IIT JEE 1968 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
मान लीजिए $a^x = b^y = c^z = m$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,और $z = \log_c m$ है।
चूंकि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$ प्राप्त होता है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log_b a = \log_c b$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\alpha$ पहले समीकरण का एक मूल है,तो $\frac{1}{\alpha}$ दूसरे समीकरण का एक मूल है।
पहले समीकरण के लिए: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$।
दूसरे समीकरण के लिए: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,जो सरल होकर $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ हो जाता है।
समीकरणों $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ के लिए वज्र-गुणन विधि (cross-multiplication method) का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$।
दूसरे और तीसरे पद से: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$।
पहले और तीसरे पद से: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$।
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{ba' - b'c}{ab' - bc'} = \left(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}\right)^2$।
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$।

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों का $A.M.$ (समांतर माध्य) $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 2A$।
मूलों का $G.M.$ (गुणोत्तर माध्य) $G = \sqrt{\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = G^2$।
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (\text{मूलों का योग})t + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) $10$ व्यक्तियों ($6$ पुरुष + $4$ महिलाएँ) में से $5$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति बनाने के तरीके (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) $^6C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला होने के तरीकों की संख्या कुल तरीकों में से बिना किसी महिला वाले तरीकों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$252 - 6 = 246$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $P$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ है।
दिया है $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ है।
अतः,दूसरा अभिलंब $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ प्राप्त होता है।