Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(B) $3d_{z^2}$ कक्षक के लिए:
$1$. मुख्य क्वांटम संख्या $n$ गुणांक द्वारा दी जाती है,इसलिए $n = 3$ है।
$2$. $d$-कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell = 2$ होती है।
$3$. $d_{z^2}$ के लिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $m = 0$ होती है।
$4$. चक्रण क्वांटम संख्या $s$ किसी भी इलेक्ट्रॉन के लिए $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकती है।
अतः,सही मान $n = 3, \ell = 2, m = 0, s = +\frac{1}{2} \text{ या } -\frac{1}{2}$ हैं।

(A) आर्गन $(Z = 18)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6$ है।
$p$-कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 1$ है,इसलिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_{\ell}$ का मान $-1, 0, +1$ हो सकता है।
$2p^6$ उपकोश में,$2p_x$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं (जहाँ $m_{\ell} = 1$ या $-1$ हो सकता है)।
$3p^6$ उपकोश में भी,$3p_x$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
अतः,$m_{\ell} = 1$ वाले कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 + 2 = 4$ है।

(B) $Br$ (परमाणु क्रमांक $35$) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^5$ है।
$Br^{-}$ तब बनता है जब $Br$ में एक इलेक्ट्रॉन जोड़ा जाता है,इसलिए $Br^{-}$ का विन्यास $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^6$ है।
$Br^{+2}$ उदासीन $Br$ परमाणु से दो इलेक्ट्रॉन निकालने पर बनता है। इलेक्ट्रॉन सबसे बाहरी कोश ($4p$ कक्षक) से निकाले जाते हैं।
$Br^{+2}$ का विन्यास $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^3$ है।
परमाणु क्रमांक $33$ वाला तत्व आर्सेनिक $(As)$ है,जिसका विन्यास $[Ar]\, 3d^{10}\,4s^2\,4p^3$ होता है।
अतः,$Br^{+2}$ का विन्यास $As$ के समान है।

(D) बेरियम $(Z = 56)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] \, 6s^2$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,$6s$ के बाद कक्षकों के भरने का क्रम $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित होता है।
ऊर्जा स्तरों का क्रम $6s < 4f < 5d < 6p < 7s$ है।
अतः,$6s$ कक्षक के भरने के बाद,अगली भरने वाली कक्षकें $4f, 5d$ और $6p$ हैं।

(B) एक आवर्त में तत्वों की संख्या उस आवर्त के संगत कक्षकों (orbitals) में भरे जा सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या द्वारा दी जाती है।
दिए गए आवर्त $n$ के लिए,भरे जाने वाले कक्षक $ns$,$(n-2)f$,$(n-1)d$,और $np$ हैं।
इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2 + 2(2l+1) + 2(2l+1) + 6 = \frac{(n+2)^2}{2}$ है।
इस प्रकार,एज़िमथल क्वांटम संख्या $l$ का अधिकतम मान $\frac{n}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) यदि एक कक्षक में $3$ इलेक्ट्रॉन समाहित हो सकते हैं,तो उपकोश की क्षमता इस प्रकार बदल जाएगी:
$s$-उपकोश ($1$ कक्षक) = $3$ इलेक्ट्रॉन।
$p$-उपकोश ($3$ कक्षक) = $9$ इलेक्ट्रॉन।
$d$-उपकोश ($5$ कक्षक) = $15$ इलेक्ट्रॉन।
$f$-उपकोश ($7$ कक्षक) = $21$ इलेक्ट्रॉन।
$50$ परमाणु क्रमांक के लिए इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा के क्रम में भरने पर:
$1s^3, 2s^3, 2p^9, 3s^3, 3p^9, 3d^{15}, 4s^3, 4p^5$।
कुल इलेक्ट्रॉन = $3 + 3 + 9 + 3 + 9 + 15 + 3 + 5 = 50$।
संयोजकता कोश $4^{th}$ कोश है,इसलिए यह $4^{th}$ आवर्त में होगा।
अंतिम इलेक्ट्रॉन $p$-उपकोश में प्रवेश करता है,इसलिए यह $p$-ब्लॉक का तत्व है।

(D) -कक्षक समूह में,कक्षकों को अक्षों के सापेक्ष उनके अभिविन्यास के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
$1$. $d_{xy}, d_{yz},$ और $d_{zx}$ कक्षकों के लोब अक्षों के बीच स्थित होते हैं।
$2$. $d_{x^2-y^2}$ और $d_{z^2}$ कक्षकों के लोब अक्षों पर स्थित होते हैं।
इसलिए,अक्षों पर स्थित दो कक्षक $d_{x^2-y^2}$ और $d_{z^2}$ हैं।

(B) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $(n + l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
इस नियम के अनुसार,जिस कक्षक के लिए $(n + l)$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
यदि $(n + l)$ के मान समान हों,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $(n + l)$ की गणना:
$A: n = 3, l = 2 \implies n + l = 5$
$B: n = 4, l = 0 \implies n + l = 4$
$C: n = 4, l = 1 \implies n + l = 5$
$D: n = 5, l = 0 \implies n + l = 5$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ के लिए $(n + l)$ का मान सबसे कम $(4)$ है।
अतः,विकल्प $B$ में स्थित इलेक्ट्रॉन सबसे कम ऊर्जा से संबंधित है।

(D) $(n + \ell)$ नियम के अनुसार:
$1$. जिस कक्षक के लिए $(n + \ell)$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$2$. यदि दो कक्षकों के लिए $(n + \ell)$ का मान समान है,तो कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
कथन $D$ गलत है क्योंकि यदि $(n + \ell)$ समान है,तो उच्च $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा अधिक होती है,कम नहीं।

(B) Niobium $(Z = 41)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: $[Kr] 4d^4 5s^1$ या $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^4, 5s^1$ है।
$m = -1$ के लिए,हम उन कक्षकों पर विचार करते हैं जहाँ चुंबकीय क्वांटम संख्या $m = -1$ हो सकती है:
$2p$ उपकोश $(2p_y)$: $2$ इलेक्ट्रॉन
$3p$ उपकोश $(3p_y)$: $2$ इलेक्ट्रॉन
$3d$ उपकोश ($3d_{xy}$ या $3d_{yz}$): $2$ इलेक्ट्रॉन
$4p$ उपकोश $(4p_y)$: $2$ इलेक्ट्रॉन
$4d$ उपकोश ($4d_{xy}$ या $4d_{yz}$): $4d$ में $4$ इलेक्ट्रॉनों की व्यवस्था के आधार पर $0$ से $1$ इलेक्ट्रॉन।
अतः,कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 + 2 + 2 + 2 + (0 \text{ से } 1) = 8$ या $9$ होगी।

(B) अनुचुंबकत्व निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक परमाणु की मूल अवस्था में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या देखते हैं:
$1. \text{ऑक्सीजन } (O): 1s^2 2s^2 2p^4$. $2p$ उपकोष में $2$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
$2. \text{नाइट्रोजन } (N): 1s^2 2s^2 2p^3$. $2p$ उपकोष में $3$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं।
$3. \text{एल्युमिनियम } (Al): [Ne] 3s^2 3p^1$. $3p$ उपकोष में $1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है।
$4. \text{कैल्शियम } (Ca): [Ar] 4s^2$. सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं,इसलिए यह प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) है ($0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन)।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या की तुलना करने पर: $N (3) > O (2) > Al (1) > Ca (0)$।
अतः,अनुचुंबकत्व का सही घटता क्रम $N > O > Al > Ca$ है।

(C) तीन $2p$ इलेक्ट्रॉन वाले तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^3$ है।
इलेक्ट्रॉनों का योग: $2 + 2 + 3 = 7$ है।
$7$ परमाणु क्रमांक वाला तत्व नाइट्रोजन $(N)$ है।

(D) एक उत्तेजित अवस्था तब होती है जब एक इलेक्ट्रॉन अपनी मूल अवस्था (ground state) की तुलना में उच्च ऊर्जा वाले कक्षक में चला जाता है।
विकल्प $D$ में,विन्यास $1s^2 2s^2 2p^5 3s^1$ नियॉन परमाणु $(1s^2 2s^2 2p^6)$ की उत्तेजित अवस्था को दर्शाता है।
यहाँ,$2p$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन $3s$ कक्षक में चला गया है,जो कि एक उच्च ऊर्जा स्तर है।

(C) सही उत्तर $(c)$ है।
$Cr$ $(Z=24)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है। पाँचों $d$-कक्षकों $(d_{xy}, d_{yz}, d_{zx}, d_{x^2-y^2}, d_{z^2})$ में $1$ इलेक्ट्रॉन होता है।
$Fe^{3+}$ $(Z=26)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5$ है। पाँचों $d$-कक्षकों में $1$ इलेक्ट्रॉन होता है।
$Cu^{+}$ $(Z=29)$: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10}$ है। पाँचों $d$-कक्षकों में $2$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
अतः,$Cu^{+}$ में $d_{xy}$ कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं,जो दिए गए विकल्पों में अधिकतम है।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा कक्षक से उच्च ऊर्जा कक्षक में जाता है,तो परमाणु उत्तेजित अवस्था में होता है,जो आउफबाऊ (Aufbau) सिद्धांत का उल्लंघन करता है।
विन्यास $1s^2, 2s^2 2p^2, 3s^1$ में,$7$ इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणु के लिए मूल अवस्था $1s^2, 2s^2 2p^3$ होनी चाहिए।
चूंकि एक इलेक्ट्रॉन $2p$ कक्षक से $3s$ कक्षक में चला गया है,इसलिए यह एक उत्तेजित अवस्था को दर्शाता है।

(C) $Aufbau$ सिद्धांत के अनुसार $Ca$ $(Z = 20)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$ है।
$Aufbau$ सिद्धांत के अनुसार,$4s$ कक्षक अपनी कम ऊर्जा के कारण $3d$ कक्षक से पहले भरता है।
यदि $Aufbau$ सिद्धांत का पालन नहीं किया गया होता,तो $3d$ कक्षक $4s$ कक्षक से पहले भर जाता।
उस स्थिति में,$Ca$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^2$ होता।
चूंकि अंतिम इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में प्रवेश करता है,इसलिए तत्व को $d-$ब्लॉक में रखा जाता।

(A) $4p$ उपकोश में अधिकतम अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $3$ है,जो $4p^3$ विन्यास के अनुरूप है।
इस तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^{10}, 4p^3$ है।
इलेक्ट्रॉनों का योग करने पर: $2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 3 = 33$ प्राप्त होता है।
अतः,परमाणु संख्या $33$ है।

(D) फॉस्फाइड आयन $P^{3-}$ है। फास्फोरस की परमाणु संख्या $15$ है। अतः,$P^{3-}$ में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $15 + 3 = 18$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$N^{3-} = 7 + 3 = 10$ इलेक्ट्रॉन।
$F^- = 9 + 1 = 10$ इलेक्ट्रॉन।
$Na^+ = 11 - 1 = 10$ इलेक्ट्रॉन।
$Cl^- = 17 + 1 = 18$ इलेक्ट्रॉन।
इस प्रकार,फॉस्फाइड आयन $(P^{3-})$ में क्लोराइड आयन $(Cl^-)$ के समान ही इलेक्ट्रॉन हैं।

(B) क्लोरीन ($Cl$,परमाणु क्रमांक $17$) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3s^2 3p^5$ है।
अतः,$3s^2 3p^5$ बाह्यतम इलेक्ट्रॉनिक विन्यास वाला तत्व $Cl$ है।

(A) निकिल $(Ni)$ का परमाणु क्रमांक $28$ है। इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^8$ है।
$m = 0$ के लिए:
- $1s^2$: $2$ इलेक्ट्रॉन $(l=0, m=0)$
- $2s^2$: $2$ इलेक्ट्रॉन $(l=0, m=0)$
- $2p^6$: $2$ इलेक्ट्रॉन ($2p_z$ के लिए $m=0$)
- $3s^2$: $2$ इलेक्ट्रॉन $(l=0, m=0)$
- $3p^6$: $2$ इलेक्ट्रॉन ($3p_z$ के लिए $m=0$)
- $4s^2$: $2$ इलेक्ट्रॉन $(l=0, m=0)$
- $3d^8$: $d$-कक्षकों में $m$ के मान $-2, -1, 0, +1, +2$ होते हैं। $d^8$ के लिए,$8$ इलेक्ट्रॉन भरने पर,$d_{z^2}$ कक्षक $(m=0)$ में $2$ इलेक्ट्रॉन होंगे।
कुल $m=0$ वाले इलेक्ट्रॉन $2+2+2+2+2+2+2 = 14$ हैं।

(A) तत्व $A$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6$ है।
यह विन्यास नियॉन $(Ne)$ परमाणु के अनुरूप है,जो एक उत्कृष्ट गैस है।
उत्कृष्ट गैसों की संयोजकता कोश पूरी तरह से भरी होती है,जो उन्हें रासायनिक रूप से अक्रिय और उनके एक-परमाणुक रूप में स्थिर बनाती है।
इसलिए,$A$ का स्थिर रूप $A$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) कक्षक अपनी अक्षों के सापेक्ष स्थानिक अभिविन्यास द्वारा परिभाषित होते हैं।
$d_{xy}$ कक्षक की पालियाँ $X$ और $Y$ अक्ष के बीच स्थित होती हैं।
$d_{yz}$ कक्षक की पालियाँ $Y$ और $Z$ अक्ष के बीच स्थित होती हैं।
$d_{xz}$ कक्षक की पालियाँ $X$ और $Z$ अक्ष के बीच स्थित होती हैं।
$d_{x^2-y^2}$ कक्षक की पालियाँ $X$ और $Y$ अक्ष के अनुदिश (along) स्थित होती हैं।
$d_{z^2}$ कक्षक की पालियाँ $Z$ अक्ष के अनुदिश होती हैं।
अतः,$X$ और $Y$ अक्ष की दिशा में अभिविन्यास वाला $d$ कक्षक $d_{x^2-y^2}$ है।

(C) सही उत्तर $(C)$ है।
किसी कक्षक के लिए $XY$ तल में इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य होने के लिए,$XY$ तल का उस कक्षक के लिए नोडल तल होना आवश्यक है।
$1$. $3p_z$ के लिए,नोडल तल $XY$ तल है (क्योंकि इलेक्ट्रॉन घनत्व $z$-अक्ष के अनुदिश होता है)।
$2$. $4d_{xz}$ के लिए,नोडल तल $XY$ तल और $YZ$ तल हैं (क्योंकि पालियाँ $XZ$ तल में स्थित होती हैं)।
$3$. अतः,$(4d_{xz}, 3p_z)$ युग्म में,दोनों कक्षकों के लिए $XY$ तल एक नोडल तल है,जिसका अर्थ है कि दोनों के लिए $XY$ तल में इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य है।

(A) स्पिन बहुलता को $2S + 1$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $S$ कुल स्पिन है।
$2p^3$ के लिए,$3$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए $S = 3 \times (1/2) = 3/2$. बहुलता $= 2(3/2) + 1 = 4$.
$2p^4$ के लिए,$2$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए $S = 1$. बहुलता $= 2(1) + 1 = 3$.
$2p^5$ के लिए,$1$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है,इसलिए $S = 1/2$. बहुलता $= 2(1/2) + 1 = 2$.
$2p^6$ के लिए,$0$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए $S = 0$. बहुलता $= 1$.
अतः,$1s^2, 2s^2, 2p^3$ में अधिकतम स्पिन बहुलता है।

(A) किसी तत्व की मूल अवस्था आउफबाऊ सिद्धांत,पाउली के अपवर्जन सिद्धांत और हुंड के अधिकतम बहुलता के नियम का पालन करती है।
हुंड के नियम के अनुसार,समान ऊर्जा वाली कक्षकों (जैसे $p$-कक्षक) में इलेक्ट्रॉन पहले अकेले और समानांतर चक्रण के साथ भरे जाते हैं।
विकल्प $A$ में पहली दो कक्षक पूरी तरह भरी हुई हैं और अगली तीन कक्षकों में एक-एक इलेक्ट्रॉन समानांतर चक्रण के साथ है,जो मूल अवस्था को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) सही मिलान इस प्रकार है:
$(a)$ $4s$: $s$-कक्षक गोलाकार और अदिश होते हैं,इसलिए $(a) - (q)$।
$(c)$ $1s$: रेडियल नोड $= n-l-1 = 1-0-1 = 0$,इसलिए $(c) - (s)$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) तरंग फलन $\Psi_{n\ell m}$ के लिए,क्वांटम संख्याएँ $n = 3$,$\ell = 1$,और $m = 0$ हैं।
रेडियल नोड की संख्या $= n - \ell - 1 = 3 - 1 - 1 = 1$.
कोणीय नोड की संख्या $= \ell = 1$.
अतः,$\Psi_{310}$ में $1$ रेडियल नोड और $1$ कोणीय नोड होता है।

(C) एक सबशेल के ओरिएंटेशन की संख्या चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
दिए गए एज़िम्यूथल क्वांटम संख्या $l$ के लिए,$m_l$ के संभावित मान $-l$ से $+l$ तक होते हैं,जिसमें शून्य भी शामिल है।
ऐसे मानों की कुल संख्या $(2l + 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$m_l$ का प्रत्येक मान अंतरिक्ष में एक ऑर्बिटल के विशिष्ट ओरिएंटेशन के अनुरूप होता है।

(C) $(n+l)$ नियम के अनुसार,कक्षक की ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ के योग द्वारा निर्धारित होती है।
$4f$ के लिए: $n=4, l=3$,अतः $n+l = 4+3 = 7$.
$5d$ के लिए: $n=5, l=2$,अतः $n+l = 5+2 = 7$.
$3s$ के लिए: $n=3, l=0$,अतः $n+l = 3+0 = 3$.
$6p$ के लिए: $n=6, l=1$,अतः $n+l = 6+1 = 7$.
चूंकि $3s$ का $(n+l)$ मान दूसरों से भिन्न है,इसलिए यह विषम है।

(D) क्वांटम संख्याओं के एक मान्य सेट के लिए,उन्हें निम्नलिखित नियमों का पालन करना चाहिए:
$1$. $n$ (मुख्य क्वांटम संख्या) एक धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ होनी चाहिए।
$2$. $l$ (दिगंशीय क्वांटम संख्या) का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
$3$. $m$ (चुंबकीय क्वांटम संख्या) का मान $-l$ से $+l$ तक हो सकता है।
$4$. $s$ (चक्रण क्वांटम संख्या) केवल $+1/2$ या $-1/2$ हो सकती है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
- विकल्प $A$: $n=1, l=1$ मान्य नहीं है क्योंकि $l < n$ होना चाहिए।
- विकल्प $B$: $s=1$ मान्य नहीं है क्योंकि $s = \pm 1/2$ होना चाहिए।
- विकल्प $C$: $n=3, l=0, m=-1$ मान्य नहीं है क्योंकि यदि $l=0$ है,तो $m$ केवल $0$ हो सकता है।
- विकल्प $D$: $n=3, l=1, m=1, s=1/2$ सभी शर्तों को पूरा करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $Ca$ का परमाणु क्रमांक $20$ है।
$Aufbau$ सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6 \, 4s^2$ है।
यदि $Aufbau$ नियम का पालन नहीं किया जाता और इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ के बढ़ते क्रम में भरे जाते,तो विन्यास $1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6 \, 3d^2$ होता।
चूंकि अंतिम इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में प्रवेश करता है,इसलिए $Ca$ $d-$ ब्लॉक से संबंधित होता।

(C) ${}_{24}Cr$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
यह विन्यास $[Ar] 3d^4 4s^2$ की तुलना में अधिक स्थिर है,जिसके दो मुख्य कारण हैं:
$1$. उच्च विनिमय ऊर्जा: $3d^5$ विन्यास समानांतर चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों के बीच विनिमय की अधिक संभावनाएँ प्रदान करता है,जिससे अधिक ऊर्जा निकलती है और स्थिरता बढ़ती है।
$2$. इलेक्ट्रॉन का सममित वितरण: अर्ध-पूर्ण $d$-उपकोश $(d^5)$ इलेक्ट्रॉन घनत्व का एक सममित वितरण प्रदान करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण कम होता है और स्थिरता बढ़ती है।

(C) $(n + l)$ नियम (जिसे आउफबाऊ सिद्धांत भी कहा जाता है) बताता है कि इलेक्ट्रॉन $(n + l)$ के बढ़ते मानों के क्रम में कक्षकों में भरे जाते हैं।
$La$ $(Z=57)$ के लिए,विन्यास $[Xe] 5d^1 6s^2$ है। $(n + l)$ नियम के अनुसार,$4f$ कक्षक $(n=4, l=3, n+l=7)$ को $5d$ कक्षक $(n=5, l=2, n+l=7)$ से पहले भरा जाना चाहिए। हालाँकि,इलेक्ट्रॉन $4f$ के बजाय $5d$ कक्षक में प्रवेश करता है।
इसी प्रकार,$Ac$ $(Z=89)$ के लिए,विन्यास $[Rn] 6d^1 7s^2$ है। इलेक्ट्रॉन $5f$ के बजाय $6d$ कक्षक में प्रवेश करता है।
अतः,$La$ और $Ac$ दोनों $(n + l)$ नियम के अपवाद हैं।

(C) परमाणु में इलेक्ट्रॉन का वर्णन करने के लिए $4$ क्वांटम संख्याओं का उपयोग किया जाता है:
$1$. मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ कक्षक के आकार और ऊर्जा को निर्धारित करती है।
$2$. दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ कक्षक की आकृति को निर्धारित करती है।
$3$. चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ अंतरिक्ष में कक्षक के अभिविन्यास (orientation) को निर्धारित करती है।
$4$. चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ इलेक्ट्रॉन के चक्रण को दर्शाती है।
अतः,परमाणु कक्षक का अभिविन्यास चुंबकीय क्वांटम संख्या द्वारा दिया जाता है।

(A) एक उपकोश में कक्षकों की संख्या $(2l + 1)$ होती है।
चूंकि प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,
इसलिए एक उपकोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $= 2 \times (2l + 1) = 4l + 2$।

(C) तरंग फलन को $\Psi_{n,l,m_l}$ के रूप में दिया जाता है।
$\Psi_{310}$ की तुलना $\Psi_{n,l,m_l}$ से करने पर,हमें $n = 3$,$l = 1$,और $m_l = 0$ प्राप्त होता है।
$n = 3$ और $l = 1$ के लिए,कक्षक $3p$ है।
$p$-कक्षक के लिए चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l = 0$,$p_z$ कक्षक के अनुरूप होती है।
अतः,$\Psi_{310}$ $3p_z$ कक्षक को दर्शाता है।

(A) $g$ उपकोश के लिए दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 4$ होती है।
उपकोश में कक्षकों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $(2l + 1)$ है।
सूत्र में $l = 4$ रखने पर:
कक्षकों की संख्या $= 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$.

(B) $3d^5$ विन्यास के लिए,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ $5$ है।
स्पिन बहुलता का सूत्र $2S + 1$ है,जहाँ $S = \sum s$ है।
चूँकि प्रत्येक $5$ इलेक्ट्रॉन का स्पिन $+1/2$ है,इसलिए कुल स्पिन $S = 5 \times (1/2) = 5/2$ है।
स्पिन बहुलता $= 2(5/2) + 1 = 5 + 1 = 6$.

(C) क्वांटम संख्याओं के एक मान्य सेट के लिए,निम्नलिखित नियमों का पालन होना चाहिए:
$1$. $n$ एक धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \dots)$ है।
$2$. $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
$3$. $m$ का मान $-l$ से $+l$ (शून्य सहित) तक हो सकता है।
$4$. $s$ का मान केवल $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है।
विकल्प $C$ में,$n = 4$ और $l = 3$ है। $m$ के लिए संभावित मान $-3$ से $+3$ तक हैं। चूँकि दिया गया मान $m = 4$ है,जो $l$ से अधिक है,इसलिए यह सेट अमान्य है।

(D) क्वांटम संख्याओं के नियम इस प्रकार हैं:
$1$. $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है $(n = 1, 2, 3, ...)$.
$2$. $l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या है ($l = 0$ से $n-1$).
$3$. $m$ चुंबकीय क्वांटम संख्या है ($m = -l$ से $+l$ तक,$0$ सहित).
$4$. $s$ चक्रण क्वांटम संख्या है ($s = +1/2$ या $-1/2$).
विकल्पों का मूल्यांकन:
- विकल्प $A$: $n=4, l=0, m=0, s=-1/2$. यह सही सेट है।
- विकल्प $B$: $n=3, l=2, m=-2, s=+1/2$. यह सही सेट है।
- विकल्प $C$: $n=5, l=4, m=0, s=-1/2$. यह सही सेट है।
- विकल्प $D$: $n=4, l=3, m=-4, s=-1/2$. यहाँ,$m$ का मान $-3$ से $+3$ के बीच होना चाहिए। अतः,$m = -4$ गलत सेट है।

(C) किसी कक्षक को परिभाषित करने के लिए मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ और चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m)$ की आवश्यकता होती है।
$n$ कक्षक के आकार और ऊर्जा को निर्धारित करता है।
$l$ कक्षक की आकृति को निर्धारित करता है।
$m$ अंतरिक्ष में कक्षक के अभिविन्यास (orientation) को निर्धारित करता है।
चक्रण क्वांटम संख्या $(s)$ कक्षक के भीतर इलेक्ट्रॉन के चक्रण का वर्णन करती है,न कि कक्षक का।

(D) परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थिति को चार क्वांटम संख्याओं द्वारा वर्णित किया जाता है: मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$,चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$,और चक्रण क्वांटम संख्या ($s$ या $m_s$)।
$3d_{z^2}$ कक्षक के लिए,$n=3$ और $l=2$ है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ कक्षक के स्थानिक अभिविन्यास को परिभाषित करती है।
अतः,कक्षक को परिभाषित करने के लिए $n, l$ और $m$ आवश्यक हैं।

(C) दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ के संभावित मान $0$ से $n-1$ तक होते हैं।
$n = 5$ के लिए,$l = 0, 1, 2, 3, 4$ संभव हैं।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$,$l$ पर निर्भर करती है और $-l$ से $+l$ तक होती है।
हमें उन कक्षकों (orbitals) को खोजना है जहाँ $m_l = +2$ संभव है:
- यदि $l = 2$ ($d$-कक्षक): $m_l = -2, -1, 0, +1, +2$ (संभव है)
- यदि $l = 3$ ($f$-कक्षक): $m_l = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ (संभव है)
- यदि $l = 4$ ($g$-कक्षक): $m_l = -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4$ (संभव है)
अतः,$n = 5$ के लिए,$m_l = +2$ वाले कक्षक $5d, 5f,$ और $5g$ हैं।
प्रत्येक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
कुल इलेक्ट्रॉन = $3 \text{ कक्षक} \times 2 \text{ इलेक्ट्रॉन/कक्षक} = 6 \text{ इलेक्ट्रॉन}$.

(C) कक्षक की ऊर्जा निर्धारित करने के लिए $(n + l)$ के मान का उपयोग किया जाता है।
$6s$ के लिए: $n = 6, l = 0$,अतः $(n + l) = 6 + 0 = 6$.
$3d$ के लिए: $n = 3, l = 2$,अतः $(n + l) = 3 + 2 = 5$.
$4f$ के लिए: $n = 4, l = 3$,अतः $(n + l) = 4 + 3 = 7$.
$5p$ के लिए: $n = 5, l = 1$,अतः $(n + l) = 5 + 1 = 6$.
इन मानों की तुलना करने पर,$4f$ के लिए $(n + l)$ का मान $7$ अधिकतम है।

(C) इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग सूत्र $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ दिगंशीय क्वांटम संख्या है।
$s$ कक्षक के लिए $l$ का मान $0$ होता है।
अतः,$2s$ कक्षक के इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$ है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $s$ कक्षकों के लिए $l = 0$ होता है।
इस प्रकार,$4s$ कक्षक के इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग भी $\sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$ है।
अतः,$2s$ इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $4s$ इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के समान है।

(B) कक्षक में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ ज्ञात करने का सूत्र: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$ है।
$d$ कक्षक के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ का मान $2$ होता है।
सूत्र में $l = 2$ रखने पर:
$L = \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2\pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\frac{\sqrt{3}h}{\sqrt{2}\pi}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है,जो विकल्प $B$ में दिया गया है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए तरंग फलन $\psi(r, \theta, \phi)$ को रेडियल भाग $R(r)$ और कोणीय भाग $Y(\theta, \phi)$ में विभाजित किया जा सकता है।
रेडियल भाग $R(r)$ मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ और दिगंशीय (एज़िमुथल) क्वांटम संख्या $(l)$ पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन का स्पिन चुंबकीय आघूर्ण $(\mu_s)$ सूत्र $\mu_s = \sqrt{4s(s + 1)} \text{ BM}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ स्पिन क्वांटम संख्या है।
एक इलेक्ट्रॉन के लिए,$s = 1/2$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\mu_s = \sqrt{4(1/2)(1/2 + 1)} = \sqrt{2(3/2)} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ BM}$ प्राप्त होता है।
इसे $\mu = \sqrt{n(n + 2)} \text{ BM}$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।

(D) एक विलगित परमाणु में,सभी पाँच $d$ कक्षक ($d_{xy}$,$d_{yz}$,$d_{zx}$,$d_{x^2-y^2}$,और $d_{z^2}$) डिजनरेट होते हैं।
हालाँकि,उनके आकार समान नहीं होते हैं।
$d_{xy}$,$d_{yz}$,और $d_{zx}$ कक्षकों का आकार क्लोवरलीफ (cloverleaf) जैसा होता है (अक्षों के बीच चार पालियाँ)।
$d_{x^2-y^2}$ कक्षक का आकार भी क्लोवरलीफ जैसा होता है लेकिन इसकी पालियाँ अक्षों पर स्थित होती हैं।
$d_{z^2}$ कक्षक का आकार अद्वितीय होता है जिसमें $z$-अक्ष पर दो पालियाँ और $xy$-तल में इलेक्ट्रॉन घनत्व का एक वलय होता है।
इसलिए,$d_{x^2-y^2}$ और $d_{z^2}$ के आकार भिन्न होते हैं।