intlimits_0^1 {frac{{{{tan }^{ - 1}}x}}{x},dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{{	an }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} $। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त हो

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$\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{\sin x}}\,dx} $

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{{	an }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} $। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = 0$ और जब $x = 1$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$। $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{	heta}{{	an 	heta}} \cdot \sec^2 	heta \, d	heta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{	heta}{{\sin 	heta \cos 	heta}} \, d	heta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{{2	heta}}{{\sin 2	heta}} \, d	heta}$। अब $2	heta = y$ लेने पर,$2 \, d	heta = dy$ अर्थात $d	heta = \frac{1}{2} dy$। जब $	heta = 0$,तो $y = 0$ और जब $	heta = \frac{\pi}{4}$,तो $y = \frac{\pi}{2}$। $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \cdot \frac{1}{2} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{x}{{\sin x}} \, dx}$।

$\int\limits_0^1 {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} = $

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यदि $\int_{\log 2}^x \frac{du}{({e^u} - 1)^{1/2}} = \frac{\pi}{6}$ है,तो ${e^x} = $

समाकलन $\int_{1/\pi }^{2/\pi } \frac{\sin(1/x)}{x^2} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{4}^{9} \frac{\sqrt{x}}{\left(30-x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}} d x$

$\int_{\pi /3}^{\pi /2} \frac{\sqrt{1 + \cos x}}{(1 - \cos x)^{5/2}} \,dx = $

मान लीजिए कि $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$. तो $e^\alpha$ और $e^{-\alpha}$ किस समीकरण के मूल हैं:

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