Definite integration by substitution Questions in Hindi

(B) माना $I = \int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{(1 - \cos x)^{5/2}} \,dx$.
अंश और हर को $\sqrt{1 - \cos x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{(1 - \cos x)^{5/2} \sqrt{1 - \cos x}} \,dx = \int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sin x}{(1 - \cos x)^3} \,dx$.
माना $1 - \cos x = t$,तब $\sin x \,dx = dt$.
जब $x = \frac{\pi}{3}$,तब $t = 1 - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1/2}^{1} t^{-3} \,dt = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1/2}^{1} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{t^2} \right]_{1/2}^{1}$.
$I = -\frac{1}{2} \left( 1 - 4 \right) = -\frac{1}{2} (-3) = \frac{3}{2}$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{\pi /4} \sec^7 \theta \sin^3 \theta \, d\theta$ दिया गया है।
समाकल्य को इस प्रकार पुनः लिखने पर:
$I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} \cdot \sec^4 \theta \, d\theta = \int_0^{\pi /4} \tan^3 \theta \sec^4 \theta \, d\theta$.
चूंकि $\sec^4 \theta = \sec^2 \theta \cdot \sec^2 \theta = (1 + \tan^2 \theta) \sec^2 \theta$,इसलिए समाकलन हो जाता है:
$I = \int_0^{\pi /4} \tan^3 \theta (1 + \tan^2 \theta) \sec^2 \theta \, d\theta$.
माना $t = \tan \theta$,तब $dt = \sec^2 \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0, t = 0$. जब $\theta = \pi /4, t = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 t^3 (1 + t^2) \, dt = \int_0^1 (t^3 + t^5) \, dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{t^4}{4} + \frac{t^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$.

(A) माना $I = \int_{\pi /4}^{\pi /2} \cos \theta \csc^2 \theta \, d\theta$.
हम समाकल्य को $\int_{\pi /4}^{\pi /2} \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = \sin \theta$,तो $dt = \cos \theta \, d\theta$.
जब $\theta = \pi /4$,तब $t = \sin(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$.
जब $\theta = \pi /2$,तब $t = \sin(\pi /2) = 1$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \frac{1}{t^2} \, dt = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} t^{-2} \, dt$.
समाकल का मूल्यांकन करने पर:
$I = \left[ -\frac{1}{t} \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \left( -\frac{1}{1} \right) - \left( -\frac{1}{1/\sqrt{2}} \right)$.
$I = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} \,dx$ है।
$t = \tan^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = \frac{1}{1 + x^2} \,dx$ होगा।
जब $x = 0$,तब $t = \tan^{-1}(0) = 0$।
जब $x = 1$,तब $t = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi/4} t \,dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{32}$।

(B) माना कि $t = \log x$. तब,$dt = \frac{1}{x} dx$.
जब $x = 1$,तब $t = \log 1 = 0$.
जब $x = 2$,तब $t = \log 2$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int_{1}^{2} \frac{\cos(\log x)}{x} \, dx = \int_{0}^{\log 2} \cos(t) \, dt$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{0}^{\log 2} \cos(t) \, dt = [\sin(t)]_{0}^{\log 2} = \sin(\log 2) - \sin(0) = \sin(\log 2) - 0 = \sin(\log 2)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) माना $t = \frac{1}{x}$.
तब,$dt = -\frac{1}{x^2} \,dx$,जिसका अर्थ है $-\,dt = \frac{1}{x^2} \,dx$.
जब $x = \frac{1}{\pi}$,तब $t = \pi$.
जब $x = \frac{2}{\pi}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{1/\pi}^{2/\pi} \frac{\sin(1/x)}{x^2} \,dx = \int_{\pi}^{\pi/2} \sin(t) \cdot (-dt)$
$= \int_{\pi/2}^{\pi} \sin(t) \,dt$
$= [-\cos(t)]_{\pi/2}^{\pi}$
$= -(\cos(\pi) - \cos(\pi/2))$
$= -(-1 - 0) = 1$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^4 x} \, dx$.
$\sin^2 x = t$ प्रतिस्थापन करें।
तब,$2 \sin x \cos x \, dx = dt$,जिसका अर्थ है $\sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$.
जब $x = 0$,तब $t = \sin^2(0) = 0$.
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} [\tan^{-1} t]_0^1$.
$I = \frac{1}{2} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$.

(A) माना $t = \tan x$.
तब,$dt = \sec^2 x \, dx$.
जब $x = 0$,तब $t = \tan(0) = 0$.
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $t = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_0^1 t^6 \, dt = \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{7}(1^7 - 0^7) = \frac{1}{7}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) माना $I = \int_0^{\pi /6} \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \int_0^{\pi /6} \tan x \sec^2 x \, dx$.
$t = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $dt = \sec^2 x \, dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = \tan(0) = 0$.
जब $x = \pi/6$,तब $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$.
अतः,$I = \int_0^{1/\sqrt{3}} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{1/\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 0 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

(B) माना $I = \int_0^{\log 5} {\frac{{{e^x}\sqrt {{e^x} - 1} }}{{{e^x} + 3}}} \,dx$.
${e^x} - 1 = {t^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,${e^x} = {t^2} + 1$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,${e^x}dx = 2t\,dt$.
जब $x = 0$,तब ${t^2} = {e^0} - 1 = 0$,अतः $t = 0$.
जब $x = \log 5$,तब ${t^2} = {e^{\log 5}} - 1 = 5 - 1 = 4$,अतः $t = 2$.
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int_0^2 {\frac{{2t \cdot t}}{{{t^2} + 1 + 3}}} \,dt = \int_0^2 {\frac{{2{t^2}}}{{{t^2} + 4}}} \,dt$.
$I = 2 \int_0^2 {\frac{{{t^2} + 4 - 4}}{{{t^2} + 4}}} \,dt = 2 \left[ {\int_0^2 {1\,dt - 4\int_0^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2^2}}} } } \right]$.
$I = 2 \left[ {t|_0^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{t}{2})|_0^2} \right]$.
$I = 2 \left[ {2 - 2 \tan^{-1}(1)} \right] = 2 \left[ {2 - 2(\frac{\pi}{4})} \right] = 4 - \pi$.

(A) माना $I = \int_1^e \frac{1 + \log x}{x} \, dx$.
$u = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{1}{x} \, dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1$,तब $u = \log 1 = 0$.
जब $x = e$,तब $u = \log e = 1$.
अतः,$I = \int_0^1 (1 + u) \, du$.
$I = [u + \frac{u^2}{2}]_0^1$.
$I = (1 + \frac{1}{2}) - (0 + 0) = \frac{3}{2}$.

(A) माना $I = \int_0^2 \frac{3^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt$.
जब $x = 0$,तब $t = 0$.
जब $x = 2$,तब $t = \sqrt{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\sqrt{2}} 3^t \cdot 2 \, dt$
$I = 2 \int_0^{\sqrt{2}} 3^t \, dt$
सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{3^t}{\log 3} \right]_0^{\sqrt{2}}$
$I = \frac{2}{\log 3} (3^{\sqrt{2}} - 3^0)$
$I = \frac{2}{\log 3} (3^{\sqrt{2}} - 1)$.

(B) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x \, dx = dt$,अर्थात $\sin x \, dx = -dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$ है,तो $t = \cos(0) = 1$.
जब $x = \pi /2$ है,तो $t = \cos(\pi /2) = 0$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_1^0 \frac{-dt}{1 + t^2} = \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^2}$.
मानक समाकलन $\int \frac{dt}{1 + t^2} = \tan^{-1} t$ का उपयोग करने पर:
$I = [\tan^{-1} t]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(D) माना $1 + \tan x = t$ है। तब,$\sec^2 x \,dx = dt$ होगा।
जब $x = 0$,तो $t = 1 + \tan(0) = 1$ है।
जब $x = \pi/4$,तो $t = 1 + \tan(\pi/4) = 2$ है।
समाकलन $\int_1^2 \frac{dt}{t(t+1)}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$।
अतः,$\int_1^2 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt = [\log_e |t| - \log_e |t+1|]_1^2$।
$= [\log_e |\frac{t}{t+1}|]_1^2 = \log_e \left( \frac{2}{3} \right) - \log_e \left( \frac{1}{2} \right) = \log_e \left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} \right)$।

(D) माना $I = \int_0^a {{x^2}\sin {x^3}\,dx}$ है।
$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2\,dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^2\,dx = \frac{dt}{3}$ है।
जब $x = 0$,तब $t = 0^3 = 0$ है। जब $x = a$,तब $t = a^3$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{a^3} \sin(t) \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_0^{a^3} \sin(t)\,dt$ प्राप्त होता है।
$\sin(t)$ का समाकलन $-\cos(t)$ होता है:
$I = \frac{1}{3} [-\cos(t)]_0^{a^3} = -\frac{1}{3} [\cos(a^3) - \cos(0)]$।
चूंकि $\cos(0) = 1$ है,इसलिए:
$I = -\frac{1}{3} [\cos(a^3) - 1] = \frac{1}{3} (1 - \cos(a^3))$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} dx$.
$t = \tan^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = \frac{1}{1 + x^2} dx$.
जब $x = 0$,तब $t = \tan^{-1}(0) = 0$.
जब $x = 1$,तब $t = \tan^{-1}(1) = \pi / 4$.
अतः,समाकलन $I = \int_{0}^{\pi / 4} t dt$ हो जाता है।
समाकलन करने पर,$I = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\pi / 4}$.
$I = \frac{(\pi / 4)^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2 / 16}{2} = \frac{\pi^2}{32}$.

(A) माना $I = \int_{8}^{15} \frac{dx}{(x - 3)\sqrt{x + 1}}$.
$t = \sqrt{x + 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = x + 1$,अतः $x = t^2 - 1$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 8$,तब $t = \sqrt{8 + 1} = 3$. जब $x = 15$,तब $t = \sqrt{15 + 1} = 4$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{3}^{4} \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 - 3)t} = \int_{3}^{4} \frac{2 \, dt}{t^2 - 4}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times \frac{1}{2(2)} \left[ \log \left| \frac{t - 2}{t + 2} \right| \right]_{3}^{4}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{4 - 2}{4 + 2} \right) - \log \left( \frac{3 - 2}{3 + 2} \right) \right]$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{2}{6} \right) - \log \left( \frac{1}{5} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{1}{3} \right) - \log \left( \frac{1}{5} \right) \right]$.
$I = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1/3}{1/5} \right) = \frac{1}{2} \log \frac{5}{3}$.

(A) माना $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2}$.
$t = 1 + \ln x$ प्रतिस्थापित करने पर.
तब,$dt = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 1$,तब $t = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$.
जब $x = e^2$,तब $t = 1 + \ln(e^2) = 1 + 2 = 3$.
अब,समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int_1^3 \frac{dt}{t^2} = \int_1^3 t^{-2} dt$.
$t^{-2}$ का समाकलन करने पर $\left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^3$ प्राप्त होता है।
सीमाओं का उपयोग करने पर:
$I = -\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{1} \right) = -\left( \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(C) माना $I = \int_{\log 2}^x \frac{du}{({e^u} - 1)^{1/2}} = \frac{\pi}{6}$.
$e^u - 1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^u du = 2t dt$,जिसका अर्थ है $du = \frac{2t}{e^u} dt = \frac{2t}{t^2 + 1} dt$.
जब $u = \log 2$,तब $t = \sqrt{e^{\log 2} - 1} = \sqrt{2 - 1} = 1$.
जब $u = x$,तब $t = \sqrt{e^x - 1}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_{1}^{\sqrt{e^x - 1}} \frac{2t}{t^2 + 1} \cdot \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{\sqrt{e^x - 1}} \frac{2}{t^2 + 1} dt = \frac{\pi}{6}$.
$2 [\tan^{-1} t]_{1}^{\sqrt{e^x - 1}} = \frac{\pi}{6}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi + 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
$\sqrt{e^x - 1} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$e^x - 1 = 3$.
$e^x = 4$.

(C) मान लीजिए $I = \frac{1}{c}\int_{ac}^{bc} {f\left( \frac{x}{c} \right)} \,dx$.
$\frac{x}{c} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $x = ct$.
तब,अवकलज $dx = c \, dt$ होगा।
अब,समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = ac$,तब $t = \frac{ac}{c} = a$.
जब $x = bc$,तब $t = \frac{bc}{c} = b$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{c} \int_{a}^{b} f(t) \cdot (c \, dt)$
$I = \int_{a}^{b} f(t) \, dt$.
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $t$ को $x$ से बदल सकते हैं:
$I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है कि $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$ है।
हमें समाकलन $I = \int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx$ का मान ज्ञात करना है।
प्रतिस्थापन को आसान बनाने के लिए अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int_{1}^{4} \frac{3x^2}{x^3} e^{\sin(x^3)} dx$.
मान लीजिए $t = x^3$,तब $dt = 3x^2 dx$ होगा।
जब $x = 1$,तब $t = 1^3 = 1$ होगा।
जब $x = 4$,तब $t = 4^3 = 64$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{1}^{64} \frac{e^{\sin t}}{t} dt$.
चूंकि $\frac{d}{dt}F(t) = \frac{e^{\sin t}}{t}$ है,इसलिए समाकलन का मान:
$I = [F(t)]_{1}^{64} = F(64) - F(1)$ होगा।
दिए गए व्यंजक $F(k) - F(1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 64$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_0^1 \frac{x^7}{\sqrt{1 - x^4}} dx = \int_0^1 \frac{x^6 \cdot x}{\sqrt{1 - x^4}} dx$.
$u = x^4$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 4x^3 dx$। अतः $x^4 = u$ और $x^2 = \sqrt{u}$।
$I = \int_0^1 \frac{x^4 \cdot x^3}{\sqrt{1 - x^4}} dx = \int_0^1 \frac{u}{\sqrt{1 - u}} \cdot \frac{1}{4} du$.
$1 - u = v^2$ लेने पर,$du = -2v dv$। जब $u=0, v=1$; जब $u=1, v=0$।
$I = \frac{1}{4} \int_1^0 \frac{1 - v^2}{v} (-2v) dv = \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - v^2) dv$.
$I = \frac{1}{2} [v - \frac{v^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) माना $I = \int_a^b f(x)g(x) dx$.
दिया गया है कि $\frac{d[f(x)]}{dx} = g(x)$,इसलिए हम $g(x) dx = d[f(x)]$ लिख सकते हैं।
$f(x) = t$ रखने पर,$df(x) = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $g(x) dx = dt$।
जब $x = a$ है,तो $t = f(a)$ और जब $x = b$ है,तो $t = f(b)$।
अतः,समाकलन $I = \int_{f(a)}^{f(b)} t dt$ हो जाता है।
समाकलन करने पर,$I = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{f(a)}^{f(b)} = \frac{[f(b)]^2 - [f(a)]^2}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sqrt{\tan x} / \cos^2 x}{(\sin x \cos x) / \cos^2 x} \, dx = \int_0^{\pi /4} \frac{\sqrt{\tan x} \sec^2 x}{\tan x} \, dx = \int_0^{\pi /4} \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \, dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$.
जब $x = 0$,तब $t = 0$. जब $x = \pi / 4$,तब $t = 1$.
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \int_0^1 t^{-1/2} \, dt$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = [2t^{1/2}]_0^1 = 2(1) - 2(0) = 2$.

(C) माना $t = e^{x^2}$.
तब,$dt = e^{x^2} \cdot 2x dx$.
जब $x = 0$,तब $t = e^{0^2} = e^0 = 1$.
जब $x = \sqrt{\ln(\frac{\pi}{2})}$,तब $t = e^{(\sqrt{\ln(\frac{\pi}{2})})^2} = e^{\ln(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi}{2}$.
अतः समाकलन $\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) dt$ हो जाता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $[\sin(t)]_{1}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(1) = 1 - \sin(1)$.

(A) माना $I = \int \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx$ है।
$t = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = e^x dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \frac{\sqrt{t - 1}}{t + 3} dt$ हो जाता है।
$u = \sqrt{t - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,$u^2 = t - 1$,अतः $t = u^2 + 1$ और $2u du = dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{u \cdot 2u du}{u^2 + 1 + 3} = 2 \int \frac{u^2}{u^2 + 4} du$।
$I = 2 \int \left( 1 - \frac{4}{u^2 + 4} \right) du = 2u - 8 \int \frac{1}{u^2 + 2^2} du$।
$I = 2u - 8 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left( \frac{u}{2} \right) = 2u - 4 \tan^{-1}\left( \frac{u}{2} \right)$।
$u = \sqrt{e^x - 1}$ वापस रखने पर,$2 \sqrt{e^x - 1} - 4 \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{e^x - 1}}{2} \right)$ प्राप्त होता है।
सीमा $0$ से $\ln 5$ तक लेने पर:
$x = \ln 5$ के लिए,$e^x = 5$,अतः $u = \sqrt{5 - 1} = 2$।
$x = 0$ के लिए,$e^x = 1$,अतः $u = \sqrt{1 - 1} = 0$।
परिणाम $= [2(2) - 4 \tan^{-1}(1)] - [2(0) - 4 \tan^{-1}(0)] = 4 - 4(\frac{\pi}{4}) = 4 - \pi$।

(D) माना $I = \int\limits_0^{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} {\,{x^5}\cdot\sin {x^3}\,dx} $ है।
$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$।
जब $x = 0$,तब $t = 0$।
जब $x = (\frac{\pi}{2})^{1/3}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {t \cdot \sin(t) \cdot \frac{1}{3} dt} = \frac{1}{3} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {t \sin(t) dt}$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \sin(t) dt$ लें।
तब $du = dt$ और $v = -\cos(t)$।
$I = \frac{1}{3} [ -t \cos(t) |_0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {-\cos(t) dt} ]$।
$I = \frac{1}{3} [ (- \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + 0) + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) dt ]$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,पहला पद $0$ हो जाएगा।
$I = \frac{1}{3} [ \sin(t) |_0^{\frac{\pi}{2}} ] = \frac{1}{3} [ \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) ] = \frac{1}{3} [ 1 - 0 ] = \frac{1}{3}$।

(C) माना $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} $।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$ और जब $x = 1$,तो $\theta = \frac{\pi}{4}$।
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{\theta}{{\tan \theta}} \cdot \sec^2 \theta \, d\theta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{\theta}{{\sin \theta \cos \theta}} \, d\theta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{{2\theta}}{{\sin 2\theta}} \, d\theta}$।
अब $2\theta = y$ लेने पर,$2 \, d\theta = dy$ अर्थात $d\theta = \frac{1}{2} dy$।
जब $\theta = 0$,तो $y = 0$ और जब $\theta = \frac{\pi}{4}$,तो $y = \frac{\pi}{2}$।
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \cdot \frac{1}{2} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{x}{{\sin x}} \, dx}$।

(B) माना $I = \int_0^2 \frac{375 x^5}{(1 + x^2)^4} dx$.
$u = 1 + x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 2x dx$,अतः $x^2 = u - 1$ और $x dx = \frac{du}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $u = 1$. जब $x = 2$,तब $u = 5$.
$I = \int_1^5 \frac{375 (x^2)^2 x}{(1 + x^2)^4} dx = \int_1^5 \frac{375 (u - 1)^2}{u^4} \cdot \frac{du}{2}$.
$I = \frac{375}{2} \int_1^5 \frac{u^2 - 2u + 1}{u^4} du = \frac{375}{2} \int_1^5 (u^{-2} - 2u^{-3} + u^{-4}) du$.
$I = \frac{375}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} - \frac{1}{3} u^{-3} \right]_1^5$.
$I = \frac{375}{2} \left[ (-\frac{1}{5} + \frac{1}{25} - \frac{1}{375}) - (-1 + 1 - \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{375}{2} \left[ \frac{-75 + 15 - 1}{375} + \frac{1}{3} \right] = \frac{375}{2} \left[ \frac{-61}{375} + \frac{125}{375} \right] = \frac{375}{2} \cdot \frac{64}{375} = \frac{64}{2} = 32$.
चूँकि $32 = 2^5$,इसलिए $2^n = 2^5$,जिसका अर्थ है कि $n = 5$.

(A) माना $I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x^2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) dx$.
प्रतिस्थापन $t = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)$ का उपयोग करें।
तब $dt = \left( \frac{1}{1 + x} - \frac{-1}{1 - x} \right) dx = \left( \frac{1 - x + 1 + x}{1 - x^2} \right) dx = \frac{2}{1 - x^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} dt$.
जब $x = 0$,तब $t = \ln(1) = 0$.
जब $x = \frac{1}{2}$,तब $t = \ln \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = \ln \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = \ln 3$.
इसलिए,$I = \int\limits_0^{\ln 3} t \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\ln 3} = \frac{1}{4} \ln^2 3$.
चूंकि $\ln^2(1/3) = (\ln 1 - \ln 3)^2 = (-\ln 3)^2 = \ln^2 3$,अतः उत्तर $\frac{1}{4} \ln^2 3$ या $\frac{1}{4} \ln^2 \left( \frac{1}{3} \right)$ है।

(D) माना $u = x \tan \theta$. तब $du = \tan \theta \, dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{du}{\tan \theta} = \cot \theta \, du$.
जब $x = \sin \theta$,तब $u = \sin \theta \tan \theta$.
जब $x = \cos \theta$,तब $u = \cos \theta \tan \theta = \sin \theta$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{\sin \theta}^{\cos \theta} f(x \tan \theta) \, dx = \int_{\sin \theta \tan \theta}^{\sin \theta} f(u) \cot \theta \, du$
$= \cot \theta \int_{\sin \theta \tan \theta}^{\sin \theta} f(u) \, du$
$= -\cot \theta \int_{\sin \theta}^{\sin \theta \tan \theta} f(u) \, du$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{d}{dx} G(x) = \frac{e^{\tan x}}{x}$,जहाँ $x \in (0, \pi/2)$.
माना $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2}{x} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
समाकलन के अंदर $\pi$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2\pi x}{\pi x^2} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
माना $t = \pi x^2$. तब $dt = 2\pi x dx$.
जब $x = 1/4$,तब $t = \pi/16$. जब $x = 1/2$,तब $t = \pi/4$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{\pi/16}^{\pi/4} \frac{e^{\tan t}}{t} dt$.
चूँकि $\frac{d}{dt} G(t) = \frac{e^{\tan t}}{t}$,इसलिए समाकलन का मान $[G(t)]_{\pi/16}^{\pi/4} = G(\pi/4) - G(\pi/16)$ होगा।

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{4/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{2/3} x \cdot \sin^{2/3} x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{(\sin x \cos x)^{2/3} \cdot \sin^{2/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\tan^{2/3} x \cdot \sin^2 x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sec^2 x}{\tan^{2/3} x} \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
जब $x = \pi/6$,तब $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3} = 3^{-1/2}$.
जब $x = \pi/3$,तब $t = \tan(\pi/3) = \sqrt{3} = 3^{1/2}$.
$I = \int_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} t^{-2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{1/3}}{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} = 3 \left[ t^{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}}$
$I = 3 \left( (3^{1/2})^{1/3} - (3^{-1/2})^{1/3} \right) = 3 \left( 3^{1/6} - 3^{-1/6} \right)$
$I = 3^{1 + 1/6} - 3^{1 - 1/6} = 3^{7/6} - 3^{5/6}$.

(B) समाकलन $I = \int_{3}^{5} \frac{1}{2x + 3} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = 2x + 3$,तो $du = 2 dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{du}{2}$.
जब $x = 3$ है,तो $u = 2(3) + 3 = 9$.
जब $x = 5$ है,तो $u = 2(5) + 3 = 13$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{9}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} [\ln |u|]_{9}^{13}$.
$I = \frac{1}{2} (\ln 13 - \ln 9) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{13}{9} \right)$.

(A) माना $I = \int_{4}^{9} \frac{\sqrt{x}}{\left(30-x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}} d x$.
हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। माना $t = 30 - x^{\frac{3}{2}}$.
तब,$dt = -\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x} dx = -\frac{2}{3} dt$.
जब $x = 4$,तब $t = 30 - 4^{\frac{3}{2}} = 30 - 8 = 22$.
जब $x = 9$,तब $t = 30 - 9^{\frac{3}{2}} = 30 - 27 = 3$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{22}^{3} -\frac{2}{3} \frac{dt}{t^2} = \frac{2}{3} \int_{3}^{22} t^{-2} dt$.
$I = \frac{2}{3} \left[ -\frac{1}{t} \right]_{3}^{22} = \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{22} - (-\frac{1}{3}) \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{22} \right)$.
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{22 - 3}{66} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{19}{66} \right) = \frac{19}{99}$.

(1/8) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{3} 2 t \cos 2 t \,d t$.
$\sin 2 t = u$ रखिए। तब,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2 \cos 2 t \,d t = d u$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos 2 t \,d t = \frac{1}{2} d u$.
अब,समाकलन की सीमाओं को बदलिए:
जब $t = 0$,तब $u = \sin(2 \times 0) = \sin 0 = 0$.
जब $t = \frac{\pi}{4}$,तब $u = \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{1} u^{3} \cdot \frac{1}{2} d u$
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} \right)$
$I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

(N/A) माना $I = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} dx$.
इसका मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। माना $u = x^{2} + 1$. तब $du = 2x dx$,जिसका अर्थ है कि $x dx = \frac{1}{2} du$.
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 2$,तब $u = 2^{2} + 1 = 5$.
जब $x = 3$,तब $u = 3^{2} + 1 = 10$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{5}^{10} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln |u|]_{5}^{10}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} (\ln 10 - \ln 5) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{10}{5}\right) = \frac{1}{2} \ln 2$.

(N/A) माना $I = \int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$.
$x^{2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $2x \, dx = dt$ या $x \, dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = 0^{2} = 0$.
जब $x = 1$,तब $t = 1^{2} = 1$.
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int_{0}^{1} e^{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} dt$.
$e^{t}$ का समाकल $e^{t}$ होता है।
सीमाओं को लागू करने पर:
$I = \frac{1}{2} [e^{t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^{1} - e^{0})$.
चूंकि $e^{0} = 1$,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} (e - 1)$.

(A) माना $t = x^{5} + 1$ है। तब,$dt = 5x^{4} dx$ होगा।
जब $x = -1$,तब $t = (-1)^{5} + 1 = 0$ होगा।
जब $x = 1$,तब $t = (1)^{5} + 1 = 2$ होगा।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{0}^{2} \sqrt{t} dt = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2}$
$= \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}})$
$= \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

(C) माना $t = \tan^{-1} x$ है। तब,$dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ होगा।
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = \tan^{-1}(0) = 0$ है।
जब $x = 1$,तब $t = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1} x}{1+x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{16} \right) = \frac{\pi^2}{32}$।

(A) समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना $x^{2}+1 = t$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
अब,समाकलन की सीमाओं को बदलें:
जब $x = 0$,तब $t = 0^{2} + 1 = 1$.
जब $x = 1$,तब $t = 1^{2} + 1 = 2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$.
$\frac{1}{t}$ का समाकलन $\log |t|$ होता है।
$= \frac{1}{2} [\log |t|]_{1}^{2}$.
$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1)$.
चूंकि $\log 1 = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{1}{2} \log 2$.

माना $I = \int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^{2} \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = 1$,तब $\theta = \frac{\pi}{4}$।
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \sec ^{2} \theta d \theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \theta \sec ^{2} \theta d \theta$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u v d \theta = u \int v d \theta - \int (u' \int v d \theta) d \theta$,जहाँ $u = \theta$ और $v = \sec^2 \theta$ है:
$I = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 [ \theta \tan \theta + \ln |\cos \theta| ]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} + \ln |\cos \frac{\pi}{4}| - (0 + \ln |\cos 0|) \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} + \ln \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right]$।
चूँकि $\ln \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \ln 2$:
$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 \right] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$।

(C) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x+2 = t^{2}$. तब $x = t^{2}-2$ और $dx = 2t \, dt$ होगा।
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x=0$,तब $t^{2} = 0+2 = 2$,इसलिए $t = \sqrt{2}$.
जब $x=2$,तब $t^{2} = 2+2 = 4$,इसलिए $t = 2$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2}-2) \sqrt{t^{2}} \cdot (2t) \, dt$
$I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2}-2) \cdot t \cdot 2t \, dt$
$I = 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{4}-2t^{2}) \, dt$
अब,$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{t^{5}}{5} - \frac{2t^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{2}$
$I = 2 \left[ \left( \frac{32}{5} - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{(\sqrt{2})^{5}}{5} - \frac{2(\sqrt{2})^{3}}{3} \right) \right]$
$I = 2 \left[ \left( \frac{96-80}{15} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$
$I = 2 \left[ \frac{16}{15} - \left( \frac{12\sqrt{2}-20\sqrt{2}}{15} \right) \right]$
$I = 2 \left[ \frac{16}{15} - \left( -\frac{8\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 2 \left( \frac{16+8\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{32+16\sqrt{2}}{15}$

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \,d x$ है।
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $-\sin x \,d x = d t$ या $\sin x \,d x = -d t$ है।
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = \cos(0) = 1$ है।
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
अब,इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{1}^{0} \frac{-d t}{1+t^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}}$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1+t^2} \,dt = \tan^{-1} t + C$ का उपयोग करने पर:
$I = [\tan^{-1} t]_{0}^{1}$ है।
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$I = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ है।

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$.
माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
जब $x = \frac{\pi}{6}$,तब $t = \sin(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
जब $x = \frac{\pi}{3}$,तब $t = \sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
इस प्रकार,$I = \int_{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$.
चूँकि $f(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$.
$I = 2 [\sin^{-1} t]_{0}^{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} = 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}-1}{2})$.
चूँकि $\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{\pi}{12}$ है,
अतः,$I = 2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

(D) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \tan^{-1}(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \cos x \tan^{-1}(\sin x) dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x dx = dt$.
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}, t = 1$.
अतः,$I = 2 \int_{0}^{1} t \tan^{-1}(t) dt$.....$(1)$.
$\int t \tan^{-1} t dt$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int t \tan^{-1} t dt = \tan^{-1} t \cdot \frac{t^2}{2} - \int \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{t^2}{2} dt$
$= \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1-1}{1+t^2} dt$
$= \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+t^2}) dt$
$= \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{1}{2} (t - \tan^{-1} t) = \frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} t$.
निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{0}^{1} t \tan^{-1} t dt = [\frac{t^2 \tan^{-1} t}{2} - \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} t]_{0}^{1}$
$= (\frac{1 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) - (0) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर:
$I = 2 \times (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) माना $I = \int \limits_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx$.
$t = 2x^{21} + 3x^{14} + 6x^7$ लेने पर,
$dt = (42x^{20} + 42x^{13} + 42x^6) dx = 42x^6(x^{14} + x^7 + 1) dx$.
अतः,$\int_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx = \frac{1}{42} \int_0^{11} t^{1/7} dt = \frac{1}{42} [\frac{7}{8} t^{8/7}]_0^{11} = \frac{1}{48} (11)^{8/7}$.
यहाँ $l = 48, m = 8, n = 7$ है। चूँकि $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,$l+m+n = 48+8+7 = 63$.

(B) दिया गया है $y=f(x)$,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ है।
$x=1$ पर,$f'(1) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x=3$ पर,$f'(3) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
समाकलन $I = \int_1^3 ((f'(t))^2 + 1) f''(t) dt$ पर विचार करें।
मान लीजिए $z = f'(t)$,तो $dz = f''(t) dt$.
जब $t=1$,$z = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
जब $t=3$,$z = f'(3) = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^1 (z^2 + 1) dz = \left[ \frac{z^3}{3} + z \right]_{1/\sqrt{3}}^1$
$I = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
$I = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{3}{3\sqrt{3}}) = \frac{4}{3} - \frac{10}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}$.
अब,$27I = 27(\frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}) = 36 - 10\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 36$ और $\beta = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 36 - 10 = 26$.

(D) दिया गया है $f(x)=\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}$.
सबसे पहले,$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^4)^{1/4}} = \frac{\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}}{(1+\frac{x^4}{1+x^4})^{1/4}} = \frac{x}{(1+2x^4)^{1/4}}$ की गणना करें।
गणितीय आगमन द्वारा,$g(x) = f(f(f(f(x)))) = \frac{x}{(1+4x^4)^{1/4}}$.
हमें $I = 18 \int_0^{\sqrt{2\sqrt{5}}} \frac{x^4}{(1+4x^4)^{1/4}} dx$ का मूल्यांकन करना है।
मान लीजिए $1+4x^4 = t^4$,तो $16x^3 dx = 4t^3 dt$,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{1}{4} t^3 dt$.
जब $x=0$,तो $t=1$. जब $x=\sqrt{2\sqrt{5}}$,तो $x^4 = 4(5) = 20$,इसलिए $t^4 = 1+4(20) = 81$,अर्थात $t=3$.
$I = 18 \int_1^3 \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{4} t^3 dt = \frac{18}{4} \int_1^3 t^2 dt = \frac{9}{2} [\frac{t^3}{3}]_1^3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} (27-1) = \frac{3}{2} (26) = 39$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$ है।
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\cos^6 x}}{\left(\frac{\cos ^3 x+\sin ^3 x}{\cos^3 x}\right)^2} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1+\tan^3 x)^2} d x$ प्राप्त होता है।
माना $t = 1 + \tan^3 x$ है। तब $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x d x$,जिसका अर्थ है कि $\tan^2 x \sec^2 x d x = \frac{dt}{3}$ है।
जब $x = 0$,तब $t = 1 + 0 = 1$ है। जब $x = \pi / 4$,तब $t = 1 + (1)^3 = 2$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$।