Integration by substitution Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $x+a = t$. તેથી $dx = dt$ અને $x = t-a$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} dx = \int \frac{\sin (t-a)}{\sin t} dt$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \int \frac{\sin t \cos a - \cos t \sin a}{\sin t} dt$
$= \int (\cos a - \cot t \sin a) dt$
$= \cos a \int dt - \sin a \int \cot t dt$
$= t \cos a - \sin a \log |\sin t| + C$
હવે $t = x+a$ પાછા મૂકતા:
$= (x+a) \cos a - \sin a \log |\sin (x+a)| + C$
$= x \cos a + a \cos a - \sin a \log |\sin (x+a)| + C$
અહીં $a \cos a$ એક અચળાંક હોવાથી,તેને સ્વૈર અચળાંક $C$ માં સમાવી શકાય:
$= x \cos a - \sin a \log |\sin (x+a)| + C$

(A) ધારો કે $1 + x^2 = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x \, dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{1}{t}$ નું સંકલન કરતા $\log |t| + C$ મળે છે.
$t = 1 + x^2$ પાછા મૂકતા,આપણને $\log |1 + x^2| + C$ મળે છે.
કારણ કે $1 + x^2$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી આપણે તેને $\log (1 + x^2) + C$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $C$ એ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $\log x = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{x} dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{(\log x)^{2}}{x} dx = \int t^{2} dt$.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int t^{2} dt = \frac{t^{3}}{3} + C$.
હવે $t = \log x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(\log x)^{3}}{3} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) આપેલ વિધેયને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$\frac{1}{x+x \log x} = \frac{1}{x(1+\log x)}$
ધારો કે $1+\log x = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x} dx = dt$
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx = \int \frac{1}{t} dt$
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$= \log |t| + C$
હવે $t = 1 + \log x$ પાછું મૂકતા:
$= \log |1 + \log x| + C$
જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sin x \cdot \sin (\cos x) \, dx$.
$\cos x = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-\sin x \, dx = dt$,એટલે કે $\sin x \, dx = -dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sin (t) \cdot (-dt) = -\int \sin t \, dt$.
$\sin t$ નું સંકલન $-\cos t$ થાય છે.
તેથી,$I = -(-\cos t) + C = \cos t + C$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા,આપણને અંતિમ જવાબ મળે છે:
$I = \cos (\cos x) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $ax+b = t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $a \, dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{a} \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sqrt{ax+b} \, dx = \int t^{1/2} \cdot \frac{1}{a} \, dt$
$= \frac{1}{a} \int t^{1/2} \, dt$
$= \frac{1}{a} \left( \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right) + C$
$= \frac{1}{a} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C$
$= \frac{2}{3a} t^{3/2} + C$
$t = ax+b$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{2}{3a} (ax+b)^{3/2} + C$,જ્યાં $C$ એ એક સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $x+2=t$.
તેથી $x=t-2$ અને $dx=dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int x \sqrt{x+2} \, dx = \int (t-2) \sqrt{t} \, dt$
$= \int (t \cdot t^{1/2} - 2t^{1/2}) \, dt$
$= \int (t^{3/2} - 2t^{1/2}) \, dt$
$= \int t^{3/2} \, dt - 2 \int t^{1/2} \, dt$
$= \frac{t^{5/2}}{5/2} - 2 \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C$
$= \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{4}{3} t^{3/2} + C$
હવે $t = x+2$ પાછા મૂકતા:
$= \frac{2}{5} (x+2)^{5/2} - \frac{4}{3} (x+2)^{3/2} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $1+2 x^{2} = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$4x \, dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{dt}{4}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int x \sqrt{1+2 x^{2}} \, dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int t^{1/2} \, dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$= \frac{1}{4} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{6} t^{3/2} + C$.
$t = 1+2x^2$ પાછા મૂકતા:
$= \frac{1}{6} (1+2x^2)^{3/2} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int (4x+2)\sqrt{x^{2}+x+1} \, dx$.
$t = x^{2}+x+1$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = (2x+1) \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $2 \, dt = (4x+2) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int 2\sqrt{t} \, dt = 2 \int t^{\frac{1}{2}} \, dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^{n} \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$I = 2 \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) + C = 2 \times \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$.
$t = x^{2}+x+1$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{4}{3}(x^{2}+x+1)^{\frac{3}{2}} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} dx$ છે.
આપણે છેદને $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{x}-1$.
તો,$dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{2}{t} dt$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $I = 2 \log |t| + C$ મળે છે.
$t = \sqrt{x}-1$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = 2 \log |\sqrt{x}-1| + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $x+4 = t$.
તેથી $dx = dt$ અને $x = t-4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{x}{\sqrt{x+4}} dx = \int \frac{t-4}{\sqrt{t}} dt$
$= \int \left( \frac{t}{\sqrt{t}} - \frac{4}{\sqrt{t}} \right) dt$
$= \int (t^{1/2} - 4t^{-1/2}) dt$
$= \frac{t^{3/2}}{3/2} - 4 \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C$
$= \frac{2}{3} t^{3/2} - 8 t^{1/2} + C$
$= \frac{2}{3} t^{1/2} (t - 12) + C$
હવે $t = x+4$ પાછા મૂકતા:
$= \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x+4-12) + C$
$= \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x-8) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $x^{3}-1=t$.
તેથી,$3x^{2}dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^{2}dx = \frac{dt}{3}$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\int \left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{5} dx = \int \left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{3} \cdot x^{2} dx$.
$x^{3} = t+1$ અને $x^{2}dx = \frac{dt}{3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \int t^{\frac{1}{3}}(t+1) \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int \left(t^{\frac{4}{3}} + t^{\frac{1}{3}}\right) dt$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \frac{1}{3} \left[ \frac{t^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right] + C = \frac{1}{3} \left[ \frac{3}{7} t^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} \right] + C$.
$= \frac{1}{7} t^{\frac{7}{3}} + \frac{1}{4} t^{\frac{4}{3}} + C$.
$t = x^{3}-1$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{1}{7} \left(x^{3}-1\right)^{\frac{7}{3}} + \frac{1}{4} \left(x^{3}-1\right)^{\frac{4}{3}} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $2+3x^{3} = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$9x^{2} dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} dx = \frac{1}{9} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{x^{2}}{(2+3x^{3})^{3}} dx = \int \frac{1}{9t^{3}} dt = \frac{1}{9} \int t^{-3} dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^{n} dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$= \frac{1}{9} \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{1}{18t^{2}} + C$.
હવે $t = 2+3x^{3}$ પાછું મૂકતા:
$= -\frac{1}{18(2+3x^{3})^{2}} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $\log x = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{x} dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{x(\log x)^{m}} dx = \int \frac{1}{t^{m}} dt$.
આને $\int t^{-m} dt$ તરીકે લખી શકાય છે.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{t^{-m+1}}{-m+1} + C = \frac{t^{1-m}}{1-m} + C$.
$t = \log x$ પાછું મૂકતા,અંતિમ પરિણામ:
$\frac{(\log x)^{1-m}}{1-m} + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $I = \int \frac{x}{9-4x^{2}} dx$.
$t = 9-4x^{2}$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = -8x dx$,જેનો અર્થ થાય છે કે $x dx = -\frac{1}{8} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{1}{8}\right) dt$
$I = -\frac{1}{8} \int \frac{1}{t} dt$
$I = -\frac{1}{8} \log |t| + C$
હવે $t = 9-4x^{2}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{8} \log |9-4x^{2}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) વિધેય $I = \int \frac{x}{e^{x^{2}}} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $x^{2} = t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $2x dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2} dt$
$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} dt$
$t$ ની સાપેક્ષે $e^{-t}$ નું સંકલન $-e^{-t}$ થાય છે:
$I = \frac{1}{2} (-e^{-t}) + C$
$I = -\frac{1}{2} e^{-t} + C$
હવે $t = x^{2}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C = -\frac{1}{2e^{x^{2}}} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} dx$.
$\tan ^{-1} x = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{1+x^{2}} dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int e^{t} dt$ મળે છે.
$e^{t}$ નું સંકલન $e^{t} + C$ થાય છે.
હવે $t = \tan ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ $e^{\tan ^{-1} x} + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) વિધેય $I = \int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $e^{x}$ વડે ભાગીએ છીએ:
$I = \int \frac{\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}}{\frac{e^{2x}+1}{e^{x}}} dx = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx$
હવે,ધારો કે $t = e^{x}+e^{-x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = (e^{x}-e^{-x}) dx$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + C$
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \log |e^{x}+e^{-x}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}} dx$.
$t = e^{2 x}+e^{-2 x}$ આદેશ લો.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dt = (2e^{2 x} - 2e^{-2 x}) dx = 2(e^{2 x} - e^{-2 x}) dx$.
તેથી,$(e^{2 x} - e^{-2 x}) dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$.
સંકલન કરતા આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \log |t| + C$.
$t = e^{2 x}+e^{-2 x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \log |e^{2 x}+e^{-2 x}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $7-4x = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-4 dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dx = -\frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sec^{2}(7-4x) dx = \int \sec^{2}(t) \left(-\frac{1}{4}\right) dt$
$= -\frac{1}{4} \int \sec^{2}(t) dt$
$= -\frac{1}{4} \tan(t) + C$
$= -\frac{1}{4} \tan(7-4x) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $t = \sin^{-1} x$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int t \, dt$.
$t$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા $\frac{t^2}{2} + C$ મળે છે.
$t = \sin^{-1} x$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ $\frac{(\sin^{-1} x)^2}{2} + C$ છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \frac{2 \cos x - 3 \sin x}{6 \cos x + 4 \sin x} dx$.
આપણે છેદને $2(3 \cos x + 2 \sin x)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int \frac{2 \cos x - 3 \sin x}{2(3 \cos x + 2 \sin x)} dx$.
ધારો કે $t = 3 \cos x + 2 \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $dt = (-3 \sin x + 2 \cos x) dx$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{dt}{2t} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$ મળે છે.
સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \log |t| + C$ મળે છે.
$t = 3 \cos x + 2 \sin x$ પાછા મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \log |3 \cos x + 2 \sin x| + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{\cos ^{2} x(1-\tan x)^{2}} dx$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\cos ^{2} x} = \sec ^{2} x$,તેથી સંકલન $I = \int \frac{\sec ^{2} x}{(1-\tan x)^{2}} dx$ બને છે.
ધારો કે $u = 1 - \tan x$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $du = -\sec ^{2} x dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sec ^{2} x dx = -du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{-du}{u^{2}} = -\int u^{-2} du$ મળે છે.
સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$,આપણને $I = -\left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{u} + C$ મળે છે.
$u = 1 - \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{1-\tan x} + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $\sqrt{x} = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \cos(t) \cdot (2 dt) = 2 \int \cos(t) dt$.
$\cos(t)$ નું સંકલન $\sin(t)$ થાય છે,તેથી આપણને $2 \sin(t) + C$ મળે છે.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ $2 \sin \sqrt{x} + C$ છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\sin 2x} \cos 2x \, dx$.
$\sin 2x = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \cos 2x \, dx = dt$
$\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt$
$I = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} dt$
ઘાતનો નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right) + C$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) + C$
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$I = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$t = \sin 2x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} (\sin 2x)^{\frac{3}{2}} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $1+\sin x = t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\cos x \, dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} \, dx = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$= \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{t} + C$.
$t = 1+\sin x$ પાછા મૂકતા:
$= 2\sqrt{1+\sin x} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $I = \int \cot x \log \sin x \, dx$.
$t = \log \sin x$ આદેશ લો.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ મળે.
તેથી,$dt = \cot x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int t \, dt$ મળે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$I = \frac{t^2}{2} + C$ મળે.
$t = \log \sin x$ પાછું મૂકતા,$I = \frac{1}{2}(\log \sin x)^2 + C$ મળે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$.
$t = 1 + \cos x$ આદેશ લેતા.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$dt = -\sin x dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin x dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int -\frac{dt}{t}$ મળે.
સંકલન કરતા,$I = -\log |t| + C$ મળે.
$t = 1 + \cos x$ પાછા મૂકતા,$I = -\log |1 + \cos x| + C$ મળે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $1+\cos x = t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\sin x \, dx = dt$ મળે છે,અથવા $\sin x \, dx = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}} \, dx = \int -\frac{dt}{t^{2}}$.
$= -\int t^{-2} \, dt$.
$= -\left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C$.
$= \frac{1}{t} + C$.
$t = 1+\cos x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{1}{1+\cos x} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} dx$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x} \cdot \cos x}{\sin x \cos x \cdot \cos x} dx = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos^2 x} dx$.
કારણ કે $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,તેથી:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$I = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C$.
$t = \tan x$ પાછા મૂકતા:
$I = 2\sqrt{\tan x} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $1+\log x = t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{x} dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} dx = \int t^{2} dt$.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int t^{2} dt = \frac{t^{3}}{3} + C$.
હવે $t = 1+\log x$ પાછું મૂકતા:
$\frac{(1+\log x)^{3}}{3} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) આપેલ વિધેયને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$\frac{(x+1)(x+\log x)^{2}}{x} = \left(1+\frac{1}{x}\right)(x+\log x)^{2}$.
ધારો કે $t = x + \log x$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = (1 + \frac{1}{x}) dx$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int (x + \log x)^{2} (1 + \frac{1}{x}) dx = \int t^{2} dt$.
$t^{2}$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા $\frac{t^{3}}{3} + C$ મળે છે.
$t = x + \log x$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ $\frac{1}{3}(x + \log x)^{3} + C$ છે,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $x^{4} = t$.
તેથી,$4x^{3} dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^{3} dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)}{1+x^{8}} dx = \frac{1}{4} \int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} t\right)}{1+t^{2}} dt$.
હવે,ધારો કે $\tan ^{-1} t = u$.
તેથી,$\frac{1}{1+t^{2}} dt = du$.
સંકલનમાં $u$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{4} \int \sin u du = \frac{1}{4} (-\cos u) + C = -\frac{1}{4} \cos u + C$.
છેલ્લે $u = \tan ^{-1} t$ અને $t = x^{4}$ પાછા મૂકતા:
$= -\frac{1}{4} \cos \left(\tan ^{-1} x^{4}\right) + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(D) ધારો કે $t = x^{10} + 10^{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{10}) + \frac{d}{dx}(10^{x})$
$\frac{dt}{dx} = 10x^{9} + 10^{x} \log_{e} 10$
તેથી,$dt = (10x^{9} + 10^{x} \log_{e} 10) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{10 x^{9}+10^{x} \log _{e} 10}{x^{10}+10^{x}} d x = \int \frac{1}{t} dt$
$= \log |t| + C$
$= \log |x^{10} + 10^{x}| + C$
કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^{10} + 10^{x} > 0$ છે,તેથી આપણે તેને $\log (x^{10} + 10^{x}) + C$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

ધારો કે $I = \int \sin ^{3}(2 x+1) dx$.
આપણે $\sin ^{3}(2 x+1) = \sin ^{2}(2 x+1) \cdot \sin (2 x+1)$ લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin ^{2}\theta = 1 - \cos ^{2}\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (1 - \cos ^{2}(2 x+1)) \sin (2 x+1) dx$.
ધારો કે $t = \cos (2 x+1)$.
તેથી $dt = -2 \sin (2 x+1) dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin (2 x+1) dx = -\frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (1 - t^{2}) \left(-\frac{dt}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int (1 - t^{2}) dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\frac{1}{2} \left(t - \frac{t^{3}}{3}\right) + C$.
$t = \cos (2 x+1)$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} \cos (2 x+1) + \frac{1}{6} \cos ^{3}(2 x+1) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $I = \int \sin ^{3} x \cos ^{3} x \, dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \cos ^{3} x \cdot \sin ^{2} x \cdot \sin x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \cos ^{3} x (1 - \cos ^{2} x) \sin x \, dx$.
ધારો કે $\cos x = t$. તેથી,$-\sin x \, dx = dt$,અથવા $\sin x \, dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = -\int t^{3} (1 - t^{2}) \, dt$.
$I = -\int (t^{3} - t^{5}) \, dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{6}}{6} \right) + C$.
$I = \frac{t^{6}}{6} - \frac{t^{4}}{4} + C$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\cos ^{6} x}{6} - \frac{\cos ^{4} x}{4} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ નીચે મુજબ થશે:
$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.
તેથી,સંકલન $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$ થશે.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$.
તેથી $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2} = \int t^{-2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C = -t^{-1} + C = -\frac{1}{t} + C$.
$t = \sin x + \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2} dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ અને વિસ્તરણ $(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1 + \sin 2x} dx = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} dx$
$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx$
ધારો કે $u = \cos x + \sin x$. તો $du = (-\sin x + \cos x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$
$I = \log |\cos x + \sin x| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}$.
અંશ અને છેદને $e^{x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1} d x$.
ધારો કે $e^{x} = t$,તેથી $e^{x} d x = d t$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{d t}{t^{2}+1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{d x}{x^{2}+1} = \tan ^{-1}(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \tan ^{-1}(t) + C$.
હવે $t = e^{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \tan ^{-1}\left(e^{x}\right) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$.
અંશમાં તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} dx$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$. તેથી $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C$.
$t = \sin x + \cos x$ પાછા મૂકતા:
$I = \log |\sin x + \cos x| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{e^{x}(1+x)}{\cos ^{2}(x e^{x})} d x$.
$t = x e^{x}$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$dt = (e^{x} + x e^{x}) dx = e^{x}(1+x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{\cos ^{2} t} = \int \sec ^{2} t dt$.
$\sec ^{2} t$ નું સંકલન કરતા:
$I = \tan t + C$.
$t = x e^{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \tan (x e^{x}) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સંકલિત $\int \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પહેલા છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = 1 - (x-1)^2$
તેથી,સંકલિત $\int \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}}$ બને છે.
ધારો કે $t = x-1$,તો $dt = dx$
આ કિંમતો સંકલિતમાં મૂકતા,આપણને $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ મળે છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sin^{-1}(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,
$t = x-1$ પાછા મૂકતા,આપણને $\sin^{-1}(x-1) + C$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x^{3} = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $3x^{2} dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{3x^{2}}{x^{6}+1} dx = \int \frac{dt}{t^{2}+1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2}+1} dx = \tan^{-1}(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan^{-1}(t) + C$.
હવે $t = x^{3}$ પાછા મૂકતા,અંતિમ જવાબ:
$= \tan^{-1}(x^{3}) + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

ધારો કે $\sqrt{2}x^2 = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $2\sqrt{2}x dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{dt}{2\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{3x}{1+2x^4} dx = 3 \int \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{dt}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}} \int \frac{1}{1+t^2} dt$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(t) + C$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}x^2) + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

ધારો કે $x^{3} = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $3x^{2} dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{x^{2}}{1-x^{6}} dx = \int \frac{1}{1-(x^{3})^{2}} (x^{2} dx) = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1-t^{2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$:
$= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| \right] + C$
$= \frac{1}{6} \log \left| \frac{1+x^{3}}{1-x^{3}} \right| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $x^{3} = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $3x^{2} dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{6}+a^{6}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x^{3})^{2} + (a^{3})^{2}}} \cdot \frac{1}{3} dt$
$= \frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}| + C$
હવે $t = x^{3}$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{1}{3} \log |x^{3} + \sqrt{x^{6} + a^{6}}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $\tan x = t$.
તેથી,$\sec ^{2} x \, dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}} \, dx = \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + 2^{2}}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log |t + \sqrt{t^{2} + 4}| + C$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ છે:
$= \log |\tan x + \sqrt{\tan^{2} x + 4}| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $2x^{2}+x-3 = t$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^{2}+x-3) = \frac{dt}{dx}$
$(4x+1) dx = dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{4x+1}{\sqrt{2x^{2}+x-3}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt$.
આ $\int t^{-1/2} dt$ ને સમાન છે.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$= 2\sqrt{2x^{2}+x-3} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(N/A) ધારો કે $y = \sin \phi$.
તેથી $dy = \cos \phi \, d\phi$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે:
$\int \frac{(3y-2) dy}{5 - (1 - y^2) - 4y} = \int \frac{3y-2}{y^2 - 4y + 4} dy = \int \frac{3y-2}{(y-2)^2} dy$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\frac{3y-2}{(y-2)^2} = \frac{A}{y-2} + \frac{B}{(y-2)^2}$.
તેથી $3y-2 = A(y-2) + B$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A = 3$ અને $-2A + B = -2 \implies B = 4$.
આમ,સંકલન $\int \left( \frac{3}{y-2} + \frac{4}{(y-2)^2} \right) dy$ બને છે.
$= 3 \ln |y-2| - \frac{4}{y-2} + C$.
$y = \sin \phi$ પાછું મૂકતા,આપણને $3 \ln |\sin \phi - 2| - \frac{4}{\sin \phi - 2} + C$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \phi - 2$ હંમેશા ઋણ છે,તેથી $|\sin \phi - 2| = 2 - \sin \phi$.
$= 3 \ln (2 - \sin \phi) + \frac{4}{2 - \sin \phi} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$.
$t = x^{3}$ આદેશ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$dt = 3x^{2} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^{t} \cdot \frac{1}{3} dt$
$I = \frac{1}{3} \int e^{t} dt$
$e^{t}$ નું સંકલન $e^{t}$ થાય છે:
$I = \frac{1}{3} e^{t} + C$
હવે $t = x^{3}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.