શું $80\, m$ પરિમિતિ અને $400\, m^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો લંબચોરસ બગીચો બનાવવો શક્ય છે? જો હા,તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.

(A) ધારો કે બગીચાની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
પરિમિતિ $2(l + b) = 80\, m$ છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $l + b = 40$ અથવા $b = 40 - l$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $l \times b = 400\, m^2$ છે.
$b = 40 - l$ ને ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં મૂકતા: $l(40 - l) = 400$.
આથી $40l - l^2 = 400$ અથવા $l^2 - 40l + 400 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $al^2 + bl + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -40, c = 400$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે આ પરિસ્થિતિ શક્ય છે.
બીજ $l = -b / (2a) = -(-40) / (2 \times 1) = 40 / 2 = 20$ મળે છે.
આમ,લંબાઈ $l = 20\, m$ અને પહોળાઈ $b = 40 - 20 = 20\, m$ છે.