इस रचना का औचित्य (Justification) भी दीजिए:
$5\, cm$,$6\, cm$ और $7\, cm$ भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की $\frac{7}{5}$ गुनी हों।

(N/A) $1.$ $5\, cm$ का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $6\, cm$ और $7\, cm$ त्रिज्या के चाप लगाइए। मान लीजिए ये चाप एक-दूसरे को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः $5\, cm$,$6\, cm$ और $7\, cm$ है।
$2.$ रेखा $AB$ के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$3.$ किरण $AX$ पर $7$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ हो।
$4.$ $BA_5$ को मिलाइए और $A_7$ से होकर $BA_5$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को बिंदु $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AB' = \frac{7}{5} AB$,$B'C' = \frac{7}{5} BC$,और $AC' = \frac{7}{5} AC$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle AB'C'$ में:
$\angle ABC = \angle AB'C'$ (संगत कोण)
$\angle BAC = \angle B'AC'$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{7}$ (समीकरण $1$)
$\triangle AA_5B$ और $\triangle AA_7B'$ में:
$\angle A_5AB = \angle A_7AB'$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle AA_5B = \angle AA_7B'$ (संगत कोण)
$\triangle AA_5B \sim \triangle AA_7B'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{AA_5}{AA_7} = \frac{5}{7}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{7}$
$\Rightarrow AB' = \frac{7}{5} AB, B'C' = \frac{7}{5} BC, AC' = \frac{7}{5} AC$.
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।