Bar Magnet and Magnetic Dipole and Magnetic Moment Questions in Gujarati

(D) સીધા સળિયાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે સળિયાને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $L$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે.
તેથી,$L = \pi r$,જે ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{\pi}$ આપે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{\text{new}}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને અસરકારક લંબાઈ (બે છેડા વચ્ચેનું અંતર,જે વ્યાસ $2r$ છે) નો ગુણાકાર છે.
$M_{\text{new}} = m \times (2r) = m \times \left( \frac{2L}{\pi} \right)$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = \frac{M}{L}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$M_{\text{new}} = \left( \frac{M}{L} \right) \times \left( \frac{2L}{\pi} \right) = \frac{2M}{\pi}$.

(D) મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$M = \frac{m_{net}}{V}$.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{net} = M \times V$ છે.
નળાકાર સળિયાનું કદ $V = \pi r^2 l = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $M = 5.3 \times 10^3 \ A/m$,$l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$d = 1 \ cm = 0.01 \ m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.005 \ m$.
$V = 3.142 \times (0.005)^2 \times 0.05 = 3.142 \times 25 \times 10^{-6} \times 0.05 = 3.9275 \times 10^{-6} \ m^3$.
$m_{net} = (5.3 \times 10^3) \times (3.9275 \times 10^{-6}) \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$.

(D) $l$ લંબાઈના ચુંબકીય તારની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m l$ છે,જ્યાં $m$ એ દરેક છેડાની ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને $L$-આકારમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે $l/2$ લંબાઈના બે ભાગ એકબીજાને લંબ રહે છે.
અસરકારક લંબાઈ (ધ્રુવો વચ્ચેનું સ્થાનાંતર) એ $l/2$ અને $l/2$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બને છે.
અસરકારક લંબાઈ $l' = \sqrt{(l/2)^2 + (l/2)^2} = \sqrt{l^2/4 + l^2/4} = \sqrt{l^2/2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = m l' = m \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $M = m l$,તેથી આપણને $M' = \frac{M}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $m$ ધ્રુવમાન ધરાવતા ચુંબકીય ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F = mB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $F = 2.5 \times 10^{-4} \,N$ અને $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ આપેલ છે।
ધ્રુવમાન $m$ ની ગણતરી કરતા:
$m = \frac{F}{B} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{25}{3} \,Am$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ધ્રુવમાન $m$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $L$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, એટલે કે $M = mL$.
અહીં $M = 5 \,Am^{2}$ આપેલ છે।
તેથી, ચુંબકીય લંબાઈ $L$ થશે:
$L = \frac{M}{m} = \frac{5}{25/3} = \frac{5 \times 3}{25} = \frac{15}{25} = 0.6 \,m$.

(B) ધારો કે બે ચુંબકો $M_1$ અને $M_2$ છે, જેની લંબાઈ $\ell$ અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. દરેક ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = m \ell$ છે.
તેમને કાટખૂણે એવી રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા છે કે એકનો ઉત્તર ધ્રુવ બીજાના દક્ષિણ ધ્રુવને સ્પર્શે છે, તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu}_1$ અને $\vec{\mu}_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu}_{res}$ એ સદિશ સરવાળો છે: $\vec{\mu}_{res} = \vec{\mu}_1 + \vec{\mu}_2$.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $\mu_{res} = \sqrt{\mu_1^2 + \mu_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu_1 = \mu_2 = m \ell$ મૂકતા:
$\mu_{res} = \sqrt{(m \ell)^2 + (m \ell)^2} = \sqrt{2 (m \ell)^2} = \sqrt{2} m \ell$.
આમ, પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $\sqrt{2} m \ell$ છે.

(A) મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m(2L)$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને કેન્દ્રમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે $L$ લંબાઈના બે ભાગ બનાવે છે,જેમાંથી દરેકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m(L) = \frac{M}{2}$ થાય છે.
આ બે ભાગો એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net}$ એ બે વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો છે:
$M_{net} = \sqrt{(\frac{M}{2})^2 + (\frac{M}{2})^2} = \sqrt{\frac{M^2}{4} + \frac{M^2}{4}} = \sqrt{\frac{2M^2}{4}} = \sqrt{\frac{M^2}{2}} = \frac{M}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે તારની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. સીધા તારની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times \ell$ છે.
જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $\ell = \pi r$ થાય છે,જ્યાં $r$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \ell / \pi$ થાય.
અર્ધવર્તુળાકાર તારના બે છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર (ચુંબકીય લંબાઈ) એ વ્યાસ છે,$d = 2r = 2\ell / \pi$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને ચુંબકીય લંબાઈનો ગુણાકાર છે:
$M' = m \times (2r) = m \times (2\ell / \pi) = (2 / \pi) \times (m \times \ell)$.
કારણ કે $M = m \times \ell$,તેથી $M' = (2 / \pi) M$.

(C) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે અને $2l$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l$ થાય છે અને ધ્રુવમાન $m$ સમાન રહે છે.
આમ,દરેક ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times l = \frac{M}{2}$ થાય છે.
ધારો કે મૂળ ચુંબકના ધ્રુવો $A$ (ઉત્તર) અને $B$ (દક્ષિણ) છે. કાપ્યા પછી,પ્રથમ ભાગમાં $A$ અને $C_1$ ધ્રુવો છે,અને બીજા ભાગમાં $C_2$ અને $B$ ધ્રુવો છે.
જ્યારે બીજા ભાગને પ્રથમ ભાગ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે $C_2$ એ $C_1$ ની ઉપર હોય,ત્યારે $C_1$ અને $C_2$ ધ્રુવો વિરુદ્ધ ધ્રુવત્વ ધરાવશે. જો $C_1$ દક્ષિણ હોય,તો $C_2$ ઉત્તર હશે.
આ ગોઠવણીમાં,બંને ભાગોની ચુંબકીય મોમેન્ટ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,સંયોજનની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net} = M' - M' = 0$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ રચે છે. ગજિયા ચુંબકની બહાર,ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ $N$-ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળે છે અને $S$-ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે. ગજિયા ચુંબકની અંદર,બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ $S$-ધ્રુવથી $N$-ધ્રુવ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,$r$ અંતરે અક્ષીય (longitudinal) સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}$ છે.
તે જ અંતરે વિષુવવૃત્તીય (transverse) સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}$ છે.
અક્ષીય સ્થિતિ અને વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_{axial}}{B_{equatorial}} = \frac{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}}{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવ પ્રબળતા સમાન રહે છે,પરંતુ જ્યારે તેને તેની લંબાઈને લંબ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવ પ્રબળતા અડધી થઈ જાય છે.
આ કિસ્સામાં,ચુંબકને એકવાર તેની લંબાઈની દિશામાં (અક્ષને સમાંતર) અને એકવાર તેની લંબાઈને લંબ કાપીને ચાર સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$1$. લંબાઈની દિશામાં કાપવાથી ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ એ $m/2$ અને $m/2$ માં વિભાજિત થાય છે.
$2$. લંબાઈને લંબ કાપવાથી ચુંબક બે ભાગમાં વહેંચાય છે,પરંતુ દરેક આડછેદની ધ્રુવ પ્રબળતા $m/2$ જ રહે છે.
તેથી,પરિણામી ચાર ભાગોમાંથી દરેક માટે,ધ્રુવ પ્રબળતા $m^{\prime} = m/2$ થશે.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ ને $\tau = M \times B$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ ટોર્ક છે અને $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આના પરથી,$M = \tau / B$.
ટોર્ક $\tau$ નો એકમ $N m$ (ન્યૂટન-મીટર) છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ $T$ (ટેસ્લા) છે.
તેથી,$M$ નો એકમ $N m / T$ છે.
કારણ કે $1 \ T = 1 \ Wb / m^2$,આપણે લખી શકીએ કે $M = (N m) / (Wb / m^2) = N m^3 / Wb$.
વળી,$M = I A$,જ્યાં $I$ પ્રવાહ $(A)$ છે અને $A$ ક્ષેત્રફળ $(m^2)$ છે,તેથી એકમ $A m^2$ થાય છે.
કારણ કે $1 \ J = 1 \ N m$,એકમ $N m / T$ એ $J / T$ ને સમાન છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$J-T$ (વિકલ્પ $C$) પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટો છે કારણ કે તે ઉર્જા અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણાકાર દર્શાવે છે,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ નહીં.

(A) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન રહે છે,તેથી ધ્રુવ શક્તિ $q_m$ બદલાતી નથી.
જોકે,દરેક નવા ટુકડાની લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટને $m = q_m \times l$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
નવા ટુકડાઓ માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $m' = q_m \times \frac{l}{2} = \frac{m}{2}$ થાય છે.
તેથી,નવી ધ્રુવ શક્તિ $q_m$ છે અને નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\frac{m}{2}$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકના કેન્દ્રથી $Z$ અંતરે તેની અક્ષ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{(Z^2 - l^2)^2}$ છે.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,તેની લંબાઈ $2l$ એ અંતર $Z$ ની સાપેક્ષમાં ખૂબ જ નાની છે,એટલે કે $Z \gg l$.
તેથી,આપણે $(Z^2 - l^2)^2 \approx (Z^2)^2 = Z^4$ તરીકે લઈ શકીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{Z^4} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{Z^3}$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $\vec{B} = \frac{2 \mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{M}}{Z^3}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 10 \text{ Am}^2$
અંતર $z = 0.1 \text{ m}$
પરમીએબિલિટી અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 10}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{20}{0.001}$
$B = 10^{-7} \times 20000$
$B = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$

(D) ગજિયો ચુંબક એ કાયમી ચુંબક છે જે પોતાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું નથી તે વિધાન ખોટું છે. અન્ય ગુણધર્મો ગજિયા ચુંબકની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ છે: ધ્રુવો હંમેશા જોડીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે,મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે ત્યારે તે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ગોઠવાય છે,અને સમાન ધ્રુવો અપાકર્ષણ કરે છે જ્યારે અસમાન ધ્રુવો આકર્ષણ કરે છે.

(A) $m$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે:
$1$. અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{A} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2m}{r^{3}}$
$2$. વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{E} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{r^{3}}$
$3$. બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B_{A} = 2 \times \left( \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{r^{3}} \right) = 2 B_{E}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $B_{A} = 2 B_{E}$ છે.

(A) જ્યારે સમાન ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ ધરાવતા બે ટૂંકા ચુંબકોને તેમના કેન્દ્રો પર લંબરૂપે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $M^{\prime}$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$M^{\prime} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2 M M \cos 90^{\circ}} = M \sqrt{2}$
આ પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $M^{\prime}$ કાટખૂણાના દ્વિભાજકની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
દ્વિભાજક પર $d$ અંતરે આવેલું બિંદુ આ પરિણામી ડાયપોલ $M^{\prime}$ ની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે.
ટૂંકા ચુંબકીય ડાયપોલની અક્ષીય સ્થિતિ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 M^{\prime}}{d^3}$
સૂત્રમાં $M^{\prime} = M \sqrt{2}$ મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 (M \sqrt{2})}{d^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \sqrt{2} M}{d^3}$

(C) $l$ લંબાઈ અને $m$ ધ્રુવ પ્રબળતા ધરાવતા સીધા તારની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની લંબાઈ અર્ધવર્તુળના પરિઘ જેટલી થાય છે: $l = \pi R$.
તેથી,ચાપની ત્રિજ્યા $R = \frac{l}{\pi}$ થશે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને બે છેડાઓ વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે.
વ્યાસ $d = 2R = \frac{2l}{\pi}$ છે.
આમ,$M' = m \times d = m \times \frac{2l}{\pi}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = ml$ હોવાથી,$ml$ ની જગ્યાએ $M$ મૂકતા આપણને $M' = \frac{2}{\pi} M$ મળે છે.

(D) દરેક ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = m l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ચુંબક એકબીજા સાથે કાટખૂણે મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશો $\vec{M_1}$ અને $\vec{M_2}$ પણ એકબીજાને લંબ છે.
દરેક ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M_1 = M_2 = M = ml$ છે.
તંત્રની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટોનો સદિશ સરવાળો છે:
$M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2 M_1 M_2 \cos 90^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = M \sqrt{2}$
$M = ml$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$M_{net} = \sqrt{2} ml$

(D) ધારો કે ચુંબકીય સળિયાની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે.
સીધા સળિયાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ સળિયાની મૂળ લંબાઈ જેટલી હોય છે:
$L = \pi R \implies R = \frac{L}{\pi}$.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપની ચુંબકીય મોમેન્ટ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને બે ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે:
$M_{arc} = m(2R)$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$M_{arc} = m \left( 2 \cdot \frac{L}{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} (m L)$.
$M = mL$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$M_{arc} = \frac{2 M}{\pi}$.

(B) ધારો કે ત્રણ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_A$,$M_B$ અને $M_C$ છે,જ્યાં $M_A = M_B = M_C = M$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $M_A$ અને $M_B$ નું પરિણામી શોધીએ,જે એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
પરિણામી $M_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M_1 = \sqrt{M_A^2 + M_B^2 + 2 M_A M_B \cos 90^{\circ}}$
$M_1 = \sqrt{M^2 + M^2 + 0} = M \sqrt{2}$
$M_1$ ની દિશા $M_A$ અને $M_B$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પર છે,જે $M_C$ ની દિશામાં જ છે.
હવે,કુલ પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{\text{resultant}}$ નીચે મુજબ છે:
$M_{\text{resultant}} = M_1 + M_C$
$M_{\text{resultant}} = M \sqrt{2} + M = (\sqrt{2} + 1) M$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) દરેક ચુંબક પાસે $M = ml$ મૂલ્યની ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M_1}$ અને $\vec{M_2}$ છે.
ચુંબકો એકબીજા સાથે કાટખૂણે ગોઠવાયેલા હોવાથી,તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તંત્રની પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ સરવાળા $\vec{M_{net}} = \vec{M_1} + \vec{M_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2M_1M_2 \cos(90^{\circ})}$ છે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી $M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = \sqrt{2}M$ મળે.
$M = ml$ મૂકતા,આપણને $M_{net} = \sqrt{2} ml$ મળે છે.

(B) સમઘનનું કદ $V = (\text{બાજુ})^3 = (1.0 \times 10^{-6} m)^3 = 1.0 \times 10^{-18} m^3$ છે.
નમૂનામાં પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $N = n \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
$N = (8.7 \times 10^{28} m^{-3}) \times (1.0 \times 10^{-18} m^3) = 8.7 \times 10^{10}$ પરમાણુઓ.
મહત્તમ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{max}$ એ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા અને એક પરમાણુની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{atom}$ નો ગુણાકાર છે.
$M_{max} = N \times \mu_{atom} = (8.7 \times 10^{10}) \times (9.3 \times 10^{-24} A m^2)$.
$M_{max} = 80.91 \times 10^{-14} A m^2 = 8.1 \times 10^{-13} A m^2$.

(A) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 0.48 \, J \, T^{-1}$
અંતર $d = 10 \, cm = 0.1 \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \, m \, A^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \cdot \frac{2 \times 0.48}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \cdot \frac{0.96}{0.001}$
$B = 10^{-7} \cdot 960 = 9.6 \times 10^{-5} \, T$
$1 \, T = 10^4 \, gauss$ હોવાથી:
$B = 9.6 \times 10^{-5} \times 10^4 \, gauss = 0.96 \, gauss$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,તે ઉત્તર ધ્રુવમાંથી નીકળીને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે,જ્યારે ચુંબકની અંદર,તે ગાળાને પૂર્ણ કરવા માટે દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ જાય છે.

(B) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડો એક નવો,નાનો ગજિયા ચુંબક બની જાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,કાપવાથી ડાબા ટુકડા પર નવો દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ અને જમણા ટુકડા પર નવો ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ રચાય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ડાબા ટુકડામાં તેનો મૂળ ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ ડાબી બાજુ અને નવો દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ જમણી બાજુ હશે.
જમણા ટુકડામાં નવો ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ ડાબી બાજુ અને તેનો મૂળ દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ જમણી બાજુ હશે.
જ્યારે આ બે ટુકડાઓને એકબીજાની નજીક રાખવામાં આવે છે,ત્યારે ડાબા ટુકડાનો નવો દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ જમણા ટુકડાના નવા ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ ની સામે આવે છે.
ચુંબકના વિરુદ્ધ ધ્રુવો એકબીજાને આકર્ષતા હોવાથી,બંને ટુકડાઓ એકબીજાને આકર્ષશે.

(D) ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ એ તેના ધ્રુવમાન $(m)$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $(2l)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = m \times 2l$
વળી,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટને પ્રવાહ $(I)$ અને ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$M = I \times A$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m \times 2l = I \times A$
ધ્રુવમાન $(m)$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$m = \frac{I \times A}{2l}$
પ્રવાહ $(I)$ નો એકમ એમ્પીયર $(A)$ છે અને લંબાઈ $(l)$ નો એકમ મીટર $(m)$ છે.
તેથી,ધ્રુવમાન $(m)$ નો એકમ:
$\text{એકમ} = \frac{\text{એમ્પીયર} \times \text{મીટર}^2}{\text{મીટર}} = \text{એમ્પીયર} \times \text{મીટર} = Am$

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times (2l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $(2l)$ એ ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર (ચુંબકીય લંબાઈ) છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અચળ રહે છે,પરંતુ બે ધ્રુવો વચ્ચેનું સીધું અંતર ઘટે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ એ ધ્રુવો વચ્ચેના અંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ કરતા ઓછી હશે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ ઘટે છે.

(A) તારની પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot l$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈના તારને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $l$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે.
તેથી,$l = \pi r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{l}{\pi}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે.
$M^{\prime} = m \cdot (2r) = m \cdot \left( \frac{2l}{\pi} \right)$.
કારણ કે $M = m \cdot l$,આપણે સમીકરણમાં $m \cdot l = M$ મૂકી શકીએ છીએ:
$M^{\prime} = \frac{2}{\pi} (m \cdot l) = \frac{2 M}{\pi}$.

(C) પ્રારંભિક ધ્રુવ શક્તિ $= m$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $= M = m \times (2l)$,જ્યાં $2l$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની અક્ષને સમાંતર $n$ વખત કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ટુકડાની ધ્રુવ શક્તિ $m' = \frac{m}{n+1}$ થાય છે. અહીં $n=5$ હોવાથી,$m' = \frac{m}{5+1} = \frac{m}{6}$.
જ્યારે ચુંબકને તેની અક્ષને લંબ $k$ વખત કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ટુકડાની લંબાઈ $l' = \frac{l}{k+1}$ થાય છે. અહીં $k=3$ હોવાથી,નવી લંબાઈ $2l' = \frac{2l}{3+1} = \frac{2l}{4} = \frac{l}{2}$ થાય.
અક્ષને લંબ કાપવાથી ધ્રુવ શક્તિ પર કોઈ અસર થતી નથી,તેથી દરેક ટુકડાની અંતિમ ધ્રુવ શક્તિ $m' = \frac{m}{6}$ રહેશે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ નવી ધ્રુવ શક્તિ અને નવી લંબાઈનો ગુણાકાર છે: $M' = m' \times (2l') = \left(\frac{m}{6}\right) \times \left(\frac{2l}{4}\right) = \frac{m \times 2l}{24} = \frac{M}{24}$.

(B) ચુંબકીય મોમેન્ટ એ સદિશ રાશિ છે જે દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ દિશા ધરાવે છે.
જ્યારે બે સમાન ચુંબકોને એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની ચુંબકીય મોમેન્ટના સદિશો $\vec{M_1}$ અને $\vec{M_2}$ પણ એકબીજાને લંબ હોય છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime}$ નું મૂલ્ય સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$M^{\prime} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2M_1M_2 \cos(90^{\circ})}$
અહીં $M_1 = M_2 = M$ હોવાથી:
$M^{\prime} = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$
આપેલ છે કે એક ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = ml$ છે,તેથી:
$M^{\prime} = ml\sqrt{2}$

(A) મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $I$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $I = M/V$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times V$ દ્વારા મળે છે.
ગજિયા ચુંબકનું કદ $V$ એ તેની ચુંબકીય લંબાઈ $l$ અને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણાકાર છે.
આપેલ છે:
$I = 5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}$
$l = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
$A = 1 \text{ cm}^{2} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}$
કદ $V = l \times A = 0.12 \times 10^{-4} \text{ m}^{3} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3}$.
હવે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ની ગણતરી કરતા:
$M = (5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}) \times (1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3})$
$M = 6.0 \times 10^{-1} \text{ A m}^{2} = 0.6 \text{ A m}^{2}$.