Maxwell's equations , Concept of displacement current and Hertz experiment Questions in Hindi

(A) जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने $1861$ में विस्थापन धारा (displacement current) की अवधारणा प्रस्तावित की थी। उन्होंने महसूस किया कि समय के साथ बदलता विद्युत क्षेत्र चुंबकीय क्षेत्र के स्रोत के रूप में कार्य करता है,ठीक वैसे ही जैसे चालन धारा (conduction current) करती है। एम्पियर के नियम में इस संशोधन को एम्पियर-मैक्सवेल नियम के रूप में जाना जाता है,जिसे $\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ विस्थापन धारा है। इसलिए,सही उत्तर $A$ है।

(N/A) जब संधारित्र चार्ज हो रहा होता है, तो संधारित्र के अंदर प्रवाहित होने वाली धारा को $\text{विस्थापन धारा}$ $(I_d)$ के रूप में जाना जाता है।
व्याख्या:
$1$. संधारित्र की प्लेटों से जुड़े चालक तारों में प्रवाहित धारा $\text{चालन धारा}$ $(I_c)$ होती है, जो इलेक्ट्रॉनों के वास्तविक प्रवाह के कारण होती है।
$2$. संधारित्र की प्लेटों के बीच इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह के लिए कोई भौतिक माध्यम नहीं होता है, इसलिए वहां $\text{चालन धारा}$ शून्य होती है।
$3$. हालाँकि, जैसे-जैसे संधारित्र चार्ज होता है, प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र $(E)$ समय के साथ बदलता रहता है।
$4$. एम्पीयर के नियम में मैक्सवेल के संशोधन के अनुसार, यह समय के साथ बदलने वाला विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है, जो एक धारा के समतुल्य होता है।
$5$. इस धारा को $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $\frac{d\Phi_E}{dt}$ विद्युत फ्लक्स के परिवर्तन की दर है।
$6$. इस प्रकार, $\text{विस्थापन धारा}$ परिपथ में कुल धारा की निरंतरता सुनिश्चित करती है।

(B) एम्पियर का परिपथीय नियम कहता है कि $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$।
आवेशित हो रहे एक समांतर प्लेट संधारित्र पर विचार करें। यदि हम प्लेटों के बीच एक समतल वृत्ताकार सतह चुनते हैं,तो इससे गुजरने वाली धारा शून्य है,जिसका अर्थ है $B = 0$।
हालाँकि,यदि हम उसी सीमा के साथ एक गुब्बारे के आकार की सतह चुनते हैं,तो चालन धारा $I_c$ इससे होकर गुजरती है,जिसका अर्थ है $B \neq 0$।
यह विरोधाभास इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि एम्पियर का नियम प्लेटों के बीच समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र को ध्यान में नहीं रखता है,जो विस्थापन धारा $I_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ के रूप में कार्य करता है।
इस प्रकार,अस्थिर धाराओं के लिए यह नियम अधूरा है।

(N/A) एम्पीयर-मैक्सवेल नियम,एम्पीयर के परिपथीय नियम का एक व्यापक रूप है,जो विस्थापन धारा (displacement current) को ध्यान में रखता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$
जहाँ:
$1$. $\oint B \cdot dl$ एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का रेखीय समाकल है।
$2$. $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।
$3$. $I_c$ चालन धारा (conduction current) है।
$4$. $I_d$ विस्थापन धारा है,जिसे $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है और $\Phi_E$ विद्युत फ्लक्स है।
अतः,पूर्ण समीकरण है: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_c + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$.

(A) व्यंजक ${\epsilon _0}\left( {\frac{{d{\Phi _E}}}{{dt}}} \right)$ विस्थापन धारा (displacement current) को दर्शाता है,जिसे ${I_d}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।
एम्पियर के परिपथीय नियम में मैक्सवेल के संशोधन के अनुसार,विस्थापन धारा को ${I_d} = {\epsilon _0}\frac{{d{\Phi _E}}}{{dt}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि ${I_d}$ एक धारा है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक विद्युत धारा के मात्रक के समान होता है।
विद्युत धारा का $SI$ मात्रक एम्पियर $(A)$ है।

(A) एम्पीयर का परिपथीय नियम बताता है कि किसी भी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखा समाकल, पथ द्वारा घिरे सतह से गुजरने वाली कुल धारा $I$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
मैक्सवेल ने देखा कि समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्रों के लिए यह नियम असंगत था।
धारा की निरंतरता बनाए रखने के लिए उन्होंने विस्थापन धारा $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ की अवधारणा पेश की।
संशोधित एम्पीयर का परिपथीय नियम $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_c + I_d) = \mu_0 I_c + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, वह लुप्त पद जिसे मैक्सवेल ने मूल नियम में जोड़ा था, वह $\mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ है।

(B) विस्थापन धारा वह धारा है जो उस क्षेत्र में उत्पन्न होती है जहाँ विद्युत क्षेत्र समय के साथ बदल रहा होता है।
इसे जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा एम्पीयर के परिपथीय नियम की निरंतरता बनाए रखने के लिए प्रस्तावित किया गया था।
विस्थापन धारा का गणितीय व्यंजक $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है और $\frac{d\Phi_E}{dt}$ विद्युत फ्लक्स के परिवर्तन की दर है।
चालन धारा (conduction current) के विपरीत,इसमें आवेश वाहकों का वास्तविक प्रवाह शामिल नहीं होता है,बल्कि यह समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र से जुड़ी होती है।

(N/A) समीकरण $i = i_c + i_d$ परिपथ में कुल विद्युत धारा को दर्शाता है,जो चालन धारा $(i_c)$ और विस्थापन धारा $(i_d)$ का योग है।
$1$. चालन धारा $(i_c)$: यह एक चालक के माध्यम से आवेशों (इलेक्ट्रॉनों) के वास्तविक प्रवाह के कारण होने वाली धारा है।
$2$. विस्थापन धारा $(i_d)$: यह वह धारा है जो किसी क्षेत्र में समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र के कारण उत्पन्न होती है,जैसे कि संधारित्र (कैपेसिटर) की प्लेटों के बीच।
यह समीकरण जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा एम्पीयर के परिपथीय नियम को सामान्य बनाने के लिए प्रस्तावित किया गया था,ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि कुल धारा उन क्षेत्रों में भी निरंतर बनी रहे जहाँ कोई भौतिक आवेश प्रवाह नहीं होता है,जैसे कि संधारित्र के अंतराल में।

(N/A) स्थिर आवेश या स्थिर वेग (स्थायी धारा) से गतिमान आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगों के स्रोत नहीं हो सकते हैं। इसका कारण यह है कि स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है और स्थिर वेग से गतिमान आवेश विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करते हैं,लेकिन ये क्षेत्र समय के साथ नहीं बदलते हैं।
मैक्सवेल के अनुसार,त्वरित आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगें उत्पन्न करते हैं।
दोलन करता हुआ आवेश त्वरित गति का एक उदाहरण है। जब कोई आवेश किसी निश्चित आवृत्ति के साथ दोलन करता है,तो यह अंतरिक्ष में दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। जब यह घटना दोहराई जाती है,तो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र अंतरिक्ष में प्रसारित होते हैं,जिन्हें विद्युतचुंबकीय तरंगें कहा जाता है।
ये तरंगें विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत दिशा में प्रसारित होती हैं। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत दोलन करते हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों की आवृत्ति दोलन करने वाले आवेश की आवृत्ति के बराबर होती है। त्वरित आवेश की ऊर्जा प्रसारित होने वाली विद्युतचुंबकीय तरंगों में स्थानांतरित हो जाती है।
यह कल्पना करना आसान है कि प्रकाश विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं,लेकिन प्रयोगशाला में इसका परीक्षण करना कठिन है क्योंकि आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का उपयोग करके $10^{11} \text{ Hz}$ तक की आवृत्ति प्राप्त की जा सकती है,जबकि दृश्य स्पेक्ट्रम में पीले प्रकाश की आवृत्ति लगभग $6 \times 10^{14} \text{ Hz}$ होती है। इसलिए,विद्युतचुंबकीय तरंगों का प्रायोगिक प्रमाण देने के लिए,हर्ट्ज़ का प्रयोग रेडियो तरंगों की निचली सीमा में किया गया था।
हर्ट्ज़ के प्रयोग की सफलता के बाद,कोलकाता में काम कर रहे जगदीश चंद्र बोस बहुत कम तरंग दैर्ध्य ($25 \text{ mm}$ से $5 \text{ mm}$) की विद्युतचुंबकीय तरंगें उत्पन्न करने और उनका अवलोकन करने में सफल रहे। उनका प्रयोग प्रयोगशाला तक ही सीमित था। इस दौरान इतालवी वैज्ञानिक मार्कोनी कई मील तक विद्युतचुंबकीय तरंगें भेजने में सफल रहे।

(C) मैक्सवेल के विद्युतचुंबकत्व के सिद्धांत के अनुसार,एक स्थिर विद्युत आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई आवेश एकसमान वेग से गति करता है,तो वह विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है,लेकिन वह ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है।
हालाँकि,जब कोई आवेश त्वरित होता है,तो वह समय के साथ परिवर्तित होने वाला विद्युत क्षेत्र और समय के साथ परिवर्तित होने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं।
इसलिए,आवेशों द्वारा विद्युतचुंबकीय तरंगों के उत्सर्जन के लिए त्वरण एक आवश्यक शर्त है।

(B) $1887$ में,जर्मन भौतिक विज्ञानी $Heinrich \text{ } Hertz$ ने पहली बार प्रयोगशाला में विद्युत चुंबकीय तरंगों को सफलतापूर्वक उत्पन्न किया और उनका पता लगाया। इस प्रायोगिक सत्यापन ने $James \text{ } Clerk \text{ } Maxwell$ द्वारा विद्युत चुंबकीय तरंगों के अस्तित्व के संबंध में की गई सैद्धांतिक भविष्यवाणियों की पुष्टि की। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(N/A) प्रकाश के तरंग सिद्धांत को स्थापित करने में मुख्य कठिनाई यह थी कि,चूंकि तरंगों को पारंपरिक रूप से प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है,इसलिए यह स्पष्ट नहीं था कि प्रकाश तरंगें निर्वात में कैसे यात्रा कर सकती हैं।
जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने विद्युत और चुंबकत्व के नियमों का वर्णन करने वाले समीकरणों का एक सेट विकसित करके इस समस्या का समाधान किया। इन समीकरणों से,उन्होंने एक तरंग समीकरण प्राप्त किया जिसने विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अस्तित्व की भविष्यवाणी की।
मैक्सवेल ने मुक्त स्थान में इन विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति की गणना की और पाया कि सैद्धांतिक मान प्रकाश की मापी गई गति से मेल खाता है। नतीजतन,उन्होंने प्रस्तावित किया कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है।
मैक्सवेल के अनुसार,प्रकाश तरंगें दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बनी होती हैं। एक बदलता हुआ विद्युत क्षेत्र समय-परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है,और एक बदलता हुआ चुंबकीय क्षेत्र समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह स्व-स्थायी प्रक्रिया विद्युत चुम्बकीय तरंगों को भौतिक माध्यम के बिना निर्वात में फैलने की अनुमति देती है।
जबकि किरण प्रकाशिकी (सरल रेखीय प्रसार पर आधारित) परावर्तन और अपवर्तन जैसी घटनाओं की व्याख्या करती है,तरंग प्रकाशिकी विवर्तन और व्यतिकरण जैसी घटनाओं की व्याख्या करती है,जहाँ प्रकाश अपनी तरंग दैर्ध्य (लगभग $0.5 \ \mu m$) के आकार के अवरोधों के चारों ओर मुड़ जाता है।

(A) विद्युत चुंबकीय तरंगों के अस्तित्व की भविष्यवाणी सैद्धांतिक रूप से जेम्स क्लार्क मैक्सवेल द्वारा $1865$ में की गई थी। हालाँकि,यह हेनरिक हर्ट्ज़ थे जिन्होंने $1887$ में स्पार्क-गैप ट्रांसमीटर का उपयोग करके पहली बार प्रयोगात्मक रूप से विद्युत चुंबकीय तरंगें उत्पन्न कीं और उनका पता लगाया। इस प्रयोग ने मैक्सवेल के सिद्धांत की पुष्टि की।

(A) रेडियो संचार के प्रारंभिक प्रयोगों में,विशेष रूप से जगदीश चंद्र बोस और गुग्लिएल्मो मार्कोनी द्वारा किए गए प्रयोगों में,रेडियो तरंगों का पता लगाने के लिए $Coherer$ (कोहेरर) का उपयोग किया जाता था। $Coherer$ धातु के बुरादे से भरी एक नली होती है जो विद्युत चुम्बकीय तरंगों के संपर्क में आने पर अपने विद्युत प्रतिरोध को बदल लेती है,जिससे सिग्नल का पता लगाना संभव हो जाता है।

(B) निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति मैक्सवेल के समीकरणों से प्राप्त संबंध द्वारा दी जाती है।
विद्युत चुम्बकत्व के सिद्धांत के अनुसार,मुक्त स्थान में प्रकाश की गति $c$,मुक्त स्थान की पारगम्यता ${\mu _0}$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता ${\epsilon _0}$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
यह संबंध दर्शाता है कि प्रकाश की गति निर्वात के मूलभूत विद्युत चुम्बकीय स्थिरांकों द्वारा निर्धारित होती है।

(A) रेडियो तरंगें चालक तारों या एंटीना में इलेक्ट्रॉनों के त्वरित और मंदित होने (त्वरण और मंदन) से उत्पन्न होती हैं। जब एक प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ एंटीना से होकर गुजरती है,तो इलेक्ट्रॉन आगे-पीछे दोलन करते हैं। आवेशों की यह दोलन गति समय के साथ बदलने वाला विद्युत क्षेत्र बनाती है,जो बदले में समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। ये परस्पर लंबवत,समय के साथ बदलने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र अंतरिक्ष में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं,जिन्हें रेडियो तरंगें कहा जाता है।

(B) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$ कनेक्टिंग तारों से बहने वाली चालन धारा $I_c$ के बराबर होती है,जिसे प्लेटों पर आवेश के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I_d = I_c = \frac{dq}{dt}$
दिया गया आवेश $q = q_0 \cos(2\pi \nu t)$ है,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$I_d = \frac{d}{dt} [q_0 \cos(2\pi \nu t)]$
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos(kx)$ का अवकलन $-k \sin(kx)$ होता है:
$I_d = q_0 \cdot [-\sin(2\pi \nu t)] \cdot (2\pi \nu)$
$I_d = -2\pi \nu q_0 \sin(2\pi \nu t)$

(B) धारितीय प्रतिघात $X_{c}$ का सूत्र $X_{c} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
परिपथ में चालन धारा $I_{c}$ को $I_{c} = \frac{V}{X_{c}} = V(2 \pi f C)$ द्वारा दिया जाता है।
एम्पीयर के नियम में मैक्सवेल के संशोधन के अनुसार,विस्थापन धारा $I_{d}$ परिपथ की चालन धारा $I_{c}$ के बराबर होती है,इसलिए $I_{d} = I_{c} = 2 \pi f C V$ है।
चूंकि $I_{d} \propto f$ है,यदि आवृत्ति $f$ घटती है,तो विस्थापन धारा $I_{d}$ भी घट जाएगी।

(N/A) समानांतर-प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार लूप मानिए। एम्पीयर-मैक्सवेल नियम के अनुसार,इस लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का रेखीय समाकल है:
$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_d$
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$
चूंकि प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान है,इसलिए $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E \cdot A = E(\pi r^2)$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt}(E \pi r^2)$
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \pi r^2 \frac{dE}{dt}$
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 \epsilon_0 r}{2} \cdot \frac{dE}{dt}$

(N/A) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$ का सूत्र $I_d = C \frac{dV}{dt}$ होता है।
दिया गया है:
धारिता $C = 2 \,\mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$
विस्थापन धारा $I_d = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$
हमें विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $I_d = C \frac{dV}{dt}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C} = \frac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^3 = 500 \, V/s$.
अतः,प्लेटों के बीच विभवांतर को $500 \, V/s$ की दर से बदलकर,$1 \, mA$ की तात्कालिक विस्थापन धारा स्थापित की जा सकती है।

(N/A) अनंत लंबाई के आवेशित तार से $a$ त्रिज्यीय दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,गॉस के नियम के अनुसार $\vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a} \hat{r}$ होता है,जहाँ $\hat{r}$ $xy-$समतल में त्रिज्यीय इकाई सदिश है।
गतिमान आवेशित तार विद्युत धारा $I = \lambda v$ उत्पन्न करता है। एम्पीयर के नियम के अनुसार तार से $a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \hat{\phi} = \frac{\mu_0 \lambda v}{2\pi a} \hat{\phi}$ होता है,जहाँ $\hat{\phi}$ अज़ीमुथल इकाई सदिश है।
पॉइंटिंग सदिश की परिभाषा $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$ है।
$\vec{E}$ और $\vec{B}$ के मान रखने पर:
$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \left( \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a} \hat{r} \times \frac{\mu_0 \lambda v}{2\pi a} \hat{\phi} \right)$
$\vec{S} = \frac{\lambda^2 v}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} (\hat{r} \times \hat{\phi})$
चूंकि $\hat{r} \times \hat{\phi} = \hat{k}$ ($z-$अक्ष की दिशा में इकाई सदिश),
$\vec{S} = \frac{\lambda^2 v}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} \hat{k}$.

(4/9) मान लीजिए कि संधारित्र की दो प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है और लगाया गया वोल्टेज $V(t) = V_0 \sin(2\pi vt)$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V_0}{d} \sin(2\pi vt)$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,चालन धारा घनत्व $J_c = \sigma E = \frac{E}{\rho} = \frac{V_0}{\rho d} \sin(2\pi vt)$ है।
मान लीजिए $J_0^c = \frac{V_0}{\rho d}$,तो $J_c = J_0^c \sin(2\pi vt)$ है।
विस्थापन धारा घनत्व $J_d = \epsilon \frac{\partial E}{\partial t} = \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{V_0}{d} \sin(2\pi vt) \right] = \frac{\epsilon (2\pi v) V_0}{d} \cos(2\pi vt)$ है।
मान लीजिए $J_0^d = \frac{2\pi v \epsilon V_0}{d}$,तो $J_d = J_0^d \cos(2\pi vt)$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{J_0^d}{J_0^c} = \frac{2\pi v \epsilon V_0}{d} \times \frac{\rho d}{V_0} = 2\pi v \epsilon \rho$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\epsilon = 80\epsilon_0$,$\rho = 0.25\,\Omega m$,और $v = 4 \times 10^8\, Hz$.
$\frac{J_0^d}{J_0^c} = 2\pi v (80\epsilon_0) \rho = 160\pi \epsilon_0 v \rho$.
$4\pi\epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$ का उपयोग करते हुए,हमें $160\pi\epsilon_0 = 40 \times (4\pi\epsilon_0) = \frac{40}{9 \times 10^9}$ प्राप्त होता है।
$\frac{J_0^d}{J_0^c} = \frac{40}{9 \times 10^9} \times (4 \times 10^8) \times 0.25 = \frac{40 \times 4 \times 10^8 \times 0.25}{9 \times 10^9} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$।

(N/A) $(i)$ विस्थापन धारा घनत्व $\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{E}(s,t) = \mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}$.
$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} [\mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}] = \epsilon_0 \mu_0 I_0 \nu \ln(s/a) \hat{k} \cdot \frac{d}{dt} [\cos(2\pi \nu t)]$.
चूंकि $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$,हमें प्राप्त होता है $\vec{J}_d = \frac{1}{c^2} I_0 \nu \ln(s/a) \hat{k} \cdot (-2\pi \nu \sin(2\pi \nu t)) = -\frac{2\pi \nu^2 I_0}{c^2} \ln(s/a) \sin(2\pi \nu t) \hat{k}$.
$\lambda = c/\nu$ का उपयोग करते हुए,$\vec{J}_d = \frac{2\pi I_0}{\lambda^2} \ln(a/s) \sin(2\pi \nu t) \hat{k}$.
$(ii)$ कुल विस्थापन धारा $I_d = \int \vec{J}_d \cdot d\vec{A} = \int_0^a J_d (2\pi s ds)$.
$I_d = \int_0^a \frac{2\pi I_0}{\lambda^2} \ln(a/s) \sin(2\pi \nu t) (2\pi s ds) = \frac{4\pi^2 I_0 \sin(2\pi \nu t)}{\lambda^2} \int_0^a s \ln(a/s) ds$.
मान लीजिए $x = s/a$,तो $ds = a dx$। समाकलन $a^2 \int_0^1 x \ln(1/x) dx = a^2 \int_0^1 -x \ln x dx = a^2 [1/4] = a^2/4$ बन जाता है।
अतः,$I_d = \frac{4\pi^2 I_0 \sin(2\pi \nu t)}{\lambda^2} \cdot \frac{a^2}{4} = I_0 \sin(2\pi \nu t) (\frac{\pi a}{\lambda})^2$.
$(iii)$ $I_d$ की $I(t) = I_0 \sin(2\pi \nu t)$ से तुलना करने पर,हमें $I_d = I(t) (\frac{\pi a}{\lambda})^2$ प्राप्त होता है। चूंकि $a << \lambda$,विस्थापन धारा चालन धारा की तुलना में बहुत कम है।

(A) $1887$ में,विद्युतचुंबकीय तरंगें उत्पन्न करने के प्रयोग करते समय,हेनरिक हर्ट्ज़ ने देखा कि जब रिसीवर की धातु की सतह को आर्क लैंप से आने वाले पराबैंगनी प्रकाश से प्रकाशित किया जाता है,तो रिसीवर के गैप में चिंगारियों (sparks) का उत्पादन बढ़ जाता है। इस घटना को बाद में प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के रूप में पहचाना गया।

(D) चालन धारा घनत्व $J_{c} = \sigma E = \frac{E}{\rho} = \frac{V(t)}{\rho d}$ है।
विस्थापन धारा घनत्व $J_{d} = \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t} = \varepsilon \frac{1}{d} \frac{dV}{dt} = \frac{\varepsilon}{d} V_{0} (2 \pi f) \cos(2 \pi ft)$ है।
दिया गया है कि $J_{c} = 10^{x} J_{d}$,इसलिए $\frac{V_{0} \sin(2 \pi ft)}{\rho d} = 10^{x} \frac{\varepsilon}{d} V_{0} (2 \pi f) \cos(2 \pi ft)$.
यह समीकरण $\tan(2 \pi ft) = 10^{x} \cdot \rho \cdot \varepsilon \cdot 2 \pi f$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $f = 900 \, Hz$,$t = \frac{1}{800} \, s$,$\rho = 0.25 \, \Omega m$,और $\varepsilon = 80 \varepsilon_{0}$ है।
$2 \pi ft = 2 \pi \times 900 \times \frac{1}{800} = \frac{9 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\tan(2 \pi ft) = \tan(\pi/4) = 1$.
अब,$1 = 10^{x} \times 0.25 \times 80 \varepsilon_{0} \times 2 \pi \times 900$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9}$ का उपयोग करते हुए,$\varepsilon_{0} = \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}}$.
$1 = 10^{x} \times 20 \times \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}} \times 1800 \pi = 10^{x} \times \frac{36000}{36 \times 10^{9}} = 10^{x} \times 10^{-6}$.
$10^{x} = 10^{6}$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है।

(A) संधारित्र पर आवेश $q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वोल्टेज $V = V_{0} \sin \omega t$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $q = C V_{0} \sin \omega t$ प्राप्त होता है।
विस्थापन धारा $I_{d}$ संधारित्र की प्लेटों पर आवेश के परिवर्तन की दर के बराबर होती है,जो कि $I_{d} = \frac{dq}{dt}$ है।
$I_{d} = \frac{d}{dt} (C V_{0} \sin \omega t)$.
चूंकि $C$ और $V_{0}$ स्थिरांक हैं,इसलिए $I_{d} = C V_{0} \frac{d}{dt} (\sin \omega t)$.
$\sin \omega t$ का अवकलन $\omega \cos \omega t$ होता है,इसलिए $I_{d} = C V_{0} \omega \cos \omega t$.
अतः,$I_{d} = V_{0} \omega C \cos \omega t$ प्राप्त होता है।

(D) समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 4.425 \times 10^{-9} \, F$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100 \pi \, rad/s$ है।
धारा का आयाम $I_0$,$I_0 = V_0 \omega C$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I_0 = 20 \times (100 \pi) \times (4.425 \times 10^{-9})$.
$I_0 = 2000 \times 3.14159 \times 4.425 \times 10^{-9} \approx 27.79 \times 10^{-6} \, A$.
अतः,विस्थापन धारा का आयाम $27.79 \, \mu A$ है।

(C) समानांतर प्लेट संधारित्र में विस्थापन धारा $I_{d}$ का सूत्र है: $I_{d} = \varepsilon_{0} A \frac{dE}{dt} = \varepsilon_{0} A \frac{d}{dt} (\frac{V}{d}) = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \frac{dV}{dt}$.
दिए गए मान:
$I_{d} = 4.425 \times 10^{-6} \,A$
$\frac{dV}{dt} = 10^{6} \,V s^{-1}$
$A = 40 \,cm^{2} = 40 \times 10^{-4} \,m^{2} = 4 \times 10^{-3} \,m^{2}$
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \,C^{2} N^{-1} m^{-2}$
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{\varepsilon_{0} A}{I_{d}} \frac{dV}{dt}$
मान रखने पर:
$d = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-3} \times 10^{6}}{4.425 \times 10^{-6}}$
$d = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-9}}{4.425 \times 10^{-6}}$
$d = 2 \times 4 \times 10^{-3} \,m = 8 \times 10^{-3} \,m$
इसे $x \times 10^{-3} \,m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(C-D) चुंबकीय आवेशों वाली दुनिया के लिए संशोधित मैक्सवेल-एम्पियर नियम के अनुसार,चुंबकीय $emf$ $\oint B \cdot dl = \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
सर्किट के माध्यम से विद्युत फ्लक्स $\phi_{E} = E \cdot A = E \cdot (l \cdot x)$ है,जहाँ $x$ छड़ की स्थिति है।
विद्युत फ्लक्स के परिवर्तन की दर $\frac{d\phi_{E}}{dt} = E \cdot l \cdot \frac{dx}{dt} = E \cdot l \cdot v$ है।
इस मान को $emf$ समीकरण में रखने पर,हमें $emf = \mu_{0} \epsilon_{0} E l v$ प्राप्त होता है।
चूँकि $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$,इसलिए $emf = \frac{E v l}{c^{2}}$ होता है।
प्रेरित चुंबकीय करंट की दिशा विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा पर निर्भर करती है। यदि $E$ बाहर की ओर निर्देशित है,तो करंट दक्षिणावर्त होगा; यदि $E$ अंदर की ओर निर्देशित है,तो करंट वामावर्त होगा। अतः,$E$ के अभिविन्यास के आधार पर विकल्प $(c)$ और $(d)$ दोनों संभव हैं।

(D) विस्थापन धारा $I_d$ को सूत्र $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\phi_E$ विद्युत फ्लक्स है।
चूंकि विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E \cdot A = \frac{V}{d} \cdot A$ होता है (जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है),विस्थापन धारा विभवांतर के समय के साथ परिवर्तन की दर के समानुपाती होती है: $I_d = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \frac{dV}{dt}$।
अतः,विस्थापन धारा के अस्तित्व के लिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ का समय के साथ बदलना आवश्यक है (अर्थात,$\frac{dV}{dt} \neq 0$)।

(A) प्लेटों के बीच कुल विस्थापन धारा $I_d$,तारों में प्रवाहित चालन धारा $i$ के बराबर होती है,इसलिए $I_d = i = \varepsilon_0 A \frac{dE}{dt} = \varepsilon_0 (\pi R^2) \frac{dE}{dt}$ है।
विस्थापन धारा घनत्व $J_d$ प्लेटों पर समान है,जो $J_d = \frac{I_d}{A} = \frac{i}{\pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{R}{2}$ और $r = R$ के बीच के वलयाकार क्षेत्र में विस्थापन धारा $I_d'$,उस क्षेत्रफल पर धारा घनत्व का समाकलन है:
$I_d' = J_d \times A' = \frac{i}{\pi R^2} \times [\pi R^2 - \pi (\frac{R}{2})^2]$
$I_d' = \frac{i}{\pi R^2} \times [\pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4}]$
$I_d' = \frac{i}{\pi R^2} \times [\frac{3}{4} \pi R^2] = \frac{3}{4} i$.

(C) हर्ट्ज़ प्रयोग विद्युतचुंबकीय तरंगों के अस्तित्व का पहला प्रायोगिक प्रदर्शन था।
इस प्रयोग में,हेनरिक हर्ट्ज़ ने एक इंडक्शन कॉइल का उपयोग करके स्पार्क गैप में उच्च वोल्टेज की चिंगारी उत्पन्न की,जो एक ट्रांसमीटर के रूप में कार्य करके विद्युतचुंबकीय तरंगें उत्पन्न करती थी।
उन्होंने एक छोटे स्पार्क गैप वाले एक अलग लूप का भी उपयोग किया,जो इन तरंगों का पता लगाने (detect करने) के लिए रिसीवर के रूप में कार्य करता था।
इसलिए,हर्ट्ज़ प्रयोग का उपयोग विद्युतचुंबकीय तरंगों के उत्पादन और संसूचन दोनों के लिए किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) धारा की निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार,संयोजी तारों में चालन धारा (conduction current),संधारित्र की प्लेटों के बीच विस्थापन धारा (displacement current) के बराबर होती है।
चूंकि परिपथ में चालन धारा $i$ दी गई है,इसलिए संधारित्र की प्लेटों के बीच विस्थापन धारा $i_d$ भी $i$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$i_d = i$.

(A) समांतर प्लेट संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$ परिपथ में बहने वाली चालन धारा $I$ के बराबर होती है।
संधारित्र में धारा का सूत्र $I = C \frac{dV}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ धारिता $C = \frac{1}{2} \text{ F}$ और विस्थापन धारा $I_d = I$ दी गई है,इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{dV}{dt}$.
$\frac{dV}{dt}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 2I$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मैक्सवेल के चार समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. स्थिर वैद्युतकी में गॉस का नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$ $(A-IV)$
$2$. फैराडे का प्रेरण नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = -\frac{d \phi_B}{d t}$ $(B-I)$
$3$. चुंबकत्व में गॉस का नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$ $(C-II)$
$4$. एम्पियर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 i_C + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d \phi_E}{d t}$ $(D-III)$
अतः,सही मिलान $A-IV, B-I, C-II, D-III$ है।

(C) मैक्सवेल के समीकरण यह बताते हैं कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे द्वारा और आवेशों तथा धाराओं द्वारा कैसे उत्पन्न और परिवर्तित होते हैं।
फैराडे का प्रेरण नियम,जो $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\partial \phi_B}{\partial t}$ द्वारा दिया गया है,यह बताता है कि समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय फ्लक्स एक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करता है।
स्थिर स्थितियों में,चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B$ समय के सापेक्ष स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{\partial \phi_B}{\partial t} = 0$ होता है,जो समीकरण को $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ में बदल देता है।
हालाँकि यह समीकरण स्थिर स्थितियों में भी सत्य है,लेकिन इसे विशेष रूप से विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की घटना का वर्णन करने के लिए परिभाषित किया गया है जो केवल समय के साथ बदलने वाली स्थितियों में होती है।

$(A)$ समय के साथ परिवर्तित होने वाला चुंबकीय क्षेत्र समय के साथ बदलती विद्युत धारा द्वारा उत्पन्न होता है।
$1$. एक स्थायी चुंबक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$2$. समय के साथ रैखिक रूप से बदलने वाला विद्युत क्षेत्र एक स्थिर विस्थापन धारा $(I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})$ उत्पन्न करता है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त होता है, न कि समय के साथ बदलने वाला।
$3$. दिष्ट धारा $(DC)$ एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
$4$. मंदित गति करता हुआ आवेशित कण एक त्वरित आवेश है, जो समय के साथ बदलते विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र (विद्युतचुंबकीय तरंगें) उत्पन्न करता है।
$5$. डिजिटल सिग्नल से युक्त एंटीना में तेजी से बदलती धाराएं होती हैं, जो समय के साथ परिवर्तित होने वाले चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं।
अतः, $(D)$ और $(E)$ दोनों समय के साथ परिवर्तित होने वाले चुंबकीय क्षेत्र के स्रोत हैं।

(A) मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. एम्पीयर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ ($A-IV$ से मेल खाता है)
$2$. फैराडे का प्रेरण नियम: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ ($B-III$ से मेल खाता है)
$3$. विद्युत के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ ($C-I$ से मेल खाता है)
$4$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ ($D-II$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-I, D-II$ है।

(D) मैक्सवेल के समीकरण समाकलित रूप में इस प्रकार हैं:
$A$. स्थिर-चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0$ $(A-II)$.
$B$. विद्युत चुंबकीय प्रेरण के लिए फैराडे का नियम बताता है कि एक बंद लूप में प्रेरित विद्युत वाहक बल लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के ऋणात्मक मान के बराबर होता है: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int \vec{B} \cdot d\vec{a}$ $(B-III)$.
$C$. एम्पियर का नियम (अपने मूल रूप में) एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के रेखा समाकल को लूप द्वारा घिरी सतह से गुजरने वाली धारा से संबंधित करता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$ $(C-IV)$.
$D$. स्थिर-विद्युत के लिए गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स कुल घिरे हुए आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता के अनुपात के बराबर होता है: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho dV$ $(D-I)$.
अतः,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(D) संधारित्र में विस्थापन धारा $(I_d)$, परिपथ में बहने वाली चालन धारा $(I_c)$ के बराबर होती है।
धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$
दिया गया है:
$V_{max} = 40 \, V$
$f = 4 \, kHz = 4 \times 10^3 \, Hz$
$C = 12 \, \mu F = 12 \times 10^{-6} \, F$
$X_C$ की गणना करने पर:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 4 \times 10^3 \times 12 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{8 \pi \times 12 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.3016} \approx 3.317 \, \Omega$
अधिकतम धारा $(I_{max})$ है:
$I_{max} = \frac{V_{max}}{X_C} = \frac{40}{3.317} \approx 12.06 \, A$
अतः, अधिकतम विस्थापन धारा लगभग $12 \, A$ है।

(A) संशोधित एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,कुल धारा चालन धारा $(I_C)$ और विस्थापन धारा $(I_D)$ का योग है: $\oint B \cdot dl = \mu_0(I_C + I_D)$।
तार में,केवल चालन धारा $I_C = I$ होती है,और विस्थापन धारा $I_D = 0$ होती है।
प्लेटों के बीच के अंतराल में,कोई चालन धारा नहीं होती है $(I_C = 0)$,लेकिन बदलता हुआ विद्युत क्षेत्र एक विस्थापन धारा $I_D$ उत्पन्न करता है।
धारा की निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार,अंतराल में विस्थापन धारा तार में चालन धारा के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $I_D = I_C = I$।
यह विस्थापन धारा परिपथ में कुल धारा की निरंतरता बनाए रखने के लिए चालन धारा की दिशा में ही प्रवाहित होती है।

(C) संधारित्र प्लेटों के अनुप्रस्थ काट पर विस्थापन धारा घनत्व $J_d$ समान होता है।
$J_d = \frac{I}{A} = \frac{6 \ A}{16 \ cm^2}$.
छोटे क्षेत्रफल $A_0$ से गुजरने वाली विस्थापन धारा $I_d$ को $I_d = J_d \times A_0$ द्वारा दिया जाता है।
$I_d = \left( \frac{6}{16} \right) \times 3.2 \ A$.
$I_d = 0.375 \times 3.2 \ A = 1.2 \ A$.
चूंकि $1 \ A = 1000 \ mA$,इसलिए विस्थापन धारा $1.2 \times 1000 \ mA = 1200 \ mA$ है।

(D) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I_d = C \frac{dV}{dt}$.
यहाँ,$C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$ और $I_d = 0.25 \text{ mA} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-6}}$.
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25}{2.5} \times 10^{3} = 0.1 \times 1000 = 100 \text{ V s}^{-1}$.
अतः,विभवांतर के परिवर्तन की दर का परिमाण $100 \text{ V s}^{-1}$ है।

(D) एम्पीयर के नियम में मैक्सवेल के संशोधन के अनुसार,विस्थापन धारा $i_d$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$i_d = \varepsilon_0 \frac{d \phi_{E}}{dt}$
चूंकि $i_d$ एक धारा को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमाएँ विद्युत धारा की विमाओं के समान होती हैं।
अतः,$\left(\varepsilon_0 \frac{d \phi_{E}}{dt}\right)$ की विमाएँ विद्युत धारा की विमाओं के बराबर हैं।

(C) विस्थापन धारा $I_d$ को $I_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_e}{dt} = \epsilon_0 \frac{d}{dt}(EA \cos 0^{\circ})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$,इसलिए $I_d = \epsilon_0 A \frac{d}{dt}(\frac{\sigma}{\epsilon_0}) = A \frac{d\sigma}{dt}$ है।
यह दिया गया है कि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ एक स्थिर दर से बढ़ता है,इसलिए $\frac{d\sigma}{dt}$ स्थिर है,अतः $I_d$ स्थिर है।
एम्पीयर-मैक्सवेल नियम का उपयोग करते हुए,अक्ष से $r$ दूरी पर (प्लेटों के अंदर,$r < R$) चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B(2\pi r) = \mu_0 I_{enclosed} = \mu_0 I_d (\frac{\pi r^2}{\pi R^2})$ है।
इस प्रकार,$B = \frac{\mu_0 I_d r}{2\pi R^2}$ प्राप्त होता है।
$r > R$ (प्लेटों के बाहर) के लिए,$B(2\pi r) = \mu_0 I_d$,इसलिए $B = \frac{\mu_0 I_d}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र हर जगह गैर-शून्य है और यह सीमा $r = R$ (प्लेटों की परिधि को जोड़ने वाली काल्पनिक बेलनाकार सतह) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(A) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$,संयोजी तारों से बहने वाली चालन धारा $I_c$ के बराबर होती है,जिसे सूत्र $I_d = I_c = C \frac{dV}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
धारिता $C = 1 \ \mu F = 1 \times 10^{-6} \ F$.
विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 4 \ V/s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_d = (1 \times 10^{-6} \ F) \times (4 \ V/s) = 4 \times 10^{-6} \ A = 4 \ \mu A$.
अतः,विस्थापन धारा $4 \ \mu A$ है।

(B) विस्थापन धारा $I_d$ को $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\Phi_E$ सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है।
एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान होता है और इसे $E = \frac{q}{\epsilon_0 A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ प्लेटों पर आवेश है।
प्लेटों के समानांतर $A'$ क्षेत्रफल से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = E \cdot A' = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot A'$ है।
$A' = A/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot \frac{A}{2} = \frac{q}{2\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
विस्थापन धारा $I_d = \epsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \frac{q}{2\epsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \frac{dq}{dt}$ है।
चूंकि चार्जिंग धारा $I = \frac{dq}{dt}$ है,इसलिए $I_d = \frac{I}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगों के अस्तित्व की पुष्टि सबसे पहले $1887$ में जर्मन भौतिक विज्ञानी हेनरिक हर्ट्ज़ द्वारा प्रयोगात्मक रूप से की गई थी। उन्होंने विद्युतचुंबकीय तरंगों को उत्पन्न करने और उनका पता लगाने के लिए एक स्पार्क-गैप ट्रांसमीटर का उपयोग किया,जिससे मैक्सवेल के सैद्धांतिक पूर्वानुमानों की पुष्टि हुई।

(A) सही उत्तर $A$ है।
विस्थापन धारा $(i_{d})$ वह धारा है जो समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र के कारण उत्पन्न होती है।
विस्थापन धारा के लिए गणितीय व्यंजक इस प्रकार है:
$i_{d} = \varepsilon_{0} \frac{d}{dt}(\phi_{E})$
जहाँ $\phi_{E}$ विद्युत फ्लक्स है।
चूंकि $\phi_{E} = E \cdot A$,एक नियत क्षेत्रफल $A$ के लिए,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$i_{d} = \varepsilon_{0} A \frac{dE}{dt}$
अतः,एक परिवर्ती (बदलता हुआ) विद्युत क्षेत्र विस्थापन धारा का स्रोत है।

(A) हर्ट्ज़ के प्रयोग में,उच्च-वोल्टेज इंडक्शन कॉइल से जुड़ी दो धातु की छड़ें एक संधारित्र (capacitor) की प्लेटों के रूप में कार्य करती हैं। जब छड़ों के बीच विभवांतर पर्याप्त रूप से उच्च हो जाता है,तो उनके बीच की हवा का ब्रेकडाउन हो जाता है,जिससे गैप में चिंगारी (spark) उत्पन्न होती है। आवेश के इन दोलनों से विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न होती हैं।