડના સળિયાનું કદ ગણો: $V = \pi r^2 L = \pi (0.5 \ cm)^2 \times 10 \ cm = 2.5 \pi \ cm^3 \approx 7.85 \ cm^3$.
$2$. સળિયાનું દળ ગણો: $m = \text{ઘનતા} \times V = 7.87 \ g/cm^3 \times 7.85 \ cm^3 \approx 61.8 \ g$.
$3$. પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ ગણો: $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{61.8}{55.87} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 6.66 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ.
$4$. કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ ગણો: $M_{total} = N \times \mu_{atom} = (6.66 \times 10^{23}) \times (1.8 \times 10^{-23} \ A-m^2) \approx 12 \ A-m^2$.

(C) $1$. મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $(I)$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જ્યારે ચુંબકને કાપવામાં આવે છે ત્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કદ બંને અડધા થઈ જાય છે,તેથી તેમનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે. આમ,$I$ બદલાતું નથી.
$2$. પોલ સ્ટ્રેન્થ $(m)$ એ ચુંબકના આડછેદના ક્ષેત્રફળ સાથે સંબંધિત ગુણધર્મ છે. જો ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ કાપવામાં આવે,તો પોલ સ્ટ્રેન્થ સમાન રહે છે. જો લંબાઈને સમાંતર કાપવામાં આવે,તો પોલ સ્ટ્રેન્થ અડધી થઈ જાય છે. તેથી,તે બદલાઈ શકે છે.
$3$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M = m \times 2l)$ એ પોલ સ્ટ્રેન્થ અને લંબાઈ બંને પર આધાર રાખે છે. ચુંબકને કાપવાથી કાં તો લંબાઈ અથવા પોલ સ્ટ્રેન્થ (અથવા બંને) બદલાય છે,તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ હંમેશા બદલાય છે.
$4$. આમ,પોલ સ્ટ્રેન્થ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ બંને બદલાઈ શકે છે.

(B) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L = 3.14 \, A-m^2$ છે.
જ્યારે તારને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની લંબાઈ અર્ધવર્તુળના પરિઘ જેટલી થાય છે: $L = \pi R$,તેથી $R = L / \pi$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને ધ્રુવો વચ્ચેના અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે.
ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર $2R = 2(L / \pi) = 2L / \pi$ છે.
તેથી,$M' = m \times (2L / \pi) = (m \times L) \times (2 / \pi)$.
$M = 3.14$ અને $\pi \approx 3.14$ મૂકતા:
$M' = 3.14 \times (2 / 3.14) = 2 \, A-m^2$.

(C) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે. મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m L$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
તારને $R$ ત્રિજ્યાના એક ચતુર્થાંશ વર્તુળના ચાપમાં વાળવામાં આવે છે. આ ચાપની લંબાઈ $L = \frac{1}{4}(2 \pi R) = \frac{\pi R}{2}$ થાય.
તેથી,$m = \frac{M}{L} = \frac{M}{\pi R / 2} = \frac{2M}{\pi R}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને ચાપના બે છેડાઓ વચ્ચેના સીધા અંતર (જીવાની લંબાઈ) નો ગુણાકાર છે.
છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર $L^{\prime} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$ છે.
તેથી,$M^{\prime} = m L^{\prime} = \left( \frac{2M}{\pi R} \right) (\sqrt{2} R) = \frac{2 \sqrt{2} M}{\pi}$.

(D) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને તેની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot L$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચાપમાં વાળવામાં આવે છે જે કેન્દ્ર પર $\theta = 60^o = \pi/3$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $L = r\theta$ થાય છે.
તેથી,$r = L / \theta = L / (\pi/3) = 3L / \pi$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને ચાપના બે છેડાઓ વચ્ચેના સીધા અંતર (જીવાની લંબાઈ) નો ગુણાકાર છે.
જીવાની લંબાઈ $d = 2r \sin(\theta/2)$.
$\theta = 60^o$ મૂકતા,આપણને $d = 2r \sin(30^o) = 2r(1/2) = r$ મળે છે.
$r = 3L / \pi$ મૂકતા,આપણને $d = 3L / \pi$ મળે છે.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \cdot d = m \cdot (3L / \pi) = (3 / \pi) \cdot (mL) = 3M / \pi$.

(B) પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $L$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે,તેથી $L = \pi R$,જ્યાં $R$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$R = L / \pi$.
અર્ધવર્તુળની અસરકારક લંબાઈ (બે ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર) એ તેનો વ્યાસ છે,જે $2R$ છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{\text{new}} = m \times (2R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = L / \pi$ મૂકતા,આપણને $M_{\text{new}} = m \times 2 \times (L / \pi) = (2 / \pi) \times (m \times L)$ મળે છે.
કારણ કે $M = m \times L$,તેથી નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{\text{new}} = 2M / \pi$ થશે.

(D) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે. મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot L$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળના ચાપમાં વાળવામાં આવે છે જે કેન્દ્ર પર $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $L = r\theta$ થાય.
આમ,$r = \frac{L}{\theta} = \frac{L}{\pi/3} = \frac{3L}{\pi}$.
ચાપના બે છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર (જીવાની લંબાઈ) $d = 2r \sin(\frac{\theta}{2})$ છે.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $d = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r \cdot \frac{1}{2} = r$ મળે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = m \cdot d = m \cdot r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = \frac{3L}{\pi}$ મૂકતા,આપણને $M' = m \cdot \frac{3L}{\pi} = \frac{3}{\pi} (m \cdot L)$ મળે છે.
કારણ કે $M = m \cdot L$,તેથી નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \frac{3M}{\pi}$ થાય.

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ તેની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને તેની ચુંબકીય લંબાઈ $2l$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $M = m \times 2l$ થાય.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ સમાન રહે છે,પરંતુ દરેક ભાગની લંબાઈ અડધી થઈ જાય છે,એટલે કે $l' = l$ થાય.
તેથી,દરેક ભાગની નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = m \times l = (m \times 2l) / 2 = M / 2$ થાય.
આમ,$M' = 0.5 M$ થાય.

(C) સીધા તારની પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \ell$ છે,જ્યાં $m$ એ તારની ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને $\frac{\ell}{3}$ અને $\frac{2\ell}{3}$ લંબાઈના બે ભાગો સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે $L$-આકારમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime} = m \ell^{\prime}$ થાય છે,જ્યાં $\ell^{\prime}$ એ બે ધ્રુવો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર છે.
અસરકારક લંબાઈ $\ell^{\prime}$ એ બે ભાગો દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે:
$\ell^{\prime} = \sqrt{\left(\frac{\ell}{3}\right)^{2} + \left(\frac{2\ell}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}}{9} + \frac{4\ell^{2}}{9}} = \sqrt{\frac{5\ell^{2}}{9}} = \frac{\sqrt{5}\ell}{3}$.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime} = m \ell^{\prime} = m \left(\frac{\sqrt{5}\ell}{3}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3} (m \ell) = \frac{\sqrt{5} M}{3}$ થાય.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. સીધા તારની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot L$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને $\theta = 90^o = \frac{\pi}{2}$ રેડિયનના ખૂણાવાળી ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $L = R\theta = R(\frac{\pi}{2})$ થાય,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{2L}{\pi}$ મળે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \cdot d$ છે,જ્યાં $d$ એ ચાપના બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર (જીવાની લંબાઈ) છે.
જીવાની લંબાઈ $d = 2R \sin(\frac{\theta}{2}) = 2R \sin(45^o) = 2R \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$ થાય.
$R = \frac{2L}{\pi}$ કિંમત મૂકતા,$d = \frac{2L}{\pi} \cdot \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}L}{\pi}$ મળે.
આમ,$M' = m \cdot \frac{2\sqrt{2}L}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} (mL) = \frac{2\sqrt{2}M}{\pi}$ થાય.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્રની બળરેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર અંત પામે છે,જેનો અર્થ છે કે તે બંધ ગાળો બનાવતી નથી.
તેની સામે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની બળરેખાઓ હંમેશા સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે,કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(B) ઊભા ગજિયા ચુંબકને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ હોય છે કારણ કે $P$ આ ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ ની નજીક છે. ધારો કે આ $B_1$ છે.
આડા ગજિયા ચુંબકને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણી તરફ હોય છે કારણ કે $P$ આ ચુંબકના દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ ની નજીક છે (ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે). ધારો કે આ $B_2$ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ $B_1$ અને $B_2$ નો સદિશ સરવાળો છે. $B_1$ ઉપરની તરફ અને $B_2$ જમણી તરફ હોવાથી,પરિણામી સદિશ $B_{net}$ ઉપર-જમણી દિશામાં નિર્દેશ કરશે.
તેથી,સાચી દિશા ઉપર-જમણી તરફના ત્રાંસા તીર દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના ચાપમાં વાળવામાં આવે છે જે કેન્દ્ર પર $\theta = 60^{\circ} = \pi/3$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $L = r\theta = r(\pi/3)$ થાય.
તેથી,$r = 3L/\pi$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને ચાપના બે છેડાઓ વચ્ચેના સીધા અંતર (જીવાની લંબાઈ) નો ગુણાકાર છે.
જીવાની લંબાઈ $d = 2r \sin(\theta/2)$.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,$d = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r(1/2) = r$.
$r = 3L/\pi$ મૂકતા,$d = 3L/\pi$.
તેથી,$M' = m \times d = m \times (3L/\pi) = (3/\pi) \times (mL) = 3M/\pi$.

(C) બે ચુંબકો,જે દરેકની ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ છે,તેમની વચ્ચે $\theta$ ખૂણે રાખવામાં આવે ત્યારે તેમની ચોખ્ખી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2M^2 \cos \theta} = \sqrt{2M^2(1 + \cos \theta)} = \sqrt{2M^2(2 \cos^2(\theta/2))} = 2M \cos(\theta/2)$.
ગોઠવણીઓનું વિશ્લેષણ:
$(a)$ ચુંબકો $\theta = 90^{\circ}$ પર છે. $M_{net} = 2M \cos(45^{\circ}) = 2M(1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}M \approx 1.414M$.
$(b)$ ચુંબકો પ્રતિ-સમાંતર છે,$\theta = 180^{\circ}$. $M_{net} = 2M \cos(90^{\circ}) = 0$.
$(c)$ ચુંબકો $\theta = 30^{\circ}$ પર છે. $M_{net} = 2M \cos(15^{\circ}) \approx 2M(0.966) = 1.932M$.
$(d)$ ચુંબકો $\theta = 60^{\circ}$ પર છે. $M_{net} = 2M \cos(30^{\circ}) = 2M(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}M \approx 1.732M$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$(c)$ માં આપેલી ગોઠવણીમાં સૌથી વધુ ચોખ્ખી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ લૂપ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,તે ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ માંથી બહાર નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ માં પ્રવેશ કરે છે. ચુંબકની અંદર,તે દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ થી ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરફ જાય છે. આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચુંબકીય પ્રેરણની રેખાઓ સતત માર્ગ બનાવે છે. આપેલી આકૃતિઓને જોતા,આકૃતિ $(1)$ યોગ્ય રીતે આ રેખાઓને ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળતી,દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશતી અને ચુંબકની અંદર $S$ થી $N$ તરફ જતી દર્શાવે છે.

(A) ચુંબકીય બળરેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
જો બે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે એક જ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બે અલગ-અલગ દિશાઓ છે.
અવકાશમાં કોઈપણ આપેલ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અનન્ય હોવી જોઈએ,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓનું છેદવું ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(C) ધારો કે ચુંબકની લંબાઈ $2l = 2 \ cm$ છે,તેથી $l = 1 \ cm$.
ચુંબકના કેન્દ્રથી બિંદુ $A$ નું અંતર $r_1 = x + l = x + 1$ છે.
ચુંબકના કેન્દ્રથી બિંદુ $B$ નું અંતર $r_2 = 2x + l = 2x + 1$ છે.
નાના ચુંબક માટે અથવા મોટા અંતરે આવેલા બિંદુઓ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B \propto \frac{1}{r^3}$ હોય છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 = \left( \frac{2x + 1}{x + 1} \right)^3$ થાય.
જો $x \gg l$ હોય,તો $\frac{B_A}{B_B} \approx \left( \frac{2x}{x} \right)^3 = 2^3 = 8$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $8 : 1$ મળે છે.

(B) વિધાન સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; ચુંબકને તોડવાથી ફક્ત બે નાના ચુંબક બને છે,જેમાં દરેકનો પોતાનો ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ હોય છે.
કારણ પણ સાચું છે. ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = m \times 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $2l$ એ લંબાઈ છે. જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ સમાન રહે છે,પરંતુ દરેક ટુકડાની લંબાઈ $l$ થઈ જાય છે. તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times l = M/2$ થાય છે.
કારણ એ સમજાવે છે કે ચુંબકીય ગુણધર્મો શા માટે બદલાય છે પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ધ્રુવોને શા માટે અલગ કરી શકાતા નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = 0.40 \; A m^{2}$,અંતર $r = 50 \; cm = 0.5 \; m$. ચુંબકની લંબાઈ $(5.0 \; cm)$ એ અંતર $(50 \; cm)$ ની સરખામણીમાં નાની હોવાથી,આપણે ટૂંકા ડાયપોલના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
વિષુવવૃત્તીય ક્ષેત્ર $(B_{E})$ માટે:
$B_{E} = \frac{\mu_{0} m}{4 \pi r^{3}} = \frac{10^{-7} \times 0.40}{(0.5)^{3}} = \frac{10^{-7} \times 0.40}{0.125} = 3.2 \times 10^{-7} \; T$.
અક્ષીય ક્ષેત્ર $(B_{A})$ માટે:
$B_{A} = \frac{\mu_{0} 2m}{4 \pi r^{3}} = 2 \times B_{E} = 2 \times 3.2 \times 10^{-7} = 6.4 \times 10^{-7} \; T$.

(N/A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 0.48 \; J \; T^{-1}$.
$(a)$ અંતર,$d = 10 \; cm = 0.1 \; m$.
ચુંબકની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}$
જ્યાં,$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \; m \; A^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{10^{-7} \times 2 \times 0.48}{(0.1)^{3}} = \frac{0.96 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 0.96 \times 10^{-4} \; T = 0.96 \; G$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $S-N$ દિશામાં છે.
$(b)$ ચુંબકની વિષુવરેખા પર $10 \; cm$ $(d = 0.1 \; m)$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{10^{-7} \times 0.48}{(0.1)^{3}} = \frac{0.48 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 0.48 \times 10^{-4} \; T = 0.48 \; G$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $N-S$ દિશામાં છે.

(N/A) કેટલાક પદાર્થો દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા આકર્ષણના ગુણધર્મને ચુંબકત્વ કહેવામાં આવે છે,અને આવા ગુણધર્મો ધરાવતી વસ્તુને ચુંબક કહેવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ઘટનાઓ પ્રકૃતિમાં સાર્વત્રિક છે.
પૃથ્વીનું ચુંબકત્વ માનવ ઉત્ક્રાંતિ પહેલાનું છે.
ચુંબકત્વ સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં,આપણી પૃથ્વી સહિત,ફેલાયેલું છે.
'ચુંબક' (magnet) શબ્દ ગ્રીસના મેગ્નેશિયા નામના ટાપુના નામ પરથી આવ્યો છે,જ્યાં $600 \ BC$ જેટલા પ્રાચીન સમયમાં ચુંબકીય અયસ્કના ભંડારો મળી આવ્યા હતા.
દંતકથા મુજબ,આ ટાપુ પરના ભરવાડો ફરિયાદ કરતા હતા કે તેમના લાકડાના પગરખાં,જેમાં લોખંડની ખીલીઓ હતી,તે જમીન સાથે ચોંટી જતા હતા. તેમની લોખંડની અણીવાળી લાકડીઓ પણ સમાન રીતે પ્રભાવિત થતી હતી. ચુંબકના આ આકર્ષણના ગુણધર્મને કારણે તેમને હલનચલન કરવામાં મુશ્કેલી પડતી હતી.
'મેગ્નેશિયા' ટાપુના નામ પરથી,આ ઘટના અને વસ્તુને અંગ્રેજીમાં 'magnet' તરીકે ઓળખવામાં આવી.

(N/A) ચુંબકત્વ અંગેના કેટલાક સામાન્ય રીતે જાણીતા વિચારો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પૃથ્વી એક ચુંબક તરીકે વર્તે છે,જેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર આશરે ભૌગોલિક દક્ષિણથી ઉત્તર દિશા તરફ હોય છે.
$(ii)$ જ્યારે ગજિયા ચુંબકને મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં સ્થિર થાય છે. જે છેડો ભૌગોલિક ઉત્તર દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે તેને ઉત્તર ધ્રુવ અને જે છેડો ભૌગોલિક દક્ષિણ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે તેને દક્ષિણ ધ્રુવ કહેવામાં આવે છે.
$(iii)$ જ્યારે બે ચુંબકના સમાન ધ્રુવો (ઉત્તર-ઉત્તર અથવા દક્ષિણ-દક્ષિણ) એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે ત્યારે અપાકર્ષણ બળ લાગે છે અને જ્યારે એક ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ અને બીજા ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ નજીક લાવવામાં આવે છે ત્યારે આકર્ષણ બળ લાગે છે.
$(iv)$ આપણે ચુંબકના ઉત્તર કે દક્ષિણ ધ્રુવને અલગ કરી શકતા નથી. જો ગજિયા ચુંબકને બે ભાગમાં તોડવામાં આવે,તો આપણને બે નાના ગજિયા ચુંબક મળે છે,જેમના ગુણધર્મો થોડા નબળા હોય છે. વિદ્યુતભારોથી વિપરીત,અલગ થયેલા ચુંબકીય ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો,જેને ચુંબકીય મોનોપોલ્સ કહેવાય છે,તેનું અસ્તિત્વ નથી.
$(v)$ લોખંડ અને તેની મિશ્રધાતુઓમાંથી ચુંબક બનાવવું શક્ય છે.

(B) 'મેગ્નેટ' (ચુંબક) નામ એશિયા માઈનર (આધુનિક તુર્કી) માં આવેલા 'મેગ્નેશિયા' ટાપુના નામ પરથી ઉતરી આવ્યું છે,જ્યાં પ્રાચીન ગ્રીકો દ્વારા કુદરતી રીતે મળી આવતા ચુંબકીય અયસ્ક (લોડસ્ટોન) ની સૌપ્રથમ શોધ કરવામાં આવી હતી.

(A) ચુંબકત્વ એ વિદ્યુતભારની ગતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી એક ભૌતિક ઘટના છે,જેના પરિણામે પદાર્થો વચ્ચે આકર્ષણ અને અપાકર્ષણના બળો લાગે છે. તે પ્રકૃતિનું એક મૂળભૂત બળ છે.
ચુંબક એ એવો પદાર્થ અથવા વસ્તુ છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અદ્રશ્ય હોય છે પરંતુ તે ચુંબકના સૌથી નોંધપાત્ર ગુણધર્મ માટે જવાબદાર છે: એક એવું બળ જે અન્ય ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો જેવા કે લોખંડ,સ્ટીલ,નિકલ,કોબાલ્ટ વગેરેને પોતાની તરફ ખેંચે છે અને અન્ય ચુંબકોને આકર્ષે છે અથવા અપાકર્ષે છે.

(N/A) જ્યારે ગજિયા ચુંબક પર રાખેલી કાચની પ્લેટ પર લોખંડનો ભૂકો ભભરાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચુંબકના ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં ગોઠવાઈ જાય છે.
આ મળતી ભાત નીચે મુજબની બાબતો સૂચવે છે:
$(i)$ લોખંડના ભૂકાની ભાત દર્શાવે છે કે ચુંબકને બે ધ્રુવો હોય છે,જે વિદ્યુત ડાયપોલના ધન અને ઋણ વીજભાર જેવા હોય છે. એક ધ્રુવને ઉત્તર ધ્રુવ અને બીજાને દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$(ii)$ જ્યારે ચુંબકને મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ ધ્રુવો અનુક્રમે ભૌગોલિક ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ નિર્દેશ કરે છે.
$(iii)$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઈડની આસપાસ પણ લોખંડના ભૂકાની આવી જ ભાત જોવા મળે છે,જે સાબિત કરે છે કે ગજિયો ચુંબક અને વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઈડ સમાન વર્તન કરે છે.

(N/A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેના મૂળભૂત તફાવતો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. તેઓ બંધ ગાળાઓ બનાવતી નથી.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે,જે ચુંબકની બહાર ઉત્તર ધ્રુવથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ અને ચુંબકની અંદર દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ જાય છે.
$3$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ તે માર્ગ દર્શાવે છે જેના પર એકમ ધન વિદ્યુતભાર ગતિ કરશે,જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશની દિશા દર્શાવે છે.

(C) ગજિયા ચુંબક અને સોલેનોઈડની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સમાનતા નીચે મુજબ છે:
$(i)$ ગજિયા ચુંબકને સોલેનોઈડની જેમ જ મોટી સંખ્યામાં વહેતા પ્રવાહ તરીકે વિચારી શકાય છે.
$(ii)$ ગજિયા ચુંબકને વચ્ચેથી કાપતા દરેક ટુકડો સ્વતંત્ર ચુંબક તરીકે વર્તે છે. સોલેનોઈડને વચ્ચેથી કાપતા આપણને બે નાના સોલેનોઈડ મળે છે જેમના ચુંબકીય ગુણધર્મો નબળા હોય છે.
$(iii)$ ગજિયા ચુંબકની જેમ,સોલેનોઈડમાં ચુંબકીય રેખાઓ સતત હોય છે,જે સોલેનોઈડના એક છેડેથી બહાર નીકળી બીજા છેડે દાખલ થાય છે અને બંધ ગાળો બનાવે છે.
$(iv)$ ગજિયા ચુંબકની જેમ,અક્ષ પરના બિંદુએ સોલેનોઈડનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2m}{r^{3}}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) ગજિયા ચુંબકની ધ્રુવ પ્રબળતા એ ચુંબકીય ધ્રુવ દ્વારા અન્ય ચુંબકીય ધ્રુવો પર લગાડવામાં આવતા બળનું માપ છે.
તેને $q_{m}$ અથવા $P$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ધ્રુવ પ્રબળતા એક અદિશ રાશિ છે અને તેનો $SI$ એકમ એમ્પિયર-મીટર $(Am)$ છે.
તે ચુંબકના દ્રવ્ય,તેના મેગ્નેટાઇઝેશન અને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખે છે.
જો ગજિયા ચુંબકની લંબાઈ $(2l)$ હોય અને તેની ધ્રુવ પ્રબળતા $q_{m}$ હોય,તો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m}$ ને ધ્રુવ પ્રબળતા અને ચુંબકીય લંબાઈના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\vec{m} = q_{m} \times (2\vec{l})$
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m}$ ની દિશા દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ થી ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરફ હોય છે.
આ સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = q(2\vec{a})$ ને સમાન છે,જ્યાં ધ્રુવ પ્રબળતા $q_{m}$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ને અનુરૂપ છે અને ચુંબકીય લંબાઈ $(2l)$ એ અંતર $(2a)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) હોકાયંત્રની સોય એક નાનો ચુંબકીય ડાયપોલ છે. જ્યારે તેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં (જેમ કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સોયના બંને ધ્રુવો પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળો લાગે છે: $F = mB$ અને $F = -mB$. આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ (સોયના ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ) પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે. આ બળયુગ્મ સોય પર ટોર્ક લગાડે છે,જેના કારણે તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સાથે સંરેખિત થાય છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ અને મેગ્નેટિક ડાયપોલ વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત તેમના ઘટક એકમોમાં રહેલો છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ બે અલગ-અલગ પ્રાથમિક એકમોથી બનેલો છે,જે ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો (ઇલેક્ટ્રિક મોનોપોલ્સ) છે.
તેની સામે,મેગ્નેટિક ડાયપોલ,જેમ કે કરંટ લૂપ,એ ચુંબકત્વનો સૌથી પ્રાથમિક એકમ છે.
ચુંબકીય મોનોપોલ્સ,જે વિદ્યુતભારોના ચુંબકીય સમકક્ષ હોઈ શકે,તે કુદરતમાં અસ્તિત્વ ધરાવતા હોવાનું જાણવા મળ્યું નથી.

સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્ર અને ચુંબકત્વ વચ્ચેની સામ્યતા નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

ભૌતિક રાશિ	સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્ર	ચુંબકત્વ
$(1)$ ક્ષેત્ર	વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$	ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$
$(2)$ ઉદ્ગમ	વીજભાર $(q)$	ચુંબકીય ધ્રુવમાન $(q_m)$
$(3)$ ડાયપોલ મોમેન્ટ	$p = q(2a)$	$m = q_m(2l)$
$(4)$ અચળાંક	$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$	$\frac{\mu_0}{4\pi}$
$(5)$ ડાયપોલની લંબાઈ	$2a$	$2l$
$(6)$ ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા	ઋણ વીજભારથી ધન વીજભાર તરફ	દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ

(N/A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ચુંબકની આસપાસના અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અને તીવ્રતા દર્શાવે છે.
$1$. ચુંબકની બહાર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ થી શરૂ થઈને દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ તરફ જાય છે.
$2$. ચુંબકની અંદર,ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ થી ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરફ ગતિ કરે છે,આમ તે સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
$3$. ધ્રુવોની નજીક ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા સૌથી વધુ હોય છે,જે તે વિસ્તારોમાં પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સૂચવે છે.
$4$. કોઈપણ બે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને છેદી શકતી નથી,કારણ કે જો તે છેદે તો એક જ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બે અલગ-અલગ દિશાઓ મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$5$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.

(N/A) ચુંબકની ધ્રુવ પ્રબળતા એ ચુંબકીય ધ્રુવની અન્ય ચુંબકીય ધ્રુવોને આકર્ષવાની કે અપાકર્ષવાની ક્ષમતાનું માપ છે. તેને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ઉત્તર ધ્રુવ દ્વારા અનુભવાતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $m$ પ્રબળતા ધરાવતો ચુંબકીય ધ્રુવ $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $F$ બળ અનુભવે,તો $F = mB$ થાય.
ધ્રુવ પ્રબળતાનો $SI$ એકમ એમ્પીયર-મીટર છે,જેને $A \cdot m$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા ચુંબકના $S$ (દક્ષિણ) ધ્રુવથી $N$ (ઉત્તર) ધ્રુવ તરફ હોય છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ એમ્પીયર-મીટર સ્ક્વેર છે,જેને $A \cdot m^{2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) વિદ્યુતમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રનો મૂળભૂત સ્ત્રોત વિદ્યુતભાર $(q)$ છે.
ચુંબકત્વમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો મૂળભૂત સ્ત્રોત ચુંબકીય ધ્રુવમાન છે,જેને $(q_{m})$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતભારનું ચુંબકીય સમકક્ષ ચુંબકીય ધ્રુવમાન $(q_{m})$ છે.

(N/A) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ અને પરિણામી ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દરેક ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ છે. તંત્રની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{M}_{net} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તંત્ર સ્થાયી સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ શૂન્ય હોવી જોઈએ. જો પ્રથમ ચુંબક ઉત્તર ધ્રુવ ઉપર રહે તે રીતે ગોઠવાયેલ હોય,તો કુલ મોમેન્ટ શૂન્ય કરવા માટે,અન્ય બે ચુંબકોને એવી રીતે ગોઠવવા જોઈએ કે જેથી તેમના ઘટકો પ્રથમ ચુંબકની મોમેન્ટને નાબૂદ કરે.
ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જો ચુંબક $(1)$ નો ઉત્તર ધ્રુવ ઉપર હોય,તો અન્ય બે ચુંબકો માટે,ધ્રુવો એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોવા જોઈએ કે જેથી ચુંબક $(2)$ અને $(3)$ ના ઉત્તર ધ્રુવો અનુક્રમે નીચે-ડાબે અને નીચે-જમણે હોય,જ્યારે દક્ષિણ ધ્રુવો ઉપર-ડાબે અને ઉપર-જમણે હોય. આ ગોઠવણી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય,જેના પરિણામે તંત્ર પર કોઈ પરિણામી ટોર્ક કે બળ લાગતું નથી.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગજિયા ચુંબકમાંથી પસાર થતી $\vec{B}$ ની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાને ધ્યાનમાં લો જે બંધ ગાળો બનાવે છે.
ધારો કે $C$ એ એમ્પીયરિયન લૂપ છે. $\vec{H}$ માટે એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,મુક્ત પ્રવાહની ગેરહાજરીમાં બંધ ગાળા પર $\vec{H}$ નું રેખા સંકલન શૂન્ય હોય છે:
$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$
ચુંબકની અંદર,$\vec{B}$ અને $\vec{H}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{B} = \mu_0(\vec{H} + \vec{M})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $\vec{B}$ સતત હોવાથી અને બંધ ગાળાઓ બનાવતી હોવાથી,તેઓએ ચુંબકની બહાર $N$ થી $S$ તરફના ગાળાને પૂર્ણ કરવા માટે ચુંબકની અંદર $S$ ધ્રુવથી $N$ ધ્રુવ તરફ જવું પડે છે.
$\vec{H}$ ક્ષેત્ર માટે,સંકલન $\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$ સૂચવે છે કે જો ચુંબકની અંદર $\vec{B}$ રેખા સાથેનું પથ સંકલન ધન હોય,તો બહારનું પથ સંકલન ઋણ હોવું જોઈએ. ચુંબકની બહાર (જ્યાં $\vec{M}=0$) $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ હોવાથી,કુલ સંકલન શૂન્ય થવા માટે ચુંબકની અંદર $\vec{H}$ રેખાઓની દિશા $N$ થી $S$ તરફ હોવી જોઈએ.

(A) ડાયપોલ $\vec{M} = M\hat{k}$ નું ગોળીય યામ પદ્ધતિમાં બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} (2\cos\theta \hat{r} + \sin\theta \hat{\theta})$ છે.
$1$. $z$-અક્ષ પર ($P$ થી $Q$): $\theta = 0$,$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3} \hat{k}$. તેથી,$\int_P^Q \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_a^R \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3} dz = \frac{\mu_0 M}{4\pi} (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{R^2})$.
$2$. $R$ ત્રિજ્યાના ચાપ પર ($Q$ થી $S$): $\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_\theta (R d\theta) = \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2} \sin\theta d\theta$. $\theta = 0$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2} \sin\theta d\theta = \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2}$.
$3$. $x$-અક્ષ પર ($S$ થી $T$): $\theta = \pi/2$,$\vec{B} = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{x^3} \hat{k}$. તેથી,$\int_S^T \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_R^a (-\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3}) dx = -\frac{\mu_0 M}{8\pi} (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{R^2})$.
$4$. $a$ ત્રિજ્યાના ચાપ પર ($T$ થી $P$): $\int_{\pi/2}^0 \frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જે દર્શાવે છે કે આ માર્ગ માટે એમ્પીયરનો નિયમ સાચો છે કારણ કે કોઈ પ્રવાહ ઘેરાયેલો નથી.

(N/A) બિંદુ ડાયપોલ $\vec{M} = M\hat{k}$ નું $\vec{r}$ સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\vec{M} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{M}}{r^3} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એમ્પીયરનો નિયમ જણાવે છે કે $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$.
બિંદુ ડાયપોલ માટે,લૂપ $C$ દ્વારા ઘેરાયેલ કોઈ ભૌતિક પ્રવાહ નથી,તેથી $I_{enclosed} = 0$.
આમ,આપણે ચકાસવું પડશે કે $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$.
$x$-અક્ષ પર,$\vec{r} = x\hat{i}$,$\hat{r} = \hat{i}$,અને $\vec{M} \cdot \hat{r} = 0$. તેથી $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-\vec{M}}{x^3} = -\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3} \hat{k}$.
કારણ કે $d\vec{l}$ એ $x$-અક્ષ પર છે $(d\vec{l} = dx \hat{i})$,તેથી $\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$.
$xz$-સમતલમાં વર્તુળાકાર ચાપ પર,$\vec{B} \cdot d\vec{l}$ ની ગણતરી ચુંબકીય વેક્ટર પોટેન્શિયલ $\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{M} \times \vec{r}}{r^3}$ નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
સ્ટોક્સના પ્રમેય દ્વારા,$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint_C (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{l} = \oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l}$.
ડાયપોલ ક્ષેત્ર ઉગમબિંદુ સિવાય દરેક જગ્યાએ સંરક્ષી હોવાથી,ઉગમબિંદુને ન ઘેરતા કોઈપણ બંધ લૂપ પરનું રેખા સંકલન શૂન્ય છે. આમ,એમ્પીયરનો નિયમ ચકાસાય છે.

(B) ગજિયા ચુંબકની ભૌમિતિક લંબાઈ $(L)$ એ ચુંબકની વાસ્તવિક ભૌતિક લંબાઈ છે.
ચુંબકીય લંબાઈ એ ચુંબકના બે ચુંબકીય ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રાયોગિક રીતે એવું જોવા મળે છે કે ચુંબકીય ધ્રુવો ચુંબકના છેડાઓથી થોડા અંદરના ભાગમાં આવેલા હોય છે.
ચુંબકીય લંબાઈ એ ભૌમિતિક લંબાઈના આશરે $0.83$ થી $0.85$ ગણી હોય છે.
$\frac{6}{7} \approx 0.857$ ની કિંમત ગણતા,તે ચુંબકીય લંબાઈ અને ભૌમિતિક લંબાઈના ગુણોત્તરની સૌથી નજીકની કિંમત છે.
તેથી,ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર આશરે $\frac{6}{7} L$ છે.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ એ સદિશ રાશિ છે. ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ થી ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરફ હોય છે.
$1$. આડા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ડાબી તરફ છે.
$2$. ઊભા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ઉપરની તરફ છે.
$3$. કર્ણ પરના ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M\sqrt{2}$ કર્ણની દિશામાં ($S$ થી $N$ તરફ) છે.
ધારો કે આડી દિશા $x$-અક્ષ છે અને ઊભી દિશા $y$-અક્ષ છે.
- $\vec{M}_1 = -M \hat{i}$
- $\vec{M}_2 = M \hat{j}$
- $\vec{M}_3 = M\sqrt{2} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = M\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = M \hat{i} + M \hat{j}$
હવે,પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_{\text{net}}$:
$\vec{M}_{\text{net}} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3 = (-M \hat{i} + M \hat{j}) + (M \hat{i} + M \hat{j}) = 2M \hat{j}$
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $2M$ છે. તેથી,જવાબ $2$ છે.

(A) ધારો કે ચુંબકીય પટ્ટીની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે અને તેની લંબાઈ $\ell$ છે. પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = m \ell = 44 \text{ Am}^2$ છે.
જ્યારે પટ્ટીને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે પટ્ટીની લંબાઈ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે,તેથી $\ell = \pi R$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{\ell}{\pi}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે,જે $2R$ છે.
$M_2 = m \times (2R) = m \times \left( \frac{2\ell}{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} (m \ell)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M_2 = \frac{2}{\pi} \times 44 = \frac{2}{(22/7)} \times 44 = \frac{2 \times 7}{22} \times 44 = \frac{14}{22} \times 44 = 14 \times 2 = 28 \text{ Am}^2$.

(A) ધારો કે મૂળ લોખંડના સળિયાની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયાને મધ્યમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભુજાની લંબાઈ $L/2$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને અસરકારક લંબાઈ (બે ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર) નો ગુણાકાર છે.
અસરકારક લંબાઈ $L'$ એ વાંકા સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર છે. કારણ કે $L/2$ લંબાઈની બે ભુજાઓ $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી અસરકારક લંબાઈ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ બનાવે છે જેની બે બાજુઓ $L/2$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી અસરકારક લંબાઈ $L' = L/2$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m L' = m (L/2) = M/2$ થાય છે.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m$ એ મેગ્નેટાઈઝેશન $M$ અને સળિયાના કદ $V$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$m = M \times V$
આપેલ છે:
મેગ્નેટાઈઝેશન $M = 5.3 \times 10^{3} \ A/m$
લંબાઈ $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
વ્યાસ $d = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
કદ $V = \pi r^2 l = \frac{22}{7} \times (0.5 \times 10^{-2})^2 \times (5 \times 10^{-2})$
$V = \frac{22}{7} \times 0.25 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2} \approx 3.925 \times 10^{-6} \ m^3$
હવે,$m = (5.3 \times 10^3) \times (3.925 \times 10^{-6}) \approx 20.8 \times 10^{-3} \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય $2 \times 10^{-2} \ J/T$ છે.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા $(m)$ અને ડાયપોલની ચુંબકીય લંબાઈ $(2l)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $M = m \times 2l$.
આ ગુણધર્મ ચુંબકનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે બિંદુના સ્થાન અથવા અંતર પર આધાર રાખતું નથી જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર માપવામાં આવે છે.
તેથી,બિંદુ અને ચુંબક વચ્ચેનું અંતર બદલવાથી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ પર કોઈ અસર થતી નથી.
આમ,ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $X$ જ રહેશે.