$13 \, m$ વ્યાસ ધરાવતા એક વર્તુળાકાર બગીચાની સીમા પર એક થાંભલો એવી રીતે ઊભો કરવાનો છે કે જેથી તેના બે સામસામે આવેલા દરવાજા $A$ અને $B$ થી તેના અંતરનો તફાવત $7 \, m$ થાય. શું આ શક્ય છે? જો હા,તો બંને દરવાજાથી કેટલી દૂર થાંભલો ઊભો કરવો જોઈએ?

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળાકાર બગીચાની સીમા પર થાંભલાનું જરૂરી સ્થાન છે.
ધારો કે દરવાજા $B$ થી થાંભલાનું અંતર $x \, m$ છે,એટલે કે $BP = x \, m$.
બે દરવાજાથી થાંભલાના અંતરનો તફાવત $AP - BP = 7 \, m$ છે.
તેથી,$AP = (x + 7) \, m$.
$AB$ એ વર્તુળાકાર બગીચાનો વ્યાસ હોવાથી,$AB = 13 \, m$.
વર્તુળમાં,વ્યાસ દ્વારા સીમા પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે. તેથી,$\angle APB = 90^{\circ}$.
$\triangle APB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AP^2 + BP^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$.
$2x^2 + 14x - 120 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $x^2 + 7x - 60 = 0$.
આ શક્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$ ની ગણતરી કરીએ.
$D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે,તેથી થાંભલો ઊભો કરવો શક્ય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ મળે છે.
આનાથી $x = \frac{10}{2} = 5$ અથવા $x = \frac{-24}{2} = -12$ મળે છે.
અંતર ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $x = 5$ લઈએ છીએ.
આમ,થાંભલો દરવાજા $B$ થી $5 \, m$ અને દરવાજા $A$ થી $12 \, m$ ના અંતરે ઊભો કરવો જોઈએ.