MathematicsQ1–5 of 5 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1968
જો $x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોય અને $a^x = b^y = c^z$ હોય,તો
A
$\log_a c = \log_b a$
B
$\log_b a = \log_c b$
C
$\log_c b = \log_a c$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = m$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,અને $z = \log_c m$.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_b a = \log_c b$ મળે છે.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = m$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,અને $z = \log_c m$.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_b a = \log_c b$ મળે છે.
0 likesView Solution
2
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1968
જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું એક બીજ એ સમીકરણ $a'x^2 + b'x + c' = 0$ ના એક બીજનું વ્યસ્ત હોય,તો:
A
$(cc' - aa')^2 = (ba' - cb')(ab' - bc')$
B
$(bb' - aa')^2 = (ca' - bc')(ab' - bc')$
C
$(cc' - aa')^2 = (ba' + cb')(ab' + bc')$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) ધારો કે $\alpha$ એ પ્રથમ સમીકરણનું એક બીજ છે,તો $\frac{1}{\alpha}$ એ બીજા સમીકરણનું એક બીજ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.
બીજા સમીકરણ માટે: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ થાય છે.
સમીકરણો $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$.
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $\frac{ba' - b'c}{ab' - bc'} = \left(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}\right)^2$.
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.
બીજા સમીકરણ માટે: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ થાય છે.
સમીકરણો $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$.
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $\frac{ba' - b'c}{ab' - bc'} = \left(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}\right)^2$.
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$.
0 likesView Solution
3
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1968
$t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ,જેના બીજનો $A.M.$ (સમાંતર મધ્યક) $A$ અને $G.M.$ (ગુણોત્તર મધ્યક) $G$ હોય,તે
A
$t^2 - 2At + G^2 = 0$
B
$t^2 - 2At - G^2 = 0$
C
$t^2 + 2At + G^2 = 0$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજનો $A.M.$ (સમાંતર મધ્યક) $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 2A$.
બીજનો $G.M.$ (ગુણોત્તર મધ્યક) $G = \sqrt{\alpha \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = G^2$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})t + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ મળે છે.
બીજનો $A.M.$ (સમાંતર મધ્યક) $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 2A$.
બીજનો $G.M.$ (ગુણોત્તર મધ્યક) $G = \sqrt{\alpha \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = G^2$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})t + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ મળે છે.
0 likesView Solution
4
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1968
$6$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય?
A
$186$
B
$246$
C
$252$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) $10$ વ્યક્તિઓ ($6$ પુરુષો + $4$ સ્ત્રીઓ) માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરુષો હોય) $^6C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે:
$252 - 6 = 246$.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરુષો હોય) $^6C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે:
$252 - 6 = 246$.
0 likesView Solution
5
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 1968
ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$
A
$\frac{a^2+b^2}{a}$
B
$-\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$
C
$-\left(\frac{a^2+b^2}{a}\right)$
D
$\frac{a^2+b^2}{b}$
Solution
(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
તેથી,બીજો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ મળે છે.
બિંદુ $P$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
તેથી,બીજો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ મળે છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in IIT JEE 1968?
There are 5 Mathematics questions from the IIT JEE 1968 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 1968 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 1968 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick IIT JEE 1968 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.