Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(B) $M$ કોષ એટલે $n=3$ મુખ્ય ઉર્જા સ્તર.
$M$ કોષમાં $13$ ઇલેક્ટ્રોન હોવા માટે,ઇલેક્ટ્રોન રચનામાં $3s^2, 3p^6, 3d^5$ હોવા જોઈએ.
આઉફબાઉના સિદ્ધાંત અને સ્થિરતાને ધ્યાનમાં લેતા,ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^1$ થાય છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2+2+6+2+6+5+1 = 24$ છે.
પરમાણુ ક્રમાંક $24$ ધરાવતું તત્વ ક્રોમિયમ $(Cr)$ છે.

(B) $Cu$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $29$ છે.
આઉફબાઉના સિદ્ધાંત મુજબ,અપેક્ષિત ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{9} 4s^{2}$ છે.
પરંતુ,સંપૂર્ણ ભરાયેલી $d$-કક્ષકો અપૂર્ણ ભરાયેલી કક્ષકો કરતા વધુ સ્થાયી હોય છે.
તેથી,$4s$ કક્ષકમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ કક્ષકમાં જાય છે જેથી તે $3d^{10}$ બને છે.
સાચી ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{10} 4s^{1}$ છે.

(C) $Pauli$ $Exclusion$ $Principle$ (પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત) મુજબ,એક કક્ષકમાં મહત્તમ બે ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે,અને આ ઇલેક્ટ્રોન વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
$\uparrow \uparrow$ રજૂઆત એક જ કક્ષકમાં સમાંતર સ્પિન ધરાવતા બે ઇલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે,જે આ સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(A) $5d$ ઓર્બિટલમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 5$ અને એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l = 2$ છે (કારણ કે $s=0, p=1, d=2, f=3$).
ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ એ $-l$ થી $+l$ સુધીની કોઈપણ પૂર્ણાંક કિંમત લઈ શકે છે,એટલે કે $-2, -1, 0, 1, 2$.
તેથી,$(5, 2, 1)$ અને $(5, 2, -1)$ બંને $5d$ ઇલેક્ટ્રોન માટે માન્ય ક્વોન્ટમ આંકના સેટ છે.

(B) ક્વોન્ટમ નંબરોના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, ...)$ હોઈ શકે છે.
$2$. એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $\ell$ એ $0$ થી $n-1$ સુધીની હોય છે.
$3$. ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ એ $-\ell$ થી $+\ell$ સુધીની હોય છે.
$4$. સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર $s$ એ $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
$A$: $(3, 0, -1, +\frac{1}{2})$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે $\ell=0$ હોય ત્યારે $m=-1$ ન હોઈ શકે.
$B$: $(4, 3, -2, -\frac{1}{2})$ સાચું છે કારણ કે $n=4$ માટે $\ell=3$ શક્ય છે,અને $\ell=3$ માટે $m=-2$ શક્ય છે.
$C$: $(3, 1, -2, -\frac{1}{2})$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે $\ell=1$ હોય ત્યારે $m=-2$ ન હોઈ શકે.
$D$: $(4, 2, -3, +\frac{1}{2})$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે $\ell=2$ હોય ત્યારે $m=-3$ ન હોઈ શકે.

(A) ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર: $\text{Orbital angular momentum} = \sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$4f$ ઓર્બિટલ માટે,$\ell = 3$ છે. તેથી,ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $= \sqrt{3(3+1)} \frac{h}{2 \pi} = 2 \sqrt{3} \frac{h}{2 \pi}$ થાય.
$4s$ ઓર્બિટલ માટે,$\ell = 0$ છે. તેથી,ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $= 0$ થાય.
તેથી,તફાવત $= 2 \sqrt{3} \frac{h}{2 \pi}$ છે.

(D) મુખ્ય મુદ્દો: જે સ્પીસીઝમાં એક અથવા વધુ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન હોય તે શૂન્યતર ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનિક રચના:
$Na^{+} (Z=11) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6}$ (બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત છે)
$Mg (Z=12) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2}$ (બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત છે)
$F^{-} (Z=9) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6}$ (બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત છે)
$Ar^{+} (Z=18) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{5}$ ($3p$ કક્ષકમાં એક અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે)
આમ,$Ar^{+}$ માં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,તે શૂન્યતર ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવે છે. તેથી,$(d)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) પૌલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ,પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચારેય ક્વોન્ટમ આંક $(n, l, m, s)$ નો સેટ સમાન હોઈ શકે નહીં.
તેથી,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિને અનન્ય રીતે ઓળખવા અને તેનું વર્ણન કરવા માટે ચારેય ક્વોન્ટમ આંક જરૂરી છે.
$n$ (મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક) કક્ષા અને ઉર્જા દર્શાવે છે.
$l$ (ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક) પેટાકોષ અને કક્ષકનો આકાર દર્શાવે છે.
$m$ (ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક) અવકાશમાં કક્ષકોનું અભિવિન્યાસ દર્શાવે છે.
$s$ (સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક) ઇલેક્ટ્રોનનું પરિભ્રમણ દર્શાવે છે.

(A) $yz$ સમતલ $x = 0$ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો કોઈ કક્ષકનું નોડલ સમતલ $yz$ સમતલ સાથે બંધબેસતું હોય,તો તેમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે.
$p_x$ કક્ષકની ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $x$-અક્ષ પર વિતરિત થયેલી હોય છે અને તેનું નોડલ સમતલ $yz$ સમતલ છે.
તેથી,$p_x$ કક્ષક માટે $yz$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય છે.

(D) ક્વોન્ટમ નંબર્સ $n=3$ અને $\ell=2$ એ $3d$ સબશેલ દર્શાવે છે.
છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન $3d$ સબશેલમાં ભરાય છે,તેથી આપણે $3d$ સબશેલ સંપૂર્ણ ભરાયેલી હોય ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા શોધીએ છીએ.
સંપૂર્ણ ભરાયેલી $3d$ સબશેલ માટે ઇલેક્ટ્રોનિક કોન્ફિગરેશન $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10}$ છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ગણતા: $2+2+6+2+6+2+10 = 30$.
આ પરમાણુ ક્રમાંક $30$ ધરાવતા ઝિંક $(Zn)$ તત્વને અનુરૂપ છે.

(C) એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર $m$ ની કિંમતો $-l$ થી $+l$ (શૂન્ય સહિત) ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
જો $l=0$ હોય,તો $m$ નું મૂલ્ય $0$ જ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(c)$ માં,$l=0$ છે પરંતુ $m=-1$ છે,જે $-l \leq m \leq l$ ના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,$n=2, l=0, m=-1$ ગોઠવણી અશક્ય અને અસંગત છે.

(C) $n$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ના મૂલ્યો $0$ થી $n-1$ સુધી હોઈ શકે છે.
$l$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ ના મૂલ્યો $-l$ થી $+l$ સુધી (શૂન્ય સહિત) હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$n=2$ અને $l=0$ છે.
$l=0$ માટે,$m$ નું એકમાત્ર શક્ય મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$l=0$ માટે $m=-1$ શક્ય નથી.

(B) $Ni$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $28$ છે.
તેની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^8$ છે.
$3d$ પેટાકોષમાં $8$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
હુંડના નિયમ મુજબ,આ $8$ ઇલેક્ટ્રોન $5$ $d$-કક્ષકોમાં નીચે મુજબ ગોઠવાય છે:
પ્રથમ $5$ ઇલેક્ટ્રોન એકલા ભરાય છે અને બાકીના $3$ ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત થાય છે.
આના પરિણામે $3$ યુગ્મિત કક્ષકો અને $2$ અયુગ્મિત (એકલા) ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી કક્ષકો મળે છે.
તેથી,$Ni$ માં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2$ છે.

(A) $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ:
$1$. જે કક્ષક માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
$2$. જો $(n+l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
$(n+l)$ ના મૂલ્યોની ગણતરી:
$(i)$ $n+l = 4+1 = 5$
$(ii)$ $n+l = 4+0 = 4$
$(iii)$ $n+l = 3+2 = 5$
$(iv)$ $n+l = 3+1 = 4$
મૂલ્યોની સરખામણી:
$(iv)$ અને $(ii)$ માટે,બંનેમાં $(n+l) = 4$ છે. $(iv)$ માટે $n=3$ અને $(ii)$ માટે $n=4$ હોવાથી,$(iv) < (ii)$.
$(iii)$ અને $(i)$ માટે,બંનેમાં $(n+l) = 5$ છે. $(iii)$ માટે $n=3$ અને $(i)$ માટે $n=4$ હોવાથી,$(iii) < (i)$.
આમ,વધતી જતી ઉર્જાનો ક્રમ $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ થશે.

(B) $Cr$ $(Z=24)$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar]_{18} 4s^1 3d^5$ છે.
$1$ થી $18$ ઇલેક્ટ્રોન $Ar$ કોરમાં ભરાય છે.
$19^{\text{th}}$ ઇલેક્ટ્રોન $4s$ કક્ષકમાં પ્રવેશતો પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$4s$ કક્ષક માટે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=4$,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l=0$,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l=0$,અને સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $m_s=+\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,ક્વોન્ટમ આંકનો સેટ $(4, 0, 0, +\frac{1}{2})$ છે.

(D) $n=5$ માટે:
દરેક પેટાકોષ $l$ માટે,$m_l=-1$ ધરાવતી કક્ષકોની સંખ્યા $1$ છે (જો $l \ge 1$ હોય).
$n=5$ માં હાજર પેટાકોષો $l=0, 1, 2, 3, 4$ છે.
$m_l=-1$ એ $l=1, 2, 3, 4$ માટે શક્ય છે.
દરેક કક્ષક $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોન $= 4 \text{ કક્ષકો} \times 2 \text{ ઇલેક્ટ્રોન/કક્ષક} = 8$ ઇલેક્ટ્રોન.
$(B)$ $n=3, l=2, m_l=-1, m_s=+\frac{1}{2}$ માટે:
ક્વોન્ટમ આંકનો આ સેટ એક ચોક્કસ કક્ષક અને ચોક્કસ સ્પિન દર્શાવે છે.
માત્ર $1$ ઇલેક્ટ્રોન આ ચોક્કસ ક્વોન્ટમ આંક ધરાવી શકે છે.

(C) નોડ એ એવો વિસ્તાર છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે. ત્રિજ્યાવર્તી તરંગ વિધેય માટે,આ તે બિંદુને અનુરૂપ છે જ્યાં તરંગ વિધેય $\psi(r)$ એ x-અક્ષને છેદે છે,એટલે કે $\psi(r) = 0$.
$2s$ કક્ષક માટેના ત્રિજ્યાવર્તી તરંગ વિધેયના આલેખમાં,વક્ર કેન્દ્રથી ચોક્કસ અંતરે x-અક્ષને છેદે છે. આ આલેખના પ્રમાણિત નિરૂપણ મુજબ,બિંદુ $C$ સામાન્ય રીતે તે છેદબિંદુ દર્શાવે છે જ્યાં $\psi(r) = 0$ થાય છે,જે ગોલીય નોડનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(D) બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં પરમાણ્વીય કક્ષકોની ઉર્જા $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,જે કક્ષક માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
$2$. જો $(n+l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
દરેક કક્ષક માટે $(n+l)$ ની ગણતરી:
$A: n=3, l=2 \implies n+l = 3+2 = 5$
$B: n=4, l=0 \implies n+l = 4+0 = 4$
$C: n=6, l=1 \implies n+l = 6+1 = 7$
$D: n=5, l=1 \implies n+l = 5+1 = 6$
$E: n=2, l=1 \implies n+l = 2+1 = 3$
$(n+l)$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $3 (E) < 4 (B) < 5 (A) < 6 (D) < 7 (C)$.
તેથી,વધતી જતી ઉર્જાનો ક્રમ $E < B < A < D < C$ છે.

(D) ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $(n-l-1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને કોણીય નોડ (નોડલ સમતલ) ની સંખ્યા $l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$. $2s$ કક્ષક માટે: $n=2, l=0$. ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 2-0-1 = 1$. નોડલ સમતલ $= l = 0$. આ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$B$. $3s$ કક્ષક માટે: $n=3, l=0$. ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 3-0-1 = 2$. નોડલ સમતલ $= l = 0$. આ $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$C$. $3p$ કક્ષક માટે: $n=3, l=1$. ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 3-1-1 = 1$. નોડલ સમતલ $= l = 1$. આ $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
$D$. $4d$ કક્ષક માટે: $n=4, l=2$. ત્રિજ્યાવર્તી નોડ $= 4-2-1 = 1$. નોડલ સમતલ $= l = 2$. આ $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(D) $Cr$ $(Z=24)$ ની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે.
પ્રથમ $18$ ઇલેક્ટ્રોન આર્ગોન કોર $(1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6)$ માં ગોઠવાય છે.
Aufbau ના સિદ્ધાંત મુજબ,$19$ મો ઇલેક્ટ્રોન $4s$ કક્ષકમાં દાખલ થાય છે.
$4s$ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=4$,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l=0$,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m=0$ અને સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $s=+\frac{1}{2}$ છે.

(B) સાચું છે: $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,જો બે કક્ષકો માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય સમાન હોય,તો ઓછું $n$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
$B$ ખોટું છે: બહુ-ઇલેક્ટ્રોનીય પરમાણુમાં,કક્ષકની ઉર્જા અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભાર $(Z_{eff})$ પર આધાર રાખે છે,માત્ર પરમાણુ ક્રમાંક પર નહીં.
$C$ સાચું છે: મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધવાની સાથે કક્ષકનું કદ વધે છે. $2p_x$ માટે $n=2$ અને $3p_x$ માટે $n=3$ હોવાથી,$2p_x$ નાનું છે.
$D$ ખોટું છે: રેડિયલ નોડની સંખ્યા $(n-l-1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$5f$ માટે: $5-3-1 = 1$ રેડિયલ નોડ.
$6s$ માટે: $6-0-1 = 5$ રેડિયલ નોડ.
$4d$ માટે: $4-2-1 = 1$ રેડિયલ નોડ.
$5p$ માટે: $5-1-1 = 3$ રેડિયલ નોડ.
$5d$ માટે: $5-2-1 = 2$ રેડિયલ નોડ.
આમ,$5d$ માં $2$ રેડિયલ નોડ હોવાથી વિધાન $D$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $A$ અને $C$ સાચા છે.

(A) કક્ષકને $nl$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $l$ એ ગૌણ (એઝિમુથલ) ક્વોન્ટમ આંક છે.
$l$ ના મૂલ્યો કક્ષકોને અનુરૂપ છે: $l=0$ $(s)$,$l=1$ $(p)$,$l=2$ $(d)$,$l=3$ $(f)$.
$(A)$ $n=2, l=1$ એ $2p$ ને અનુરૂપ છે.
$(B)$ $n=4, l=0$ એ $4s$ ને અનુરૂપ છે.
$(C)$ $n=5, l=3$ એ $5f$ ને અનુરૂપ છે.
$(D)$ $n=3, l=2$ એ $3d$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.