AP EAMCET 2012 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $BaCl_2$ एक विद्युत अपघट्य है जो जलीय विलयन में आयनों में वियोजित हो जाता है: $BaCl_2 \rightarrow Ba^{2+} + 2Cl^-$.
वांट हॉफ कारक $i$ का मान $1$ से अधिक होता है (आदर्श रूप से $i = 3$).
प्रेक्षित (प्रयोगात्मक) मोलर द्रव्यमान $M_{obs} = \frac{M_{calc}}{i}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $i > 1$,इसलिए $M_{obs} < M_{calc}$.
अतः,प्रयोगात्मक मोलर द्रव्यमान परिकलित मोलर द्रव्यमान से कम होता है।

(A) स्पिन क्वांटम संख्या $(s)$ रेखा स्पेक्ट्रा की सूक्ष्म संरचना की व्याख्या करती है,जैसे कि $H$ और क्षार धातुओं में देखे गए डबलेट्स,और क्षारीय मृदा धातुओं में देखे गए डबलेट्स और ट्रिपलेट्स,जो इलेक्ट्रॉन स्पिन कोणीय संवेग के कारण होते हैं।

(C) इंसुलिन अग्न्याशय द्वारा स्रावित एक पेप्टाइड हार्मोन है।
यह रक्तप्रवाह के माध्यम से शरीर के विभिन्न भागों तक पहुँचाया जाता है।
इंसुलिन लक्ष्य कोशिकाओं की सतह पर स्थित विशिष्ट रिसेप्टर्स से जुड़कर कार्य करता है।
इसलिए,इसके कार्य का स्थान $plasma \ membrane$ (प्लाज्मा झिल्ली) है।

(B) जेली में,परिक्षिप्त प्रावस्था $liquid$ है और परिक्षेपण माध्यम $solid$ है।
अतः,यह $solid$ में $liquid$ का कोलाइडल विलयन है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, इसलिए $T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
दिया गया है कि $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$, इसलिए $T_2 = 2 T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ है, जिसका अर्थ है $P \propto T^4$.
अतः, $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
इसलिए, $P_2 = 16 P_1 = 16 P$.

(B) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ सूत्र $I = Mk^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $I \propto k^2$ होगा।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln I = \ln M + 2 \ln k$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dI}{I} = 2 \frac{dk}{k}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मीय प्रसार के लिए,तापमान के साथ घूर्णन त्रिज्या $k$ में परिवर्तन $k' = k(1 + \alpha \Delta T)$ के अनुसार होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{\Delta k}{k} = \alpha \Delta T$।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \left( \frac{\Delta k}{k} \right) = 2 \alpha \Delta T$।

(D) द्रव के वास्तविक प्रसार का गुणांक $(\gamma_r)$ स्थिर होता है और यह आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ तथा बर्तन के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_v = 3\alpha$, जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है) के योग के बराबर होता है।
अतः, $\gamma_r = \gamma_{a1} + 3\alpha_1 = \gamma_{a2} + 3\alpha_2$.
दिया गया है:
$\gamma_{a1} = 6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ (तांबे के बर्तन के लिए)
$\alpha_1 = 18 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ (तांबे के लिए)
$\gamma_{a2} = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ (स्टील के बर्तन के लिए)
मान रखने पर:
$6 \times 10^{-6} + 3(18 \times 10^{-6}) = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_2$
$6 \times 10^{-6} + 54 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_2$
$60 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_2$
$3\alpha_2 = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_2 = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.

(C) दी गई स्थिति $V \propto T^{2/3}$ से,हम लिख सकते हैं $V = c T^{2/3}$,जिसका अर्थ है $T \propto V^{3/2}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$T \propto V^{3/2}$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $PV \propto V^{3/2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $P \propto V^{1/2}$ हो जाता है।
यह एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ को दर्शाता है,जहाँ $x = -1/2$ है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,और $x = -1/2$ है।
मान रखने पर: $W = \frac{1 \times 8.314 \times 30}{1 - (-1/2)} = \frac{249.42}{1.5} = 166.28 \ J$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $166.2 \ J$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $p$ के बीच संबंध $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
दिया गया है: $T = 273 \text{ K}$ ($NTP$ पर),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \text{ dyne}/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \text{ dyne}/cm^2$.
मान रखने पर: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times 9.87 \times 10^{-10}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{1}{3} \times 9.87 \times 10^{-10} \approx 8.97 \times 10^{-8} \text{ K}$.

(A) स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा का सूत्र $q = n \times C_p \times \Delta T$ है।
दिया गया है:
दी गई ऊष्मा $(q)$ = $1 \ kJ = 1000 \ J$.
जल $(H_2O)$ का मोलर द्रव्यमान = $18 \ g \ mol^{-1}$.
मोलों की संख्या $(n)$ = $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{100 \ g}{18 \ g \ mol^{-1}} = \frac{100}{18} \ mol$.
मोलर ऊष्मा धारिता $(C_p)$ = $75 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$1000 = \frac{100}{18} \times 75 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1000 \times 18}{100 \times 75} = \frac{180}{75} = 2.4 \ K$.

(A) जैसे-जैसे हैलोजन परमाणु का आकार $Cl$ से $I$ तक बढ़ता है,$A-A$ बंध की लंबाई बढ़ती है।
सामान्यतः,जैसे-जैसे बंध की लंबाई बढ़ती है,बंध वियोजन ऊर्जा घटती है।
इसलिए,बंध ऊर्जा का क्रम $Cl_2 > Br_2 > I_2$ है।

(C) चित्र से,$S_1$ और $S_2$ से बिंदु $P$ तक पहुँचने वाली तरंगों के बीच का पथांतर $\Delta x = S_1 P - S_2 P$ द्वारा दिया जाता है।
पहली दीप्त फ्रिंज के लिए,पथांतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होना चाहिए (क्योंकि वे समान कला में हैं)।
व्यवस्था की ज्यामिति से,पथांतर को $\Delta x = d \cos \theta$ के रूप में अनुमानित किया जा सकता है,जहाँ $d = 2 \lambda$ स्रोतों के बीच की दूरी है।
अतः,$2 \lambda \cos \theta = \lambda$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
पर्दे द्वारा बने समकोण त्रिभुज से,$\tan \theta = \frac{OP}{D} = \frac{x}{D}$।
चूँकि $\theta = 60^{\circ}$,$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
इसलिए,$\frac{x}{D} = \sqrt{3}$,जिससे $x = \sqrt{3} D$ प्राप्त होता है।

(D) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर रस्सी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{gx}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ प्राप्त होता है।
$x=0$ से $x=l$ तक समाकलन करने पर,कुल समय $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
दिए गए मान $l = 2.45 ~m$ और $g = 9.8 ~m/s^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 ~s$.

(B) कंपन करते हुए तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, हमारे पास $n \propto \frac{1}{l}$ है, जिसका अर्थ है $n l = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है。
$l_1 = 100 \, cm$ पर, तार की आवृत्ति $n_1 = n + 8$ है (क्योंकि तार छोटा होने पर उसकी आवृत्ति अधिक होती है)।
$l_2 = 101 \, cm$ पर, तार की आवृत्ति $n_2 = n - 8$ है。
$n_1 l_1 = n_2 l_2$ का उपयोग करते हुए:
$(n + 8) \times 100 = (n - 8) \times 101$
$100n + 800 = 101n - 808$
$101n - 100n = 800 + 808$
$n = 1608 \, Hz$.

(A) वाहन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2M}$ है।
जब इंजन बंद कर दिया जाता है,तो वाहन को रोकने के लिए उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k M g$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = 0 - K$
$\mu_k M g s = \frac{p^2}{2M}$
$s$ (तय की गई दूरी) के लिए हल करने पर:
$s = \frac{p^2}{2 M^2 \mu_k g}$.

(C) शक्ति $P$ को गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $P = \frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m v^2) = m v \frac{dv}{dt}$.
चूंकि $a = \frac{dv}{dt}$,हमारे पास है $P = m v a = m v (v \frac{dv}{dx}) = m v^2 \frac{dv}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $v^2 dv = \frac{P}{m} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_0^v v^2 dv = \int_0^x \frac{P}{m} dx$.
$\frac{v^3}{3} = \frac{P x}{m}$.
अतः,$v^3 = \frac{3 P x}{m}$.
इसलिए,$v^3 \propto \frac{P}{m}$.

(D) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र की स्थिति निकाय का एक भौतिक गुण है और यह निर्देशांक प्रणाली के चयन से स्वतंत्र है।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि द्रव्यमान केंद्र की गति निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होती है,अर्थात $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार आंतरिक बल जोड़ों में एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं,इसलिए वे द्रव्यमान केंद्र की गति को प्रभावित नहीं करते हैं।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि आंतरिक बल द्रव्यमान केंद्र की गति की अवस्था को नहीं बदल सकते हैं।
अतः,कथन $(A)$ और $(D)$ गलत हैं।

(C) गेंद $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = p^2 / (2m)$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ है।
गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = p/m = \sqrt{2K/m}$ है।
टक्कर के बाद,गेंद $A$,$K' = K/9$ गतिज ऊर्जा के साथ ऋणात्मक $x$-दिशा में गति करती है।
मान लीजिए $v_1$ गेंद $A$ का अंतिम वेग है। तब $K' = 1/2 m v_1^2 = K/9$,जिससे $v_1 = \sqrt{2K/(9m)} = (1/3) \sqrt{2K/m} = p/(3m)$ प्राप्त होता है।
चूंकि गेंद $A$ ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है,इसलिए इसका अंतिम वेग $v_1 = -p/(3m)$ होगा।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $p_{initial} = p_{final}$ है।
$p = m v_1 + p_B$,जहाँ $p_B$ गेंद $B$ का अंतिम संवेग है।
$p = m(-p/(3m)) + p_B$.
$p = -p/3 + p_B$.
$p_B = p + p/3 = 4p/3$.

(D) औपचारिक आवेश $(FC)$ की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $FC = V - L - \frac{1}{2} B$,जहाँ $V$ संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,$L$ एकाकी युग्म (lone pair) इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $B$ आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$\ddot{O}=C=\ddot{O}$ संरचना वाले $CO_2$ अणु के लिए:
$O$ परमाणु के लिए: $V = 6$,$L = 4$,$B = 4$. अतः,$FC = 6 - 4 - \frac{1}{2}(4) = 0$.
$C$ परमाणु के लिए: $V = 4$,$L = 0$,$B = 8$. अतः,$FC = 4 - 0 - \frac{1}{2}(8) = 0$.
इसलिए,$C$ और $O$ परमाणुओं के औपचारिक आवेश क्रमशः $0$ और $0$ हैं।

(C) $O_2$ ($16$ इलेक्ट्रॉन) का आण्विक कक्षक इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2, \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^1, \pi^* 2p_y^1$।
आबंधी आण्विक कक्षक वे हैं जिनके ऊपर तारा $(*)$ नहीं है।
आबंधी कक्षक $\sigma 1s, \sigma 2s, \sigma 2p_z, \pi 2p_x, \pi 2p_y$ हैं।
इनमें से प्रत्येक $5$ कक्षकों में $2$ इलेक्ट्रॉन हैं,जो कुल $10$ आबंधी इलेक्ट्रॉन बनाते हैं।
अतः,आबंधी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या $10 / 2 = 5$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
$A$: $LiOH$,$NaOH$ की तुलना में एक दुर्बल क्षार है क्योंकि $Li^+$ के छोटे आकार के कारण $Li-O$ बंध $Na-O$ बंध की तुलना में अधिक मजबूत होता है,जिससे $OH^-$ आयनों का निकलना कठिन हो जाता है। यह कथन सही है।
$B$: $Be$ के लवणों का जल-अपघटन होता है क्योंकि $Be^{2+}$ का आवेश घनत्व उच्च और आकार छोटा होता है,जो जल के अणुओं को ध्रुवित करता है। यह कथन सही है।
$C$: कैल्शियम बाइकार्बोनेट,$Ca(HCO_3)_2$,केवल जलीय विलयन में मौजूद होता है और जल में घुलनशील है। यह कथन सही है।
$D$: बेरिलियम कार्बाइड $(Be_2C)$ का जल-अपघटन मीथेन $(CH_4)$ देता है,न कि एसिटिलीन $(C_2H_2)$। अभिक्रिया इस प्रकार है: $Be_2C + 4H_2O \rightarrow CH_4 + 2Be(OH)_2$। अतः,यह कथन गलत है।

(B) कार्य फलन धातु की सतह से एक इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है। समूह में नीचे जाने पर परमाणु आकार बढ़ता है,जिससे आयनन ऊर्जा कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि कार्य फलन भी कम हो जाता है।
$Li$,$Na$,$K$ और $Rb$ आवर्त सारणी के समूह $1$ के सदस्य हैं।
उनके परमाणु आकार का क्रम $Li < Na < K < Rb$ है।
इसलिए,उनके कार्य फलन का क्रम $Li > Na > K > Rb$ होगा।
दिए गए मान: $Li = 2.41 \ eV$,$Na = 2.30 \ eV$ और $Rb = 2.09 \ eV$ हैं।
$K$ का कार्य फलन $Na$ $(2.30 \ eV)$ और $Rb$ $(2.09 \ eV)$ के बीच होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$2.20 \ eV$ ही एकमात्र मान है जो $2.09 \ eV < K < 2.30 \ eV$ की सीमा में आता है।

(A) दिया गया है,$(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|(a+ib)^2| = |(c+id)^2(x+iy)|$
$|a+ib|^2 = |c+id|^2 |x+iy|$
चूंकि $|z|^2 = a^2+b^2$,इसलिए:
$a^2+b^2 = (c^2+d^2) \sqrt{x^2+y^2}$
दिए गए मान $a^2+b^2=4$ और $c^2+d^2=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = 2 \sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{x^2+y^2} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2+y^2 = 4$

(D) दिया गया है कि $\alpha$ समीकरण $x^6-1=0$ का एक अवास्तविक मूल है।
चूंकि $\alpha^6=1$ और $\alpha \neq 1$ (क्योंकि $\alpha$ अवास्तविक है),हमारे पास गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5 = \frac{\alpha^6-1}{\alpha-1} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5 = -(1+\alpha)$.
अतः,व्यंजक का मान होगा:
$\frac{\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5}{\alpha+1} = \frac{-(1+\alpha)}{\alpha+1} = -1$.

(C) चूंकि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ है।
रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$ax + ary + ar^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$a$ से विभाजित करने पर,$x + ry + r^2 = 0$ या $x = -ry - r^2$ प्राप्त होता है।
इसे वक्र $x + 2y^2 = 0$ में रखने पर,$(-ry - r^2) + 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $2y^2 - ry - r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
कोटियों का योग इस द्विघात समीकरण के मूलों का योग है,जो $-\frac{\text{coefficient of } y}{\text{coefficient of } y^2} = -(\frac{-r}{2}) = \frac{r}{2}$ है।

(C) अम्ल वर्षा मुख्य रूप से वायुमंडल में नाइट्रोजन और सल्फर के ऑक्साइड के उत्सर्जन के कारण होती है।
ये गैसें वायुमंडल में जल वाष्प के साथ प्रतिक्रिया करके प्रबल अम्ल बनाती हैं,जैसे नाइट्रिक अम्ल $(HNO_3)$ और सल्फ्यूरिक अम्ल $(H_2SO_4)$,जो बाद में अम्ल वर्षा के रूप में गिरते हैं।
रासायनिक अभिक्रियाएँ इस प्रकार हैं:
$2NO_2 + H_2O \rightarrow HNO_3 + HNO_2$
$2SO_2 + O_2 + 2H_2O \rightarrow 2H_2SO_4$
अतः,अम्ल वर्षा के लिए जिम्मेदार गैसों का युग्म $NO_2$ और $SO_2$ है।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$.
माना $a = 27 \tan ^2 \theta$ और $b = 3 \cot ^2 \theta$.
तब,$\frac{27 \tan ^2 \theta + 3 \cot ^2 \theta}{2} \geq \sqrt{27 \tan ^2 \theta \cdot 3 \cot ^2 \theta}$.
$\frac{27 \tan ^2 \theta + 3 \cot ^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \tan ^2 \theta \cdot \cot ^2 \theta}$.
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए $\frac{27 \tan ^2 \theta + 3 \cot ^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \cdot 1}$.
$\frac{27 \tan ^2 \theta + 3 \cot ^2 \theta}{2} \geq 9$.
$27 \tan ^2 \theta + 3 \cot ^2 \theta \geq 18$.
अतः,न्यूनतम मान $18$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(x^2+y^2) \cos^2 \theta = (x \cos \theta + y \sin \theta)^2$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$.
पदों को $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2(\cos^2 \theta - \cos^2 \theta) + 2xy(\sin \theta \cos \theta) + y^2(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = 0$.
$0x^2 + 2xy(\sin \theta \cos \theta) - y^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$.
रेखाओं के युग्म के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए $(A + B = 0)$।
यहाँ,$A = 0$ और $B = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta)$ है।
$A + B = 0$ रखने पर:
$0 - \cos(2\theta) = 0 \Rightarrow \cos(2\theta) = 0$.
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $8x^2 - 6xy + y^2 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4x - y)(2x - y) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $y = 4x$ और $y = 2x$ हैं।
तीसरी रेखा $2x + 3y = a$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार हैं:
$1$. $y = 4x$ और $y = 2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ है।
$2$. $y = 4x$ और $2x + 3y = a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(a/14, 2a/7)$ है।
$3$. $y = 2x$ और $2x + 3y = a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(a/8, a/4)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| = \frac{1}{2} |(a/14)(a/4) - (a/8)(2a/7)| = a^2/112$ है।
क्षेत्रफल $7$ दिया गया है,इसलिए $a^2/112 = 7$ $\Rightarrow a^2 = 784$ $\Rightarrow a = 28$।

(D) संरूपणीय समावयवियों को $rotamers$ के रूप में भी जाना जाता है और इस समावयवता को $rotamerism$ कहा जाता है।

$(A)$. एसीटैल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ और विनाइल अल्कोहल $(CH_2=CH-OH)$ $\text{चलावयवी (tautomers)}$ हैं,क्योंकि वे $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु के स्थानांतरण के साथ गतिशील साम्यावस्था में मौजूद होते हैं।
$B$. $\text{ग्रसित}$ और $\text{सांतरित}$ एथेन एक ही अणु की विभिन्न स्थानिक व्यवस्थाएं हैं,जिन्हें $\text{संरूपणीय समावयवी (conformational isomers)}$ के रूप में जाना जाता है।
$C$. $(+)$$2$-ब्यूटेनॉल और $(-)$$2$-ब्यूटेनॉल एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपणीय दर्पण प्रतिबिंब हैं,इसलिए वे $\text{प्रतिबिंब रूप (enantiomers)}$ हैं।
$D$. मिथाइल-$n$-प्रोपाइलएमीन $(CH_3-NH-CH_2CH_2CH_3)$ और डाईएथाइलएमीन $(CH_3CH_2-NH-CH_2CH_3)$ में समान नाइट्रोजन परमाणु से जुड़े अलग-अलग एल्काइल समूह होते हैं,जो उन्हें $\text{मध्यवयवी (metamers)}$ के रूप में परिभाषित करते हैं।

(C) एथेन का क्लोरीनीकरण मुक्त मूलक प्रतिस्थापन अभिक्रिया का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। यह तीन मुख्य चरणों में संपन्न होती है:
चरण $I$: प्रारंभन चरण,जहाँ क्लोरीन अणु प्रकाश $(hv)$ की उपस्थिति में समांगी विखंडन द्वारा क्लोरीन मुक्त मूलक बनाते हैं:
$Cl_2 \stackrel{hv}{\longrightarrow} 2 Cl^{\bullet}$
चरण $II$: संचरण चरण,जहाँ क्लोरीन मूलक एथेन के साथ अभिक्रिया करके एथिल मूलक बनाता है,जो फिर दूसरे क्लोरीन अणु के साथ अभिक्रिया करके क्लोरोएथेन बनाता है और क्लोरीन मूलक को पुनर्जीवित करता है:
$CH_3CH_3 + Cl^{\bullet} \longrightarrow CH_3CH_2^{\bullet} + HCl$
$CH_3CH_2^{\bullet} + Cl_2 \longrightarrow CH_3CH_2Cl + Cl^{\bullet}$
चरण $III$: समापन चरण,जहाँ मुक्त मूलक आपस में जुड़कर श्रृंखला अभिक्रिया को समाप्त करते हैं:
$CH_3CH_2^{\bullet} + Cl^{\bullet} \longrightarrow CH_3CH_2Cl$
$Cl^{\bullet} + Cl^{\bullet} \longrightarrow Cl_2$
$2 CH_3CH_2^{\bullet} \longrightarrow CH_3CH_2CH_2CH_3$

(D) बेंजीन में अनुनाद (resonance) के कारण सभी $C-C$ बंध लंबाई $1.39 \ Å$ के बराबर होती है। इसलिए,यह कथन कि बेंजीन में $1.54 \ Å$ और $1.34 \ Å$ की दो अलग-अलग बंध लंबाई होती है,गलत है।

(B) $H_2O_2$ डाइसोडियम हाइड्रोजन फॉस्फेट $(Na_2HPO_4)$ के साथ अभिक्रिया करके एक योगात्मक उत्पाद (addition product) बनाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$H_2O_2 + Na_2HPO_4 \rightarrow Na_2HPO_4 \cdot H_2O_2$
यह एक स्थायी योगात्मक उत्पाद है।

(A) दिया गया है,$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
हम जानते हैं कि $(t+\frac{1}{t})^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2$.
अतः,$t^2 + \frac{1}{t^2} = (t+\frac{1}{t})^2 - 2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^4+y^4 = x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2$.
दोनों पक्षों से $x^4+y^4$ घटाने पर,हमें मिलता है $0 = 2x^2y^2 - 2$,जिसका अर्थ है $x^2y^2 = 1$.
इसलिए,$y^2 = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(x^{-2})$.
$2y \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$2$ से भाग देने पर,हमें मिलता है $y \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^3}$.
दोनों पक्षों को $x^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^3 y \frac{dy}{dx} = -1$.

(A) दिया गया है,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln (x+y)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m}{x} - \frac{m+n}{x+y} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{m+n}{x+y} - \frac{n}{y} \right)$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{m(x+y) - x(m+n)}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{y(m+n) - n(x+y)}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{mx + my - mx - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my + ny - nx - ny}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{my - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my - nx}{y(x+y)} \right)$.
चूंकि $my - nx \neq 0$,हम इन पदों को काट सकते हैं:
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} \right)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(C) $Cl^{-}$ एक लुईस क्षार है,लुईस अम्ल नहीं,क्योंकि इसका अष्टक पूर्ण है और इसके पास दान करने के लिए इलेक्ट्रॉनों का एक एकाकी युग्म है।
$1.0 \times 10^{-8} \ M \ HCl$ के लिए,जल से प्राप्त $H^{+}$ के योगदान पर विचार करना आवश्यक है,जिसके परिणामस्वरूप $pH$ $7$ से थोड़ा कम (लगभग $6.98$) प्राप्त होता है।
$25^{\circ} C$ पर जल का आयनिक गुणनफल $(K_w)$ $1.0 \times 10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ होता है।
$AlCl_{3}$ अपूर्ण अष्टक के कारण लुईस अम्ल के रूप में कार्य करता है,जिसे ब्रोंस्टेड-लोरी सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।

(B) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए $V = 288 \pi$ से,हम त्रिज्या $r$ ज्ञात करते हैं:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow 216 = r^3 \Rightarrow r = 6 \text{ cm}$।
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$2 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 4 \pi (36) \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 144 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{2 \pi}{144 \pi} = \frac{1}{72} \text{ cm/s}$।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$.
हम हर को $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{x} \sqrt{1-x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
माना $\sqrt{x} = \sin \theta$. तब $x = \sin^2 \theta$,जिसका अर्थ है $dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}}$
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$I = \int 2 \, d\theta = 2\theta + C$.
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{x}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} \sqrt{x}$.
अतः,$I = 2 \sin^{-1} \sqrt{x} + C$.

(D) माना $I = \int \sec^2 x \operatorname{cosec}^4 x \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ और $\operatorname{cosec}^4 x = \frac{1}{\sin^4 x}$.
अतः,$I = \int \frac{1}{\sin^4 x \cos^2 x} \, dx$.
सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^4 x \cos^2 x} \, dx = \int \frac{\sin^2 x}{\sin^4 x \cos^2 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x \cos^2 x} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx + \int \frac{1}{\sin^4 x} \, dx$.
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx + \int \operatorname{cosec}^4 x \, dx$.
$I = \int (\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x) \, dx + \int \operatorname{cosec}^2 x (1 + \cot^2 x) \, dx$.
$I = \tan x - \cot x + \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx + \int \operatorname{cosec}^2 x \cot^2 x \, dx$.
$I = \tan x - \cot x - \cot x + \int \cot^2 x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
माना $u = \cot x$,तो $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \tan x - 2 \cot x - \int u^2 \, du = \tan x - 2 \cot x - \frac{u^3}{3} + C$.
$I = -\frac{1}{3} \cot^3 x + \tan x - 2 \cot x + C$.
दिए गए व्यंजक $-\frac{1}{3} \cot^3 x + k \tan x - 2 \cot x + C$ से तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1 = 0^{\circ}$ से $\theta_2 = 60^{\circ}$ के कोण पर घुमाने में किया गया कार्य $W$ है:
$W = MB(1 - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = \frac{MB}{2}$.
इससे,हमें $MB = 2W$ प्राप्त होता है।
सुई को $\theta = 60^{\circ}$ पर बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ है:
$\tau = MB \sin 60^{\circ}$.
$MB = 2W$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$\tau = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। रेखा $l_1$ पर कोई भी बिंदु $(1+t, -6+2t, 2+t)$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा $l_2$ पर कोई भी बिंदु $(2u, 4+u, 1+2u)$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,ये बिंदु समान होने चाहिए:
$1+t = 2u$ $(i)$
$-6+2t = 4+u$ (ii)
$2+t = 1+2u$ (iii)
$(i)$ से,$t = 2u-1$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$-6+2(2u-1) = 4+u$
$-6+4u-2 = 4+u$
$3u = 12 \Rightarrow u = 4$.
$u=4$ को $t=2u-1$ में रखने पर,हमें $t=2(4)-1 = 7$ प्राप्त होता है।
(iii) के साथ जाँच करने पर: $2+7 = 9$ और $1+2(4) = 9$. मान सुसंगत हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1+7, -6+2(7), 2+7) = (8, 8, 9)$ है।

(B) माना रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ हैं। चूँकि रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए रेखा द्वारा $x, y,$ और $z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण समान हैं। माना यह कोण $\alpha$ है।
अतः,$l = \cos \alpha, m = \cos \alpha, n = \cos \alpha$.
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$3 \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\alpha$ $y$-अक्ष के साथ बना कोण है,इसलिए $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (न्यून कोण के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
अतः,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) माना बिंदु $A(1,0,0)$,$B(0,1,0)$ और $C(1,1,1)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,इसलिए $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले सबसे छोटे गोले का केंद्र $\triangle ABC$ के केंद्रक (centroid) पर स्थित होता है।
केंद्र $C' = \left(\frac{1+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
त्रिज्या $R$,$C'$ से $A(1,0,0)$ की दूरी है:
$R^2 = \left(1-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(0-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(0-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
गोले का समीकरण $(x-\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 + (z-\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4y}{3} + \frac{4}{9} + z^2 - \frac{2z}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर: $3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 3 = 2$.
$3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 1 = 0$.

(A) माना $X$ $100$ उछालों में चितों की संख्या है। $X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 100$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जहाँ $X$ विषम है,अर्थात $P(X \in \{1, 3, 5, \ldots, 99\})$।
प्रायिकता $\sum_{k \in \{1, 3, \ldots, 99\}} \binom{100}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $p = q = \frac{1}{2}$,यह $\sum_{k \in \{1, 3, \ldots, 99\}} \binom{100}{k} (\frac{1}{2})^{100} = \frac{1}{2^{100}} \sum_{k \in \{1, 3, \ldots, 99\}} \binom{100}{k}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि विषम-क्रम वाले द्विपद गुणांकों का योग $\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \ldots = 2^{n-1}$ होता है।
$n = 100$ के लिए,यह योग $2^{100-1} = 2^{99}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{2^{100}} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(A) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
हमें अनुपात $\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)}$ दिया गया है।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{{ }^n C_r p^r q^{n-r}}{{ }^n C_{n-r} p^{n-r} q^r}$.
चूँकि ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$,व्यंजक इस प्रकार सरल होता है:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{p^r q^{n-r}}{p^{n-r} q^r} = \left(\frac{p}{q}\right)^{r - (n-r)} = \left(\frac{p}{q}\right)^{2r-n} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2r}$.
इस व्यंजक के $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,आधार $1$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{q}{p} = 1$,जिसका अर्थ है $q = p$।
चूँकि $p + q = 1$,हमें $p + p = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $2p = 1$ मिलता है।
इसलिए,$p = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है: तनाव $F = 22 ~N$,क्षेत्रफल $A = 0.02 ~cm^2 = 0.02 \times 10^{-4} ~m^2$,यंग मापांक $Y = 1.1 \times 10^{11} ~N/m^2$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.32$.
अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{22}{0.02 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}} = \frac{22}{2.2 \times 10^5} = 10^{-4}$.
पॉइसन अनुपात $\sigma = - \frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ है। पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l}$ होती है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
पार्श्व विकृति का मान रखने पर,$\frac{\Delta A}{A} = -2 \sigma \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में कमी का परिमाण $\Delta A = 2 \sigma A \frac{\Delta l}{l}$ है।
$\Delta A = 2 \times 0.32 \times 0.02 ~cm^2 \times 10^{-4} = 0.64 \times 0.02 \times 10^{-4} ~cm^2 = 0.0128 \times 10^{-4} ~cm^2 = 1.28 \times 10^{-6} ~cm^2$.

(B) $Cu-Al$ उत्प्रेरक की उपस्थिति में $450^{\circ}C$ पर $BCl_3$ की $H_2$ के साथ अभिक्रिया से डाइबोरेन $(B_2H_6)$ प्राप्त होता है,जो उत्पाद $X$ है:
$2BCl_3 + 6H_2 \xrightarrow{Cu-Al, 450^{\circ}C} B_2H_6 + 6HCl$
डाइबोरेन $(B_2H_6)$ का $CH_3Cl$ के साथ मिथाइलेशन होने पर टेट्रामिथाइलडाइबोरेन बनता है,जो $Z$ है:
$B_2H_6 + 4CH_3Cl \rightarrow (CH_3)_4B_2H_2 + 4HCl$
अतः,$Z$ का मान $(CH_3)_4B_2H_2$ है।

(C) $N_2H_4$ में $N$ की प्रारंभिक ऑक्सीकरण अवस्था इस प्रकार है: $2x + 4(+1) = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
चूंकि $N_2H_4$ का $1 \ mole$,$10 \ moles$ इलेक्ट्रॉन खोता है,इसलिए ऑक्सीकरण संख्या में कुल वृद्धि $10$ है।
मान लीजिए $Z$ में $N$ की ऑक्सीकरण अवस्था $y$ है। चूंकि $2$ नाइट्रोजन परमाणु हैं,$Z$ में $N$ की कुल ऑक्सीकरण अवस्था $2y$ है।
ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन $2y - (-4) = +10$ है।
$2y + 4 = 10 \implies 2y = 6 \implies y = +3$.
अतः,$Z$ में नाइट्रोजन की ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ है।

(C) $NaOH$ का $Na$ में अपचयन एक अत्यधिक ऊष्माशोषी और कठिन प्रक्रिया है क्योंकि $Na$ एक बहुत ही प्रबल अपचायक है। दिए गए विकल्पों में से,$C$ (कार्बन) उच्च तापमान पर $NaOH$ को $Na$ में अपचयित करने में सक्षम है। अभिक्रिया इस प्रकार है: $2NaOH + 2C \rightarrow 2Na + 2CO + H_2$.