Time and Distances Questions in Hindi

(C) औसत गति को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी $= 50 \, km + 40 \, km + 90 \, km = 180 \, km$.
पहले भाग के लिए लिया गया समय $= \frac{50 \, km}{25 \, kmph} = 2 \, \text{घंटे}$.
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $= \frac{40 \, km}{20 \, kmph} = 2 \, \text{घंटे}$.
तीसरे भाग के लिए लिया गया समय $= \frac{90 \, km}{15 \, kmph} = 6 \, \text{घंटे}$.
कुल लिया गया समय $= 2 + 2 + 6 = 10 \, \text{घंटे}$.
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{180 \, km}{10 \, \text{घंटे}} = 18 \, kmph$.

(C) औसत गति का सूत्र इस प्रकार है: $\text{औसत गति} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$.
सबसे पहले,तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें:
दूरी $1 = 5 \, km/hr \times 6 \, hours = 30 \, km$.
दूरी $2 = 4 \, km/hr \times 12 \, hours = 48 \, km$.
कुल दूरी $= 30 + 48 = 78 \, km$.
इसके बाद,कुल समय ज्ञात करें:
कुल समय $= 6 \, hours + 12 \, hours = 18 \, hours$.
अब,औसत गति की गणना करें:
$\text{औसत गति} = \frac{78}{18} \, km/hr$.
अंश और हर को $6$ से विभाजित करने पर:
$\text{औसत गति} = \frac{13}{3} \, km/hr = 4 \frac{1}{3} \, km/hr$.

(B) सबसे पहले,व्यक्ति की चाल की गणना करें।
चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{10 \frac{1}{5} \text{ किमी}}{3 \text{ घंटे}} = \frac{51/5}{3} \text{ किमी/घंटा} = \frac{51}{5 \times 3} \text{ किमी/घंटा} = \frac{17}{5} \text{ किमी/घंटा}$.
अब,$5 \text{ घंटे}$ में तय की गई दूरी की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$.
दूरी $= \frac{17}{5} \text{ किमी/घंटा} \times 5 \text{ घंटे} = 17 \text{ किमी}$.

(D) चरण $1$: ट्रेन की गति ज्ञात करें।
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{110 \, m}{3 \, s} = \frac{110}{3} \, m/s$.
चरण $2$: प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी ज्ञात करें।
कुल दूरी $= \text{ट्रेन की लंबाई} + \text{प्लेटफॉर्म की लंबाई} = 110 \, m + 165 \, m = 275 \, m$.
चरण $3$: लिया गया समय ज्ञात करें।
समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}} = \frac{275}{110/3} = \frac{275 \times 3}{110} = 2.5 \times 3 = 7.5 \, s$.

(D) जब ट्रेन सुरंग को पार करती है,तो तय की गई दूरी का सूत्र है: (ट्रेन की लंबाई $+$ सुरंग की लंबाई) $=$ गति $\times$ समय।
सबसे पहले,गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलें:
गति $= 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$.
इसके बाद,समय को मिनट से सेकंड में बदलें:
समय $= 1 \, minute = 60 \, seconds$.
मान लीजिए सुरंग की लंबाई $x \, m$ है।
सूत्र के अनुसार:
$x + 700 = 20 \times 60$
$x + 700 = 1200$
$x = 1200 - 700$
$x = 500 \, m$.
अतः,सुरंग की लंबाई $500 \, metres$ है।

(C) प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है।
कुल दूरी $= 200 \, m + 200 \, m = 400 \, m$.
लिया गया समय $= 20 \, s$.
ट्रेन की गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{400 \, m}{20 \, s} = 20 \, m/s$.
गति को $m/s$ से $km/hr$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें।
गति $= 20 \times \frac{18}{5} \, km/hr = 4 \times 18 \, km/hr = 72 \, km/hr$.

(B) एक-दूसरे को पार करने के लिए दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 125 \, m + 125 \, m = 250 \, m$.
पार करने में लगा समय $t = 6 \, s$ है।
विपरीत दिशाओं में चल रही ट्रेनों की सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: $V_{rel} = V_1 + V_2$.
दिया गया है $V_1 = 65 \, km/h$. मान लीजिए $V_2 = x \, km/h$.
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $V_{rel} = (65 + x) \times \frac{5}{18} \, m/s$.
सूत्र $Distance = Speed \times Time$ का उपयोग करने पर:
$250 = (65 + x) \times \frac{5}{18} \times 6$
$250 = (65 + x) \times \frac{5}{3}$
$65 + x = 250 \times \frac{3}{5}$
$65 + x = 50 \times 3 = 150$
$x = 150 - 65 = 85 \, km/h$.
अतः,दूसरी ट्रेन की गति $85 \, km/h$ है।

(C) माना सामान्य गति $s$ है और सामान्य समय $t$ है। दूरी $d$ स्थिर है।
$d = s \times t$
जब गति $\frac{3}{5}s$ हो जाती है,तो लिया गया समय $t + 2 \frac{1}{2} = t + \frac{5}{2}$ होता है।
चूंकि दूरी स्थिर है,$s \times t = \frac{3}{5}s \times (t + \frac{5}{2})$.
दोनों पक्षों को $s$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $t = \frac{3}{5}(t + \frac{5}{2})$.
$t = \frac{3}{5}t + \frac{3}{5} \times \frac{5}{2}$.
$t - \frac{3}{5}t = \frac{3}{2}$.
$\frac{2}{5}t = \frac{3}{2}$.
$t = \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} \text{ घंटे}$.

(C) माना ट्रेन की सामान्य गति $s$ है और सामान्य समय $t$ है।
चूँकि दूरी $d$ स्थिर है, इसलिए $d = s \times t$ होगा।
जब ट्रेन अपनी सामान्य गति की $\frac{7}{11}$ गति से चलती है, तो लिया गया समय $22\, \text{घंटे}$ है।
अतः, $d = (\frac{7}{11} s) \times 22$।
दूरी के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $s \times t = \frac{7}{11} s \times 22$।
दोनों पक्षों को $s$ से विभाजित करने पर: $t = \frac{7}{11} \times 22 = 7 \times 2 = 14\, \text{घंटे}$।
बचाया गया समय वास्तविक समय और सामान्य समय के बीच का अंतर है: $22 - 14 = 8\, \text{घंटे}$।

(C) माना सामान्य गति $s$ है और सामान्य समय $t$ घंटे है।
दूरी $d = s \times t$ .....(i)
जब गति $\frac{3}{4}s$ होती है, तो लिया गया समय $(t + 2)$ घंटे है।
दूरी $d = \frac{3}{4}s \times (t + 2)$ .....(ii)
चूंकि दोनों स्थितियों में दूरी $d$ समान है, इसलिए (i) और (ii) की तुलना करने पर:
$s \times t = \frac{3}{4}s \times (t + 2)$
दोनों पक्षों को $s$ से विभाजित करने पर:
$t = \frac{3}{4}(t + 2)$
$4t = 3(t + 2)$
$4t = 3t + 6$
$t = 6$ घंटे
अतः, उसकी सामान्य गति से दूरी तय करने में लगने वाला समय $6$ घंटे है।

(A) जब दोनों दिशाओं में तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ होता है,जहाँ $x$ और $y$ यात्रा के दो भागों के लिए गति हैं।
यहाँ,$x = 12 \, km/hr$ और $y = 18 \, km/hr$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 12 \times 18}{12 + 18}$
$\text{Average Speed} = \frac{432}{30}$
$\text{Average Speed} = \frac{72}{5} = 14 \frac{2}{5} \, km/hr$.

(B) मान लीजिए कि दोनों ट्रेनों की गति $v_1$ और $v_2$ है। मान लीजिए कि $t_1$ और $t_2$ वे समय हैं जो ट्रेनों को एक-दूसरे को पार करने के बाद अपने गंतव्य तक पहुँचने में लगते हैं।
दिया गया है कि $t_1 = 4 \ hours$ और $t_2 = 9 \ hours$ है।
गति और मिलने के बाद लिए गए समय के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
अतः,दोनों ट्रेनों की गति का अनुपात $3:2$ है।

(B) मान लीजिए $A$ की चाल $v_A$ है और $B$ की चाल $v_B$ है।
मान लीजिए $t_1 = 16 \text{ घंटे}$ वह समय है जो $B$ से मिलने के बाद $A$ को $Q$ तक पहुँचने में लगता है।
मान लीजिए $t_2 = 25 \text{ घंटे}$ वह समय है जो $A$ से मिलने के बाद $B$ को $P$ तक पहुँचने में लगता है।
जब दो वस्तुएं एक-दूसरे से मिलती हैं और उसके बाद अपने गंतव्य तक पहुँचने में $t_1$ और $t_2$ समय लेती हैं,तो उनकी चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{25}{16}}$.
अतः,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{5}{4}$.
उनकी चालों का अनुपात $5:4$ है।

(D) चरण $1$: ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें।
गति $= 120 \times \frac{5}{18} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \, m/s$.
चरण $2$: प्लेटफॉर्म की लंबाई $(x)$ ज्ञात करें।
ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई = $320 + x$.
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$320 + x = \frac{100}{3} \times 24$
$320 + x = 100 \times 8 = 800$
$x = 800 - 320 = 480 \, m$.
चरण $3$: व्यक्ति की गति ज्ञात करें।
व्यक्ति प्लेटफॉर्म $(480 \, m)$ को $4 \, min$ में पार करता है।
सेकंड में समय $= 4 \times 60 = 240 \, s$.
व्यक्ति की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{480}{240} = 2.0 \, m/s$.

(C) औसत चाल का सूत्र $\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ है।
कुल दूरी $= 39 \, km + 25 \, km = 64 \, km$.
कुल समय $= 45 \, \text{मिनट }+ 35 \, \text{मिनट }= 80 \, \text{मिनट}$.
समय को घंटों में बदलने के लिए $60$ से भाग देने पर: $\text{कुल समय} = \frac{80}{60} \, h = \frac{4}{3} \, h$.
$\text{औसत चाल} = \frac{64 \, km}{(80/60) \, h} = \frac{64 \times 60}{80} \, km/h = 48 \, km/h$.

(B) माना प्लेटफॉर्म की लंबाई $x \, m$ है।
सबसे पहले,ट्रेन की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
ट्रेन की गति $= 108 \times \frac{5}{18} = 30 \, m/s$.
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है:
दूरी $= 280 + x$.
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$30 = \frac{280 + x}{12}$.
$360 = 280 + x$.
$x = 80 \, m$.
प्लेटफॉर्म की लंबाई $80 \, m$ है।
लड़का उसी प्लेटफॉर्म को $10 \, seconds$ में पार करता है।
लड़के की गति $= \frac{\text{प्लेटफॉर्म की लंबाई}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{80}{10} = 8 \, m/s$.

(B) ट्रक की गति $= \frac{224 \ km}{4 \ hours} = 56 \ km/h$.
बाइक की औसत गति $= \frac{1}{4} \times 56 \ km/h = 14 \ km/h$.
बाइक द्वारा $7 \ hours$ में तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 14 \ km/h \times 7 \ hours = 98 \ km$.

(B) माना वास्तविक दूरी $d \, km$ है और लिया गया समय $t \, hours$ है।
प्रश्न के अनुसार,जब गति $10 \, km/h$ है,तो दूरी $d$ है।
अतः,$10 = \frac{d}{t} \Rightarrow t = \frac{d}{10} \dots (i)$
जब गति $14 \, km/h$ है,तो तय की गई दूरी $d + 20 \, km$ है।
अतः,$14 = \frac{d + 20}{t} \Rightarrow t = \frac{d + 20}{14} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{d}{10} = \frac{d + 20}{14}$
$14d = 10(d + 20)$
$14d = 10d + 200$
$4d = 200$
$d = 50 \, km$
इस प्रकार,तय की गई वास्तविक दूरी $50 \, km$ है।

(A) दिया गया है कि वयस्क का किराया $102$ है।
चूंकि वयस्क का किराया बच्चे के किराए का तीन गुना है,इसलिए बच्चे का किराया $\frac{102}{3} = 34$ होगा।
$2$ वयस्कों और $3$ बच्चों के लिए कुल किराया ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं: $2 \times (102) + 3 \times (34)$.
यह $204 + 102 = 306$ के बराबर है।
अतः,कुल किराया $306$ है।

(A) औसत गति को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी = $75 \, km + 25 \, km + 50 \, km = 150 \, km$.
पहले भाग के लिए लिया गया समय = $\frac{75 \, km}{25 \, km/h} = 3 \, h$.
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय = $\frac{25 \, km}{5 \, km/h} = 5 \, h$.
तीसरे भाग के लिए लिया गया समय = $\frac{50 \, km}{25 \, km/h} = 2 \, h$.
कुल समय = $3 \, h + 5 \, h + 2 \, h = 10 \, h$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{150 \, km}{10 \, h} = 15 \, km/h$.

(B) प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की जाने वाली कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है।
कुल दूरी $= 700 \, m + 500 \, m = 1200 \, m$.
ट्रेन की गति $54 \, km/h$ है। इसे $m/s$ में बदलने पर:
गति $= 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$.
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{1200 \, m}{15 \, m/s} = 80 \, sec$.
अतः,लगा हुआ समय $80 \, sec$ है।

(C) कुल यात्रा का समय इस प्रकार है: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{1000}{50} = 20 \, \text{घंटे}$.
वह हर $3 \, \text{घंटे}$ की यात्रा के बाद विश्राम करता है। विश्राम के अंतरालों की संख्या कुल यात्रा समय को अंतराल अवधि से विभाजित करके प्राप्त की जाती है: $\frac{20}{3} = 6.66$.
चूंकि वह केवल $3 \, \text{घंटे}$ के पूर्ण अंतराल के बाद ही विश्राम करता है,इसलिए वह कुल $6$ बार विश्राम करेगा ($3, 6, 9, 12, 15,$ और $18$ घंटे के बाद)।
कुल विश्राम समय $= 6 \times 20 \, \text{मिनट }= 120 \, \text{मिनट }= 2 \, \text{घंटे}$.
कुल लगा समय $= \text{यात्रा का समय} + \text{विश्राम का समय} = 20 + 2 = 22 \, \text{घंटे}$.

(C) चरण $1$: कार द्वारा लिए गए समय की गणना करें।
समय = दूरी / गति = $330 \, km / 55 \, km/h = 6 \, \text{hours}$.
चरण $2$: बाइक के लिए दूरी और समय निर्धारित करें।
बाइक द्वारा तय की गई दूरी = $330 \, km - 15 \, km = 315 \, km$.
बाइक द्वारा लिया गया समय = $6 \, \text{hours} - 1 \, \text{hour} = 5 \, \text{hours}$.
चरण $3$: बाइक की औसत गति की गणना करें।
औसत गति = दूरी / समय = $315 \, km / 5 \, \text{hours} = 63 \, km/h$.

(A) दूरी ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$.
यहाँ,$\text{चाल} = 40 \, km/h$ और $\text{समय} = 9$ घंटे है।
अतः,$\text{दूरी} = 40 \times 9 = 360 \, km$.
अब,उसी दूरी को $60 \, km/h$ की चाल से तय करने में लगा समय:
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{360}{60} = 6$ घंटे।

(C) ट्रेन द्वारा एक व्यक्ति को पार करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$.
यहाँ, तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई है, जो $75 \, m$ है।
ट्रेन की चाल $20 \, km/h$ है। हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करके $m/s$ में बदलते हैं:
$\text{चाल} = 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \, m/s$.
अब, मानों को सूत्र में रखने पर:
$t = \frac{75}{50/9} = \frac{75 \times 9}{50} = \frac{3 \times 9}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \, \text{सेकंड}$.

(A) ट्रेन द्वारा बिजली के खंभे को पार करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$
1. गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
$\text{गति} = 144 \times \frac{5}{18} = 8 \times 5 = 40 \, m/s$
2. खंभे को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर होती है, जो कि $100 \, m$ है।
3. समय की गणना:
$t = \frac{100}{40} = 2.5 \, \text{seconds}$
अतः, ट्रेन बिजली के खंभे को $2.5$ seconds में पार करेगी।

(C) माना ट्रेन की लंबाई $x\, m$ है। अतः,प्लेटफॉर्म की लंबाई $2x\, m$ होगी।
प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी $= \text{ट्रेन की लंबाई} + \text{प्लेटफॉर्म की लंबाई} = x + 2x = 3x\, m$.
ट्रेन की गति $= 60\, km/h = 60 \times \frac{5}{18}\, m/s = \frac{300}{18}\, m/s = \frac{50}{3}\, m/s$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$.
$3x = \left(\frac{50}{3}\right) \times 32.4$.
$3x = 50 \times 10.8$.
$3x = 540$.
$x = 180\, m$.
प्लेटफॉर्म की लंबाई $= 2x = 2 \times 180 = 360\, m$.

(A) ट्रेन की गति $66 \, km/h$ दी गई है।
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{गति} = 66 \times \frac{5}{18} \, m/s = \frac{330}{18} \, m/s$.
जब कोई ट्रेन किसी सिग्नल पोल को पार करती है,तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई $(d)$ के बराबर होती है।
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$d = (66 \times \frac{5}{18}) \times 18$.
$d = 66 \times 5 = 330 \, m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $330 \, m$ है।

(C) पहली ट्रेन की गति $(S_1) = \frac{120\, \text{मीटर}}{10\, \text{सेकंड}} = 12\, \text{मीटर/सेकंड}$।
दूसरी ट्रेन की गति $(S_2) = \frac{120\, \text{मीटर}}{15\, \text{सेकंड}} = 8\, \text{मीटर/सेकंड}$।
जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: $S_{rel} = S_1 + S_2 = 12 + 8 = 20\, \text{मीटर/सेकंड}$।
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 120\, \text{मीटर} + 120\, \text{मीटर} = 240\, \text{मीटर}$।
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{240\, \text{मीटर}}{20\, \text{मीटर/सेकंड}} = 12\, \text{सेकंड}$।

(A) जब दोनों दिशाओं में तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ होता है,जहाँ $x$ और $y$ यात्रा के दो भागों के लिए गति हैं।
यहाँ,$x = 70 \, km/hr$ और $y = 55 \, km/hr$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 70 \times 55}{70 + 55}$
$= \frac{2 \times 70 \times 55}{125}$
$= \frac{7700}{125}$
$= 61.6 \, km/hr$.

$(A)$ माना दूरी $d\, km$ है और निर्धारित समय $t\, hr$ है।
स्थिति $1$: गति $= 10\, km/hr$, लिया गया समय $= t + \frac{15}{60} = t + \frac{1}{4}\, hr$.
$d = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करने पर, $d = 10(t + \frac{1}{4}) \Rightarrow d = 10t + 2.5$ ... $(I)$.
स्थिति $2$: गति $= 10 + 2 = 12\, km/hr$, लिया गया समय $= t + \frac{5}{60} = t + \frac{1}{12}\, hr$.
$d = \text{गति} \times \text{समय}$ सूत्र का उपयोग करने पर, $d = 12(t + \frac{1}{12}) \Rightarrow d = 12t + 1$ ... $(II)$.
$(I)$ और $(II)$ की तुलना करने पर:
$10t + 2.5 = 12t + 1$
$2.5 - 1 = 12t - 10t$
$1.5 = 2t \Rightarrow t = 0.75\, hr$.
$t$ का मान $(I)$ में रखने पर:
$d = 10(0.75) + 2.5 = 7.5 + 2.5 = 10\, km$.

(A) माना कुल दूरी $2D \, km$ है।
पहले आधे भाग के लिए लगा समय $= \frac{D}{21} \, hrs$.
दूसरे आधे भाग के लिए लगा समय $= \frac{D}{24} \, hrs$.
कुल समय $= \frac{D}{21} + \frac{D}{24} = 10 \, hrs$.
$D$ को कॉमन लेने पर: $D \left( \frac{24 + 21}{504} \right) = 10$.
$D \left( \frac{45}{504} \right) = 10$.
$D = \frac{10 \times 504}{45} = \frac{5040}{45} = 112 \, km$.
कुल दूरी $= 2D = 2 \times 112 = 224 \, km$.

(D) चूंकि दोनों व्यक्ति विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= (3 + 3.5) \, km/h = 6.5 \, km/h$.
लिया गया समय $3 \, h$ है।
$3 \, h$ के बाद उनके बीच की दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{दूरी} = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$.
दूरी $= 6.5 \, km/h \times 3 \, h = 19.5 \, km$.

(C) दिया गया है:
व्यक्ति की गति $= 15 \, km/h$
लिया गया समय $= 5 \, minutes = \frac{5}{60} \, hours = \frac{1}{12} \, hours$
दूरी (पुल की लंबाई) $= \text{गति} \times \text{समय}$
दूरी $= 15 \times \frac{1}{12} \, km$
दूरी $= \frac{15}{12} \, km = 1.25 \, km$
दूरी को मीटर में बदलने के लिए,$1000$ से गुणा करें:
दूरी $= 1.25 \times 1000 \, m = 1250 \, m$
अतः,पुल की लंबाई $1250 \, m$ है।

(D) गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलने के लिए,हम मान को $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।
दी गई गति $= 180 \, km/hr$.
$m/s$ में गति $= 180 \times \frac{5}{18} \, m/s$.
$= 10 \times 5 \, m/s = 50 \, m/s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) ट्रेन की गति $60\, km/hr$ दी गई है।
गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$\text{Speed} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
चूंकि ट्रेन एक खंभे को पार करती है,तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई $(d)$ के बराबर होती है।
$\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$d = \frac{50}{3} \times 30$.
$d = 50 \times 10 = 500 \, m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $500 \, m$ है।

(C) जब दो वस्तुएं एक ही दिशा में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का अंतर होती है।
सापेक्ष गति $= (50 - 30) \text{ km/hr} = 20 \text{ km/hr}$.
गति को $\text{km/hr}$ से $\text{m/s}$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 20 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = \frac{100}{18} \text{ m/s}$.
तेज ट्रेन धीमी ट्रेन में बैठे व्यक्ति को पार करती है,जिसका अर्थ है कि तय की गई दूरी तेज ट्रेन की लंबाई के बराबर है।
दूरी $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$.
तेज ट्रेन की लंबाई $= \left( 20 \times \frac{5}{18} \right) \text{ m/s} \times 18 \text{ s} = 100 \text{ मीटर}$.

(A) माना ट्रेन की लंबाई $L_t$ है और प्लेटफॉर्म की लंबाई $L_p$ है।
ट्रेन की गति को $km/hr$ से $m/s$ में बदलने पर: $25 \times \frac{5}{18} = \frac{125}{18} \, m/s$.
जब ट्रेन विपरीत दिशा में $5 \, km/hr$ $(5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18} \, m/s)$ की गति से चल रहे व्यक्ति को पार करती है,तो सापेक्ष गति $\frac{125}{18} + \frac{25}{18} = \frac{150}{18} = \frac{25}{3} \, m/s$ होती है।
ट्रेन की लंबाई $L_t = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = \frac{25}{3} \times 12 = 100 \, m$.
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी $L_t + L_p$ होती है।
$L_t + L_p = \text{ट्रेन की गति} \times \text{समय} = \frac{125}{18} \times 18 = 125 \, m$.
$L_t = 100 \, m$ रखने पर,हमें $100 + L_p = 125$ प्राप्त होता है,इसलिए $L_p = 25 \, m$.
ट्रेन और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग $L_t + L_p = 100 + 25 = 125 \, m$ है।

(B) समय का सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ है।
यहाँ,$\text{दूरी} = \frac{4}{5} \, km$ और $\text{गति} = 45 \, km/hr$ दी गई है।
$\text{समय} = \frac{4/5}{45} \, hr = \frac{4}{5 \times 45} \, hr = \frac{4}{225} \, hr$.
घंटे को सेकंड में बदलने के लिए $3600$ से गुणा करें $(1 \, hr = 3600 \, sec)$।
$\text{समय} = \frac{4}{225} \times 3600 \, sec$.
$\text{समय} = 4 \times 16 \, sec = 64 \, sec$.

(C) प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है।
कुल दूरी $= 570 \, m + 570 \, m = 1140 \, m$.
लिया गया समय $= 15 \, s$.
गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{लिया गया समय}}$.
गति $= \frac{1140}{15} \, m/s = 76 \, m/s$.

(B) लड़के की प्रारंभिक गति $p \, km/h$ है।
फिसलन भरी जमीन के कारण,गति में $q \, km/h$ की कमी हो जाती है।
इसलिए,लड़के की वास्तविक गति $(p - q) \, km/h$ होगी।
तय की जाने वाली दूरी $1 \, km$ है।
इस दूरी को तय करने में लगा समय $r$ घंटे है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $(p - q) = \frac{1}{r}$.
अतः,$\frac{1}{r} = p - q$.

(A) माना गाँव और स्कूल के बीच की दूरी $d \, km$ है।
स्कूल जाने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{d}{3} \, hours$.
स्कूल से वापस आने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{d}{2} \, hours$.
कुल लगा समय $= \frac{d}{3} + \frac{d}{2} = 5 \, hours$.
$3$ और $2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $6$ लेने पर:
$\frac{2d + 3d}{6} = 5$
$\frac{5d}{6} = 5$
$5d = 30$
$d = 6 \, km$.
अतः,गाँव और स्कूल के बीच की दूरी $6 \, km$ है।

(B) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $d \, km$ है।
माना स्कूल पहुँचने का निर्धारित समय $t \, hours$ है।
स्थिति $1$: गति $= 5 \, km/h$,लिया गया समय $= t + \frac{10}{60} \, hours$.
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $d = 5(t + \frac{1}{6})$.
स्थिति $2$: गति $= 6 \, km/h$,लिया गया समय $= t - \frac{15}{60} \, hours$.
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $d = 6(t - \frac{1}{4})$.
$d$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$5(t + \frac{1}{6}) = 6(t - \frac{1}{4})$
$5t + \frac{5}{6} = 6t - \frac{6}{4}$
$t = \frac{5}{6} + \frac{3}{2} = \frac{5+9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \, hours$.
अब,$t$ का मान दूरी के समीकरण में रखने पर:
$d = 5(\frac{7}{3} + \frac{1}{6}) = 5(\frac{14+1}{6}) = 5(\frac{15}{6}) = 5(2.5) = 12.5 \, km$.

(C) माना कि ट्रेन की लंबाई $L \, m$ है और इसकी गति $v \, m/s$ है।
जब ट्रेन किसी स्टेशन को पार करती है,तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और स्टेशन की लंबाई का योग होती है।
पहले स्टेशन के लिए: $v = \frac{L + 162}{18} \dots (I)$
दूसरे स्टेशन के लिए: $v = \frac{L + 120}{15} \dots (II)$
समीकरण $(I)$ और $(II)$ से गति की तुलना करने पर:
$\frac{L + 162}{18} = \frac{L + 120}{15}$
हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{L + 162}{6} = \frac{L + 120}{5}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$5(L + 162) = 6(L + 120)$
$5L + 810 = 6L + 720$
$L = 810 - 720$
$L = 90 \, m$
अतः,ट्रेन की लंबाई $90 \, m$ है।

(B) एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है: $D = 120 \,m + 80 \,m = 200 \,m$.
चूंकि ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का अंतर है: $v_{rel} = 50 \,km/h - 40 \,km/h = 10 \,km/h$.
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने पर: $v_{rel} = 10 \times \frac{5}{18} \,m/s = \frac{50}{18} \,m/s = \frac{25}{9} \,m/s$.
एक-दूसरे को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{D}{v_{rel}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = \frac{200}{25/9} = 200 \times \frac{9}{25} = 8 \times 9 = 72 \,sec$.

(B) माना प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $x \, m$ है।
पहली ट्रेन की गति $v_1 = \frac{x}{4} \, m/s$ है।
दूसरी ट्रेन की गति $v_2 = \frac{x}{5} \, m/s$ है।
जब ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति $v_{rel} = v_1 + v_2 = \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = \frac{5x + 4x}{20} = \frac{9x}{20} \, m/s$ होती है।
एक-दूसरे को पार करने के लिए,तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है,जो $x + x = 2x \, m$ है।
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $t = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{2x}{9x/20} = 2x \times \frac{20}{9x} = \frac{40}{9} \, seconds$ है।

(C) माना ट्रेन की गति $s \, km/h$ है।
चूंकि व्यक्ति विपरीत दिशा में चल रहा है,इसलिए सापेक्ष गति $(s + 3) \, km/h$ होगी।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।
सापेक्ष गति $= (s + 3) \times \frac{5}{18} \, m/s$।
ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में तय की गई दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर है,जो $240 \, m$ है।
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$(s + 3) \times \frac{5}{18} = \frac{240}{10}$
$(s + 3) \times \frac{5}{18} = 24$
$s + 3 = 24 \times \frac{18}{5}$
$s + 3 = 4.8 \times 18$
$s + 3 = 86.4$
$s = 86.4 - 3 = 83.4 \, km/h$।

(C) मान लीजिए कि ट्रेन $A$ को मिलने के बिंदु तक पहुँचने में $8 \, a.m.$ के बाद $t$ घंटे लगते हैं।
चूंकि ट्रेन $B$ सुबह $9 \, a.m.$ बजे शुरू होती है,इसलिए यह $(t - 1)$ घंटे यात्रा करती है।
ट्रेन $A$ द्वारा तय की गई दूरी $60t$ है और ट्रेन $B$ द्वारा तय की गई दूरी $75(t - 1)$ है।
दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरी का योग शहरों के बीच की कुल दूरी के बराबर है:
$60t + 75(t - 1) = 330$
$60t + 75t - 75 = 330$
$135t = 405$
$t = 3 \, \text{घंटे}$.
चूंकि ट्रेन $A$ सुबह $8 \, a.m.$ बजे शुरू हुई थी,इसलिए मिलने का समय $8 \, a.m. + 3 \, \text{घंटे} = 11 \, a.m.$ होगा।

(B) दोनों व्यक्तियों के बीच की कुल दूरी $1200 \, m$ है।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर चल रहे हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
सापेक्ष गति $= 5 \, m/min + 10 \, m/min = 15 \, m/min$.
मान लीजिए कि मिलने में लगा समय $t$ मिनट है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{दूरी} = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$.
$1200 = 15 \times t$.
$t = \frac{1200}{15} = 80 \, \text{मिनट}$.
अतः,वे $80 \, \text{मिनट}$ बाद एक-दूसरे से मिलेंगे।

(B) जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है।
सापेक्ष गति $= 77 \, km/h + 67 \, km/h = 144 \, km/h$.
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
सापेक्ष गति $= 144 \times \frac{5}{18} \, m/s = 8 \times 5 = 40 \, m/s$.
एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है:
कुल दूरी $= 160 \, m + 140 \, m = 300 \, m$.
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{300}{40} \, s = 7.5 \, s$.