$4 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर $6 \, cm$ त्रिज्या वाले संकेंद्रीय वृत्त पर स्थित एक बिंदु से स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए। रचना का औचित्य भी दीजिए और वास्तविक गणना द्वारा माप की पुष्टि कीजिए।

(N/A) दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ निम्नलिखित रूप से खींची जा सकती हैं:
$1.$ दिए गए तल पर $O$ को केंद्र मानकर $4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ $O$ को केंद्र मानकर $6 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त पर एक बिंदु $P$ अंकित कीजिए और $OP$ को मिलाइए।
$3.$ $OP$ का समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$PO$ का मध्य-बिंदु है।
$4.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए यह दिए गए वृत्त को बिंदुओं $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5.$ $PQ$ और $PR$ को मिलाइए। $PQ$ और $PR$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
यह देखा जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ प्रत्येक की लंबाई $4.47 \, cm$ है।
$\triangle PQO$ में:
चूँकि $PQ$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle PQO = 90^{\circ}$।
$PO = 6 \, cm$ (कर्ण),
$QO = 4 \, cm$ (त्रिज्या)।
$\triangle PQO$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ^2 + QO^2 = PO^2$
$PQ^2 + (4)^2 = (6)^2$
$PQ^2 + 16 = 36$
$PQ^2 = 36 - 16$
$PQ^2 = 20$
$PQ = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \, cm$।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $4 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OQ$ और $OR$ को मिलाइए।
चूँकि $\angle OQP$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle OQP = 90^{\circ}$।
$\Rightarrow OQ \perp PQ$।
चूँकि $OQ$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PQ$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$PR$ भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।