Maxwell's equations , Concept of displacement current and Hertz experiment Questions in Hindi

(D) एम्पीयर-मैक्सवेल नियम,एम्पीयर के नियम का एक संशोधित रूप है जो विस्थापन धारा (displacement current) को ध्यान में रखता है।
इसका गणितीय समीकरण इस प्रकार है:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} i_{c} + \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$
जहाँ:
- $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ चुंबकीय क्षेत्र का रेखीय समाकल है।
- $i_{c}$ चालन धारा (conduction current) है।
- $\varepsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$ विस्थापन धारा $(i_{d})$ है।
- $\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।
- $\varepsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) विद्युतचुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,विद्युतचुंबकीय तरंगें त्वरित आवेशों द्वारा उत्पन्न होती हैं।
विराम अवस्था में स्थित विद्युत आवेश केवल एक स्थिर विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
एकसमान वेग से गति करने वाला आवेश एक स्थिर विद्युत धारा उत्पन्न करता है,जो एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र बनाता है,लेकिन यह विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है।
वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाला आवेश अभिकेंद्री त्वरण का अनुभव करता है,जो त्वरित गति का एक रूप है।
इसलिए,वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाला आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य करता है।

(C) विद्युतचुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,विराम अवस्था में स्थित आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। एक समान वेग से गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है,लेकिन यह ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है। एक त्वरित आवेश समय के साथ बदलने वाला विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो बदले में समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। इस निरंतर प्रक्रिया के परिणामस्वरूप अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों का प्रसार होता है।

(B) मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. विद्युत के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
$2$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$
$3$. फैराडे का प्रेरण नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{\ell} = -\frac{d \phi_B}{dt}$
$4$. एम्पियर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{\ell} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d \phi_E}{dt}$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समीकरण $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ गलत है क्योंकि एक बंद सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।

(C) संशोधित एम्पीयर-मैक्सवेल नियम का व्यंजक है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (i_c + i_d)$.
यहाँ,$i_d$ विस्थापन धारा (displacement current) है,जिसे $i_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( i_c + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} \right)$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि समय के साथ परिवर्तित होने वाला विद्युत क्षेत्र $(\frac{d\phi_E}{dt})$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यही संशोधित एम्पीयर के नियम का सार है।

(C) मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुसार,स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
एकसमान वेग से गति करने वाला आवेश विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र उत्पन्न करता है,लेकिन ये क्षेत्र समय के साथ इस तरह से परिवर्तित नहीं होते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंगें उत्पन्न हो सकें।
जब कोई आवेश त्वरित या मंदित गति करता है,तो वह समय के साथ परिवर्तित होने वाला विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
ये समय के साथ परिवर्तित होने वाले क्षेत्र अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं।
इसलिए,विद्युतचुंबकीय तरंगें केवल त्वरित या मंदित आवेशों द्वारा ही उत्पन्न होती हैं।

(C) विद्युतचुंबकत्व के शास्त्रीय सिद्धांत के अनुसार,स्थिर विद्युत आवेश केवल एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
एक समान वेग से गतिमान विद्युत आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है,लेकिन यह ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है।
हालाँकि,एक त्वरित विद्युत आवेश समय के साथ बदलने वाला विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो बदले में समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
ये समय के साथ बदलने वाले क्षेत्र अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं।
इसलिए,एक त्वरित विद्युत आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगों का स्रोत होता है।

(C) $A \rightarrow (iii)$: विद्युत के लिए गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
$B \rightarrow (i)$: चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,अर्थात $\oint B \cdot dA = 0$।
$C \rightarrow (ii)$: फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल है,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi_B}{dt}$।
$D \rightarrow (iv)$: एम्पीयर-मैक्सवेल नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र का रेखा समाकल $\oint B \cdot dl = \mu_0(i_c + i_d)$ होता है,जहाँ $i_c$ चालन धारा है और $i_d$ विस्थापन धारा है।

(C) दिया गया है:
प्लेटों की त्रिज्या, $r = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$
प्लेटों के बीच की दूरी, $d = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$
विभवांतर के परिवर्तन की दर, $\frac{dV}{dt} = 5 \times 10^6 \,Vs^{-1}$
निर्वात की विद्युतशीलता, $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$
प्लेटों का क्षेत्रफल, $A = \pi r^2 = \pi \times (2 \times 10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4} \,m^2$
विस्थापन धारा $I_d$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 A \frac{dE}{dt}$
चूंकि $E = \frac{V}{d}$, इसलिए $\frac{dE}{dt} = \frac{1}{d} \frac{dV}{dt}$
अतः, $I_d = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{dV}{dt}$
मान रखने पर:
$I_d = (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{4\pi \times 10^{-4}}{10^{-4}} \times (5 \times 10^6)$
$I_d = 8.85 \times 10^{-12} \times 4\pi \times 5 \times 10^6$
$I_d = 8.85 \times 20\pi \times 10^{-6} \,A$
$I_d \approx 8.85 \times 62.83 \times 10^{-6} \,A$
$I_d \approx 556 \times 10^{-6} \,A = 0.556 \,mA$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) चालन धारा $I_c = \frac{V}{R} = V \sigma A / d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma = 1/\rho$ चालकता है। आयाम $I_{c,0} = \frac{V_0}{\rho} \frac{A}{d}$ है।
विस्थापन धारा $I_d = \epsilon_0 \epsilon_r A \frac{dE}{dt} = \epsilon_0 \epsilon_r A \frac{d}{dt} (V/d) = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d} \omega V_0 \cos(\omega t)$ द्वारा दी जाती है। आयाम $I_{d,0} = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A \omega V_0}{d}$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{I_{d,0}}{I_{c,0}} = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A \omega V_0 / d}{V_0 A / (\rho d)} = \epsilon_0 \epsilon_r \omega \rho$ है।
दिया गया है $\epsilon_r = 80$,$\rho = 0.25 \, \Omega m$,$f = 0.4 \times 10^9 \, Hz$,और $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.4 \times 10^9) = 0.8 \pi \times 10^9 \, rad/s$.
$\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \, F/m$ का उपयोग करते हुए,अनुपात $\frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 80 \times (0.8 \pi \times 10^9) \times 0.25 = \frac{80 \times 0.8 \times 0.25}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ है।

(C) एम्पियर-मैक्सवेल नियम के अनुसार,आवेशित होते संधारित्र की प्लेटों के बीच अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ को $r$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के रेखीय समाकल द्वारा दिया जाता है।
जब $r > R$ होता है,तो लूप द्वारा परिबद्ध विस्थापन धारा संधारित्र से गुजरने वाली कुल विस्थापन धारा $I_D$ के बराबर होती है।
एम्पियर-मैक्सवेल नियम लागू करने पर: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
चूंकि धारा $I_D$ है,इसलिए हमें $B(2 \pi r) = \mu_0 I_D$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I_D}{2 \pi r}$ है।

(A) विस्थापन धारा $I_d$ का सूत्र $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ है,जहाँ $\Phi_E$ लूप द्वारा परिबद्ध सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ केवल प्लेटों के बीच (त्रिज्या $R = 10 \ cm$ के भीतर) मौजूद है,इसलिए $r = 20 \ cm$ त्रिज्या वाले लूप से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_E = E \cdot A_{plate} = E \cdot \pi R^2$ होगा।
अतः,$I_d = \varepsilon_0 \frac{d}{dt}(E \cdot \pi R^2) = \varepsilon_0 \pi R^2 \frac{dE}{dt}$.
दिया गया है: $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$\frac{dE}{dt} = 3.6 \times 10^{12} \ V/(m \cdot s)$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2 \Rightarrow \varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \ F/m$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_d = \left( \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \right) \cdot \pi \cdot (0.1)^2 \cdot (3.6 \times 10^{12})$
$I_d = \frac{1}{36 \times 10^9} \cdot 0.01 \cdot 3.6 \times 10^{12}$
$I_d = \frac{3.6 \times 10^{10}}{36 \times 10^9} = \frac{36 \times 10^9}{36 \times 10^9} = 1 \ A$.

(B) दिया गया है: विस्थापन धारा,$i_{d} = 150 \times 10^{-6} \ A$. धारिता,$C = 30 \times 10^{-6} \ F$.
संधारित्र में विस्थापन धारा $i_{d}$ और उसकी प्लेटों के बीच विभवांतर के परिवर्तन की दर के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$i_{d} = C \frac{dv}{dt}$
विभव के परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{dt} = \frac{i_{d}}{C}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dv}{dt} = \frac{150 \times 10^{-6} \ A}{30 \times 10^{-6} \ F} = 5 \ Vs^{-1}$
अतः,संधारित्र $5 \ Vs^{-1}$ की दर से आवेशित हो रहा है।

(C) वैज्ञानिक मैक्सवेल ने एम्पीयर के नियम की आगे जांच की और पाया कि यह समय के साथ बदलने वाले विद्युत क्षेत्रों के लिए अधूरा था।
उन्होंने एम्पीयर के नियम को संशोधित करने के लिए विस्थापन धारा,$I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ की अवधारणा पेश की।
यह संशोधन,जिसे एम्पीयर-मैक्सवेल नियम के रूप में जाना जाता है,संधारित्र (capacitor) वाले सर्किट में धारा की निरंतरता के संबंध में एम्पीयर के मूल परिपथीय नियम की अस्पष्टता को हल करता है।

(B) विस्थापन धारा $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र के अंदर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए एम्पीयर-मैक्सवेल नियम का उपयोग करते हुए: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_d$.
चूंकि विद्युत क्षेत्र समान है,$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षेत्रफल से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_r = \phi_E \left( \frac{\pi r^2}{A} \right)$ है,जहाँ $A$ प्लेट का कुल क्षेत्रफल है।
अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \phi_E \frac{\pi r^2}{A} \right) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{r^2}{A} \frac{d\phi_E}{dt} \cdot \pi$.
$B = \frac{\mu_0 \varepsilon_0 r}{2A} \frac{d\phi_E}{dt}$.
दिया गया है $\frac{d\phi_E}{dt} = 7 \times 10^{14}$,$r = 0.1 \text{ m}$,$A = 1 \text{ m}^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$.
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(8.85 \times 10^{-12})(0.1)}{2(1)} (7 \times 10^{14}) \approx 7.79 \times 10^{-6} \text{ T} = 0.779 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(A) विस्थापन धारा $I_d$ का सूत्र $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $\frac{d\Phi_E}{dt}$ विद्युत फ्लक्स में परिवर्तन की दर है।
दिया गया है: $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ और $\frac{d\Phi_E}{dt} = 9 \pi \times 10^3 \text{ Vm s}^{-1}$।
मान रखने पर: $I_d = (8.854 \times 10^{-12}) \times (9 \times 3.14159 \times 10^3)$।
$I_d \approx 8.854 \times 10^{-12} \times 28.27 \times 10^3 \approx 250.3 \times 10^{-9} \text{ A} = 0.25 \mu \text{A}$।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र में विस्थापन धारा $I$ का सूत्र $I = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ है,जहाँ $\phi_E$ विद्युत फ्लक्स है।
प्लेटों के क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E_{field} \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_{field}$ प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र है।
इस मान को विस्थापन धारा के सूत्र में रखने पर,हमें $I = \varepsilon_0 \frac{d}{dt}(E_{field} \cdot A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ स्थिर है,इसलिए $I = \varepsilon_0 A \frac{dE_{field}}{dt}$ होगा।
यहाँ विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की दर $E$ दी गई है,इसलिए $\frac{dE_{field}}{dt} = E$ रखने पर।
इस प्रकार,$I = \varepsilon_0 A E$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए हल करने पर,$A = \frac{I}{\varepsilon_0 E}$ प्राप्त होता है।

(A) विस्थापन धारा का सूत्र इस प्रकार है:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 \frac{\Delta \phi_E}{\Delta t}$
चूंकि विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E \cdot A$ और विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है, इसलिए:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{\Delta V}{\Delta t}$
दिए गए मान हैं:
$\Delta V = 200 \, V$
$\Delta t = 1 \, \mu s = 10^{-6} \, s$
$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
$A = 20 \, cm^2 = 20 \times 10^{-4} \, m^2$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_d = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 20 \times 10^{-4} \times 200}{10^{-3} \times 10^{-6}}$
$I_d = \frac{8.85 \times 20 \times 200 \times 10^{-16}}{10^{-9}}$
$I_d = 35400 \times 10^{-7} \, A = 3.54 \times 10^{-3} \, A \approx 3.5 \, mA$

(B) मैक्सवेल के चार समीकरण विद्युत चुंबकत्व के मूलभूत समीकरण हैं, जिनमें शामिल हैं:
$1$. विद्युत के लिए गॉस का नियम $( \nabla \cdot E = \rho / \epsilon_0)$.
$2$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम $( \nabla \cdot B = 0)$.
$3$. फैराडे का प्रेरण का नियम $( \nabla \times E = -\partial B / \partial t)$.
$4$. एम्पीयर-मैक्सवेल नियम $( \nabla \times B = \mu_0 J + \mu_0 \epsilon_0 \partial E / \partial t)$.
ले-चैटेलियर का संतुलन का नियम रसायन विज्ञान का एक सिद्धांत है जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं से संबंधित है, विद्युत चुंबकत्व से नहीं। इसलिए, यह मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा वर्णित नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $X = \varepsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E \cdot A$ होता है,जहाँ $E = \frac{V}{L}$ और $A = L^2$ है।
अतः,$\phi_E = \frac{V}{L} \cdot L^2 = V \cdot L$ होगा।
इस मान को $X$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $X = \varepsilon_0 \frac{\Delta \phi_E}{\Delta t}$ प्राप्त होता है।
विस्थापन धारा (displacement current) $i_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ की परिभाषा के अनुसार,राशि $X$ विस्थापन धारा को दर्शाती है।
इसलिए,$X$ की विमा विद्युत धारा की विमा के समान है।

(A) चालन धारा घनत्व $j_c = \sigma E$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,$E = E_0 \sin(\omega t - kx)$,इसलिए अधिकतम चालन धारा घनत्व $(j_c)_{\max} = \sigma E_0$ है।
विस्थापन धारा घनत्व $j_d = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ द्वारा दिया जाता है।
$E$ का मान रखने पर,हमें $j_d = \epsilon_0 E_0 \omega \cos(\omega t - kx)$ प्राप्त होता है,इसलिए अधिकतम विस्थापन धारा घनत्व $(j_d)_{\max} = \epsilon_0 E_0 \omega$ है।
अनुपात $\frac{(j_c)_{\max}}{(j_d)_{\max}} = \frac{\sigma E_0}{\epsilon_0 \omega E_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \omega}$ है।
यहाँ $\sigma = 10 \text{ mho/m}$,$f = 100 \times 10^6 \text{ Hz}$,और $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 10^8 \text{ rad/s}$ दिया गया है।
साथ ही,$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,इसलिए $\frac{1}{\epsilon_0} = 4 \pi \times 9 \times 10^9 = 36 \pi \times 10^9$ है।
अनुपात $= \frac{10 \times 36 \pi \times 10^9}{2 \pi \times 10^8} = \frac{360 \pi \times 10^9}{2 \pi \times 10^8} = 180 \times 10 = 1800$।

(B) मैक्सवेल के चार समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. स्थिर विद्युत के लिए गॉस का नियम: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho dv$. यह $C-IV$ से मेल खाता है।
$2$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{a} = 0$.
$3$. फैराडे का प्रेरण का नियम: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{a}$. यह $A-II$ से मेल खाता है।
$4$. एम्पियर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(I + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt})$. यह $B-III$ से मेल खाता है।
$5$. एम्पियर का परिपथीय नियम (स्थिर धाराओं के लिए): $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$. यह $D-I$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(C) एक दोलनशील आवेश उसी आवृत्ति की विद्युत-चुंबकीय तरंगें उत्पन्न करता है जो आवेश के दोलन की आवृत्ति होती है।
चूंकि दोलनशील कण की आवृत्ति $8 \times 10^9 \text{ Hz}$ है,इसलिए उत्पन्न विद्युत-चुंबकीय तरंगों की आवृत्ति भी $8 \times 10^9 \text{ Hz}$ होगी।

(B) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$ का सूत्र $I_d = C \frac{dV}{dt}$ है,जहाँ $C$ धारिता है और $\frac{dV}{dt}$ विभवांतर के परिवर्तन की दर है।
दिए गए मान $I_d = 4.0 \text{ A}$ और $C = 6 \text{ }\mu\text{F} = 6 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
विभवांतर के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C}$।
मान रखने पर: $\frac{dV}{dt} = \frac{4.0}{6 \times 10^{-6}} = \frac{4.0}{6} \times 10^6 \text{ V/s}$।
गणना करने पर: $\frac{dV}{dt} = 0.666... \times 10^6 \text{ V/s}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} \approx 0.67 \times 10^6 \text{ V/s}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\alpha \times 10^6 \text{ V/s}$ से करने पर,हमें $\alpha = 0.67$ प्राप्त होता है।