Fundamental definite integration Questions in Hindi

(B) $\int_{0}^{2} [x^{2}] dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंतराल $[0, 2]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^{2}$ एक पूर्णांक है: $x^{2} = 1, 2, 3, 4$।
इससे हमें $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ बिंदु प्राप्त होते हैं।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{0}^{1} [x^{2}] dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} [x^{2}] dx$
$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx$
$= 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + 3[x]_{\sqrt{3}}^{2}$
$= (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$
$= 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(D) हमारे पास $I_{1} = \int_{0}^{n} [x] dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k dx = \sum_{k=0}^{n-1} k(k+1-k) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ है।
अब,$I_{2} = \int_{0}^{n} \{x\} dx$. चूँकि $\{x\} = x - [x]$,इसलिए $I_{2} = \int_{0}^{n} x dx - \int_{0}^{n} [x] dx$ है।
$I_{2} = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{n} - I_{1} = \frac{n^2}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 - n^2 + n}{2} = \frac{n}{2}$ है।
अतः,$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$।

(B) माना $I = \int_{0}^{2} x^{2}[x] d x$.
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम अंतराल $[0, 2]$ में पूर्णांक बिंदुओं पर समाकलन को विभाजित करते हैं।
$I = \int_{0}^{1} x^{2}[x] d x + \int_{1}^{2} x^{2}[x] d x$.
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$ है।
$1 \le x < 2$ के लिए,$[x] = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} x^{2}(0) d x + \int_{1}^{2} x^{2}(1) d x$.
$I = 0 + \int_{1}^{2} x^{2} d x$.
$I = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{2}$.
$I = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

(C) मान लीजिए $I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \{x^2\} dx$.
चूंकि $\{x^2\} = x^2 - [x^2]$,हम $[x^2]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x^2] = 0$.
$1 \le x < \sqrt{2}$ के लिए,$[x^2] = 1$.
$\sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$ के लिए,$[x^2] = 2$.
अतः,$I = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2 - 1) dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 2) dx$.
$I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{\sqrt{2}} + \left[ \frac{x^3}{3} - 2x \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}$.
$I = \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + \left( (\frac{2\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2}) - (\frac{1}{3} - 1) \right) + \left( (\frac{3\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3}) - (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}) \right)$.
$I = \frac{1}{3} + (-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}) + (-\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3})$.
$I = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{2}}{3} = 1 - \sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3} + 1$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$।
हमें $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि फलन की परिभाषा $x = 1$ पर बदलती है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} (2x^2 + 1) dx + \int_{1}^{2} (4x^3 - 1) dx$।
प्रथम भाग का समाकलन:
$\int_{0}^{1} (2x^2 + 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2(1)^3}{3} + 1 \right) - (0) = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
द्वितीय भाग का समाकलन:
$\int_{1}^{2} (4x^3 - 1) dx = \left[ x^4 - x \right]_{1}^{2} = (2^4 - 2) - (1^4 - 1) = (16 - 2) - (0) = 14$।
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \frac{5}{3} + 14 = \frac{5 + 42}{3} = \frac{47}{3}$।

(C) दिया गया है,$f(x) = \max \{x+|x|, x-[x]\}$.
$x \geq 0$ के लिए,$x+|x| = 2x$ और $x-[x] = \{x\} \in [0, 1)$। चूंकि $x \geq 0$ के लिए $2x \geq \{x\}$,इसलिए $f(x) = 2x$।
$x < 0$ के लिए,$x+|x| = x-x = 0$ और $x-[x] = \{x\} \in [0, 1)$। चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $f(x) = x-[x] = \{x\}$।
अतः,$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \int_{-3}^{0} (x-[x]) dx + \int_{0}^{3} 2x dx$।
चूंकि $x-[x]$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $1$ है,$\int_{-3}^{0} (x-[x]) dx = 3 \int_{0}^{1} x dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3}{2}$।
और $\int_{0}^{3} 2x dx = [x^2]_0^3 = 9$।
इसलिए,$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$।

(B) मान लीजिए $g(x) = \lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$.
जब $x \rightarrow 0$ हो,तो सीमा लेने पर हमें $g(0) = \lim _{x \rightarrow 0} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = 4a - 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ से $c$ तक का समाकलन $0$ होता है,इसलिए $g(0) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $4a - 1 = 0$,जिससे $a = 1/4$ प्राप्त होता है।
अब,कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{b x \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$.
दाहिनी ओर का अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = \frac{4ax \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$.
$g'(x)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $b = 4a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = 1/4$ है,इसलिए $b = 4(1/4) = 1$ है।
अतः,$a = 1/4$ और $b = 1$ है।

(D) $0 < x < 1$ के लिए,हमारे पास $x^2 < x$ और $0 \le \cos^2 x \le 1$ है।
समाकल्यों की तुलना करने पर:
$e^{-x} \cos^2 x < e^{-x^2} \cos^2 x < e^{-x^2} < e^{-x^2/2}$.
चूंकि $I_4$ का समाकल्य सभी $x \in (0, 1)$ के लिए सबसे बड़ा है,इसलिए समाकलन $I_4$ सबसे बड़ा होगा।
अतः,$I = I_4$.

(C) अंतराल $x \in [10, 19]$ के लिए,हमारे पास $|\sin x| \leq 1$ और $1+x^{6} > 10^{6}$ है।
चूंकि $x \geq 10$,इसलिए $1+x^{6} > 10^{6}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{1+x^{6}} < 10^{-6}$।
अतः,$|I| = \left| \int_{10}^{19} \frac{\sin x}{1+x^{6}} dx \right| \leq \int_{10}^{19} \frac{|\sin x|}{1+x^{6}} dx$.
चूंकि $|\sin x| \leq 1$ और $\frac{1}{1+x^{6}} < 10^{-6}$,इसलिए $|I| < \int_{10}^{19} 10^{-6} dx$.
$|I| < 10^{-6} \times (19 - 10) = 9 \times 10^{-6}$.
इस प्रकार,$9 \times 10^{-6} < 10^{-5}$ होने के कारण,$|I| < 10^{-5}$ सही विकल्प है।

(D) हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए,$0 \leq x^2 \leq 1$ होता है।
चूंकि $e^x$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $e^0 \leq e^{x^2} \leq e^1$,जिसका अर्थ है कि $1 \leq e^{x^2} \leq e$।
अंतराल $[0, 1]$ पर असमिका का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} 1 \, dx \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq \int_{0}^{1} e \, dx$।
समाकलनों की गणना करने पर:
$[x]_{0}^{1} \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq [ex]_{0}^{1}$।
$1 \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq e$।
अतः,समाकल का मान संवृत अंतराल $[1, e]$ में स्थित है।

(C) माना $I = \int_{1}^{5} [|x-3| + |1-x|] dx$.
चूँकि $x \in [1, 5]$,इसलिए $|1-x| = x-1$ होगा।
अतः,$I = \int_{1}^{5} |x-3| dx + \int_{1}^{5} (x-1) dx$.
प्रथम भाग के लिए,$\int_{1}^{5} |x-3| dx = \int_{1}^{3} -(x-3) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx$.
$= \int_{1}^{3} (3-x) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{3} + [\frac{x^2}{2} - 3x]_{3}^{5}$.
$= (9 - 4.5) - (3 - 0.5) + (12.5 - 15) - (4.5 - 9) = 4.5 - 2.5 - 2.5 + 4.5 = 4$.
दूसरे भाग के लिए,$\int_{1}^{5} (x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{5} = (12.5 - 5) - (0.5 - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$.
अतः,$I = 4 + 8 = 12$.

(C) दिया गया व्यंजक अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $f(x)$ के निश्चित समाकलन के लिए रीमान योग (Riemann sum) है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{j=0}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{j}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$
यहाँ,हम $\frac{j}{n} = x$ और $\frac{1}{n} = dx$ प्रतिस्थापित करते हैं।
निम्न सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{0}{n} = 0$ है।
ऊपरी सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n} = 1$ है।
अतः,सीमा का मान $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के बराबर है।

(B) दिया गया है $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.
हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
$x \in [-3, 0)$ के लिए,$x + |x| = x - x = 0$. चूँकि $\{x\} \ge 0$,इसलिए $f(x) = \max \{0, \{x\}\} = \{x\}$.
$x \in [0, 3]$ के लिए,$x + |x| = x + x = 2x$. चूँकि $x \ge 0$ के लिए $2x \ge \{x\}$,इसलिए $f(x) = 2x$.
अब,समाकलन की गणना करें:
$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \int_{-3}^0 \{x\} \, dx + \int_0^3 2x \, dx$
$\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = \int_{-3}^0 (x - [x]) \, dx$. चूँकि $n$ लंबाई के अंतराल पर भिन्नात्मक भाग का समाकलन $\frac{n}{2}$ होता है,इसलिए $\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.
अतः,$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$.

(D) माना $I_1 = \int_0^n [x] dx$ और $I_2 = \int_0^n \{x\} dx$ है।
$I_1 = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx$।
$I_1 = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$।
चूँकि फलन $\{x\}$ का आवर्त $1$ है,इसलिए $I_2 = n \int_0^1 \{x\} dx = n \int_0^1 x dx$।
$I_2 = n \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = n \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{n}{2}$।
अतः,व्यंजक $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$ है।

(C) $\int_{0}^{5} \max \{x^{2}, 6x-8\} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y = x^{2}$ और $y = 6x-8$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^{2} = 6x-8$ रखने पर,हमें $x^{2}-6x+8 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x-2)(x-4) = 0$ हैं। अतः,वक्र $x = 2$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x^{2} \ge 6x-8$.
$x \in [2, 4]$ के लिए,$6x-8 \ge x^{2}$.
$x \in [4, 5]$ के लिए,$x^{2} \ge 6x-8$.
इसलिए,समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जाएगा:
$\int_{0}^{2} x^{2} dx + \int_{2}^{4} (6x-8) dx + \int_{4}^{5} x^{2} dx$
$= \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2} + \left[ 3x^{2}-8x \right]_{2}^{4} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{4}^{5}$
$= (\frac{8}{3} - 0) + ((48-32) - (12-16)) + (\frac{125}{3} - \frac{64}{3})$
$= \frac{8}{3} + (16 - (-4)) + \frac{61}{3}$
$= \frac{8}{3} + 20 + \frac{61}{3} = \frac{69}{3} + 20 = 23 + 20 = 43$.

(B) हमें दिया गया है कि $\phi(t) = 1$ जब $0 \leq t < 1$ और अन्यथा $0$ है। इसका अर्थ है कि $\phi(t-k) = 1$ जब $k \leq t < k+1$ और अन्यथा $0$ है।
समाकलन $I = \int_{-3000}^{3000} \sum_{r'=2014}^{2016} \phi(t-r') \phi(t-2016) dt$ है।
योग का विस्तार करने पर: $I = \int_{-3000}^{3000} [\phi(t-2014)\phi(t-2016) + \phi(t-2015)\phi(t-2016) + \phi(t-2016)\phi(t-2016)] dt$.
ध्यान दें कि $\phi(t-2014)\phi(t-2016) = 0$ क्योंकि अंतराल $[2014, 2015)$ और $[2016, 2017)$ अलग-अलग हैं।
इसी प्रकार,$\phi(t-2015)\phi(t-2016) = 0$ क्योंकि अंतराल $[2015, 2016)$ और $[2016, 2017)$ अलग-अलग हैं।
अतः,व्यंजक $\int_{-3000}^{3000} \phi(t-2016)^2 dt$ में बदल जाता है।
चूंकि $\phi(t-2016) = 1$ जब $2016 \leq t < 2017$ और अन्यथा $0$ है,इसलिए $\phi(t-2016)^2 = \phi(t-2016)$।
अतः,$I = \int_{2016}^{2017} 1 dt = [t]_{2016}^{2017} = 2017 - 2016 = 1$।

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{|x+2|}{x+2} \, dx$. \\ चूँकि समाकलन का अंतराल $[-1, 1]$ है,हमारे पास $x \geq -1$ है। \\ इसका अर्थ है कि $x+2 \geq 1$,इसलिए दिए गए अंतराल में $x+2$ हमेशा धनात्मक है। \\ अतः,$|x+2| = x+2$. \\ इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: \\ $I = \int_{-1}^1 \frac{x+2}{x+2} \, dx = \int_{-1}^1 1 \, dx$. \\ समाकल का मान ज्ञात करने पर: \\ $I = [x]_{-1}^1 = 1 - (-1) = 2$.

(A) माना $I = \int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+4)(x^2+9)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{1}{(x^2+4)(x^2+9)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x^2+4} - \frac{1}{x^2+9} \right)$.
अतः,$I = \frac{1}{5} \left[ \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+2^2} - \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+3^2} \right]$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) \right)_0^{\infty} - \left( \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3}) \right)_0^{\infty} \right]$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) - \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right] = \frac{1}{5} \left[ \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right] = \frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{60}$.

(B) दिया गया है कि $f(x^2+1) = x^4 + 5x^2 + 2$ है।
मान लीजिए $t = x^2 + 1$,जिसका अर्थ है $x^2 = t - 1$।
इसे $f$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t) = (t-1)^2 + 5(t-1) + 2$
$f(t) = (t^2 - 2t + 1) + 5t - 5 + 2$
$f(t) = t^2 + 3t - 2$।
अब,हम निश्चित समाकलन की गणना करते हैं:
$\int_{0}^{3} f(t) dt = \int_{0}^{3} (t^2 + 3t - 2) dt$
$= \left[ \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} - 2t \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} + \frac{3(3^2)}{2} - 2(3) \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + \frac{27}{2} - 6 \right)$
$= 9 + 13.5 - 6 = 16.5 = \frac{33}{2}$।

(B) हम जानते हैं कि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ होता है।
इसलिए,$\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$।
चूंकि $x \in [0, \pi/4]$ है,$\sin x$ और $\cos x$ दोनों गैर-ऋणात्मक हैं,इसलिए $|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$ होगा।
अब,समाकलन $\int_{0}^{\pi/4} (\sin x + \cos x) dx$ बन जाता है।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $[-\cos x + \sin x]_0^{\pi/4}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं का मान रखने पर: $(-\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)) - (-\cos(0) + \sin(0))$।
$= (-1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) - (-1 + 0) = 0 - (-1) = 1$।

(B) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ होती है।
अतः,$\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$ होगा।
अब,समाकलन $I = \int_0^{\pi} -\cos x \, dx$ हो जाता है।
$-\cos x$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $-\sin x$ प्राप्त होता है।
$0$ से $\pi$ तक की सीमाएं लागू करने पर,$I = [-\sin x]_0^{\pi}$ प्राप्त होता है।
$I = -(\sin \pi - \sin 0)$।
चूंकि $\sin \pi = 0$ और $\sin 0 = 0$ है,इसलिए $I = -(0 - 0) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) $f(x)$ के $x = \pi/2$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा समान होनी चाहिए।
$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = 1/3$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = \lim_{x \to \pi/2^+} \frac{b(1-\sin x)}{4(\pi/2-x)^2}$.
मान लीजिए $h = \pi/2 - x$. जब $x \to \pi/2^+$,तब $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{b(1-\cos h)}{4h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{b(2\sin^2(h/2))}{4(4(h/2)^2)} = \frac{2b}{16} = \frac{b}{8}$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $b/8 = 1/3 \implies b = 8/3$.
अब,$3b-6 = 3(8/3) - 6 = 8 - 6 = 2$.
हमें $\int_0^2 |x^2+2x-3| dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$,यह व्यंजक $x \in [0, 1)$ के लिए ऋणात्मक है और $x \in (1, 2]$ के लिए धनात्मक है।
समाकलन $= -\int_0^1 (x^2+2x-3) dx + \int_1^2 (x^2+2x-3) dx$.
$= -[x^3/3 + x^2 - 3x]_0^1 + [x^3/3 + x^2 - 3x]_1^2$.
$= -[1/3 + 1 - 3] + [(8/3 + 4 - 6) - (1/3 + 1 - 3)]$.
$= -[-5/3] + [2/3 - (-5/3)] = 5/3 + 7/3 = 12/3 = 4$.

(C) माना $I = \int_0^2 \frac{\sqrt{x}(x^2 + x + 1)}{(\sqrt{x}+1)\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}} dx$ है।
$u = \sqrt{x}$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = u^2$ और $dx = 2u \, du$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, u=0$ और जब $x=2, u=\sqrt{2}$।
$I = \int_0^{\sqrt{2}} \frac{u(u^4 + u^2 + 1)}{(u+1)\sqrt{(u^4+u^2+1)(u^4-u^2+1)}} (2u) \, du$।
इसे सरल करने पर $I = 2 \int_0^{\sqrt{2}} \frac{u^2 \sqrt{u^4+u^2+1}}{(u+1)\sqrt{u^4-u^2+1}} du$ प्राप्त होता है।
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके और निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर,हमें $\frac{2}{3} \log_e(3 + 2\sqrt{2})$ परिणाम प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$ है। चूंकि हर $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1}^0 \frac{x^3 - x + 1}{(|x| + 1)^2} dx + \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1}{(|x| + 1)^2} dx$।
पहले भाग के लिए,$x = -t$ लें,तो $dx = -dt$ होगा। जब $x$,$-1$ से $0$ तक जाता है,तो $t$,$1$ से $0$ तक जाता है।
$\int_1^0 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} (-dt) = \int_0^1 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} dt$।
अतः,$I = \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1 - x^3 + x + 1}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2x + 2}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2}{x + 1} dx$।
$I = 2 [\log_e(x + 1)]_0^1 = 2(\log_e 2 - \log_e 1) = 2 \log_e 2$।

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
अतः,$\cot^{-1}(1 + x + x^2) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x(x+1)}\right) = \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}x$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int \tan^{-1} u \, du = u \tan^{-1} u - \frac{1}{2} \log_e(1+u^2) + C$।
इस सूत्र को समाकलन $I = \int_0^1 \tan^{-1}(x+1) dx - \int_0^1 \tan^{-1} x dx$ में लागू करने पर:
$I = \left[ (x+1) \tan^{-1}(x+1) - \frac{1}{2} \log_e(1+(x+1)^2) \right]_0^1 - \left[ x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2) \right]_0^1$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( 2 \tan^{-1} 2 - \frac{1}{2} \log_e 5 - (1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log_e 2) \right) - \left( 1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log_e 2 - 0 \right)$।
$I = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{1}{2} \log_e 5 - 2 \tan^{-1} 1 + \log_e 2$।
चूँकि $\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $I = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4}{5}\right) = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{5}{4}\right)$।

(B) समाकलन $\int_0^3 \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} dx$ है। हम अंतराल $[0, 3)$ को $[0, 1), [1, 2), [2, 3)$ में विभाजित करते हैं।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $[x]! = 0! = 1$। समाकलन $\int_0^1 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_0^1 = (e - e^{-1}) - (1 - 1) = e - e^{-1}$ होगा।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $[x]! = 1! = 1$। समाकलन $\int_1^2 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_1^2 = (e^2 - e^{-2}) - (e - e^{-1}) = e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}$ होगा।
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,इसलिए $[x]! = 2! = 2$। समाकलन $\int_2^3 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = \frac{1}{2} [e^x - e^{-x}]_2^3 = \frac{1}{2} ((e^3 - e^{-3}) - (e^2 - e^{-2})) = \frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}$ होगा।
इनका योग करने पर: $(e - e^{-1}) + (e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}) + (\frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}) = \frac{1}{2}e^3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-3} = \frac{1}{2}(e^3 + e^2 - e^{-2} - e^{-3})$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $(2^{1-a} + 2^{1+a})$,$f(a)$,और $(3^a + 3^{-a})$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.
चूंकि $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a)$,और $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$2^a + 2^{-a} \geq 2$,इसलिए $2^a + 2^{-a}$ का न्यूनतम मान $2$ है।
इसी प्रकार,$3^a + 3^{-a}$ का न्यूनतम मान $2$ है।
अतः,$2f(a) \geq 2(2) + 2 = 6$,जिसका अर्थ है कि $f(a) \geq 3$. इसलिए,$\alpha = 3$.
समाकलन $I = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ हो जाता है।
मान लीजिए $u = e^{2x}$,तो $du = 2e^{2x} dx$,इसलिए $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.
जब $x = \log_e 2$,तब $u = e^{2\log_e 2} = 4$. जब $x = \log_e 3$,तब $u = e^{2\log_e 3} = 9$.
$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_e |\frac{u-1}{u+1}| \Big|_4^9 = \frac{1}{4} (\log_e \frac{8}{10} - \log_e \frac{3}{5}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{3})$.

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{4}{\cos^4 x} - \frac{\csc^2 x}{\cos^4 x} = 4\sec^4 x - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}$.
सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{1}{\cos^4 x} + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \sec^4 x + \frac{4}{\sin^2(2x)} = \sec^4 x + 4\csc^2(2x)$.
इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4\sec^4 x - (\sec^4 x + 4\csc^2(2x))) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3\sec^4 x - 4\csc^2(2x)) dx$.
चूंकि $\sec^4 x = (1 + \tan^2 x)\sec^2 x$,इसलिए:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3(1 + \tan^2 x)\sec^2 x - 4\csc^2(2x)) dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$. जब $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$. जब $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.
$I = [3(u + \frac{u^3}{3}) + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = [3u + u^3 + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3}$.
सीमाओं पर मान रखने पर:
$x = \pi/3$ के लिए: $3(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^3 + 2\cot(2\pi/3) = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 2(-1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 2/\sqrt{3} = \frac{16}{\sqrt{3}}$.
$x = \pi/6$ के लिए: $3(1/\sqrt{3}) + (1/\sqrt{3})^3 + 2\cot(\pi/3) = \sqrt{3} + 1/(3\sqrt{3}) + 2/\sqrt{3} = \frac{16}{3\sqrt{3}}$.
$I = \frac{16}{\sqrt{3}} - \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
सर्वसमिका $\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$.
अब,$0$ से $20\pi$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx = [\frac{3}{4}x + \frac{1}{16} \sin 4x]_0^{20\pi}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{3}{4} \cdot 20\pi + \frac{1}{16} \sin(80\pi)) - (0 + 0) = 15\pi + 0 = 15\pi$.

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4 \sec^4 x - \csc^2 x \sec^4 x) dx$.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ और $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4 \sec^2 x (1 + \tan^2 x) - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}) dx$.
$u = \tan x$ प्रतिस्थापन लेने पर,$du = \sec^2 x dx$. जब $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$; जब $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.
यहाँ $\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \sec^4 x + \sec^2 x \csc^2 x = (1+u^2)^2 + (1+u^2)(1 + 1/u^2) = (1+u^2)^2 + u^2 + 2 + 1/u^2$.
अतः,$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4(1+u^2) - (1+u^2)(1 + 1/u^2)) du = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4 + 4u^2 - (1 + 1/u^2 + u^2 + 1)) du = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2 + 3u^2 - u^{-2}) du$.
$I = [2u + u^3 + \frac{1}{u}]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) - (\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \sqrt{3}) = (5\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) - (\sqrt{3} + \frac{7}{3\sqrt{3}}) = 4\sqrt{3} - \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ प्राप्त होता है।
अब,समाकलन $I = \int_{0}^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx$ है।
$I = \int_{0}^{20\pi} \frac{3}{4} dx + \int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx$।
चूंकि $\cos(nx)$ का एक पूर्ण आवर्तकाल पर समाकलन $0$ होता है,इसलिए $\int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx = 0$ है।
अतः,$I = \frac{3}{4} [x]_{0}^{20\pi} = \frac{3}{4} \times 20\pi = 15\pi$।

(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} (\cot(x-\frac{\pi}{3})\cot(x+\frac{\pi}{3}) + 1) dx$.
सर्वसमिका $\cot(A)\cot(B) + 1 = \frac{\cos(A-B)}{\sin(A)\sin(B)}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = x-\frac{\pi}{3}$ और $B = x+\frac{\pi}{3}$,हमें $A-B = -\frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकल्य $\frac{\cos(-2\pi/3)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})\sin(x+\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\cos(2x) + 1/2}$ है।
इसका समाकलन करने पर $\int \frac{dx}{\cos(2x) + 1/2} = \int \frac{2 \sec^2 x dx}{4 - \tan^2 x}$ प्राप्त होता है।
$\tan x = t$ रखने पर,$\sec^2 x dx = dt$। सीमाएँ $x = \pi/6$ से $t = 1/\sqrt{3}$ और $x = \pi/4$ से $t = 1$ में बदल जाती हैं।
गणना करने पर $a = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $9a^2 = 9(-2)^2 = 36$।