$\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi$ का मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $y = \sin \phi$ है।
तब $dy = \cos \phi \, d\phi$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{(3y-2) dy}{5 - (1 - y^2) - 4y} = \int \frac{3y-2}{y^2 - 4y + 4} dy = \int \frac{3y-2}{(y-2)^2} dy$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,माना $\frac{3y-2}{(y-2)^2} = \frac{A}{y-2} + \frac{B}{(y-2)^2}$ है।
तब $3y-2 = A(y-2) + B$ प्राप्त होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$A = 3$ और $-2A + B = -2 \implies B = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $\int \left( \frac{3}{y-2} + \frac{4}{(y-2)^2} \right) dy$ हो जाता है।
$= 3 \ln |y-2| - \frac{4}{y-2} + C$।
$y = \sin \phi$ वापस रखने पर,हमें $3 \ln |\sin \phi - 2| - \frac{4}{\sin \phi - 2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \phi - 2$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $|\sin \phi - 2| = 2 - \sin \phi$ होगा।
$= 3 \ln (2 - \sin \phi) + \frac{4}{2 - \sin \phi} + C$।