Significant Figures Questions in Gujarati

(B) વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં સંખ્યાઓની બાદબાકી કરવા માટે,આપણે પહેલા તેમને $10$ ની સમાન ઘાત સાથે દર્શાવીએ છીએ.
$3.9 \times 10^5 = 39.0 \times 10^4$.
હવે,બાદબાકી કરો: $(39.0 \times 10^4) - (2.5 \times 10^4) = (39.0 - 2.5) \times 10^4 = 36.5 \times 10^4$.
આને ફરીથી પ્રમાણિત વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં ફેરવતા: $3.65 \times 10^5$.
બાદબાકી માટે સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામને ઓછામાં ઓછા દશાંશ સ્થળ ધરાવતા માપ જેટલા જ દશાંશ સ્થળ સુધી દર્શાવવું જોઈએ. અહીં,$3.9 \times 10^5$ માં એક દશાંશ સ્થળ છે ($39.0 \times 10^4$ તરીકે) અને $2.5 \times 10^4$ માં પણ એક દશાંશ સ્થળ છે. તેથી,પરિણામને એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$3.65 \times 10^5$ ને એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $3.6 \times 10^5$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,કૌંસમાં આપેલા સરવાળાની ગણતરી કરો: $3.20 + 4.80 = 8.00$.
સરવાળા માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
અહીં $3.20$ અને $4.80$ બંનેમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી બે અંકો છે,તેથી સરવાળો $8.00$ એ બે દશાંશ અંકો સુધી સાચો છે.
આમ,પદ $8.00 \times 10^5$ બને છે.
અહીં $8$,$0$ અને $0$ ત્રણેય અંકો સાર્થક છે.
તેથી,કુલ $3$ સાર્થક અંકો છે.

(A) $96378$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે,આપણે પ્રથમ બે અંકો $9$ અને $6$ ને જોઈએ છીએ.
ત્રીજો અંક $3$ છે (જે $5$ કરતા નાનો છે),તેથી આપણે બીજા અંકને તે જ રાખીશું અને બાકીના અંકોને શૂન્ય વડે બદલીશું.
આમ,$96378$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $96000$ અથવા $9.6 \times 10^4$ મળે છે.

(A) એક મોતીનું દળ $85 \, mg$ છે. આ માપન $1 \, mg$ ની ચોકસાઈ સાથે લેવામાં આવ્યું છે.
જો આ દળને ગ્રામમાં દર્શાવીએ, તો મોતીનું દળ $0.085 \, g$ થાય છે. અહીં એકમ બદલવા માટે ઉમેરવામાં આવેલા શૂન્યો સાર્થક અંકો નથી. તેથી, અહીં માત્ર બે જ સાર્થક અંકો $8$ અને $5$ છે.
જો આ દળને કિલોગ્રામમાં દર્શાવીએ, તો મોતીનું દળ $0.000085 \, kg$ થાય છે. અહીં આગળના શૂન્યો સાર્થક અંકો નથી. તેથી, અહીં પણ માત્ર બે જ સાર્થક અંકો $8$ અને $5$ છે.
આમ, કહી શકાય કે માપનના એકમો બદલવાથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા બદલાતી નથી.

(N/A) દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્યો સાર્થક નથી તેવો નિયમ સામાન્ય રીતે લાગુ પડે છે. જોકે,જ્યારે કોઈ માપન ચોક્કસ સાધન વડે કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ શૂન્યો તે માપનની ચોકસાઈ દર્શાવે છે.
ધારો કે $0.01 \ cm$ લઘુતમ માપ ધરાવતા વર્નિયર કેલિપર્સ વડે એક નળાકારની લંબાઈ માપવામાં આવે છે. જો માપેલ લંબાઈ ચોક્કસ $3.50 \ cm$ હોય,તો છેલ્લો શૂન્ય સાર્થક અંક છે કારણ કે તે દર્શાવે છે કે માપન એવા સાધન વડે લેવામાં આવ્યું છે જે બીજા દશાંશ સ્થાન સુધી માપી શકે છે.
આમ,$3.50 \ cm$ માં છેલ્લો શૂન્ય સાર્થક અંક છે,જે દર્શાવે છે કે ભૌતિક માપનના સંદર્ભમાં સામાન્ય નિયમ હંમેશા લાગુ પડતો નથી.

(N/A) સમતલ કોણ $\theta$ (રેડિયનમાં) માટેનું સૂત્ર $\theta = \frac{l}{r}$ છે,જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
અહીં,$\theta = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન અને $r = 31.0 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\pi}{6} = \frac{l}{31.0}$
$l$ માટે ગણતરી કરતા:
$l = 31.0 \times \frac{\pi}{6} \, cm$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$l = 31.0 \times \frac{3.14159}{6} \, cm \approx 16.231 \, cm$.
ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા (કારણ કે ત્રિજ્યા $31.0$ માં ત્રણ સાર્થક અંકો છે),ચાપની લંબાઈ $16.2 \, cm$ મળે છે.

(C) $1$. આપેલા અવલોકનો $5.50\, mm, 5.55\, mm, 5.45\, mm,$ અને $5.65\, mm$ છે. આ તમામ અવલોકનોમાં $3$ સાર્થક અંકો છે.
$2$. સરેરાશ મૂલ્ય $5.5375\, mm$ છે. સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામને માપેલા મૂલ્યો જેટલા જ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ,જે $3$ છે. આમ,$5.5375$ ને $5.54\, mm$ તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરવામાં આવે છે.
$3$. પ્રમાણિત વિચલન $0.07395\, mm$ છે. અનિશ્ચિતતા (ભૂલ) સામાન્ય રીતે એક અથવા બે સાર્થક અંકોમાં દર્શાવવી જોઈએ. $0.07395$ ને એક સાર્થક અંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $0.07\, mm$ મળે છે.
$4$. તેથી,વ્યાસને $(5.54 \pm 0.07)\, mm$ તરીકે નોંધવો જોઈએ.

(C) બાદબાકીમાં,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા,પ્રક્રિયામાં રહેલા તે પદ જેટલી હોવી જોઈએ જેમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી સૌથી ઓછા અંકો હોય.
આપેલ મૂલ્યો:
$9.99\, m$ ($2$ દશાંશ સ્થળ)
$0.0099\, m$ ($4$ દશાંશ સ્થળ)
બાદબાકી કરતા:
$9.99 - 0.0099 = 9.9801$
બાદબાકી માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામને તે પદ જેટલા દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળ છે,જે $2$ છે.
$9.9801$ ને $2$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $9.98$ મળે છે.
આમ,અંતિમ પરિણામ $9.98\, m$ છે.

(C) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$.
અહીં,લંબાઈ $= 55.3 \ m$ ($3$ સાર્થક અંકો) અને પહોળાઈ $= 25 \ m$ ($2$ સાર્થક અંકો) છે.
ગુણાકાર કરતા: $55.3 \times 25 = 1382.5 \ m^{2}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપ જેટલી જ હોવી જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય.
અહીં,સૌથી ઓછા સાર્થક અંકોની સંખ્યા $2$ છે (જે $25 \ m$ માં છે).
$1382.5$ ને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1400 \ m^{2}$ મળે છે,જેને $14 \times 10^{2} \ m^{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) માપનની સચોટતા સાર્થક અંકોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સાર્થક અંકોની વધુ સંખ્યા વધુ સચોટ માપન સૂચવે છે.
$A$. $400 \times 10^{-4} \,m = 0.0400 \,m$ (સાર્થક અંકો: $3$)
$B$. $0.04 \,m$ (સાર્થક અંકો: $1$)
$C$. $40 \,m$ (સાર્થક અંકો: $2$)
$D$. $4 \times 10^1 \,m = 40 \,m$ (સાર્થક અંકો: $1$)
સાર્થક અંકોની સરખામણી કરતા: $3 > 2 > 1$. તેથી,$400 \times 10^{-4} \,m$ માપનમાં સૌથી વધુ સાર્થક અંકો છે,જે તેને સૌથી વધુ સચોટ બનાવે છે.

(A) જ્યારે માપનો સરવાળો કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ પરિણામ તે માપ જેટલા જ દશાંશ સ્થળો સુધી દર્શાવવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળો હોય.
આપેલા માપ $18.425 \, cm$ (ત્રણ દશાંશ સ્થળ),$7.21 \, cm$ (બે દશાંશ સ્થળ) અને $5.0 \, cm$ (એક દશાંશ સ્થળ) છે.
સરવાળો $18.425 + 7.21 + 5.0 = 30.635 \, cm$ થાય છે.
સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળ ધરાવતું માપ $5.0 \, cm$ (એક દશાંશ સ્થળ) હોવાથી,અંતિમ પરિણામને એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$30.635$ ને એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $30.6 \, cm$ મળે છે.

(A) આપેલ માપન $0.0205 \times 10^{-4} \,m$ છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ:
$1$. દશાંશ સંખ્યામાં આગળના શૂન્યો સાર્થક હોતા નથી.
$2$. અંકો $2, 0, 5$ સાર્થક છે.
$3$. $10$ ની ઘાત (એટલે કે $10^{-4}$) સાર્થક અંકોની સંખ્યામાં ફાળો આપતી નથી.
તેથી,સાર્થક અંકો $2, 0, 5$ છે,જે કુલ $3$ સાર્થક અંકો આપે છે.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 2.12 \ m$ છે.
અહીં $r$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
$A = 3.14159 \times (2.12)^2$.
$A = 3.14159 \times 4.4944 = 14.11965... \ m^2$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં ઓછામાં ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં $2.12$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડે.
$14.11965$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $14.1 \ m^2$ મળે છે.

(A) ઓમના નિયમ મુજબ,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R = 10.845 \, \Omega$ (જેમાં $5$ સાર્થક અંકો છે) અને $I = 3.23 \, \text{A}$ (જેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે).
ગુણાકાર કરતા: $V = 10.845 \times 3.23 = 35.02935 \, V$.
ગુણાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં,સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો $3$ છે ($3.23$ માંથી).
$35.02935$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $35.0 \, V$ મળે છે.

(B) લોલકની લંબાઈ $(L)$ એ દોરાની લંબાઈ $(l)$ અને ગોળાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$L = l + r$
આપેલ છે,$l = 63.2 \,cm$ અને વ્યાસ $d = 2.256 \,cm$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{2.256}{2} = 1.128 \,cm$.
$L = 63.2 + 1.128 = 64.328 \,cm$.
સરવાળા/બાદબાકીમાં સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા એ માપનમાં રહેલા સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં,$63.2$ માં દશાંશ પછી એક અંક છે અને $1.128$ માં ત્રણ અંક છે.
તેથી,પરિણામને દશાંશ પછી એક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$L = 64.3 \,cm$.

(B) સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l = 1.2 \,m$ છે.
બાજુની લંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $l = 1.2 \times 10^2 \,cm = 120 \,cm$.
સમઘનનું કદ $V = l^3 = (120 \,cm)^3 = 1,728,000 \,cm^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $V = 1.728 \times 10^6 \,cm^3$ તરીકે લખી શકાય છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,ગણતરીનું પરિણામ તે માપ જેટલા જ સાર્થક અંકો ધરાવતું હોવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય.
આપેલ બાજુની લંબાઈ $1.2 \,m$ માં $2$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,કદને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$1.728$ ને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.7$ મળે છે.
આમ,કદ $1.7 \times 10^6 \,cm^3$ છે.

(B) આપેલ દળ $m_1 = 1.6 \,g$,$m_2 = 7.32 \,g$ અને $m_3 = 4.238 \,g$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $m = 1.6 + 7.32 + 4.238 = 13.158 \,g$.
સરવાળા માટે સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં તેટલા જ દશાંશ સ્થળ હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળ ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં,$1.6 \,g$ માં સૌથી ઓછા (એક) દશાંશ સ્થળ છે.
તેથી,આપણે $13.158 \,g$ ને એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $13.2 \,g$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $10.2 \,cm$ ($3$ સાર્થક અંકો છે).
પહોળાઈ $(w)$ = $6.8 \,cm$ ($2$ સાર્થક અંકો છે).
ક્ષેત્રફળ = $l \times w = 10.2 \times 6.8 = 69.36 \,cm^2$.
ગુણાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા ઓછામાં ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં,ઓછામાં ઓછા સાર્થક અંકો $2$ છે ($6.8 \,cm$ માંથી).
$69.36$ ને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $69 \,cm^2$ મળે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
કોઈપણ ભૌતિક માપનમાં,વિશ્વસનીય રીતે જાણીતા અંકો અને પ્રથમ અનિશ્ચિત અંકને સાર્થક અંકો કહેવામાં આવે છે.
$41.68 \,cm$ તરીકે નોંધાયેલ માપન માટે,અંકો $4, 1,$ અને $6$ નિશ્ચિત છે,જ્યારે છેલ્લો અંક $8$ એ અનિશ્ચિત અંક છે.
તેથી,અનિશ્ચિત અંક $8$ છે.

(D) આપેલ મૂલ્ય $4.700 \,m$ છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક ગણાય છે.
તેથી,$4.700$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(a)$ $4700$: દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક નથી. તેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે.
$(b)$ $0.047$: આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. તેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે.
$(c)$ $4070$: દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક નથી. તેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે.
$(d)$ $470.0$: દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક છે. તેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે.
આમ,$470.0 \,m$ મૂલ્યમાં $4.700 \,m$ જેટલા જ સાર્થક અંકો છે.

(C) આપેલ મૂલ્ય $2.7465 \,g$ છે.
સાર્થક અંકો એ અંકો છે જે માપનની ચોકસાઈ વિશે અર્થપૂર્ણ માહિતી આપે છે.
જો મૂલ્યને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી મર્યાદિત કરવામાં આવે,તો આપણે પ્રથમ ત્રણ અંકો $(2, 7, 4)$ રાખીશું અને બાકીના અંકોને દૂર કરીશું.
જે અંકો દૂર કરવાના છે તે અસાર્થક ગણાય છે.
તેથી,બે અસાર્થક અંકો $6$ અને $5$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 4.237 \, g$ (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે).
આપેલ કદ $V = 1.72 \, cm^3$ (જેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે).
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{4.237 \, g}{1.72 \, cm^3} \approx 2.46337 \, g \, cm^{-3}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ભાગાકારના પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા ઓછામાં ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં $1.72$ માં $3$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ જવાબને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવો જોઈએ.
તેથી,ઘનતા $2.46 \, g \, cm^{-3}$ મળે છે.

(B) કોઈ સંખ્યાને ચોક્કસ સંખ્યાના સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે,આપણે છેલ્લા સાર્થક અંક પછીના અંકને જોઈએ છીએ.
અહીં,આપણે $2.845$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવાનું છે.
પ્રથમ $3$ અંકો $2, 8, 4$ છે. ત્યારપછીનો અંક $5$ છે.
રાઉન્ડ ઓફ કરવાના નિયમો મુજબ,જો દૂર કરવાનો અંક $5$ હોય અને તેની આગળનો અંક બેકી સંખ્યા હોય,તો તે અંક બદલાતો નથી.
અહીં $4$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$2.845$ નું રાઉન્ડ ઓફ મૂલ્ય $2.84$ થશે.

(A) $5.997$ ને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે,આપણે ચોથો અંક જોઈએ છીએ,જે $7$ છે.
$7 > 5$ હોવાથી,આપણે ત્રીજા અંક $(9)$ માં $1$ ઉમેરીએ છીએ.
$9$ માં $1$ ઉમેરતા $10$ મળે છે,તેથી આપણે $1$ ને આગળના અંક પર વદી તરીકે લઈ જઈએ છીએ.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા આપણને $6.00$ મળે છે.
આમ,$5.997 \ m$ ને ત્રણ સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $6.00 \ m$ મળે છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ આશરે $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
પરિમાણનો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે કિંમતને $a \times 10^n$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ,જ્યાં $1 \le a < 10$ હોય.
અહીં,$a = 3$ છે,જે $1 \le 3 < 10$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,પરિમાણનો ક્રમ એ ઘાતાંક $n$ છે,જે $8$ છે.

(C) પગલું $1$: ગુણાકાર કરો $1.53 \times 0.9995 = 1.529235$.
પગલું $2$: સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારનું પરિણામ તે સંખ્યા જેટલા જ સાર્થક અંકો ધરાવતું હોવું જોઈએ જે સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવે છે. અહીં,$1.53$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે અને $0.9995$ માં $4$ છે. તેથી,ગુણાકારને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.53$ મળે છે.
પગલું $3$: ભાગાકાર કરો $\frac{1.53}{1.592} = 0.961055...$.
પગલું $4$: ભાગાકારનું પરિણામ પણ ઓપરેન્ડ્સમાં હાજર સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ. અહીં,$1.53$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે અને $1.592$ માં $4$ છે. તેથી,અંતિમ પરિણામને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $0.961$ મળે છે.

(C) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$2$. શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા શૂન્ય સાર્થક છે.
$3$. સંખ્યાની શરૂઆતના શૂન્ય સાર્થક નથી.
$4$. દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્ય સાર્થક છે.
આ નિયમો લાગુ પાડતા:
- $A. 1001$: અહીં $4$ સાર્થક અંકો છે (બધા અંકો સાર્થક છે).
- $B. 010.1$: શરૂઆતનું શૂન્ય સાર્થક નથી. અંકો $1, 0, 1$ સાર્થક છે. કુલ = $3$ સાર્થક અંકો.
- $C. 100.100$: બધા અંકો સાર્થક છે કારણ કે શૂન્ય એ શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે છે અથવા દશાંશ પછીના અંતિમ શૂન્ય છે. કુલ = $6$ સાર્થક અંકો.
- $D. 0.0010010$: શરૂઆતના શૂન્ય સાર્થક નથી. અંકો $1, 0, 0, 1, 0$ સાર્થક છે. કુલ = $5$ સાર્થક અંકો.
પરિણામોને જોડતા: $A-II, B-I, C-IV, D-III$.

(C) આપેલા અવલોકનો $4.62 \,s, 4.632 \,s, 4.6 \,s$ અને $4.64 \,s$ છે.
સરેરાશ શોધવા માટે,પહેલા આપણે સરવાળો કરીએ: $4.62 + 4.632 + 4.6 + 4.64 = 18.492 \,s$.
સરવાળા માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાન ધરાવતા માપન જેટલી હોવી જોઈએ. અહીં,$4.6 \,s$ માં દશાંશ પછી માત્ર એક જ અંક છે.
તેથી,સરવાળાને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા: $18.5 \,s$ મળે.
હવે,સરેરાશની ગણતરી કરીએ: $\text{Mean} = \frac{18.5}{4} = 4.625 \,s$.
છેલ્લે,ભાગાકાર માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપન જેટલી હોવી જોઈએ. અહીં $4.6 \,s$ માં બે સાર્થક અંકો છે.
તેથી,$4.625 \,s$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $4.6 \,s$ મળે છે.

(D) આપેલ અભિવ્યક્તિ $y = \frac{32.3 \times 1125}{27.4}$ છે.
મૂલ્યની ગણતરી કરતા: $y = 1326.18613...$
ગુણાકાર અને ભાગાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
અભિવ્યક્તિમાં,$32.3$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે,$1125$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે,અને $27.4$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
સૌથી ઓછા સાર્થક અંકોની સંખ્યા $3$ છે.
$1326.186$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1330$ મળે છે.

(C) આપેલ દળ $m_1 = 435.42 \ g$,$m_2 = 226.3 \ g$ અને $m_3 = 0.125 \ g$ છે.
સરવાળો કરવા માટે: $435.42 + 226.3 + 0.125 = 661.845 \ g$.
સાર્થક અંકો સાથે સરવાળાના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા તેટલી જ હોવી જોઈએ જેટલી સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં માપનમાં અનુક્રમે $2$,$1$ અને $3$ દશાંશ અંકો છે. સૌથી ઓછા દશાંશ અંકોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$661.845 \ g$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $661.8 \ g$ મળે છે.

(C) વિધાન-$1$ સાચું છે કારણ કે સાર્થક અંકોની વ્યાખ્યામાં એવા તમામ અંકોનો સમાવેશ થાય છે જે ચોક્કસપણે જાણીતા છે અને તેની સાથે પ્રથમ અંક જે અનિશ્ચિત છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે,સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતિમ શૂન્ય હંમેશા સાર્થક હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે,$3.500$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે).

(A) સરવાળા અને બાદબાકીમાં,પરિણામને તે માપન જેટલા જ દશાંશ સ્થળ સુધી દર્શાવવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળ હોય.
$(i)\ 11.3 \ cm$ (એક દશાંશ સ્થળ) $+ 4 \ cm$ (શૂન્ય દશાંશ સ્થળ) $= 15 \ cm$. તેથી,$(i)$ ખોટું છે.
$(ii)\ 4.53 \ m$ (બે દશાંશ સ્થળ) $- 1.2 \ m$ (એક દશાંશ સ્થળ) $= 3.3 \ m$. તેથી,$(ii)$ સાચું છે.
$(iii)\ 5.45 \ kg$ (બે દશાંશ સ્થળ) $- 3.2 \ kg$ (એક દશાંશ સ્થળ) $= 2.3 \ kg$. તેથી,$(iii)$ ખોટું છે.
$(iv)\ 84.8 \ cm$ (એક દશાંશ સ્થળ) $+ 48.6 \ cm$ (એક દશાંશ સ્થળ) $= 133.4 \ cm$. તેથી,$(iv)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $(ii)$ સાચું છે.

(B) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V}$ છે.
આપેલ દળ $m = 4.237 \ g$ (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે).
આપેલ કદ $V = 2.5 \ cm^3$ (જેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે).
ઘનતાની ગણતરી કરતા: $\rho = \frac{4.237}{2.5} = 1.6948 \ g \ cm^{-3}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ભાગાકારના પરિણામમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપ જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં $2.5$ માં $2$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ જવાબને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવો પડે.
$1.6948$ ને $2$ સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.7 \ g \ cm^{-3}$ મળે છે.

(A) $0.007\ m^2$ માટે,આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. તેથી,$1$ સાર્થક અંક છે. જે $(q)$ સાથે જોડાય છે.
$(b)$ $2.64 \times 10^{24}\ kg$ માટે,$10$ ની ઘાત સાર્થક નથી. અંકો $2, 6, 4$ સાર્થક છે. તેથી,$3$ સાર્થક અંકો છે. જે $(s)$ સાથે જોડાય છે.
$(c)$ $0.0021\ g\ cm^{-3}$ માટે,આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $2, 1$ સાર્થક છે. તેથી,$2$ સાર્થક અંકો છે. જે $(p)$ સાથે જોડાય છે.
$(d)$ $0.0006032\ J$ માટે,આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $6, 0, 3, 2$ સાર્થક છે. તેથી,$4$ સાર્થક અંકો છે. જે $(r)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $a-q, b-s, c-p, d-r$ છે.

(B) આપેલ માપન: $L = 10.5 \ cm$ ($3$ સાર્થક અંકો),$b = 0.05 \ mm = 0.005 \ cm$ ($1$ સાર્થક અંક),અને $t = 6.0 \ \mu m = 6.0 \times 10^{-4} \ cm$ ($2$ સાર્થક અંકો).
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ગુણાકારના પરિણામમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપન જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં,સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો $1$ છે ($b = 0.05 \ mm$ માંથી).
કદ $V = L \times b \times t = 10.5 \ cm \times 0.005 \ cm \times 6.0 \times 10^{-4} \ cm$.
$V = 10.5 \times 5 \times 10^{-3} \times 6.0 \times 10^{-4} \ cm^3 = 315 \times 10^{-7} \ cm^3 = 3.15 \times 10^{-5} \ cm^3$.
$1$ સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $V = 3 \times 10^{-5} \ cm^3$ મળે છે.

(C) પૃથ્વીનો વ્યાસ $(D_e)$ = $2 \times 6371 \ km = 12742 \ km = 1.2742 \times 10^4 \ km$.
પૃથ્વીના વ્યાસનો પરિમાણનો ક્રમ $10^4$ છે.
ભ્રમણકક્ષાનો વ્યાસ $(D_o)$ = $2 \times 149 \times 10^6 \ km = 298 \times 10^6 \ km = 2.98 \times 10^8 \ km$.
ભ્રમણકક્ષાના વ્યાસનો પરિમાણનો ક્રમ $10^8$ છે.
પરિમાણના ક્રમમાં તફાવત $8 - 4 = 4$ છે.
તેથી,ભ્રમણકક્ષાના વ્યાસનો પરિમાણનો ક્રમ પૃથ્વી કરતા $10^4$ જેટલો વધારે છે.

(B) ઘનતા એ દળ અને કદનો ગુણોત્તર છે: $\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$.
આપેલ છે: $\text{દળ} = 49.53 \ g$ (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે).
આપેલ છે: $\text{કદ} = 1.5 \ cm^3$ (જેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે).
ગણતરી: $\text{ઘનતા} = \frac{49.53}{1.5} = 33.02 \ g \ cm^{-3}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ભાગાકાર કરતી વખતે પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં $1.5$ માં $2$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ જવાબને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવો પડે.
તેથી,ઘનતા $33 \ g \ cm^{-3}$ થાય.

(B) $4.8000 \times 10^{4}$ સંખ્યા માટે:
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં,$10$ ની ઘાત સાર્થક અંકોની સંખ્યામાં ગણવામાં આવતી નથી.
અંકો $4, 8, 0, 0, 0$ બધા સાર્થક છે કારણ કે દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંતિમ શૂન્યો સાર્થક ગણાય છે.
આમ,અહીં $5$ સાર્થક અંકો છે.
$48000.50$ સંખ્યા માટે:
બધા શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા શૂન્યો સાર્થક હોય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંતિમ શૂન્યો પણ સાર્થક ગણાય છે.
તેથી,બધા અંકો $4, 8, 0, 0, 0, 5, 0$ સાર્થક છે,જે કુલ $7$ સાર્થક અંકો બનાવે છે.

(B) સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક હોય છે.
વધુમાં,દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્ય સાર્થક ગણાય છે.
સંખ્યા $4.870$ માં,અંકો $4, 8, 7$ શૂન્યતર છે અને દશાંશ ચિહ્ન પછી આવતું અંતિમ શૂન્ય પણ સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(A) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમો લાગુ કરીએ છીએ:
$(i)$ $A = 0.001204 \ m$ માટે: આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $1, 2, 0, 4$ સાર્થક છે. તેથી,$N_A = 4$.
$(ii)$ $B = 43120000 \ m$ માટે: દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં પાછળના શૂન્યો સાર્થક નથી. અંકો $4, 3, 1, 2$ સાર્થક છે. તેથી,$N_B = 4$.
$(iii)$ $C = 1.200 \ m$ માટે: દશાંશ ચિહ્ન વાળી સંખ્યામાં પાછળના શૂન્યો સાર્થક છે. અંકો $1, 2, 0, 0$ સાર્થક છે. તેથી,$N_C = 4$.
આમ,$N_A = 4, N_B = 4$ અને $N_C = 4$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $N_A = N_B = N_C$.

(A) સાર્થક અંકોના નિયમો અનુસાર,$1$ કરતા નાની સંખ્યા માટે,દશાંશ ચિહ્નની જમણી બાજુએ અને પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુએ આવેલા શૂન્યો સાર્થક ગણાતા નથી.
સંખ્યા $0.00764$ માં,$7$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી.
તેથી,સાર્થક અંકો $7, 6,$ અને $4$ છે,જે કુલ $3$ સાર્થક અંકો બનાવે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) $74.083$ માટે,બધા શૂન્યતર અંકો અને તેમની વચ્ચેના શૂન્ય સાર્થક છે,તેથી $5$ સાર્થક અંકો છે $(IV)$.
$0.029$ માટે,આગળના શૂન્ય સાર્થક નથી,તેથી $2$ સાર્થક અંકો છે $(III)$.
$0.002407$ માટે,આગળના શૂન્ય સાર્થક નથી,પરંતુ $2$ અને $4$ ની વચ્ચેનો શૂન્ય સાર્થક છે,તેથી $4$ સાર્થક અંકો છે $(II)$.
$2.74 \times 10^7$ માટે,ઘાતાંકીય પદ સાર્થક અંકોમાં ફાળો આપતું નથી,તેથી $3$ સાર્થક અંકો છે $(I)$.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(B) $1$ કરતા નાની કોઈપણ સંખ્યા માટે,દશાંશ ચિહ્નની પહેલા કે પછી આવતા અગ્રગામી શૂન્યો સાર્થક હોતા નથી.
આપેલ સંખ્યા $0.00005041$ માં,$5$ ની ડાબી બાજુના શૂન્યો અગ્રગામી શૂન્યો છે અને તે સાર્થક નથી.
અંકો $5, 0, 4, 1$ સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ:
$1$. અગ્રણી શૂન્યો (પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુના શૂન્યો) સાર્થક હોતા નથી. $0.03240$ માં,$3$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી.
$2$. શૂન્યતર અંકો હંમેશા સાર્થક હોય છે. અહીં,$3, 2, 4$ સાર્થક છે.
$3$. દશાંશ સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક હોય છે. $0.03240$ ના અંતમાં રહેલ શૂન્ય સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકો $3, 2, 4, 0$ છે,જે કુલ $4$ સાર્થક અંકો આપે છે.

(A) પગલું $1$: કૌંસની અંદરની બાદબાકી કરો. $0.312 - 0.03 = 0.282$. બાદબાકી માટે સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે. અહીં,$0.03$ માં બે દશાંશ અંકો છે,તેથી પરિણામ $0.282$ ને $0.28$ (બે દશાંશ અંકો) તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરવામાં આવે છે.
પગલું $2$: ભાગાકાર કરો. $\frac{0.501}{0.05} = 10.02$.
પગલું $3$: પરિણામોનો ગુણાકાર કરો. $10.02 \times 0.28 = 2.8056$.
પગલું $4$: ગુણાકાર માટેના નિયમો લાગુ કરો. પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તેટલી જ હોવી જોઈએ જેટલી સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે. $0.05$ માં $1$ સાર્થક અંક છે અને $0.28$ માં $2$ સાર્થક અંકો છે. તેથી,અંતિમ પરિણામને $1$ સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ. આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l = 1.2 \times 10^{-2} \ m$ છે.
સમઘનનું કદ $V = l^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = (1.2 \times 10^{-2} \ m)^3 = 1.728 \times 10^{-6} \ m^3$.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,ગુણાકાર કે ભાગાકારના પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપન જેટલી હોવી જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો હોય.
આપેલી લંબાઈ $1.2 \times 10^{-2} \ m$ માં $2$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,કદને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$1.728$ ને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $1.7$ મળે છે.
આમ,કદ $1.7 \times 10^{-6} \ m^3$ થાય છે.

(C) વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં,દરેક સંખ્યાને $a \times 10^{b}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ $1$ અને $10$ ની વચ્ચેની સંખ્યા છે અને $b$ એ કોઈપણ ધન અથવા ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક છે.
સાર્થક અંકો ફક્ત સહગુણક $a$ માં રહેલા અંકો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$10$ ની ઘાત (એટલે કે $10^{22}$) સાર્થક અંકો નક્કી કરવા માટે અપ્રસ્તુત છે.
આપેલ મૂલ્ય $3.78 \times 10^{22}$ માં,સહગુણક $3.78$ છે.
બધા શૂન્યતર અંકો સાર્થક હોવાથી,$3.78$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ:
$1$. પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુના શૂન્યો સાર્થક હોતા નથી. અહીં,$7$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી.
$2$. દશાંશ સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક હોય છે.
$0.079000 \ m$ માપનમાં,$7, 9, 0, 0, 0$ અંકો સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકોની કુલ સંખ્યા $5$ છે.

(A) મૂળ સળિયાની લંબાઈ $43.4 \ m$ છે (જેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે અને તે દશાંશ ચિહ્ન પછીના પ્રથમ સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે).
કાપેલા ટુકડાની લંબાઈ $3.532 \ m$ છે (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે અને તે દશાંશ ચિહ્ન પછીના ત્રીજા સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે).
બાદબાકી કરતી વખતે,પરિણામને તે માપ જેટલા જ દશાંશ સ્થાનો સુધી દર્શાવવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાનો હોય.
બાકી રહેલી લંબાઈ $= 43.4 \ m - 3.532 \ m = 39.868 \ m$.
$43.4$ માં માત્ર એક જ દશાંશ સ્થાન હોવાથી,આપણે પરિણામને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડશે.
$39.868$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $39.9 \ m$ મળે છે.

(D) સાર્થક અંકો માટેના નિયમો મુજબ:
$1$. તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$2$. દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સામાન્ય રીતે સાર્થક ગણાતા નથી,સિવાય કે માપનની ચોકસાઈ દ્વારા તે દર્શાવવામાં આવ્યા હોય.
સંખ્યા $830600$ માં,અંકો $8, 3, 0, 6$ સાર્થક છે.
છેલ્લા બે શૂન્યો સાર્થક નથી કારણ કે તેમાં દશાંશ ચિહ્ન નથી.
તેથી,સાર્થક અંકો $8, 3, 0, 6$ છે,જે કુલ $4$ સાર્થક અંકો આપે છે.