int_{0}^{1} frac{tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x का | vedclass

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Question

(C) माना $t = 	an^{-1} x$ है। तब,$dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ होगा।समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:जब $x = 0$,तब $t = 	an^{-1}(0) = 0$ है।जब $x = 1$,तब $t

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$\frac{\pi^2}{32}$

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(C) माना $t = 	an^{-1} x$ है। तब,$dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ होगा।समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:जब $x = 0$,तब $t = 	an^{-1}(0) = 0$ है।जब $x = 1$,तब $t = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int_{0}^{1} \frac{	an^{-1} x}{1+x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt$ प्राप्त होता है।समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt = \left[ \frac{t^2}{2} ight]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{4} ight)^2 - 0^2 ight) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{16} ight) = \frac{\pi^2}{32}$।

$\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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