Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(D) कक्षक का आकार दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ पर निर्भर करता है।
$s$-कक्षक $(l=0)$ के लिए,आकार गोलाकार होता है।
$p$-कक्षक $(l=1)$ के लिए,आकार गैर-गोलीय (डंबल के आकार का) होता है।
आइए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास की जाँच करें:
$He$ $(Z=2)$: $1s^2$ (केवल $s$-कक्षक,गोलाकार)।
$Be$ $(Z=4)$: $1s^2 2s^2$ (केवल $s$-कक्षक,गोलाकार)।
$Li^{+}$ ($Z=3$,$2$ इलेक्ट्रॉन): $1s^2$ (केवल $s$-कक्षक,गोलाकार)।
$B$ $(Z=5)$: $1s^2 2s^2 2p^1$ (इसमें $p$-कक्षक मौजूद है,जो गैर-गोलीय है)।
इसलिए,$B$ में गैर-गोलीय इलेक्ट्रॉन कक्षक हैं।

(B) कक्षक का आकार दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$l = 0$ के लिए,कक्षक गोलाकार ($s$-कक्षक) होती है।
$l = 1$ के लिए,कक्षक डंबेल आकार की ($p$-कक्षक) होती है।
$l = 2$ के लिए,कक्षक डबल डंबेल आकार की ($d$-कक्षक) होती है।
अतः,डंबेल आकार वाली कक्षक के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या का मान $1$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
इसका कारण यह है कि हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है,और इसमें कोई इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण नहीं होता है जो दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ के आधार पर ऊर्जा का विभाजन कर सके।
इसलिए,ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दिए जाते हैं।

(C) डीजनरेट कक्षक वे कक्षक होते हैं जिनकी ऊर्जा समान होती है।
बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए,एक ही उपकोष (समान $n$ और $l$ मान वाले) में स्थित कक्षक डीजनरेट होते हैं।
सेट $3p_x, 3p_y, 3p_z$ में,तीनों कक्षक एक ही मुख्य कोश $(n=3)$ और एक ही उपकोष $(l=1)$ से संबंधित हैं।
इसलिए,उनकी ऊर्जा समान है और वे डीजनरेट हैं।

(B) कक्षक की ऊर्जा $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$5p$ के लिए: $n=5, l=1$,अतः $(n + l) = 6$।
$4f$ के लिए: $n=4, l=3$,अतः $(n + l) = 7$।
$6s$ के लिए: $n=6, l=0$,अतः $(n + l) = 6$।
$5d$ के लिए: $n=5, l=2$,अतः $(n + l) = 7$।
$(n + l)$ मानों की तुलना करने पर,$5p$ और $6s$ का मान समान $(6)$ है,और $4f$ और $5d$ का मान समान $(7)$ है।
जब $(n + l)$ मान समान होते हैं,तो कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
अतः,$5p < 6s$ और $4f < 5d$।
इस प्रकार,सही क्रम $5p < 6s < 4f < 5d$ है।

(C) पाउली के अपवर्जन नियम के अनुसार,एक कक्षक में विपरीत चक्रण (spin) वाले अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
चूंकि एक $p$ उपकोश में तीन कक्षक $(p_x, p_y, p_z)$ होते हैं,इसलिए प्रत्येक व्यक्तिगत $p$ कक्षक में केवल $2$ इलेक्ट्रॉन ही आ सकते हैं।

(C) मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले एक कोश के लिए,कुल कक्षकों (orbitals) की संख्या $n^2$ होती है।
प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,जिनमें से एक का चक्रण $+1/2$ और दूसरे का $-1/2$ होता है।
इसलिए,एक कोश में समान चक्रण वाले (जैसे केवल $+1/2$ या केवल $-1/2$) इलेक्ट्रॉनों की संख्या कुल कक्षकों की संख्या के बराबर,यानी $n^2$ होती है।

(A) $Aufbau$ सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के बढ़ते क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं।
$np$ कक्षक के पूर्णतः भर जाने के बाद,अगला इलेक्ट्रॉन अगली उच्च ऊर्जा वाली कक्षक में प्रवेश करता है।
किसी दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,ऊर्जा का क्रम $(n+l)$ नियम का पालन करता है।
$np$ के बाद,भरने वाली अगली कक्षक $(n+1)s$ कक्षक है।

(A) आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,कक्षकों में इलेक्ट्रॉन भरने का क्रम $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$5f$ कक्षक के लिए,$n=5$ और $l=3$,इसलिए $(n+l) = 5+3 = 8$ है।
$6d$ कक्षक के लिए,$n=6$ और $l=2$,इसलिए $(n+l) = 6+2 = 8$ है।
जब $(n+l)$ के मान समान होते हैं,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,वह पहले भरा जाता है।
ऊर्जा के क्रम $1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p$ के अनुसार,$5f$ के तुरंत बाद $6d$ कक्षक भरा जाता है।

(C) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार $1s$ कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,जो यह बताता है कि एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का मान समान नहीं हो सकता। चूंकि एक कक्षक $n$,$l$ और $m_l$ द्वारा परिभाषित होता है,इसलिए एक ही कक्षक में दो इलेक्ट्रॉनों को अलग करने के लिए केवल चक्रण क्वांटम संख्या ($m_s = +1/2$ या $-1/2$) ही बचती है। इसलिए,$1s^7$ जैसा विन्यास असंभव है क्योंकि यह एक ही कक्षक में $7$ इलेक्ट्रॉन रखने का प्रयास करता है।

(C) हुंड का अधिकतम बहुलता का नियम बताता है कि समान ऊर्जा वाले कक्षकों (degenerate orbitals) में,इलेक्ट्रॉन युग्मन तब तक नहीं होता जब तक कि प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न भर जाए। यह इलेक्ट्रॉनों की सबसे स्थिर व्यवस्था सुनिश्चित करता है।

(A) $Cr$ का परमाणु क्रमांक $24$ है। इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
$l = 0$ वाली कक्षकें $s$-कक्षकें होती हैं।
ये $1s, 2s, 3s$ और $4s$ हैं।
प्रत्येक $s$-उपकोश में $1$ कक्षक होती है।
कुल $s$-कक्षकों की संख्या = $1 (1s) + 1 (2s) + 1 (3s) + 1 (4s) = 4$ कक्षकें।
अतः,$l = 0$ वाली $4$ कक्षकें हैं।

(A) $Na$ का परमाणु क्रमांक $11$ है। इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$ है।
हमें उन इलेक्ट्रॉनों को खोजना है जिनके लिए $l + m = 0$ है।
$s$-कक्षक के लिए,$l = 0$ और $m = 0$। अतः,$l + m = 0 + 0 = 0$।
$p$-कक्षक के लिए,$l = 1$ और $m = -1, 0, +1$।
- $m = -1$ के लिए,$l + m = 1 + (-1) = 0$।
- $m = 0$ के लिए,$l + m = 1 + 0 = 1$।
- $m = +1$ के लिए,$l + m = 1 + 1 = 2$।
$l + m = 0$ वाले इलेक्ट्रॉनों की गणना:
- $1s^2$: दोनों इलेक्ट्रॉनों के लिए $l=0, m=0$,अतः $l+m=0$। ($2$ इलेक्ट्रॉन)
- $2s^2$: दोनों इलेक्ट्रॉनों के लिए $l=0, m=0$,अतः $l+m=0$। ($2$ इलेक्ट्रॉन)
- $2p^6$: केवल $2p_y$ कक्षक (जहाँ $m=-1$) के लिए $l+m=0$ होता है। इस कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं। ($2$ इलेक्ट्रॉन)
- $3s^1$: इस इलेक्ट्रॉन के लिए $l=0, m=0$,अतः $l+m=0$। ($1$ इलेक्ट्रॉन)
कुल इलेक्ट्रॉन = $2 + 2 + 2 + 1 = 7$।

(A) दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$l = 0$ ($3s$ कक्षक) के लिए,$m_l = 0$ है।
$l = 1$ ($3p$ कक्षक) के लिए,$m_l = -1, 0, +1$ है।
$l = 2$ ($3d$ कक्षक) के लिए,$m_l = -2, -1, 0, +1, +2$ है।
$m_l = 1$ की शर्त $3p$ कक्षक $(m_l = 1)$ और $3d$ कक्षक $(m_l = 1)$ द्वारा पूरी होती है।
प्रत्येक कक्षक विपरीत चक्रण वाले अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉनों को धारण कर सकता है।
इसलिए,$m_l = 1$ वाला $3p$ कक्षक $2$ इलेक्ट्रॉन और $m_l = 1$ वाला $3d$ कक्षक $2$ इलेक्ट्रॉन धारण कर सकता है।
कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $2 + 2 = 4$.

(C) आयरन $(Fe)$ का परमाणु क्रमांक $26$ है।
$Fe$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है।
$3d$ उपकोश में $6$ इलेक्ट्रॉन हैं। हुंड के नियम के अनुसार,वितरण इस प्रकार है: $1, 1, 1, 1, 1$ (अयुग्मित) और $1$ (युग्मित)।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ = $4$ है।
कुल स्पिन $(S)$ की गणना $n \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ के रूप में की जाती है।
अतः,कुल स्पिन $\pm 2$ है।

(C) $4s$ कक्षक $n=4$ कोश में स्थित एक एकल कक्षक है।
पाउली के अपवर्जन नियम के अनुसार,एक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,जिनमें से एक का स्पिन $+1/2$ और दूसरे का स्पिन $-1/2$ होता है।
इसलिए,$4s$ कक्षक में केवल $1$ इलेक्ट्रॉन ऐसा हो सकता है जिसकी स्पिन क्वांटम संख्या $-1/2$ हो।

(D) दिए गए क्वांटम संख्या मान $n = 4, l = 0, m = 0$ का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन $4s$ कक्षक में है।
यह इंगित करता है कि संयोजकता इलेक्ट्रॉन $4s$ उपकोश में है।
परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $4s^1$ या $4s^2$ पर समाप्त होना चाहिए।
यदि विन्यास $4s^1$ पर समाप्त होता है,तो तत्व पोटेशियम $(K)$ है,जिसका परमाणु क्रमांक $19$ है।
यदि विन्यास $4s^2$ पर समाप्त होता है,तो तत्व कैल्शियम $(Ca)$ है,जिसका परमाणु क्रमांक $20$ है।
अतः,परमाणु क्रमांक $19$ या $20$ हो सकता है।

(A) सबसे बाहरी कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक आयन का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास लिखते हैं:
$1$. $Cu^{+}$ $(Z=29)$: विन्यास $[Ar] 3d^{10}$ है। सबसे बाहरी कक्षा $3$री कक्षा है,जिसमें $18$ इलेक्ट्रॉन हैं ($3s^2 3p^6 3d^{10} = 18$ इलेक्ट्रॉन)।
$2$. $K^{+}$ $(Z=19)$: विन्यास $[Ne] 3s^2 3p^6$ है। सबसे बाहरी कक्षा $3$री कक्षा है,जिसमें $8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$3$. $Cs^{+}$ $(Z=55)$: विन्यास $[Xe] 6s^0$ है। सबसे बाहरी कक्षा $5$वीं कक्षा है,जिसमें $18$ इलेक्ट्रॉन हैं ($5s^2 5p^6 5d^{10} = 18$ इलेक्ट्रॉन)।
$4$. $Cl^{-}$ $(Z=17)$: विन्यास $[Ne] 3s^2 3p^6$ है। सबसे बाहरी कक्षा $3$री कक्षा है,जिसमें $8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Cu^{+}$ और $Cs^{+}$ दोनों सबसे बाहरी कक्षा में $18$ इलेक्ट्रॉन होने की शर्त को पूरा करते हैं। हालाँकि,मानक रसायन विज्ञान के प्रश्नों के संदर्भ में,$Cu^{+}$ इस विशिष्ट विन्यास के लिए सबसे सामान्य उत्तर है।

(C) $p_y$ कक्षक में इलेक्ट्रॉन घनत्व $y$-अक्ष के अनुदिश केंद्रित होता है।
नोडल तल वह तल है जहाँ इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।
$p_y$ कक्षक के लिए,$xz$-तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व शून्य होता है।
अतः,$zx$ तल $p_y$ कक्षक के लिए नोडल तल है।

(D) किसी कक्षक में कोणीय नोड की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या,$l$ द्वारा दी जाती है।
$s-$ कक्षक के लिए,$l = 0$ (कोणीय नोड की संख्या = $0$)।
$p-$ कक्षक के लिए,$l = 1$ (कोणीय नोड की संख्या = $1$)।
$d-$ कक्षक के लिए,$l = 2$ (कोणीय नोड की संख्या = $2$)।
$f-$ कक्षक के लिए,$l = 3$ (कोणीय नोड की संख्या = $3$)।
अतः,$d-$ कक्षक में दो कोणीय नोड होते हैं।

(B) कक्षक में रेडियल नोड्स की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $n - l - 1$ है।
$4p$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{रेडियल नोड्स} = 4 - 1 - 1 = 2$.
अतः,रेडियल नोड्स की संख्या $2$ है।

(B) कक्षक में नोडल तलों की संख्या दिगंशीय क्वांटम संख्या,$l$ के मान द्वारा दी जाती है।
$d$-कक्षक के लिए,$l = 2$ होता है।
अतः,नोडल तलों की संख्या $l = 2$ के बराबर होती है।

(C) किसी कक्षक में रेडियल नोड्स की संख्या का सूत्र: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ है।
$2s$ कक्षक के लिए,$n = 2$ और $l = 0$ है।
$\text{Radial nodes} = 2 - 0 - 1 = 1$।
अब,दिए गए विकल्पों के लिए रेडियल नोड्स की गणना करते हैं:
$(A)$ $3d$: $n = 3, l = 2 \implies 3 - 2 - 1 = 0$।
$(B)$ $5s$: $n = 5, l = 0 \implies 5 - 0 - 1 = 4$।
$(C)$ $5f$: $n = 5, l = 3 \implies 5 - 3 - 1 = 1$।
$(D)$ $2p$: $n = 2, l = 1 \implies 2 - 1 - 1 = 0$।
चूंकि $2s$ कक्षक और $5f$ कक्षक दोनों में $1$ रेडियल नोड है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(A) $s$-कक्षक के लिए,त्रिज्यीय नोड्स की संख्या $(n - 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
यह दिया गया है कि नोड्स की संख्या $(n - 1)$ है,जो सीधे $ns$ कक्षक के अनुरूप है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) किसी इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के लिए विनिमय युग्मों की संख्या का सूत्र है: $N = \frac{n(n-1)}{2}$,जहाँ $n$ समानांतर चक्रण (parallel spins) वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$3d^5$ विन्यास के लिए,हुंड के नियम के अनुसार सभी $5$ इलेक्ट्रॉनों का चक्रण समानांतर होता है।
सूत्र में $n = 5$ रखने पर:
$N = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
अतः,कुल $10$ विनिमय संभव हैं।

(A) भेदन प्रभाव (penetration effect) का अर्थ है किसी कक्षक की नाभिक के करीब जाने की क्षमता।
जिन कक्षकों के लिए कोणीय संवेग क्वांटम संख्या $(l)$ का मान कम होता है,वे नाभिक के अधिक करीब होते हैं और उन पर आकर्षण बल अधिक लगता है।
$s, p, d,$ और $f$ कक्षकों के लिए $l$ के मान क्रमशः $0, 1, 2,$ और $3$ होते हैं।
अतः,भेदन प्रभाव का सही क्रम $s > p > d > f$ है।

(A) आयनन ऊर्जा कक्षकों की भेदन क्षमता (penetration power) पर निर्भर करती है।
नाभिक के करीब के कक्षकों में मौजूद इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा अधिक मजबूती से आकर्षित होते हैं।
कक्षकों की भेदन क्षमता का क्रम $s > p > d > f$ है।
चूंकि $s$-कक्षक नाभिक के सबसे करीब होता है,इसलिए इसकी भेदन क्षमता सबसे अधिक होती है,जिससे इसमें से इलेक्ट्रॉन निकालना सबसे कठिन होता है।
इसलिए,$s$-कक्षक के लिए आयनन ऊर्जा सबसे अधिक होती है।

(B) तीसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ के अनुरूप है।
रेडियल नोड्स की संख्या का सूत्र $n - \ell - 1 = 2$ है।
समीकरण में $n = 4$ रखने पर: $4 - \ell - 1 = 2$ प्राप्त होता है।
$\ell$ के लिए हल करने पर: $3 - \ell = 2$,जिससे $\ell = 1$ प्राप्त होता है।
कक्षीय कोणीय संवेग की गणना $\sqrt{\ell(\ell + 1)} \, \hbar$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
$\ell = 1$ रखने पर: $\sqrt{1(1 + 1)} \, \hbar = \sqrt{2} \, \hbar$ प्राप्त होता है।

(D) एज़िमथल क्वांटम संख्या $l$ के किसी भी मान के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है।
विकल्प $D$ में,$l = 2$ है,इसलिए $m$ के संभावित मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं।
चूंकि $m = -3$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए $n = 3, l = 2, m = -3, s = -\frac{1}{2}$ व्यवस्था संभव नहीं है।

(D) $Pauli$ का अपवर्जन सिद्धांत कहता है कि एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है,जिसका अर्थ है कि एक कक्षक में विपरीत चक्रण (spin) वाले अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं।
$Hund$ का अधिकतम बहुलता का नियम कहता है कि समभ्रंश (degenerate) कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की युग्मन तब तक नहीं होती जब तक कि प्रत्येक कक्षक एकल रूप से भर न जाए।
विकल्प $d$ में,पहला कक्षक समान चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉनों को दर्शाता है ($Pauli$ के सिद्धांत का उल्लंघन),और कक्षकों का दूसरा समूह सभी कक्षकों के एकल रूप से भरने से पहले ही युग्मन दर्शाता है ($Hund$ के नियम का उल्लंघन)।

(B) चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है। किसी दिए गए उपकोष के लिए,$m_l$ का अधिकतम मान $l$ के बराबर होता है। $m_l = 3$ दिए जाने पर,$l = 3$ प्राप्त होता है।
दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक होता है। किसी दी गई कक्षा $n$ के लिए $l$ का अधिकतम मान $l = n-1$ होता है।
$l = 3$ रखने पर,$3 = n - 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
बोहर मॉडल के अनुसार,एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन द्वारा बनाई गई तरंगों की संख्या मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बराबर होती है।
अतः,तरंगों की संख्या $= n = 4$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) ऑर्बिटल की ऊर्जा $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$A$ के लिए: $n = 3, l = 0$,अतः $(n + l) = 3 + 0 = 3$ ($3s$ ऑर्बिटल)।
$B$ के लिए: $n = 3, l = 1$,अतः $(n + l) = 3 + 1 = 4$ ($3p$ ऑर्बिटल)।
$C$ के लिए: $n = 3, l = 2$,अतः $(n + l) = 3 + 2 = 5$ ($3d$ ऑर्बिटल)।
$D$ के लिए: $n = 4, l = 0$,अतः $(n + l) = 4 + 0 = 4$ ($4s$ ऑर्बिटल)।
$(n + l)$ मानों की तुलना करने पर,$5$ उच्चतम मान है।
अतः,क्वांटम संख्याओं का सेट $n = 3, l = 2, m = 1, s = +1/2$ उच्चतम ऊर्जा को दर्शाता है।

(D) एक ऑर्बिटल में गोलाकार (या रेडियल) नोड्स की संख्या का सूत्र है: $\text{गोलाकार नोड्स की संख्या} = n - l - 1$।
विकल्प $A$ $(n = 2, l = 0)$ के लिए: $\text{नोड्स} = 2 - 0 - 1 = 1$।
विकल्प $B$ $(n = 3, l = 1)$ के लिए: $\text{नोड्स} = 3 - 1 - 1 = 1$।
विकल्प $C$ $(n = 3, l = 0)$ के लिए: $\text{नोड्स} = 3 - 0 - 1 = 2$।
विकल्प $D$ $(n = 1, l = 0)$ के लिए: $\text{नोड्स} = 1 - 0 - 1 = 0$।
चूंकि $n = 1, l = 0$ ($1s$ ऑर्बिटल) के लिए गोलाकार नोड्स की संख्या $0$ है,इसलिए यह सही उत्तर है।

(A) कक्षक का आकार दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$2p$ और $3p$ दोनों कक्षकों के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 1$ है,जो $p$-कक्षक के आकार को दर्शाता है।
अतः,$2p$ और $3p$ कक्षकों के आकार में कोई अंतर नहीं है।

(C) चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ केवल $-l$ से $+l$ तक के पूर्णांक मान ले सकती है।
विकल्प $C$ के लिए,$n = 3$ और $l = 2$ है। अतः,$m_l$ का मान केवल $-2, -1, 0, +1, +2$ हो सकता है।
$l = 2$ के लिए $m_l = -3$ संभव नहीं है क्योंकि $|m_l|$ का मान $l$ से अधिक नहीं हो सकता है।

(B) पाउली का अपवर्जन सिद्धांत बताता है कि एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का मान समान नहीं हो सकता है। इसका अर्थ है कि एक ऑर्बिटल में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं,और यदि वे हैं,तो उनकी स्पिन विपरीत दिशा में होनी चाहिए।
दिए गए आरेखों का विश्लेषण:
- $(A)$: सभी ऑर्बिटल नियम का पालन करते हैं।
- $(B)$: तीसरे ऑर्बिटल में दो इलेक्ट्रॉन समान स्पिन (दोनों नीचे की ओर) रखते हैं। यह पाउली के सिद्धांत का उल्लंघन है।
- $(C)$: सभी ऑर्बिटल नियम का पालन करते हैं।
- $(D)$: पहले ऑर्बिटल में दो इलेक्ट्रॉन विपरीत स्पिन के साथ हैं,जो सही है।
अतः,केवल आरेख $(B)$ पाउली के सिद्धांत का उल्लंघन करता है।

(C) $H$-परमाणु जैसी एकल-इलेक्ट्रॉन प्रणाली के लिए,कक्षक की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ पर निर्भर करती है।
समान $n$ मान वाले कक्षक समान ऊर्जा रखते हैं (अपभ्रष्ट)।
दिए गए कक्षकों के $n$ मान इस प्रकार हैं:
$2s: n=2$
$3s, 3p_x, 3p_y: n=3$
$4s, 4p_z, 4d_{xy}: n=4$
अतः,ऊर्जा का क्रम है:
$2s < (3s = 3p_x = 3p_y) < (4s = 4p_z = 4d_{xy})$।

(B) चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ का अधिकतम मान $3$ दिया गया है।
किसी उपकोष के लिए,$m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है।
अतः,$l = 3$,जो $f$-कक्षक को दर्शाता है।
मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ के बीच संबंध $n = l + 1$ होता है।
इसलिए,$n = 3 + 1 = 4$।
बोर-सोमरफेल्ड सिद्धांत के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन द्वारा बनाई गई तरंगों की संख्या मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ के बराबर होती है।
अतः,तरंगों की संख्या $4$ है।

(B, C) दिए गए आयनों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$1$. $Cr^{+3}$ $(Z=24)$: मूल अवस्था विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है। $3$ इलेक्ट्रॉन खोने के बाद,यह $[Ar] 3d^3$ हो जाता है।
$2$. $Mn^{+2}$ $(Z=25)$: मूल अवस्था विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^2$ है। $2$ इलेक्ट्रॉन खोने के बाद,यह $[Ar] 3d^5$ हो जाता है। यह एक अर्ध-भरित $d$-कक्षक विन्यास है।
$3$. $Fe^{+3}$ $(Z=26)$: मूल अवस्था विन्यास $[Ar] 3d^6 4s^2$ है। $3$ इलेक्ट्रॉन खोने के बाद,यह $[Ar] 3d^5$ हो जाता है। यह भी एक अर्ध-भरित $d$-कक्षक विन्यास है।

(A) क्रोमियम परमाणु $(Z = 24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ है।
$n = 2$ और $l = 1$ की स्थिति के लिए,हम $2p$ उपकोश (subshell) में इलेक्ट्रॉनों की संख्या देख रहे हैं।
$2p$ उपकोश में $6$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
अतः,$n = 2$ और $l = 1$ वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।

(B) $P$ $(Z=15)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$ है।
पांच संयोजी इलेक्ट्रॉन $3s^2$ और $3p^3$ में हैं।
$3s$ कक्षक के लिए: $n=3, l=0, m=0$। दोनों इलेक्ट्रॉन $A$ और $B$ के $(n, l, m)$ मान समान हैं।
$3p$ कक्षकों के लिए: $n=3, l=1$। तीनों इलेक्ट्रॉन $X, Y, Z$ अलग-अलग $m$ मान $(m=-1, 0, +1)$ रखते हैं।
चूंकि $B$ का स्पिन $+\frac{1}{2}$ है,इसलिए $A$ का स्पिन $-\frac{1}{2}$ होगा।
चूंकि $Z$ का स्पिन $+\frac{1}{2}$ है,और हुंड के नियम के अनुसार,$X, Y, Z$ तीनों का स्पिन $+\frac{1}{2}$ है।
समान $(n, l, m)$ वाले इलेक्ट्रॉन एक ही कक्षक में होते हैं।
$A$ और $B$ एक ही $3s$ कक्षक में हैं,इसलिए वे $(n, l, m)$ समान रखते हैं।
$X, Y, Z$ अलग-अलग $3p$ कक्षकों में हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के साथ $(n, l, m)$ समान नहीं रखते हैं।
अतः,समान $(n, l, m)$ वाले इलेक्ट्रॉनों का समूह $AB$ है।

(B) परमाणु क्रमांक $Z = 17$ है। इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ है।
$n = 2$ के लिए,उपकोश $2s$ और $2p$ हैं।
$2s$ उपकोश में,$l = 0$,इसलिए $m = 0$ है। $2s$ कक्षक $(m = 0)$ में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$2p$ उपकोश में,$l = 1$,इसलिए $m = -1, 0, +1$ है। $2p$ उपकोश में $6$ इलेक्ट्रॉन हैं,जिसमें प्रत्येक कक्षक $(m = -1, 0, +1)$ में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं।
इस प्रकार,$m = 0$ वाले $2p$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$n = 2$ और $m = 0$ वाले इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2$ ($2s$ से) $+ 2$ ($2p$ से) $= 4$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $(n+l)$ के योग पर निर्भर करती है।
$I$. $(n+l)$ का योग जितना कम होगा,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा उतनी ही कम होगी।
$II$. यदि $(n+l)$ का योग समान है,तो जिसका $n$ कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$III$. दिए गए विकल्पों के लिए $(n+l)$ की गणना:
$(A)$ $3+2=5$
$(B)$ $4+0=4$
$(C)$ $4+1=5$
$(D)$ $5+0=5$
अतः,विकल्प $(B)$ यानी $4+0=4$ सही उत्तर है।

(A) अनुचुंबकत्व एक या अधिक अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है जो चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आकर्षित होते हैं। इसलिए,अनुचुंबकीय पदार्थों में कम से कम एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होना आवश्यक है।

(D) जैसे-जैसे नाभिकीय आवेश $(Z)$ $Ne$ $(Z=10)$ से $Ca$ $(Z=20)$ तक बढ़ता है,नाभिक और इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण बढ़ता है।
इसके परिणामस्वरूप कक्षकों की ऊर्जा में कमी आती है (अर्थात,कक्षक अधिक स्थिर हो जाते हैं और उनकी ऊर्जा अधिक ऋणात्मक हो जाती है)।
इसलिए,नाभिकीय आवेश बढ़ने पर कक्षीय ऊर्जा घटती है।

(B) क्वांटम संख्याओं के एक सेट के मान्य होने के लिए,उन्हें निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $n$ एक धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, ...)$ होना चाहिए।
$2$. $l$ का मान $0$ से $n-1$ के बीच होना चाहिए।
$3$. $m$ का मान $-l$ से $+l$ के बीच होना चाहिए।
$4$. $m_s$ का मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ होना चाहिए।
विकल्पों का मूल्यांकन:
विकल्प $A$: $m_s = 0$ मान्य नहीं है।
विकल्प $B$: $n=2, l=0, m=0, m_s = -\frac{1}{2}$। सभी मान शर्तों को पूरा करते हैं,इसलिए यह मान्य है।
विकल्प $C$: $l = -3$ मान्य नहीं है।
विकल्प $D$: जब $l = 0$ हो तो $m = 1$ नहीं हो सकता।

(A) $(n+l)$ नियम के अनुसार,$(n+l)$ का मान जितना अधिक होगा,ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी।
यदि $(n+l)$ का मान समान है,तो कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
$(n+l)$ मानों की गणना:
$(i) n=4, l=1 \implies n+l = 5$
$(ii) n=4, l=0 \implies n+l = 4$
$(iii) n=3, l=2 \implies n+l = 5$
$(iv) n=3, l=1 \implies n+l = 4$
मानों की तुलना:
$(iv)$ और $(ii)$ के लिए,दोनों में $(n+l) = 4$ है। चूंकि $n=3 < n=4$,इसलिए $(iv) < (ii)$।
$(i)$ और $(iii)$ के लिए,दोनों में $(n+l) = 5$ है। चूंकि $n=3 < n=4$,इसलिए $(iii) < (i)$।
अतः,बढ़ती ऊर्जा का क्रम $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ है।