TS EAMCET 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે $S=\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,તેથી $n(S) = 50$.
ગણ $A$ માટે,$n + \frac{50}{n} > 27$ ઉકેલીએ.
$n$ વડે ગુણતા ($n > 0$ હોવાથી),$n^2 - 27n + 50 > 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(n-25)(n-2) > 0$ મળે.
આ શરત $n < 2$ અથવા $n > 25$ માટે સાચી છે.
$n \in S$ હોવાથી,$n=1$ અથવા $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$.
તેથી,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,એટલે કે $n(A) = 26$.
ગણ $B$ માટે,$S$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ છે,તેથી $n(B) = 15$.
ગણ $C$ માટે,$S$ માં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ છે,તેથી $n(C) = 7$.
સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા: $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$.
તેથી,$P(A) > P(B) > P(C)$.

(B) આપેલ છે: શુદ્ધ પાણીનું બાષ્પ દબાણ $P^{\circ} = 19.8 \ mm$.
દ્રાવ્ય (ગ્લુકોઝ) ના મોલ $n_A = 0.1 \ mol$.
દ્રાવક (પાણી) ના મોલ $n_B = \frac{178.2 \ g}{18 \ g/mol} = 9.9 \ mol$.
અબાષ્પશીલ દ્રાવ્ય માટે રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ:
$\frac{P^{\circ} - P_s}{P^{\circ}} = \frac{n_A}{n_A + n_B}$
$\frac{19.8 - P_s}{19.8} = \frac{0.1}{0.1 + 9.9} = \frac{0.1}{10} = 0.01$
$19.8 - P_s = 19.8 \times 0.01 = 0.198$
$P_s = 19.8 - 0.198 = 19.602 \ mm$.

(D) કેલ્શિયમ કાર્બોનેટનું ઉષ્મીય વિઘટન નીચે મુજબ છે: $CaCO_{3(s)} \xrightarrow{\Delta} CaO_{(s)} + CO_{2(g)}$.
$CaCO_3$ નું મોલર દળ $= 100 \text{ g/mol}$.
$CaO$ (ઘન અવશેષ) નું મોલર દળ $= 56 \text{ g/mol}$.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ મુજબ,$100 \text{ g}$ $CaCO_3$ માંથી $56 \text{ g}$ $CaO$ મળે છે.
તેથી,$28 \text{ g}$ $CaO$ મેળવવા માટે જરૂરી $CaCO_3$ નો જથ્થો:
$x = \frac{100 \times 28}{56} = 50 \text{ g}$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને વાયુઓનું વજન $w \ g$ છે.
આપેલ આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર $M_A : M_B = 1 : 4$ છે.
ધારો કે $M_A = x$ અને $M_B = 4x$.
$A$ ના મોલ $(n_A)$ $= \frac{w}{x}$.
$B$ ના મોલ $(n_B)$ $= \frac{w}{4x}$.
મોલનો ગુણોત્તર $n_A : n_B = \frac{w}{x} : \frac{w}{4x} = 4 : 1$.
$B$ નું આંશિક દબાણ $(p_B)$ $= B$ નો મોલ અંશ $\times P_{total}$.
$p_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} \times P = \frac{1}{4 + 1} \times P = \frac{P}{5} \ atm$.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{h}{mv}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{mv} = \lambda$.
આને બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતમાં મૂકતા:
$2\pi r = n\lambda$.
ચોથી કક્ષા માટે,$n = 4$.
તેથી,કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r = 4\lambda$ થાય.

(C) તત્વોની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના નીચે મુજબ છે:
$X (Z=19): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^1$ (અથવા $2, 8, 8, 1$)
$Y (Z=21): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^1, 4s^2$ (અથવા $2, 8, 9, 2$)
$Z (Z=25): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^2$ (અથવા $2, 8, 13, 2$)
$M$-કોષ એ $n=3$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ સ્તરને અનુરૂપ છે.
$X$ માટે,$M$-કોષમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(3s^2, 3p^6)$ $8$ છે.
$Y$ માટે,$M$-કોષમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(3s^2, 3p^6, 3d^1)$ $9$ છે.
$Z$ માટે,$M$-કોષમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(3s^2, 3p^6, 3d^5)$ $13$ છે.
આમ,$M$-કોષમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ક્રમ $Z (13) > Y (9) > X (8)$ છે.

(C) $2 H_2 O_{2(l)} \xrightarrow{Pt_{(s)}} 2 H_2 O_{(l)} + O_{2(g)}$
આ પ્રક્રિયામાં,પ્રક્રિયક $(H_2O_2)$ પ્રવાહી અવસ્થામાં છે અને ઉદ્દીપક $(Pt)$ ઘન અવસ્થામાં છે.
પ્રક્રિયક અને ઉદ્દીપક અલગ-અલગ અવસ્થામાં હોવાથી,આ વિષમાંગ ઉદ્દીપનનું ઉદાહરણ છે.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: પેલ્ટિયર ગુણાંક $\pi$ ને તેમાંથી વહેતા એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ જંકશન પર શોષાયેલી અથવા ઉત્સર્જિત ઉષ્મા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે તેમાંથી પ્રવાહ વહે છે ત્યારે તે જંકશન પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: થોમસન અસર જણાવે છે કે જ્યારે તાપમાનનો ઢાળ અસ્તિત્વમાં હોય અને તેમાંથી પ્રવાહ વહે ત્યારે એક જ વાહકની લંબાઈ સાથે ઉષ્મા શોષાય છે અથવા ઉત્સર્જિત થાય છે. પેલ્ટિયર અસરથી વિપરીત,જે જંકશન પર થાય છે,થોમસન અસર વાહકની અંદર જ થાય છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, $T$ તાપમાન ધરાવતા પદાર્થ માટે $T_0$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થો સમાન હોવાથી, $A$ અને $e$ સમાન રહેશે.
અહીં $T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$, $T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$, અને $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ છે.
ઉષ્મા ગુમાવવાનો ગુણોત્તર $\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} = \frac{5.5^4 - 3^4}{3.4^4 - 3^4}$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $5.5^4 \approx 915.06$, $3.4^4 \approx 133.63$, $3^4 = 81$.
ગુણોત્તર $\approx \frac{915.06 - 81}{133.63 - 81} = \frac{834.06}{52.63} \approx 15.85$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $19 : 1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ કદની પ્રક્રિયા માટે,દબાણ સહગુણક $\beta_P$ ને $\beta_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{1}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,કદ સહગુણક $\beta_V$ ને $\beta_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{1}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આમ,બંને સહગુણકો $\frac{1}{T}$ જેટલા હોવાથી,તેમનો તફાવત $\beta_V - \beta_P$ શૂન્ય થાય છે.

(C) પ્રવાહીના વાસ્તવિક પ્રસરણાંક $(\gamma_r)$ ને આભાસી પ્રસરણાંક $(\gamma_a)$ અને પાત્રના કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_g)$ ના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ સંબંધ છે: $\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_g)$ એ રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_g)$ કરતા ત્રણ ગણો હોય છે,એટલે કે $\gamma_g = 3\alpha_g$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\gamma_r = \gamma_a + 3\alpha_g$.

(C) કેશિકા નળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T}{\rho g r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીના સ્તંભની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{mgh}{2}$ છે.
દળ $m = \pi r^2 h \rho$ હોવાથી,આપણને મળે છે $U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$.
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$.
પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times h = (2 \pi r T) \times h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q$ એ થયેલા કાર્ય અને પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક મોલ વાયુ માટે $(n=1)$,$\Delta U = C_V \Delta T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$.
તેથી,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$.
અચળ દબાણ $p$ પર આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$p V = R T$,તેથી $p \Delta V = R \Delta T$.
અહીં,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 2V - V = V$ છે.
તેથી,$R \Delta T = p V$.
આ કિંમતને $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$.

(C) એન્થાલ્પી $(H)$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાતું નથી.
માત્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન એન્થાલ્પીમાં થતો ફેરફાર $(\Delta H)$ માપી શકાય છે.
તેથી,એન્થાલ્પીનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય નક્કી કરી શકાય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(D) $Pa \cdot s$ (શ્યાનતા ગુણાંક) નું પરિમાણ $[M \ L^{-1} \ T^{-2}] \cdot [T] = [M \ L^{-1} \ T^{-1}]$ છે,જે $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$N \cdot m \cdot K^{-1}$ નું પરિમાણ $[M \ L \ T^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [M \ L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ છે,જે $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા) નું પરિમાણ $[M \ L^2 \ T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ છે,જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ઉષ્મીય વાહકતા) નું પરિમાણ $[M \ L^2 \ T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [M \ L \ T^{-3} \ K^{-1}]$ છે,જે $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળતી શ્યામ શોષણ રેખાઓનો સમૂહ છે.
આ રેખાઓ ત્યારે રચાય છે જ્યારે સૂર્યના ગરમ અને ઘટ્ટ પ્રકાશમંડળ (photosphere) દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશનો સતત વર્ણપટ સૂર્યના ઠંડા અને ઓછા ઘટ્ટ વાયુઓ ધરાવતા રંગમંડળ (chromosphere) માંથી પસાર થાય છે.
રંગમંડળમાં રહેલા પરમાણુઓ અને અણુઓ પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરે છે,જેના પરિણામે વર્ણપટમાં શ્યામ રેખાઓ જોવા મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ સૂર્યનું રંગમંડળ છે.

(C) ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર (રે ઓપ્ટિક્સ) ની લાગુ પડવાની શરત એ છે કે વિવર્તનની અસરો નગણ્ય હોવી જોઈએ.
જ્યારે છિદ્રનું કદ $(D)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ની સરખામણીમાં હોય ત્યારે વિવર્તન નોંધપાત્ર બને છે.
જે અંતર સુધી વિવર્તનની અસરો નોંધપાત્ર બને છે તેને ફ્રેનલ અંતર કહેવામાં આવે છે,જે $Z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર માન્ય રહે તે માટે,છિદ્રથી પડદાનું અંતર $L$ એ ફ્રેનલ અંતર કરતા ઘણું ઓછું હોવું જોઈએ $(L \ll Z_F)$.
$Z_F$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ મળે છે,જેને $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

(B) તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y=0.2 \sin (1.5 x+60 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (kx+\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$k=1.5 ~m^{-1}$ અને $\omega=60 ~rad/s$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 ~m/s$ દ્વારા મળે છે.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\mu = 3 \times 10^{-4} ~kg/m$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ થાય છે $T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 ~N$.

(D) સીટીની આવૃત્તિ $n = 256 ~Hz$ છે. વાહનનો વેગ $v_s = 10 ~ms^{-1}$ છે. ધ્વનિનો વેગ $v = 330 ~ms^{-1}$ છે.
જ્યારે ધ્વનિ ટેકરી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે ટેકરી પરાવર્તિત ધ્વનિ માટે સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વાહનમાં રહેલા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત ધ્વનિની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
અહીં,અવલોકનકાર $v_o = 10 ~ms^{-1}$ ના વેગથી ટેકરી તરફ ગતિ કરે છે અને ઉદગમ (ટેકરી) સ્થિર છે $(v_s = 0)$. જોકે,ટેકરી સુધી પહોંચતો ધ્વનિ પહેલેથી જ ડોપ્લર-શિફ્ટ થયેલો હોય છે કારણ કે ઉદગમ તેની તરફ ગતિ કરે છે.
ટેકરી સુધી પહોંચતા ધ્વનિની આવૃત્તિ $n_h = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે.
અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત ધ્વનિની આવૃત્તિ $n' = n_h \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 ~Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Beats} = n' - n = 272 - 256 = 16 ~Hz$.

(D) ગનનો પાવર એ ગોળીઓને આપવામાં આવતી ગતિઊર્જાનો દર છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા,$n = \frac{240}{60} = 4 ~s^{-1}$.
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 10 ~g = 0.01 ~kg$.
દરેક ગોળીનો વેગ,$v = 600 ~ms^{-1}$.
એક ગોળીની ગતિઊર્જા,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 ~J$.
પાવર,$P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 ~W$.
$kW$ માં ફેરવતા,$P = \frac{7200}{1000} = 7.2 ~kW$.

(B) Natalite એ $95\%$ ઇથેનોલ અને $5\%$ ઈથરનું મિશ્રણ છે. તેનો ઉપયોગ આંતરિક દહન એન્જિનમાં બળતણ અથવા પેટ્રોલના વિકલ્પ તરીકે થાય છે.

(A) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ હોય,તો અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} u_2$
વિધાન $A$ માટે: જો $m_1 = m_2 = m$ અને $u_2 = 0$ હોય,તો $v_1 = 0$ અને $v_2 = u_1$ મળે છે. આ સાબિત કરે છે કે પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર થાય છે અને બીજો પદાર્થ પ્રથમ પદાર્થના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે.
વિધાન $B$ માટે: જો $m_1 = m_2 = m$ હોય,તો સમીકરણો $v_1 = u_2$ અને $v_2 = u_1$ બને છે. આ સાબિત કરે છે કે પદાર્થો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(A) વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે $SF_6$ માં,સલ્ફર પરમાણુ $6$ ફ્લોરિન પરમાણુઓ સાથે $6$ સહસંયોજક બંધ બનાવે છે,જેના પરિણામે તેની સંયોજકતા કક્ષામાં $12$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,જે અષ્ટકનો નિયમ તોડે છે.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે દ્રાવણમાં મુક્ત આયનોની હાજરીને કારણે આયનીય પ્રતિક્રિયાઓ લગભગ ત્વરિત થાય છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે $Sn$ પરમાણુ પર એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની હાજરીને કારણે $SnCl_2$ નો આકાર વળેલો (bent) હોય છે.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે ફાજાનના નિયમ મુજબ,જેમ વીજભાર ઘનતા વધે તેમ આયનીય સંયોજનો બનાવવાની ક્ષમતા ઘટે છે. તેથી,આયનીય લાક્ષણિકતાનો સાચો ક્રમ $Na^{+} > Mg^{2+} > Al^{3+}$ છે.

(A) $BeCl_2$ માં,મધ્યસ્થ પરમાણુ $Be$ એ $sp$-સંકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે $180^{\circ}$ ના બંધકોણ સાથે રેખીય ભૂમિતિ મળે છે.
$H_2O$ માં ઓક્સિજન પર બે અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોવાને કારણે તેનો આકાર વળેલો (કોણીય) હોય છે.
$SO_2$ માં સલ્ફર પર એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોવાને કારણે તેનો આકાર વળેલો (કોણીય) હોય છે.
$CH_4$ ની ભૂમિતિ સમચતુષ્ફલકીય હોય છે.
તેથી,$BeCl_2$ એ રેખીય અણુ છે.

(A) પ્રક્રિયા $X_{(g)} + Y_{(g)} \rightleftharpoons Z_{(g)}$ માટે સંતુલન અચળાંકનું સૂત્ર $K_c = \frac{[Z]}{[X][Y]}$ છે.
આપેલ છે કે $K_c = 10^4 \ mol^{-1} \ L$.
સંતુલન સમયે,$[X] = \frac{1}{2}[Y] = \frac{1}{2}[Z]$ આપેલ છે.
આના પરથી,$[X]$ અને $[Y]$ ને $[Z]$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$[X] = \frac{1}{2}[Z]$
$[Y] = [Z]$
આ કિંમતોને $K_c$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$10^4 = \frac{[Z]}{(\frac{1}{2}[Z])([Z])} = \frac{[Z]}{\frac{1}{2}[Z]^2} = \frac{2}{[Z]}$
તેથી,$[Z] = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ mol \ L^{-1}$.

(C) પ્રક્રિયા $2A + B \longrightarrow C$ માટે,પ્રક્રિયાનો દર આ મુજબ છે:
દર $= -\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{d[B]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
આપેલ છે કે $C$ ના નિર્માણનો દર $\frac{d[C]}{dt} = 2.2 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ છે.
$A$ અને $C$ માટેના પદોને સરખાવતા:
$-\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times (2.2 \times 10^{-3}) = 4.4 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાઓ નીચે મુજબ છે:
$_{20}Ca = [Ar] 4s^2$
$_{21}Sc = [Ar] 4s^2 3d^1$
$_{22}Ti = [Ar] 4s^2 3d^2$
જેમ આપણે આવર્તમાં $Ca$ થી $Ti$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભાર $(Z_{eff})$ વધે છે કારણ કે $d$-કક્ષકોનો આકાર વિસ્તૃત હોય છે અને તે કેન્દ્રીય વીજભારનું ઓછું શીલ્ડિંગ કરે છે.
પરિણામે,પરમાણુ ક્રમાંક વધવાની સાથે પરમાણુ કદ ઘટે છે.
પરમાણુ કદનો ક્રમ $Ca > Sc > Ti$ છે.
તેથી,સહસંયોજક ત્રિજ્યા વધવાનો સાચો ક્રમ $(I) < (III) < (II)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x^6 = 1$,તેથી $x^6 - 1 = 0$.
આનું અવયવીકરણ કરતા,આપણને $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $\alpha$ એ $x^6=1$ નું અવાસ્તવિક બીજ છે,તેથી તે $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
આમ,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$ મળે છે.
જમણી બાજુથી $-\alpha^2$ સામાન્ય લેતા,$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$.

(A) નાઈટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ એ વાતાવરણનો મુખ્ય ઘટક છે,જે કદના આધારે આશરે $78 \%$ જેટલો હોય છે.
તે સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં નિષ્ક્રિય વાયુ છે અને હવાના પ્રદૂષણનું કારણ બનતું નથી.
તેનાથી વિપરીત,$N_2O$,$NO$,અને $CO$ એ જાણીતા હવાના પ્રદૂષકો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x = (\sqrt{2} + 1) \left(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2 x - 1 = (\sqrt{2} + 1)\cos x - \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2} + 1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અથવા $\cos x = \frac{1}{2}$ મળે.
શરત મુજબ $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos x = \frac{1}{2}$.
આમ,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$.
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
કારણ કે $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
ફરીથી $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots(i)$
કારણ કે $\cos(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ ના અંતિમ મૂલ્યો $-1$ અને $1$ છે.

(D) ધારો કે $\cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ $(i)$ અને $\sin \theta + 4 \cos \theta = x$ $(ii)$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 1^2 + x^2$
$(\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta) = 1 + x^2$
$(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 + x^2$
$1 + 16(1) = 1 + x^2$
$17 = 1 + x^2$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
આમ,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.

(C) આપેલ રેખાઓ $x=0$ ($y$-અક્ષ),$y=0$ ($x$-અક્ષ) અને $3x+4y=12$ છે.
રેખા $3x+4y=12$ ના અંતઃખંડો શોધવા માટે,તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 3)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ અને $B(0, 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $OA = 4$ એકમ અને વેધ $OB = 3$ એકમ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x-y+1=0 \quad \dots(i)$
$x^2+y^2+y-1=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ પરથી,$y = x+1$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (x+1)^2 + (x+1) - 1 = 0$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 + x + 1 - 1 = 0$
$2x^2 + 3x + 1 = 0$
$(2x+1)(x+1) = 0$
તેથી,$x = -\frac{1}{2}$ અથવા $x = -1$.
જો $x = -\frac{1}{2}$,તો $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. બિંદુ $A = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
જો $x = -1$,તો $y = -1 + 1 = 0$. બિંદુ $B = (-1, 0)$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + (y - \frac{1}{2})(y - 0) = 0$
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + y(y - \frac{1}{2}) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$(2x+1)(x+1) + y(2y-1) = 0$
$2x^2 + 2x + x + 1 + 2y^2 - y = 0$
$2(x^2+y^2) + 3x - y + 1 = 0$.

(B) જ્યારે સંયોજનોનું આણ્વીય સૂત્ર સમાન હોય પરંતુ ક્રિયાશીલ સમૂહ અલગ હોય ત્યારે ક્રિયાશીલ સમઘટકતા જોવા મળે છે.
$C_2H_5CO_2H$ (પ્રોપેનોઈક એસિડ) અને $CH_3CO_2CH_3$ (મિથાઈલ એસિટેટ) બંનેનું આણ્વીય સૂત્ર $C_3H_6O_2$ છે.
પ્રોપેનોઈક એસિડમાં કાર્બોક્સિલિક એસિડ સમૂહ $(-COOH)$ હોય છે,જ્યારે મિથાઈલ એસિટેટમાં એસ્ટર સમૂહ $(-COOCH_3)$ હોય છે.
તેથી,તેઓ ક્રિયાશીલ સમઘટકો છે.

(C) સિલિકા $(SiO_2)$ એ એસિડિક ઓક્સાઇડ છે અને તે બેઝિક અશુદ્ધિઓને દૂર કરવા માટે એસિડ ફ્લક્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$SiO_2$ અને $Na_2CO_3$ વચ્ચેની પ્રક્રિયામાં $CO_2$ વાયુ મુક્ત થાય છે,$CO$ નહીં.
પ્રક્રિયા: $Na_2CO_3 + SiO_2 \rightarrow Na_2SiO_3 + CO_2 \uparrow$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલું વિધાન ખોટું છે કારણ કે તેમાં $CO_2$ ને બદલે $CO$ મુક્ત થવાનો ઉલ્લેખ છે.

$(A)$ ઈથેન $(C_2H_6)$ ની બનાવટ ઈથેનોલ $(C_2H_5OH)$ ની હાજરીમાં $Zn-Cu$ કપલનો ઉપયોગ કરીને આયોડોઈથેન $(C_2H_5I)$ ના રિડક્શન દ્વારા કરી શકાય છે.
રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા છે: $C_2H_5I + 2[H] \xrightarrow{Zn-Cu, C_2H_5OH} C_2H_6 + HI$.
તેથી, વિકલ્પ $A$ ઈથેનની બનાવટ માટે યોગ્ય પ્રક્રિયકો અને શરતો દર્શાવે છે.

(A) એસીટોફેનોન બેન્ઝીનમાંથી તેની ઇલેક્ટ્રોન અનુરાગી વિસ્થાપન (ફ્રિડલ-ક્રાફ્ટ એસિલેશન) પ્રક્રિયા દ્વારા નીચે મુજબ તૈયાર કરી શકાય છે:
$C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{Anhyd. AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl$
આ પ્રક્રિયામાં,બેન્ઝીન વલયનો હાઇડ્રોજન પરમાણુ એસિટાઇલ ગ્રુપ $(-COCH_3)$ દ્વારા બદલાય છે,જે એક લાક્ષણિક ઇલેક્ટ્રોન અનુરાગી વિસ્થાપન પ્રક્રિયા છે.

(C) $H_2O_2 + Cl_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$
આ પ્રક્રિયામાં,$H_2O_2$ રિડક્શનકર્તા તરીકે વર્તે છે અને $Cl_2$ નું $HCl$ માં રિડક્શન કરે છે.
$HCl$ (એક પ્રબળ એસિડ) બનવાથી દ્રાવણમાં $H^+$ આયનોની સાંદ્રતા વધે છે.
પરિણામે,પરિણામી દ્રાવણનો $pH$ $6.0$ થી ઓછો થાય છે અને ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ મુક્ત થાય છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયાઓમાં,આપણે બનતી નીપજોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$(A)$ $PbO_2 + H_2O_2 \longrightarrow PbO + H_2O + O_2$ (ઓક્સિજન વાયુ બને છે).
$(B)$ $2KMnO_4 + 3H_2SO_4 + 5H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 5O_2$ (ઓક્સિજન વાયુ બને છે).
$(C)$ $PbS + 4H_2O_2 \longrightarrow PbSO_4 + 4H_2O$ (લેડ સલ્ફેટ ઘન છે,અને પાણી પ્રવાહી છે; કોઈ વાયુ બનતો નથી).
$(D)$ $Cl_2 + H_2O_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$ (ઓક્સિજન વાયુ બને છે).
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલી પ્રક્રિયામાં વાયુરૂપ નીપજ બનતી નથી.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
પ્રથમ,છેદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x-1)(x+2)(x-3) = (2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
અહીં અંશની ઘાત $(3)$ અને છેદની ઘાત $(3)$ સમાન હોવાથી,આપણે અચળ પદ $A$ શોધવા માટે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$\frac{x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} = \frac{\frac{1}{2}(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) + (\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3)}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$.
આપેલ સ્વરૂપ $A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $x^2(1+y) = y^2(1+x)$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$.
અવયવ પાડતા $(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(x-y)(x+y+xy) = 0$.
કારણ કે $x-y \neq 0$ (કારણ કે તે મૂળ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી),તેથી $x+y+xy = 0$ હોવું જોઈએ.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y(1+x) = -x$,તેથી $y = -\frac{x}{1+x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$.

(B) અને $(R)$ બંને સાચા વિધાનો છે,પરંતુ $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
બફર દ્રાવણનો $pH$ હેન્ડરસન-હેસલબેક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
જ્યારે ક્ષાર અને એસિડના મોલ સમાન હોય,ત્યારે $[\text{salt}] = [\text{acid}]$,તેથી:
$pH = pK_a + \log(1) = pK_a = 4.8$.
આમ,$(A)$ સાચું છે. $25^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનો આયનીય ગુણાકાર $(K_w)$ ખરેખર $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ છે,જે $(R)$ ને સાચું વિધાન બનાવે છે,પરંતુ તે બફરના $pH$ ની ગણતરી સમજાવતું નથી.

(A) વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A$ જેની ત્રિજ્યા $r$ છે,તે $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ અને $r = 12 \text{ cm}$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ ના દરે વધે છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = 490t - 4.9t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ મેળવીએ છીએ.
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી $\frac{ds}{dt} = 0$ લેતા.
$490 - 9.8t = 0$.
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $s$ શોધવા માટે મૂળ સમીકરણમાં $t = 50$ મૂકતા.
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$.
$s = 24500 - 4.9(2500)$.
$s = 24500 - 12250$.
$s = 12250$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
હવે,આપણે $x = 1$ અને $x = -1$ માટે કિંમતો ચકાસીએ.
$x = 1$ માટે,$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ માટે,$f(-1) = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(C) $I$. આપેલ છે $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$.
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2e^{-x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2x$ અને $Q = 2e^{-x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ છે.
ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y e^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x + c$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$. આપેલ છે $y e^{-x^2} - 2x = c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{d}{dx}(y e^{-x^2}) - 2 = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $e^{-x^2} \frac{dy}{dx} + y e^{-x^2}(-2x) - 2 = 0$.
$e^{-x^2} \frac{dy}{dx} = 2 + 2xy e^{-x^2}$.
$e^{x^2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = 2e^{x^2} + 2xy$.
આ આપેલ પદ $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
બંને બાજુ $x^3 y^4$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2 y}{x^3 y^4} - \frac{x^3}{x^3 y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{y^4 \cos x}{x^3 y^4}$
$\Rightarrow \frac{1}{x y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
$\Rightarrow -\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-3} = \frac{\cos x}{x^3}$
ધારો કે $v = y^{-3}$. તો $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = \frac{\cos x}{x^3}$
$3$ વડે ગુણતા: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
આ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{3}{x}$ અને $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$.
ઉકેલ $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$v \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$v x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$v x^3 = 3 \sin x + c$.
કારણ કે $v = y^{-3}$,તેથી $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) દરેક પદનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(A)$ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જે $3$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$,જે $5$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,જે $2$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ અદિશ ગુણાકાર $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $\theta$ એ $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $1$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચી જોડ $A-3, B-5, C-2, D-1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot a = 1$ અને $b \cdot b = 1$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $(a+b) \times (a \times b)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$.
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a(1 + a \cdot b) - b(1 + a \cdot b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$.
આમ,સદિશ $(a+b) \times (a \times b)$ એ સદિશ $(a - b)$ ને સમાંતર છે.