Direction Sense Test Questions in Hindi

(C) मान लीजिए शुरुआती बिंदु $O(0,0)$ है।
$1$. आदमी पूर्व की ओर $1 \, km$ चलता है,बिंदु $A(1, 0)$ पर पहुँचता है।
$2$. वह दक्षिण की ओर मुड़ता है और $5 \, km$ चलता है,बिंदु $B(1, -5)$ पर पहुँचता है।
$3$. वह फिर से पूर्व की ओर मुड़ता है और $2 \, km$ चलता है,बिंदु $C(1+2, -5) = (3, -5)$ पर पहुँचता है।
$4$. वह उत्तर की ओर मुड़ता है और $9 \, km$ चलता है,बिंदु $D(3, -5+9) = (3, 4)$ पर पहुँचता है।
$5$. शुरुआती बिंदु $O(0,0)$ से अंतिम बिंदु $D(3, 4)$ तक की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी गई है: $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, km.$

(A) मान लीजिए कि शुरुआती बिंदु $X$ है। व्यक्ति $X$ से $Y$ तक $80 \, m$ चलता है।
फिर,वह दाएं मुड़ता है और बिंदु $A$ तक $50 \, m$ चलता है।
इसके बाद,वह फिर से दाएं मुड़ता है और बिंदु $B$ तक $70 \, m$ चलता है।
अंत में,वह दाएं मुड़ता है और बिंदु $C$ तक $50 \, m$ चलता है।
चूंकि यह पथ एक आयत बनाता है,इसलिए शुरुआती बिंदु $X$ से अंतिम बिंदु $C$ तक की दूरी प्रारंभिक क्षैतिज दूरी $XY$ और विपरीत दिशा में तय की गई क्षैतिज दूरी $BC$ के बीच का अंतर है।
दूरी $= XY - BC = 80 \, m - 70 \, m = 10 \, m$.

(B) मान लीजिए कि शुरुआती बिंदु (मेरा घर) $O$ है।
$1$. लक्ष्मण $15 \, km$ पश्चिम की ओर जाकर बिंदु $A$ पर पहुँचता है।
$2$. वह बाएं (दक्षिण) मुड़ता है और $20 \, km$ चलकर बिंदु $B$ पर पहुँचता है।
$3$. वह पूर्व की ओर मुड़ता है और $25 \, km$ चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है।
$4$. अंत में,वह बाएं (उत्तर) मुड़ता है और $20 \, km$ चलकर बिंदु $D$ पर पहुँचता है।
चूंकि दक्षिण दिशा में तय की गई दूरी $(20 \, km)$ और उत्तर दिशा में तय की गई दूरी $(20 \, km)$ बराबर है,इसलिए बिंदु $D$,बिंदु $A$ के समान क्षैतिज रेखा पर स्थित है।
$A$ से $C$ तक की क्षैतिज दूरी $25 \, km$ है। चूंकि $A$,$O$ से $15 \, km$ पश्चिम में है,इसलिए $O$ से $D$ की कुल दूरी $25 \, km - 15 \, km = 10 \, km$ घर से पूर्व की ओर होगी।

(C) मान लीजिए कि घर बिंदु $A$ पर है।
$1$. लोकेश बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए उत्तर दिशा में $15 \, km$ चलता है।
$2$. वह पश्चिम की ओर मुड़ता है और बिंदु $C$ तक पहुँचने के लिए $10 \, km$ चलता है।
$3$. वह दक्षिण की ओर मुड़ता है और बिंदु $D$ तक पहुँचने के लिए $5 \, km$ चलता है।
$4$. अंत में,वह पूर्व की ओर मुड़ता है और बिंदु $E$ तक पहुँचने के लिए $10 \, km$ चलता है।
ऊर्ध्वाधर दूरी की तुलना करने पर,वह $15 \, km$ उत्तर और $5 \, km$ दक्षिण की ओर गया,इसलिए उसका कुल विस्थापन उसके घर से $15 - 5 = 10 \, km$ उत्तर दिशा में है।
चूँकि क्षैतिज गतियाँ ($10 \, km$ पश्चिम और $10 \, km$ पूर्व) एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं,इसलिए वह वर्तमान में अपने घर से $10 \, km$ उत्तर दिशा में है।

(A) मान लीजिए राधिका का घर बिंदु $A$ पर है।
$1$. वह बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए $50 \,m$ दक्षिण की ओर चलती है।
$2$. वह बाएं (पूर्व) मुड़ती है और बिंदु $C$ तक पहुँचने के लिए $20 \,m$ चलती है।
$3$. वह उत्तर की ओर मुड़ती है और बिंदु $D$ तक पहुँचने के लिए $30 \,m$ चलती है।
$4$. अब,वह बिंदु $A$ पर स्थित अपने घर की ओर चलना शुरू करती है। बिंदु $D$ से $A$ की दिशा उत्तर-पश्चिम है।

(A) मान लीजिए शुरुआती बिंदु $O$ है।
$1$. $A$ सामने की ओर $10 \, m$ चलकर बिंदु $P$ पर पहुँचता है।
$2$. $A$ दाईं ओर मुड़ता है और $10 \, m$ चलकर बिंदु $Q$ पर पहुँचता है।
$3$. $A$ बाईं ओर मुड़ता है और $5 \, m$ चलकर बिंदु $R$ पर पहुँचता है।
$4$. $A$ बाईं ओर मुड़ता है और $15 \, m$ चलकर बिंदु $S$ पर पहुँचता है।
$5$. $A$ बाईं ओर मुड़ता है और $15 \, m$ चलकर बिंदु $T$ पर पहुँचता है।
$O$ से $T$ की दूरी ज्ञात करने के लिए:
चित्र के अनुसार,शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु की दूरी $5 \, m$ है।

(D) मान लीजिए शुरुआती बिंदु $A$ है।
$1$. रसिक $20 \, m$ उत्तर की ओर चलकर बिंदु $B$ पर पहुँचता है।
$2$. वह दाएं मुड़कर $30 \, m$ पूर्व की ओर चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है।
$3$. वह दाएं मुड़कर $35 \, m$ दक्षिण की ओर चलकर बिंदु $D$ पर पहुँचता है।
$4$. वह बाएं मुड़कर $15 \, m$ पूर्व की ओर चलकर बिंदु $E$ पर पहुँचता है।
$5$. वह बाएं मुड़कर $15 \, m$ उत्तर की ओर चलकर बिंदु $F$ पर पहुँचता है।
$A$ से $F$ की दूरी ज्ञात करने के लिए:
कुल क्षैतिज दूरी $= BC + DE = 30 \, m + 15 \, m = 45 \, m$.
कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $= 20 \, m - 35 \, m + 15 \, m = 0 \, m$.
अतः,बिंदु $F$,बिंदु $A$ से ठीक $45 \, m$ पूर्व दिशा में है।

(B) माना शुरुआती बिंदु $O(0,0)$ है।
$1$. बच्चा पूर्व दिशा में $90 \, m$ चलकर बिंदु $A(90, 0)$ पर पहुँचता है।
$2$. वह दाईं ओर (दक्षिण) मुड़कर $20 \, m$ चलकर बिंदु $B(90, -20)$ पर पहुँचता है।
$3$. वह फिर से दाईं ओर (पश्चिम) मुड़कर $30 \, m$ चलकर बिंदु $C(60, -20)$ (चाचा का घर) पर पहुँचता है।
$4$. वहां से,वह $100 \, m$ उत्तर दिशा में चलकर बिंदु $D(60, 80)$ पर पहुँचता है।
$5$. शुरुआती बिंदु $O(0,0)$ से अंतिम बिंदु $D(60, 80)$ के बीच की दूरी इस प्रकार है:
$\text{दूरी }= \sqrt{(60 - 0)^2 + (80 - 0)^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \, m$.

(D) आदित्य के घर का दरवाजा पूर्व की ओर है,इसलिए घर का पिछला हिस्सा पश्चिम की ओर है। वह पिछले हिस्से से चलना शुरू करता है,जिसका अर्थ है कि वह पश्चिम की ओर चलता है।
$1$. वह शुरुआती बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए पश्चिम की ओर $50 \, m$ चलता है।
$2$. वह दाईं ओर (उत्तर) मुड़ता है और बिंदु $C$ तक पहुँचने के लिए $50 \, m$ चलता है।
$3$. वह बाईं ओर (पश्चिम) मुड़ता है और अंतिम बिंदु $D$ तक पहुँचने के लिए $25 \, m$ चलता है।
अंतिम स्थिति $D$ की तुलना शुरुआती बिंदु $A$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $D$,$A$ के उत्तर-पश्चिम दिशा में स्थित है।

(A) मान लीजिए कि दो बसें $A$ और $B$ हैं,जो $150 \, km$ लंबी मुख्य सड़क के विपरीत सिरों से शुरू होती हैं।
बस $A$ मुख्य सड़क पर $25 \, km$ चलती है,दाईं ओर मुड़ती है और $15 \, km$ चलती है,बाईं ओर मुड़ती है और $25 \, km$ चलती है,और फिर मुख्य सड़क पर वापस आने के लिए बाईं ओर मुड़ती है।
बस $A$ द्वारा मुख्य सड़क पर तय की गई क्षैतिज दूरी $25 \, km$ (प्रारंभिक) $+ 25 \, km$ (मोड़ के बाद) $= 50 \, km$ है।
बस $B$ विपरीत सिरे से मुख्य सड़क पर $35 \, km$ चली है।
दोनों बसों द्वारा मुख्य सड़क पर तय की गई कुल दूरी $50 \, km + 35 \, km = 85 \, km$ है।
मुख्य सड़क पर दोनों बसों के बीच शेष दूरी $150 \, km - 85 \, km = 65 \, km$ है।

(C) मान लीजिए $X$ और $Y$ के प्रारंभिक स्थान क्रमशः $P$ और $Q$ हैं,जहाँ $PQ = 200 \, m$ है।
$Y$ रास्ते पर $60 \, m$ चलता है,फिर बाईं ओर $(20 \, m)$,फिर दाईं ओर $(40 \, m)$,और फिर से दाईं ओर $(20 \, m)$ मुड़कर मूल सड़क पर वापस आ जाता है।
$Y$ द्वारा तय की गई कुल क्षैतिज (horizontal) दूरी $60 + 40 = 100 \, m$ है।
$Y$ द्वारा तय की गई कुल दूरी $60 + 20 + 40 + 20 = 140 \, m$ है।
चूंकि $X$ और $Y$ समान गति से चलते हैं,इसलिए $X$ भी उतने ही समय में $140 \, m$ की कुल दूरी तय करता है।
$Y$ अब $Q$ से $P$ की ओर $100 \, m$ की दूरी पर है।
$X$ अब $P$ से $Q$ की ओर $140 \, m$ की दूरी पर है।
$X$ और $Y$ के बीच की दूरी $= |140 - 100| = 40 \, m$ है।

(D) मान लीजिए कि हम स्थितियों को एक निर्देशांक तल पर दर्शाते हैं जहाँ $B$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
चूँकि $A, B$ के दक्षिण में है,इसलिए $A$ की स्थिति $(0, -y)$ है जहाँ $y > 0$ है।
चूँकि $C, B$ के पूर्व में है,इसलिए $C$ की स्थिति $(x, 0)$ है जहाँ $x > 0$ है।
$C$ के सापेक्ष $A$ की दिशा ज्ञात करने के लिए,हम $C$ से $A$ की ओर का सदिश देखते हैं,जो $(0-x, -y-0) = (-x, -y)$ है।
चूँकि दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं,इसलिए दिशा दक्षिण-पश्चिम होगी।

(A) मान लीजिए कि $B$ निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु $(0,0)$ पर स्थित है।
चूंकि $A$,$B$ के दक्षिण-पश्चिम में $40 \, m$ पर है,इसकी स्थिति को $A = (-40 \sin 45^{\circ}, -40 \cos 45^{\circ}) = (-20\sqrt{2}, -20\sqrt{2})$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि $C$,$B$ के दक्षिण-पूर्व में $40 \, m$ पर है,इसकी स्थिति को $C = (40 \sin 45^{\circ}, -40 \cos 45^{\circ}) = (20\sqrt{2}, -20\sqrt{2})$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$A$ के सापेक्ष $C$ की दिशा ज्ञात करने के लिए,हम सदिश $\vec{AC} = C - A = (20\sqrt{2} - (-20\sqrt{2}), -20\sqrt{2} - (-20\sqrt{2})) = (40\sqrt{2}, 0)$ को देखते हैं।
यहाँ $y$-निर्देशांक का अंतर $0$ है और $x$-निर्देशांक का अंतर धनात्मक है,इसलिए $C$,$A$ के ठीक पूर्व दिशा में स्थित है।

(C) $1$. दी गई जानकारी के अनुसार,$Q, P$ के दक्षिण-पश्चिम में है।
$2$. $R, Q$ के पूर्व में और $P$ के दक्षिण-पूर्व में है।
$3$. $T, R$ के उत्तर में है और $QP$ की रेखा में स्थित है।
$4$. ज्यामितीय व्यवस्था को देखने पर,$T, P$ के उत्तर-पूर्व दिशा में स्थित है।

(A) दिया गया है कि $OP = 300 \, km$ और $OQ = 400 \, km$ है। चूँकि $O$ मूल बिंदु है और दिशाएँ लंबवत हैं,इसलिए $\triangle POQ$ एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $PQ$ की लंबाई है:
$PQ = \sqrt{OP^2 + OQ^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, km$।
चूँकि $R, PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR$ की दूरी $PQ$ की आधी होगी:
$QR = \frac{PQ}{2} = \frac{500}{2} = 250 \, km$।

(A) रवि पूर्व में स्थित अपने घर से निकलता है और चौराहे की ओर (पश्चिम दिशा में) बढ़ता है।
चौराहे पर,यदि वह पश्चिम की ओर मुख करके खड़ा है:
$1$. उसके बाईं ओर की सड़क दक्षिण की ओर जाती है (जहाँ थिएटर स्थित है)।
$2$. सामने की सीधी सड़क पश्चिम की ओर जाती है (जहाँ अस्पताल स्थित है)।
$3$. इसलिए,शेष दिशा,जो उसके दाईं ओर है,उत्तर दिशा होनी चाहिए।
अतः,विश्वविद्यालय उत्तर दिशा में है।

(D) दिया गया है कि $A, D$ के बाईं ओर है $(AD)$ और $A, E$ के दाईं ओर है $(EA)$,इसलिए क्रम $EAD$ बनता है।
दिया गया है कि $C, X$ के दाईं ओर है $(XC)$,$C, B$ के बाईं ओर है $(CB)$,और $B, F$ के बाईं ओर है $(BF)$,इसलिए क्रम $XCBF$ बनता है।
इन दोनों को जोड़ने पर,छह सदस्यों के लिए दो संभावित व्यवस्थाएं मिलती हैं: $EADXCBF$ या $XCBFEAD$।
$EADXCBF$ व्यवस्था में,बीच के सदस्य $D$ और $X$ हैं।
$XCBFEAD$ व्यवस्था में,बीच के सदस्य $B$ और $F$ हैं।
हालाँकि,प्रश्न के अनुसार यदि क्रम $E, A, D, C, B, F$ है,तो $D$ और $C$ बीच में आते हैं।
अतः,$D$ और $C$ सही उत्तर है।

(B) ताश के खेल में,चार खिलाड़ी एक मेज के चारों ओर केंद्र की ओर मुख करके बैठते हैं।
दिया गया है कि $D$ का मुख उत्तर की ओर है,जिसका अर्थ है कि $D$ दक्षिण स्थान पर बैठा है और केंद्र (उत्तर) की ओर देख रहा है।
$A$ का मुख पश्चिम की ओर है,जिसका अर्थ है कि $A$ पूर्व स्थान पर बैठा है और केंद्र (पश्चिम) की ओर देख रहा है।
चूंकि $A$ और $B$ पार्टनर हैं,वे एक-दूसरे के विपरीत बैठते हैं। इसलिए,$B$ पश्चिम स्थान पर बैठता है और उसका मुख पूर्व की ओर है।
चूंकि $D$ और $C$ दूसरी जोड़ी हैं,इसलिए $C$ उत्तर स्थान पर बैठता है और उसका मुख दक्षिण की ओर है।
अतः,$C$ का मुख दक्षिण दिशा की ओर है।

(A) $1$. $R$ पश्चिम दिशा की ओर मुख करके बैठा है।
$2$. $S, R$ के दाईं ओर है। कैरम के खेल में,खिलाड़ी अपने साझेदार के सामने बैठते हैं। यदि $R$ पश्चिम की ओर मुख करके बैठा है,तो उसके दाईं ओर बैठा व्यक्ति $(S)$ दक्षिण की ओर मुख करके बैठेगा।
$3$. चूंकि $Q, S$ का साझेदार है,इसलिए $Q, S$ के ठीक सामने बैठेगा।
$4$. यदि $S$ का मुख दक्षिण दिशा में है,तो $Q$ का मुख उसकी विपरीत दिशा यानी उत्तर दिशा में होगा।

(D) दी गई जानकारी के आधार पर नगरों की स्थिति को पश्चिम से पूर्व की ओर इस प्रकार दर्शाते हैं:
$1$. अकरम $(A)$,परंदा $(P)$ के पश्चिम में है,इसलिए क्रम $A, P$ है।
$2$. तोखड़ा $(T)$,अकरम के पूर्व में है लेकिन परंदा के पश्चिम में है,इसलिए क्रम $A, T, P$ है।
$3$. काकरान $(K)$,बोपरी $(B)$ के पूर्व में है लेकिन तोखड़ा और अकरम के पश्चिम में है। चूँकि काकरान अकरम के पश्चिम में है,इसलिए क्रम $B, K, A$ है।
$4$. इन सबको मिलाने पर,हमें क्रम प्राप्त होता है: $B, K, A, T, P$।
इस क्रम में,$B$ (बोपरी) सबसे बाईं ओर स्थित है,जो सबसे पश्चिम दिशा को दर्शाता है।

(D) मान लीजिए कि पाँच लड़के $D$ (दीपक),$S$ (समीर),$T$ (तुषार),$Sh$ (शैलेंद्र),और $Su$ (सुशील) हैं।
चूंकि वे पूर्व की ओर मुख करके खड़े हैं,इसलिए उनका बायां उत्तर की ओर और दायां दक्षिण की ओर है।
$1$. दीपक,$S, T,$ और $Sh$ के बाईं ओर है: इसका अर्थ है कि $D$ सबसे बाईं स्थिति पर है।
$2$. $S, T,$ और $Sh$,$Su$ के बाईं ओर हैं: इसका अर्थ है कि $Su$ सबसे दाईं स्थिति पर है।
$3$. $Sh$,$S$ और $T$ के बीच में है: क्रम $S, Sh, T$ है।
$4$. इन सबको मिलाने पर,बाएं से दाएं का क्रम $D, S, Sh, T, Su$ प्राप्त होता है।
$5$. दिया गया है कि $T$ बाएं से चौथे स्थान पर है,अतः $D(1), S(2), Sh(3), T(4), Su(5)$ व्यवस्था सभी शर्तों को पूरा करती है।
$6$. दाईं ओर से गिनने पर: $Su$ पहला है,$T$ दूसरा है,$Sh$ तीसरा है,और $S$ चौथा है।
अतः,समीर दाईं ओर से चौथे स्थान पर है।

(A) आइए हम स्थितियों को एक निर्देशांक तल पर दर्शाते हैं जहाँ उत्तर धनात्मक $y$-अक्ष है और पूर्व धनात्मक $x$-अक्ष है।
$1$. मान लीजिए अतुल मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$2$. कुणाल,अतुल के दाईं ओर (पूर्व) $40 \, \text{मीटर}$ पर है,इसलिए कुणाल $(40, 0)$ पर है।
$3$. दिनेश,कुणाल के दक्षिण में $60 \, \text{मीटर}$ पर है,इसलिए दिनेश $(40, -60)$ पर है।
$4$. नितिन,अतुल के पश्चिम में $25 \, \text{मीटर}$ पर है,इसलिए नितिन $(-25, 0)$ पर है।
$5$. प्रशांत,दिनेश के उत्तर में $90 \, \text{मीटर}$ पर है,इसलिए प्रशांत $(40, -60 + 90) = (40, 30)$ पर है।
अब,कुणाल के बाईं ओर अतुल $(0, 0)$ है।
हमें यह पता लगाना है कि अतुल के उत्तर-पूर्व में कौन है।
प्रशांत $(40, 30)$ पर है,जो अतुल के सापेक्ष उत्तर-पूर्व दिशा में है। अतः सही उत्तर प्रशांत है।

(C) तय की गई कुल दूरी ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक क्रमिक बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी का योग करेंगे:
$1$. नितिन से अतुल की दूरी $(NA)$ $= 25 \, m$.
$2$. अतुल से कुणाल की दूरी $(AK)$ $= 40 \, m$.
$3$. कुणाल से दिनेश की दूरी $(KD)$ $= 60 \, m$.
$4$. दिनेश से प्रशांत की दूरी $(DP)$ $= 90 \, m$.
कुल दूरी $= NA + AK + KD + DP = 25 + 40 + 60 + 90 = 215 \, m$.

(D) $1$. चार स्थान उत्तर,दक्षिण,पूर्व और पश्चिम हैं।
$2$. कोई भी महिला पूर्व की ओर मुख करके नहीं बैठी है,जिसका अर्थ है कि एक पुरुष पूर्व की ओर मुख करके बैठा है।
$3$. चूंकि एक-दूसरे के विपरीत बैठे व्यक्ति समान लिंग के नहीं हैं,इसलिए पूर्व की ओर मुख करके बैठे पुरुष के विपरीत बैठी व्यक्ति एक महिला होनी चाहिए। अतः,यह महिला पश्चिम की ओर मुख करके बैठी है।
$4$. एक पुरुष दक्षिण की ओर मुख करके बैठा है। उसके विपरीत बैठी व्यक्ति एक महिला होनी चाहिए। अतः,यह महिला उत्तर की ओर मुख करके बैठी है।
$5$. इस प्रकार,दोनों महिलाएं उत्तर और पश्चिम दिशा की ओर मुख करके बैठी हैं।

(C) मान लीजिए कि स्कूल मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
चूंकि डाकघर स्कूल के पूर्व में है,इसलिए इसकी स्थिति $(x, 0)$ है जहाँ $x > 0$ है।
चूंकि मेरा घर स्कूल के दक्षिण में है,इसलिए इसकी स्थिति $(0, -y)$ है जहाँ $y > 0$ है।
बाजार डाकघर के उत्तर में है,इसलिए इसकी स्थिति $(x, z)$ है जहाँ $z > 0$ है।
यह दिया गया है कि बाजार की डाकघर से दूरी,मेरे घर की स्कूल से दूरी के बराबर है,इसलिए $z = y$ है।
अतः,बाजार की स्थिति $(x, y)$ है।
चूंकि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए बाजार स्कूल के सापेक्ष प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,जो उत्तर-पूर्व दिशा को दर्शाता है।

(D) मान लीजिए कि बस की प्रारंभिक दिशा $x$ है।
$1$. बस चलना शुरू करती है और दाईं ओर मुड़ती है (नई दिशा: $x + 90^{\circ}$)।
$2$. यह फिर से दाईं ओर मुड़ती है (नई दिशा: $x + 180^{\circ}$)।
$3$. यह बाईं ओर मुड़ती है (नई दिशा: $x + 180^{\circ} - 90^{\circ} = x + 90^{\circ}$)।
यह दिया गया है कि अंतिम दिशा उत्तर ($0^{\circ}$ या $360^{\circ}$) है,इसलिए $x + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ (या $0^{\circ}$),जिसका अर्थ है कि $x = 270^{\circ}$।
$270^{\circ}$ की दिशा पश्चिम होती है।
अतः,जब बस बस स्टॉप से निकली थी,तब उसका मुख पश्चिम दिशा की ओर था।

(D) मान लीजिए कि शुरुआती दिशा उत्तर है। मार्ग इस प्रकार है:
$1$. घर से शुरू करके $2 \, km$ उत्तर की ओर चलें।
$2$. दाईं ओर (पूर्व) मुड़ें और $1 \, km$ चलें।
$3$. फिर से दाईं ओर (दक्षिण) मुड़ें और $1 \, km$ चलें।
इस स्थिति में,घर के सापेक्ष अंतिम स्थान उत्तर-पूर्व है।
चूंकि वास्तविक अंतिम स्थान उत्तर-पश्चिम है,इसलिए हमें पूरे मार्ग को $90^{\circ}$ वामावर्त (घड़ी की विपरीत दिशा में) घुमाना होगा।
शुरुआती दिशा (उत्तर) को $90^{\circ}$ वामावर्त घुमाने पर पश्चिम दिशा प्राप्त होती है।
अतः,व्यक्ति ने शुरुआत में पश्चिम दिशा में यात्रा की थी।

(C) मान लीजिए कि स्कूल कार्तीय तल पर मूल बिंदु $(0,0)$ पर स्थित है।
$1$. डाकघर स्कूल के पूर्व में है,इसलिए इसकी स्थिति $(x, 0)$ है जहाँ $x > 0$ है।
$2$. मेरा घर स्कूल के दक्षिण में है,इसलिए इसकी स्थिति $(0, -y)$ है जहाँ $y > 0$ है।
$3$. बाजार डाकघर के उत्तर में है,इसलिए इसकी स्थिति $(x, y')$ है जहाँ $y' > 0$ है।
$4$. चूँकि बाजार की डाकघर से दूरी,मेरे घर की स्कूल से दूरी के बराबर है,इसलिए $y' = y$ होगा।
$5$. अतः,बाजार की स्थिति $(x, y)$ है।
$6$. स्कूल $(0,0)$ के सापेक्ष,$(x, y)$ स्थिति उत्तर-पूर्व दिशा में है।

(B) मान लीजिए कि डाकिये की प्रारंभिक स्थिति $P$ है और डाकघर $O$ पर है। डाकघर $P$ के उत्तर में $100 \, m$ की दूरी पर है।
$1$. डाकिया उत्तर की ओर अपने रास्ते से बाईं ओर मुड़ता है और शांतिविला $(S)$ तक पहुँचने के लिए पश्चिम में $50 \, m$ चलता है।
$2$. $S$ से,वह उसी दिशा (पश्चिम) में $40 \, m$ और चलकर बिंदु $A$ पर पहुँचता है।
$3$. बिंदु $A$ पर,वह दाईं ओर (उत्तर) मुड़ता है और अपनी अंतिम स्थिति $F$ तक पहुँचने के लिए $100 \, m$ चलता है।
$4$. डाकघर $(O)$ और अंतिम स्थिति $(F)$ के बीच की क्षैतिज दूरी पश्चिम दिशा में तय की गई दूरी का योग है,जो $50 \, m + 40 \, m = 90 \, m$ है।
$5$. चूंकि वह $A$ से उत्तर की ओर $100 \, m$ चला और डाकघर रेखा $PS$ के उत्तर में $100 \, m$ की दूरी पर है,इसलिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य हो जाता है।
$6$. अतः,डाकघर और डाकिये के बीच की दूरी $90 \, m$ है।

(B) मान लीजिए शुरुआती बिंदु $A$ है। लड़का उत्तर दिशा में बिंदु $B$ तक साइकिल चलाता है।
फिर वह बाईं ओर मुड़ता है और $1 \, km$ चलकर बिंदु $C$ पर पहुँचता है।
फिर वह दोबारा बाईं ओर मुड़ता है और $2 \, km$ चलकर बिंदु $D$ पर पहुँचता है।
प्रश्न के अनुसार,$D$,$A$ से $1 \, km$ पश्चिम में है।
इसका अर्थ है कि दूरी $CD$,दूरी $AB$ के बराबर होनी चाहिए क्योंकि यह पथ एक आयत $ABCD$ बनाता है जहाँ $BC = AD = 1 \, km$ है।
अतः,शुरू में उत्तर दिशा में तय की गई दूरी $AB = CD = 2 \, km$ है।

(C) मानक दिक्सूचक (compass) में,दिशाएँ $45^\circ$ या $90^\circ$ के कोण पर होती हैं।
दी गई समस्या के अनुसार:
$1$. 'दक्षिण-पूर्व' को 'पूर्व' कहा गया है ($45^\circ$ वामावर्त दिशा में बदलाव)।
$2$. 'उत्तर-पश्चिम' को 'पश्चिम' कहा गया है ($45^\circ$ वामावर्त दिशा में बदलाव)।
$3$. 'दक्षिण-पश्चिम' को 'दक्षिण' कहा गया है ($45^\circ$ वामावर्त दिशा में बदलाव)।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,प्रत्येक दिशा $45^\circ$ वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में स्थानांतरित हो रही है।
इसलिए,'उत्तर' दिशा $45^\circ$ वामावर्त घूमकर 'उत्तर-पश्चिम' बन जाएगी।

(C) मूल दिशाएँ घड़ी की दिशा में इस प्रकार हैं: उत्तर,उत्तर-पूर्व,पूर्व,दक्षिण-पूर्व,दक्षिण,दक्षिण-पश्चिम,पश्चिम,उत्तर-पश्चिम।
प्रश्न के अनुसार,दक्षिण-पूर्व उत्तर बन जाता है। इसका अर्थ है कि दिशा $135^{\circ}$ वामावर्त (घड़ी की विपरीत दिशा) में स्थानांतरित हो गई है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,प्रत्येक दिशा $135^{\circ}$ वामावर्त स्थानांतरित होगी।
यह पता लगाने के लिए कि पश्चिम क्या बनेगा,हम पश्चिम से $135^{\circ}$ वामावर्त दिशा में जाएंगे।
पश्चिम से $90^{\circ}$ वामावर्त दक्षिण है,और अतिरिक्त $45^{\circ}$ वामावर्त दक्षिण-पूर्व है।
अतः,पश्चिम दक्षिण-पूर्व बन जाएगा।

(B) प्रारंभ में,दिशाएँ इस प्रकार थीं: उत्तर $(N)$,दक्षिण $(S)$,पूर्व $(E)$,और पश्चिम $(W)$।
दुर्घटना के बाद,जो सूचक पूर्व दिशा दिखा रहा था,वह अब दक्षिण दिशा दिखा रहा है।
इसका अर्थ है कि पूरा खंभा $90^{\circ}$ घड़ी की दिशा (clockwise) में घूम गया है।
परिणामस्वरूप,नई स्थितियाँ इस प्रकार हैं: उत्तर,पूर्व बन जाता है; पूर्व,दक्षिण बन जाता है; दक्षिण,पश्चिम बन जाता है; और पश्चिम,उत्तर बन जाता है।
यात्री ने सोचा कि वह पश्चिम की ओर जा रहा है,लेकिन चूंकि खंभा $90^{\circ}$ घूम गया है,इसलिए जो दिशा अब खंभे पर 'पश्चिम' दर्शा रही है,वह वास्तव में मूल 'दक्षिण' दिशा है।
अतः,यात्री वास्तव में दक्षिण दिशा में यात्रा कर रहा था।

(D) $4:30$ बजे,घड़ी में मिनट की सुई $6$ पर (दक्षिण दिशा में) होती है और घंटे की सुई $4$ और $5$ के बीच (दक्षिण-पूर्व दिशा में) होती है।
यदि मिनट की सुई को घुमाकर पूर्व दिशा में लाया जाए (जो दक्षिण से $90^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर प्राप्त होता है),तो घंटे की सुई को भी उसकी मूल स्थिति (दक्षिण-पूर्व) से $90^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाना होगा।
दक्षिण-पूर्व से $90^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर यह उत्तर-पूर्व दिशा में आ जाती है।
अतः,घंटे की सुई उत्तर-पूर्व दिशा में होगी।

(C) $12$ बजे दोपहर में,मिनट की सुई और घंटे की सुई दोनों एक ही दिशा में होती हैं,जो कि उत्तर-पूर्व दी गई है।
$1:30 \,p.m.$ पर,मिनट की सुई $6$ पर होती है और घंटे की सुई $1$ और $2$ के बीच होती है।
यदि $12$ की स्थिति उत्तर-पूर्व है,तो $3$ की स्थिति दक्षिण-पूर्व,$6$ की स्थिति दक्षिण-पश्चिम और $9$ की स्थिति उत्तर-पश्चिम होगी।
$1:30 \,p.m.$ पर घंटे की सुई $1$ और $2$ के बीच होती है। चूंकि $12$ उत्तर-पूर्व है और $3$ दक्षिण-पूर्व है,इसलिए $1$ और $2$ की स्थिति उत्तर-पूर्व और दक्षिण-पूर्व के बीच आती है।
विशेष रूप से,$1:30 \,p.m.$ पर घंटे की सुई पूर्व दिशा की ओर इंगित करती है।

(C) $8.45 \, p.m.$ पर,एक सामान्य घड़ी की मिनट की सुई $9$ बजे की स्थिति (पश्चिम) की ओर इंगित करती है।
यदि घड़ी को $135^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाया जाता है,तो जो स्थिति मूल रूप से पश्चिम $(270^{\circ})$ पर थी,वह $270^{\circ} - 135^{\circ} = 135^{\circ}$ पर आ जाएगी।
इस प्रकार,मिनट की सुई दक्षिण-पूर्व दिशा की ओर इंगित करेगी।

(C) मान लीजिए कि दो पंक्तियाँ हैं: पंक्ति-$1$ (उत्तर मुखी) और पंक्ति-$2$ (दक्षिण मुखी)। प्रत्येक पंक्ति में $3$ फ्लैट हैं।
(iii) से,$R$ दक्षिण मुखी पंक्ति में है और $T$ उत्तर मुखी पंक्ति में है।
(iii) से,$R$,$U$ के बगल में है। चूंकि $R$ दक्षिण मुखी है,इसलिए $U$ भी दक्षिण मुखी होना चाहिए।
(ii) से,$S$ और $U$ तिरछे विपरीत हैं। यदि $U$ दक्षिण मुखी है,तो $S$ उत्तर मुखी होना चाहिए।
चूंकि $Q$ उत्तर मुखी है $(i)$,इसलिए उत्तर मुखी फ्लैट $Q, S, T$ हैं।
शेष फ्लैट $P, R, U$ दक्षिण मुखी होने चाहिए।
अतः,दक्षिण मुखी फ्लैटों का संयोजन $U, R, P$ है।

(A) मान लीजिए कि दो पंक्तियाँ हैं: पंक्ति $1$ (उत्तर मुखी) और पंक्ति $2$ (दक्षिण मुखी)।
चूंकि $6$ फ्लैट हैं,इसलिए प्रत्येक पंक्ति में $3$ फ्लैट हैं।
(iii) से,$R$ दक्षिण मुखी पंक्ति (पंक्ति $2$) में है और $U$ के बगल में है। चूंकि $S$ और $U$ विकर्ण रूप से विपरीत हैं (ii),यदि $U$ पंक्ति $2$ में है,तो $S$ को पंक्ति $1$ में होना चाहिए।
$T$ उत्तर मुखी पंक्ति (पंक्ति $1$) में है।
चूंकि $Q$ उत्तर मुखी पंक्ति (पंक्ति $1$) में है और $S$ के बगल में नहीं है,इसलिए पंक्ति $1$ में व्यवस्था $Q, T, S$ होनी चाहिए।
अतः,$T$ का फ्लैट $Q$ और $S$ के बीच में है।

(D) मान लीजिए कि दो पंक्तियाँ हैं: पंक्ति $1$ (उत्तर मुखी) और पंक्ति $2$ (दक्षिण मुखी)। प्रत्येक पंक्ति में $3$ फ्लैट हैं।
(iii) से,$R$ (दक्षिण मुखी) $U$ के बगल में है। चूँकि $S$ और $U$ विकर्ण रूप से विपरीत हैं (ii),इसलिए $U$ पंक्ति $2$ में और $S$ पंक्ति $1$ में होना चाहिए।
दिया गया है कि $R$ पंक्ति $2$ में $U$ के बगल में है,और $T$ पंक्ति $1$ में है।
व्यवस्था:
पंक्ति $1$ (उत्तर): $T, Q, S$
पंक्ति $2$ (दक्षिण): $P, U, R$
(नोट: $U$,$R$ और $P$ के बगल में है)।
शुरुआत में,$U$,$R$ और $P$ के बगल में है।
यदि $T$ और $P$ को आपस में बदल दिया जाए,तो नई व्यवस्था होगी:
पंक्ति $1$: $P, Q, S$
पंक्ति $2$: $T, U, R$
इस नई व्यवस्था में,$U$ अभी भी $R$ और $T$ के बगल में है।
चूँकि प्रश्न पूछता है कि $U$ के बगल में किसका फ्लैट है,और $R$ पहले से ही $U$ के बगल में है,इसलिए दूसरा पड़ोसी $T$ है।

(A) मान लीजिए कि दो पंक्तियाँ हैं: पंक्ति-$1$ (उत्तर मुखी) और पंक्ति-$2$ (दक्षिण मुखी)। प्रत्येक पंक्ति में $3$ फ्लैट हैं।
स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
पंक्ति-$1$ (उत्तर मुखी): $1, 2, 3$
पंक्ति-$2$ (दक्षिण मुखी): $4, 5, 6$
$S$ और $U$ विकर्ण रूप से विपरीत हैं। मान लीजिए $S$ स्थान $1$ पर है और $U$ स्थान $6$ पर है।
$R$,$U$ के बगल में है और दक्षिण की ओर है,इसलिए $R$ स्थान $5$ पर है।
$Q$ उत्तर की ओर है और $S$ के बगल में नहीं है,इसलिए $Q$ को स्थान $3$ पर होना चाहिए।
$T$ उत्तर की ओर है,इसलिए $T$ स्थान $2$ पर है।
$P$ शेष व्यक्ति है,इसलिए $P$ स्थान $4$ पर है।
व्यवस्था:
पंक्ति-$1$: $S(1), T(2), Q(3)$
पंक्ति-$2$: $P(4), R(5), U(6)$
विकर्ण रूप से विपरीत जोड़े $(S, U), (T, R)$ और $(Q, P)$ हैं।
अतः,जोड़ा $QP$ विकर्ण रूप से विपरीत है।

(A) मान लीजिए कि दो पंक्तियाँ हैं: पंक्ति-$1$ (उत्तर मुखी) और पंक्ति-$2$ (दक्षिण मुखी)। प्रत्येक पंक्ति में $3$ फ्लैट हैं।
कथन (iii) से,$R$ दक्षिण मुखी पंक्ति में है और $T$ उत्तर मुखी पंक्ति में है। $R, U$ के बगल में है।
कथन (ii) से,$S$ और $U$ तिरछे विपरीत हैं। चूँकि $U$ दक्षिण मुखी पंक्ति में है,इसलिए $S$ को उत्तर मुखी पंक्ति में होना चाहिए।
कथन $(i)$ से,$Q$ उत्तर मुखी पंक्ति में है और $S$ के बगल में नहीं है।
स्थानों का विश्लेषण करने पर: उत्तर मुखी पंक्ति में $Q, T, S$ और दक्षिण मुखी पंक्ति में $R, U, P$ आते हैं।
दक्षिण मुखी फ्लैटों के सटीक संयोजन को निर्धारित करने के लिए,हमें सभी व्यक्तियों के स्थानों को जानना आवश्यक है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कोई विरोधाभास न हो। अतः,सभी कथन $(i), (ii),$ और $(iii)$ आवश्यक हैं। इसलिए,किसी भी कथन को छोड़ा नहीं जा सकता है।

(A) सुबह के समय सूर्य पूर्व दिशा में उगता है। इसलिए,किसी भी वस्तु की परछाईं पश्चिम दिशा में पड़ती है।
चूंकि खंभे की परछाईं गोपाल के दाईं ओर पड़ रही है,इसलिए उसे दक्षिण दिशा की ओर मुख करके खड़ा होना चाहिए।
यदि कोई व्यक्ति दक्षिण की ओर मुख करके खड़ा होता है,तो उसका दायां हाथ पश्चिम दिशा की ओर होता है,जहाँ परछाईं बन रही है।

(A) सुबह के समय,सूर्य पूर्व में उगता है,इसलिए सभी परछाइयां पश्चिम दिशा की ओर पड़ती हैं।
चूंकि कविता की परछाईं रीटा के दाईं ओर पड़ती है,इसलिए रीटा दक्षिण दिशा की ओर मुख करके खड़ी है।
यदि रीटा दक्षिण की ओर देख रही है,तो उसका दायां हाथ पश्चिम दिशा की ओर होगा।
चूंकि रीटा और कविता आमने-सामने बात कर रही हैं,इसलिए कविता रीटा की विपरीत दिशा में देख रही होगी।
अतः,कविता उत्तर दिशा की ओर मुख करके खड़ी है।

(D) सुबह के समय,सूर्य पूर्व दिशा में उगता है। इसलिए,परछाईं पश्चिम दिशा में पड़ती है।
चूंकि विक्रम की परछाईं उसके बाईं ओर पड़ रही थी,इसलिए उसका मुख उत्तर दिशा की ओर होना चाहिए (क्योंकि यदि कोई उत्तर की ओर मुख करता है,तो पश्चिम उसकी बाईं ओर होता है)।
चूंकि विक्रम और शैलेश एक-दूसरे की ओर पीठ करके खड़े हैं,यदि विक्रम का मुख उत्तर की ओर है,तो शैलेश का मुख विपरीत दिशा यानी दक्षिण की ओर होगा।

(B) शाम के समय,सूर्य पश्चिम दिशा में होता है,इसलिए परछाईं पूर्व दिशा में पड़ती है।
चूंकि मोहित की परछाईं बिल्कुल उसकी दाईं ओर पड़ रही थी,इसलिए मोहित का मुख उत्तर दिशा की ओर होना चाहिए।
चूंकि सुमित और मोहित आमने-सामने बात कर रहे थे,इसलिए सुमित का मुख मोहित की विपरीत दिशा में होना चाहिए।
अतः,सुमित दक्षिण दिशा की ओर मुख करके खड़ा था।

(A) सूर्य की दिशा दिन के समय पर निर्भर करती है।
स्थिति $1$: यदि सुबह का समय है,तो सूर्य पूर्व में है। अनुज की पीठ सूर्य की ओर है,इसलिए उसका मुख पश्चिम की ओर है।
- वह बाईं ओर मुड़ता है (दक्षिण की ओर)।
- वह दाईं ओर मुड़ता है (पश्चिम की ओर)।
- वह फिर से बाईं ओर मुड़ता है (दक्षिण की ओर)।
परिणाम: दक्षिण।
स्थिति $2$: यदि शाम का समय है,तो सूर्य पश्चिम में है। अनुज की पीठ सूर्य की ओर है,इसलिए उसका मुख पूर्व की ओर है।
- वह बाईं ओर मुड़ता है (उत्तर की ओर)।
- वह दाईं ओर मुड़ता है (पूर्व की ओर)।
- वह फिर से बाईं ओर मुड़ता है (उत्तर की ओर)।
परिणाम: उत्तर।
अतः,वह उत्तर या दक्षिण दिशा में जा रहा है।

(A) मान लीजिए कि $A$ एक आयताकार मैदान के निचले बाएं कोने से शुरू करता है और ऊपर के दाएं कोने की ओर विकर्ण रूप से चलता है।
$1$. प्रारंभ में,$A$ उत्तर-पूर्व दिशा में चल रहा है।
$2$. आधी दूरी चलने के बाद,$A$ दाएं मुड़ता है। उत्तर-पूर्व से दाएं मुड़ने पर वह दक्षिण-पूर्व दिशा की ओर हो जाता है।
$3$. दक्षिण-पूर्व दिशा में कुछ दूरी चलने के बाद,$A$ बाएं मुड़ता है। दक्षिण-पूर्व से बाएं मुड़ने पर वह वापस उत्तर-पूर्व दिशा की ओर हो जाता है।

(A) वर्ग के कोनों पर मूल विन्यास $ADBC$ है।
$1$. $A$ और $B$ एक भुजा की लंबाई घड़ी की दिशा में चलते हैं और फिर विकर्णतः विपरीत कोने पर चले जाते हैं।
$2$. $C$ और $D$ एक भुजा की लंबाई घड़ी की विपरीत दिशा में चलते हैं और फिर विकर्णतः विपरीत कोने पर चले जाते हैं।
$3$. आकृति $(v)$ में दिखाए अनुसार,बिंदुओं की नई स्थितियाँ इस प्रकार हैं: $C$ ऊपर-दाएं,$B$ नीचे-दाएं,$D$ नीचे-बाएं और $A$ ऊपर-बाएं कोने पर है।
$4$. अतः,नया विन्यास $CBDA$ है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के कोनों पर शीर्ष हैं। प्रारंभ में,$B$ नीचे-बाएँ कोने पर है और $D$ नीचे-दाएँ कोने पर है।
नीचे-बाएँ कोने $(B)$ से घड़ी की दिशा में डेढ़ भुजा की लंबाई चलने पर: नीचे-बायाँ $\rightarrow$ ऊपर-बायाँ $\rightarrow$ ऊपर-दायाँ $\rightarrow$ ऊपर की भुजा का मध्य बिंदु।
नीचे-दाएँ कोने $(D)$ से घड़ी की विपरीत दिशा में डेढ़ भुजा की लंबाई चलने पर: नीचे-दायाँ $\rightarrow$ ऊपर-दायाँ $\rightarrow$ ऊपर-बायाँ $\rightarrow$ ऊपर की भुजा का मध्य बिंदु।
चूँकि ऊपर की भुजा $C$ (ऊपर-बायाँ) और $A$ (ऊपर-दायाँ) कोनों को जोड़ती है,इसलिए $B$ और $D$ दोनों $A$ और $C$ के बीच के मध्य बिंदु पर पहुँचते हैं।

(D) $1$. प्रारंभ में,एक वर्ग में स्थान मानिए: $A$ (ऊपर-बाएं),$B$ (ऊपर-दाएं),$C$ (नीचे-दाएं),$D$ (नीचे-बाएं)।
$2$. $A$ विकर्ण रूप से विपरीत कोने (नीचे-दाएं) पर जाता है और फिर एक भुजा घड़ी की विपरीत दिशा में (नीचे-बाएं) चलता है।
$3$. $C$ विकर्ण रूप से विपरीत कोने (ऊपर-बाएं) पर जाता है और फिर एक भुजा घड़ी की दिशा में (ऊपर-दाएं) चलता है।
$4$. $B$ दो भुजाएं घड़ी की दिशा में (नीचे-दाएं) चलता है।
$5$. $D$ दो भुजाएं घड़ी की विपरीत दिशा में (ऊपर-दाएं) चलता है।
$6$. इन गतिविधियों के बाद,$A$ दक्षिण-पश्चिम कोने पर स्थित है।