Time and Distances Questions in Gujarati

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર $= 50 \, km + 40 \, km + 90 \, km = 180 \, km$.
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલો સમય $= \frac{50 \, km}{25 \, kmph} = 2 \, \text{કલાક}$.
બીજા ભાગ માટે લીધેલો સમય $= \frac{40 \, km}{20 \, kmph} = 2 \, \text{કલાક}$.
ત્રીજા ભાગ માટે લીધેલો સમય $= \frac{90 \, km}{15 \, kmph} = 6 \, \text{કલાક}$.
કુલ લીધેલો સમય $= 2 + 2 + 6 = 10 \, \text{કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{180 \, km}{10 \, \text{કલાક}} = 18 \, kmph$.

(C) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$.
પ્રથમ,કાપેલું કુલ અંતર શોધો:
અંતર $1 = 5 \, km/hr \times 6 \, hours = 30 \, km$.
અંતર $2 = 4 \, km/hr \times 12 \, hours = 48 \, km$.
કુલ અંતર $= 30 + 48 = 78 \, km$.
ત્યારબાદ,કુલ સમય શોધો:
કુલ સમય $= 6 \, hours + 12 \, hours = 18 \, hours$.
હવે,સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરો:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{78}{18} \, km/hr$.
અંશ અને છેદને $6$ વડે ભાગતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{13}{3} \, km/hr = 4 \frac{1}{3} \, km/hr$.

(B) સૌ પ્રથમ,વ્યક્તિની ઝડપની ગણતરી કરો.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{10 \frac{1}{5} \text{ કિમી}}{3 \text{ કલાક}} = \frac{51/5}{3} \text{ કિમી/કલાક} = \frac{51}{5 \times 3} \text{ કિમી/કલાક} = \frac{17}{5} \text{ કિમી/કલાક}$.
હવે,$5 \text{ કલાક}$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અંતર $= \frac{17}{5} \text{ કિમી/કલાક} \times 5 \text{ કલાક} = 17 \text{ કિમી}$.

(D) પગલું $1$: ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{110 \, m}{3 \, s} = \frac{110}{3} \, m/s$.
પગલું $2$: પ્લેટફોર્મ પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર શોધો.
કુલ અંતર $= \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પ્લેટફોર્મની લંબાઈ} = 110 \, m + 165 \, m = 275 \, m$.
પગલું $3$: લાગતો સમય શોધો.
સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{275}{110/3} = \frac{275 \times 3}{110} = 2.5 \times 3 = 7.5 \, s$.

(D) જ્યારે ટ્રેન ટનલ પસાર કરે ત્યારે કાપેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: (ટ્રેનની લંબાઈ $+$ ટનલની લંબાઈ) $=$ ઝડપ $\times$ સમય.
પ્રથમ,ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
ઝડપ $= 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$.
ત્યારબાદ,સમયને મિનિટમાંથી સેકન્ડમાં ફેરવો:
સમય $= 1 \, minute = 60 \, seconds$.
ધારો કે ટનલની લંબાઈ $x \, m$ છે.
સૂત્ર મુજબ:
$x + 700 = 20 \times 60$
$x + 700 = 1200$
$x = 1200 - 700$
$x = 500 \, m$.
આમ,ટનલની લંબાઈ $500 \, metres$ છે.

(C) ટ્રેન દ્વારા પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= 200 \, m + 200 \, m = 400 \, m$.
લીધેલ સમય $= 20 \, s$.
ટ્રેનની ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{400 \, m}{20 \, s} = 20 \, m/s$.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/hr$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરો.
ઝડપ $= 20 \times \frac{18}{5} \, km/hr = 4 \times 18 \, km/hr = 72 \, km/hr$.

(B) બે ટ્રેનો એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપેલું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 125 \, m + 125 \, m = 250 \, m$.
ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = 6 \, s$ છે.
વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી ટ્રેનોની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો છે: $V_{rel} = V_1 + V_2$.
આપેલ છે કે $V_1 = 65 \, km/h$. ધારો કે $V_2 = x \, km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $V_{rel} = (65 + x) \times \frac{5}{18} \, m/s$.
સૂત્ર $Distance = Speed \times Time$ નો ઉપયોગ કરતા:
$250 = (65 + x) \times \frac{5}{18} \times 6$
$250 = (65 + x) \times \frac{5}{3}$
$65 + x = 250 \times \frac{3}{5}$
$65 + x = 50 \times 3 = 150$
$x = 150 - 65 = 85 \, km/h$.
તેથી,બીજી ટ્રેનની ઝડપ $85 \, km/h$ છે.

(C) ધારો કે સામાન્ય ઝડપ $s$ છે અને સામાન્ય સમય $t$ છે. અંતર $d$ અચળ છે.
$d = s \times t$
જ્યારે ઝડપ $\frac{3}{5}s$ થાય છે,ત્યારે લાગતો સમય $t + 2 \frac{1}{2} = t + \frac{5}{2}$ થાય છે.
અંતર અચળ હોવાથી,$s \times t = \frac{3}{5}s \times (t + \frac{5}{2})$.
બંને બાજુ $s$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $t = \frac{3}{5}(t + \frac{5}{2})$.
$t = \frac{3}{5}t + \frac{3}{5} \times \frac{5}{2}$.
$t - \frac{3}{5}t = \frac{3}{2}$.
$\frac{2}{5}t = \frac{3}{2}$.
$t = \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} \text{ કલાક}$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ $s$ છે અને સામાન્ય રીતે લાગતો સમય $t$ છે.
અંતર $d$ અચળ હોવાથી, $d = s \times t$ થાય.
જ્યારે ટ્રેન તેની સામાન્ય ઝડપના $\frac{7}{11}$ ઝડપે દોડે છે, ત્યારે લાગતો સમય $22\, \text{કલાક}$ છે.
તેથી, $d = (\frac{7}{11} s) \times 22$.
અંતર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $s \times t = \frac{7}{11} s \times 22$.
બંને બાજુ $s$ વડે ભાગતા: $t = \frac{7}{11} \times 22 = 7 \times 2 = 14\, \text{કલાક}$.
બચાવેલ સમય એ લીધેલ વાસ્તવિક સમય અને સામાન્ય સમય વચ્ચેનો તફાવત છે: $22 - 14 = 8\, \text{કલાક}$.

(C) ધારો કે સામાન્ય ઝડપ $s$ છે અને સામાન્ય રીતે લાગતો સમય $t$ કલાક છે।
અંતર $d = s \times t$ .....(i)
જ્યારે ઝડપ $\frac{3}{4}s$ હોય, ત્યારે લાગતો સમય $(t + 2)$ કલાક છે।
અંતર $d = \frac{3}{4}s \times (t + 2)$ .....(ii)
બંને કિસ્સામાં અંતર $d$ સમાન હોવાથી, (i) અને (ii) ને સરખાવતા:
$s \times t = \frac{3}{4}s \times (t + 2)$
બંને બાજુ $s$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{3}{4}(t + 2)$
$4t = 3(t + 2)$
$4t = 3t + 6$
$t = 6$ કલાક
તેથી, તેની સામાન્ય ઝડપે અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $6$ કલાક છે।

(A) જ્યારે બંને દિશામાં કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ મુસાફરીના બે ભાગ માટેની ઝડપ છે.
અહીં,$x = 12 \, km/hr$ અને $y = 18 \, km/hr$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 12 \times 18}{12 + 18}$
$\text{Average Speed} = \frac{432}{30}$
$\text{Average Speed} = \frac{72}{5} = 14 \frac{2}{5} \, km/hr$.

(B) ધારો કે બે ટ્રેનોની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે. ધારો કે $t_1$ અને $t_2$ એ ટ્રેનોને એકબીજાને પસાર કર્યા પછી તેમના ગંતવ્ય સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 4 \ hours$ અને $t_2 = 9 \ hours$.
ઝડપ અને મળ્યા પછી લાગતા સમય વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,બે ટ્રેનોની ઝડપનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(B) ધારો કે $A$ ની ઝડપ $v_A$ છે અને $B$ ની ઝડપ $v_B$ છે.
ધારો કે $t_1 = 16 \text{ કલાક}$ એ $B$ ને મળ્યા પછી $A$ ને $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે.
ધારો કે $t_2 = 25 \text{ કલાક}$ એ $A$ ને મળ્યા પછી $B$ ને $P$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે.
જ્યારે બે પદાર્થો એકબીજાને મળે અને ત્યારબાદ તેમના ગંતવ્ય સ્થાને પહોંચવા માટે $t_1$ અને $t_2$ સમય લે,ત્યારે તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર શોધવાનું સૂત્ર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{25}{16}}$.
તેથી,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{5}{4}$.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $5:4$ છે.

(D) પગલું $1$: ટ્રેનની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો.
ઝડપ $= 120 \times \frac{5}{18} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \, m/s$.
પગલું $2$: પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $(x)$ શોધો.
ટ્રેન દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર = ટ્રેનની લંબાઈ + પ્લેટફોર્મની લંબાઈ = $320 + x$.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$320 + x = \frac{100}{3} \times 24$
$320 + x = 100 \times 8 = 800$
$x = 800 - 320 = 480 \, m$.
પગલું $3$: માણસની ઝડપ શોધો.
માણસ પ્લેટફોર્મ $(480 \, m)$ ને $4 \, min$ માં પસાર કરે છે.
સેકન્ડમાં સમય $= 4 \times 60 = 240 \, s$.
માણસની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{480}{240} = 2.0 \, m/s$.

(C) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ છે.
કુલ અંતર $= 39 \, km + 25 \, km = 64 \, km$.
કુલ સમય $= 45 \, \text{મિનિટ }+ 35 \, \text{મિનિટ }= 80 \, \text{મિનિટ}$.
સમયને કલાકમાં ફેરવવા માટે $60$ વડે ભાગતા: $\text{કુલ સમય} = \frac{80}{60} \, h = \frac{4}{3} \, h$.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{64 \, km}{(80/60) \, h} = \frac{64 \times 60}{80} \, km/h = 48 \, km/h$.

(B) ધારો કે પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $x \, m$ છે.
પ્રથમ,ટ્રેનની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
ટ્રેનની ઝડપ $= 108 \times \frac{5}{18} = 30 \, m/s$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે:
અંતર $= 280 + x$.
સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$30 = \frac{280 + x}{12}$.
$360 = 280 + x$.
$x = 80 \, m$.
પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $80 \, m$ છે.
છોકરો તે જ પ્લેટફોર્મને $10 \, seconds$ માં પસાર કરે છે.
છોકરાની ઝડપ $= \frac{\text{પ્લેટફોર્મની લંબાઈ}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{80}{10} = 8 \, m/s$.

(B) ટ્રકની ઝડપ $= \frac{224 \ km}{4 \ hours} = 56 \ km/h$.
બાઇકની સરેરાશ ઝડપ $= \frac{1}{4} \times 56 \ km/h = 14 \ km/h$.
બાઇક દ્વારા $7 \ hours$ માં કાપેલું અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 14 \ km/h \times 7 \ hours = 98 \ km$.

(B) ધારો કે વાસ્તવિક અંતર $d \, km$ છે અને લાગતો સમય $t \, hours$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે ઝડપ $10 \, km/h$ હોય,ત્યારે અંતર $d$ છે.
તેથી,$10 = \frac{d}{t} \Rightarrow t = \frac{d}{10} \dots (i)$
જ્યારે ઝડપ $14 \, km/h$ હોય,ત્યારે કાપેલું અંતર $d + 20 \, km$ છે.
તેથી,$14 = \frac{d + 20}{t} \Rightarrow t = \frac{d + 20}{14} \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{d}{10} = \frac{d + 20}{14}$
$14d = 10(d + 20)$
$14d = 10d + 200$
$4d = 200$
$d = 50 \, km$
આમ,કાપેલું વાસ્તવિક અંતર $50 \, km$ છે.

(A) આપેલ છે કે પુખ્ત વયની વ્યક્તિનું ભાડું $102$ છે.
પુખ્ત વયની વ્યક્તિનું ભાડું બાળકના ભાડા કરતાં ત્રણ ગણું હોવાથી,બાળકના ભાડાની ગણતરી $\frac{102}{3} = 34$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$2$ પુખ્ત વયના અને $3$ બાળકો માટે કુલ ભાડું શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ છીએ: $2 \times (102) + 3 \times (34)$.
આ $204 + 102 = 306$ થાય છે.
તેથી,કુલ ભાડું $306$ છે.

(A) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર = $75 \, km + 25 \, km + 50 \, km = 150 \, km$.
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલો સમય = $\frac{75 \, km}{25 \, km/h} = 3 \, h$.
બીજા ભાગ માટે લીધેલો સમય = $\frac{25 \, km}{5 \, km/h} = 5 \, h$.
ત્રીજા ભાગ માટે લીધેલો સમય = $\frac{50 \, km}{25 \, km/h} = 2 \, h$.
કુલ સમય = $3 \, h + 5 \, h + 2 \, h = 10 \, h$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{150 \, km}{10 \, h} = 15 \, km/h$.

(B) ટ્રેન દ્વારા પ્લેટફોર્મ પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= 700 \, m + 500 \, m = 1200 \, m$.
ટ્રેનની ઝડપ $54 \, km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
ઝડપ $= 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{1200 \, m}{15 \, m/s} = 80 \, sec$.
આમ,લાગતો સમય $80 \, sec$ છે.

(C) કુલ મુસાફરીનો સમય આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{1000}{50} = 20 \, \text{કલાક}$.
તે દર $3 \, \text{કલાક}$ ની મુસાફરી પછી આરામ કરે છે. આરામના અંતરાલોની સંખ્યા કુલ મુસાફરીના સમયને અંતરાલના સમય વડે ભાગીને મેળવી શકાય છે: $\frac{20}{3} = 6.66$.
તે માત્ર $3 \, \text{કલાક}$ ના પૂર્ણ ગાળા પછી જ આરામ કરે છે,તેથી તે કુલ $6$ વખત આરામ કરશે ($3, 6, 9, 12, 15,$ અને $18$ કલાકના અંતે).
કુલ આરામનો સમય $= 6 \times 20 \, \text{મિનિટ }= 120 \, \text{મિનિટ }= 2 \, \text{કલાક}$.
લાગતો કુલ સમય $= \text{મુસાફરીનો સમય} + \text{આરામનો સમય} = 20 + 2 = 22 \, \text{કલાક}$.

(C) પગલું $1$: કાર દ્વારા લેવાયેલ સમયની ગણતરી કરો.
સમય = અંતર / ઝડપ = $330 \, km / 55 \, km/h = 6 \, \text{hours}$.
પગલું $2$: બાઇક માટે અંતર અને સમય નક્કી કરો.
બાઇક દ્વારા કાપેલું અંતર = $330 \, km - 15 \, km = 315 \, km$.
બાઇક દ્વારા લેવાયેલ સમય = $6 \, \text{hours} - 1 \, \text{hour} = 5 \, \text{hours}$.
પગલું $3$: બાઇકની સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરો.
સરેરાશ ઝડપ = અંતર / સમય = $315 \, km / 5 \, \text{hours} = 63 \, km/h$.

(A) અંતર શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અહીં,$\text{ઝડપ} = 40 \, km/h$ અને $\text{સમય} = 9$ કલાક છે.
તેથી,$\text{અંતર} = 40 \times 9 = 360 \, km$.
હવે,તે જ અંતર કાપવા માટે $60 \, km/h$ ની ઝડપે લાગતો સમય:
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{360}{60} = 6$ કલાક.

(C) ટ્રેન દ્વારા માણસને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
અહીં, કાપવાનું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ છે, જે $75 \, m$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $20 \, km/h$ છે. આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીને $m/s$ માં ફેરવીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \, m/s$.
હવે, કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$t = \frac{75}{50/9} = \frac{75 \times 9}{50} = \frac{3 \times 9}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \, \text{સેકન્ડ}$.

(A) ટ્રેન દ્વારા ઇલેક્ટ્રિક થાંભલાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$
1. ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
$\text{ઝડપ} = 144 \times \frac{5}{18} = 8 \times 5 = 40 \, m/s$
2. થાંભલાને ઓળંગવા માટે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર તેની પોતાની લંબાઈ જેટલું હોય છે, જે $100 \, m$ છે।
3. સમયની ગણતરી:
$t = \frac{100}{40} = 2.5 \, \text{seconds}$
આમ, ટ્રેન ઇલેક્ટ્રિક થાંભલાને $2.5$ seconds માં ઓળંગશે।

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $x\, m$ છે. તેથી,પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $2x\, m$ થશે.
પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $= \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પ્લેટફોર્મની લંબાઈ} = x + 2x = 3x\, m$.
ટ્રેનની ઝડપ $= 60\, km/h = 60 \times \frac{5}{18}\, m/s = \frac{300}{18}\, m/s = \frac{50}{3}\, m/s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$3x = \left(\frac{50}{3}\right) \times 32.4$.
$3x = 50 \times 10.8$.
$3x = 540$.
$x = 180\, m$.
પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $= 2x = 2 \times 180 = 360\, m$.

(A) ટ્રેનની ઝડપ $66 \, km/h$ આપેલી છે.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 66 \times \frac{5}{18} \, m/s = \frac{330}{18} \, m/s$.
જ્યારે ટ્રેન કોઈ સિગ્નલ પોલને ઓળંગે છે,ત્યારે કાપેલું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ $(d)$ જેટલું હોય છે.
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = (66 \times \frac{5}{18}) \times 18$.
$d = 66 \times 5 = 330 \, m$.
તેથી,ટ્રેનની લંબાઈ $330 \, m$ છે.

(C) પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $(S_1) = \frac{120\, \text{મીટર}}{10\, \text{સેકન્ડ}} = 12\, \text{મીટર/સેકન્ડ}$.
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $(S_2) = \frac{120\, \text{મીટર}}{15\, \text{સેકન્ડ}} = 8\, \text{મીટર/સેકન્ડ}$.
જ્યારે બે ટ્રેન વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થાય છે: $S_{rel} = S_1 + S_2 = 12 + 8 = 20\, \text{મીટર/સેકન્ડ}$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 120\, \text{મીટર} + 120\, \text{મીટર} = 240\, \text{મીટર}$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{240\, \text{મીટર}}{20\, \text{મીટર/સેકન્ડ}} = 12\, \text{સેકન્ડ}$.

(A) જ્યારે બંને દિશામાં કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ મુસાફરીના બે ભાગ માટેની ઝડપ છે.
અહીં,$x = 70 \, km/hr$ અને $y = 55 \, km/hr$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 70 \times 55}{70 + 55}$
$= \frac{2 \times 70 \times 55}{125}$
$= \frac{7700}{125}$
$= 61.6 \, km/hr$.

$(A)$ ધારો કે અંતર $d\, km$ છે અને નિર્ધારિત સમય $t\, hr$ છે.
કિસ્સો $1$: ઝડપ $= 10\, km/hr$, લીધેલ સમય $= t + \frac{15}{60} = t + \frac{1}{4}\, hr$.
$d = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $d = 10(t + \frac{1}{4}) \Rightarrow d = 10t + 2.5$ ... $(I)$.
કિસ્સો $2$: ઝડપ $= 10 + 2 = 12\, km/hr$, લીધેલ સમય $= t + \frac{5}{60} = t + \frac{1}{12}\, hr$.
$d = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $d = 12(t + \frac{1}{12}) \Rightarrow d = 12t + 1$ ... $(II)$.
$(I)$ અને $(II)$ ને સરખાવતા:
$10t + 2.5 = 12t + 1$
$2.5 - 1 = 12t - 10t$
$1.5 = 2t \Rightarrow t = 0.75\, hr$.
$t$ ની કિંમત $(I)$ માં મૂકતા:
$d = 10(0.75) + 2.5 = 7.5 + 2.5 = 10\, km$.

(A) ધારો કે કુલ અંતર $2D \, km$ છે.
પ્રથમ અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $= \frac{D}{21} \, hrs$.
બીજા અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $= \frac{D}{24} \, hrs$.
કુલ સમય $= \frac{D}{21} + \frac{D}{24} = 10 \, hrs$.
$D$ સામાન્ય લેતા: $D \left( \frac{24 + 21}{504} \right) = 10$.
$D \left( \frac{45}{504} \right) = 10$.
$D = \frac{10 \times 504}{45} = \frac{5040}{45} = 112 \, km$.
કુલ અંતર $= 2D = 2 \times 112 = 224 \, km$.

(D) જ્યારે બે વ્યક્તિઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલતા હોય,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી હોય છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= (3 + 3.5) \, km/h = 6.5 \, km/h$.
લીધેલ સમય $3 \, h$ છે.
$3 \, h$ પછી તેમની વચ્ચેનું અંતર નીચે મુજબ ગણી શકાય: $\text{અંતર} = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અંતર $= 6.5 \, km/h \times 3 \, h = 19.5 \, km$.

(C) આપેલ છે:
માણસની ઝડપ $= 15 \, km/h$
લીધેલ સમય $= 5 \, minutes = \frac{5}{60} \, hours = \frac{1}{12} \, hours$
અંતર (પુલની લંબાઈ) $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
અંતર $= 15 \times \frac{1}{12} \, km$
અંતર $= \frac{15}{12} \, km = 1.25 \, km$
અંતરને મીટરમાં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ગુણો:
અંતર $= 1.25 \times 1000 \, m = 1250 \, m$
તેથી,પુલની લંબાઈ $1250 \, m$ છે.

(D) ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તે મૂલ્યને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ.
આપેલી ઝડપ $= 180 \, km/hr$.
$m/s$ માં ઝડપ $= 180 \times \frac{5}{18} \, m/s$.
$= 10 \times 5 \, m/s = 50 \, m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ટ્રેનની ઝડપ $60\, km/hr$ આપેલી છે.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{Speed} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
જ્યારે ટ્રેન થાંભલાને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ $(d)$ જેટલું હોય છે.
$\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = \frac{50}{3} \times 30$.
$d = 50 \times 10 = 500 \, m$.
તેથી,ટ્રેનની લંબાઈ $500 \, m$ છે.

(C) જ્યારે બે વસ્તુઓ એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોય,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો તફાવત હોય છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= (50 - 30) \text{ km/hr} = 20 \text{ km/hr}$.
ઝડપને $\text{km/hr}$ માંથી $\text{m/s}$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 20 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = \frac{100}{18} \text{ m/s}$.
ઝડપી ટ્રેન ધીમી ટ્રેનમાં બેઠેલા માણસને ઓળંગે છે,જેનો અર્થ છે કે કાપેલું અંતર એ ઝડપી ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું છે.
અંતર $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$.
ઝડપી ટ્રેનની લંબાઈ $= \left( 20 \times \frac{5}{18} \right) \text{ m/s} \times 18 \text{ s} = 100 \text{ મીટર}$.

(A) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L_t$ છે અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $L_p$ છે.
ટ્રેનની ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવતા: $25 \times \frac{5}{18} = \frac{125}{18} \, m/s$.
જ્યારે ટ્રેન વિરુદ્ધ દિશામાં $5 \, km/hr$ $(5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18} \, m/s)$ ની ઝડપે ચાલતા માણસને પસાર કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $\frac{125}{18} + \frac{25}{18} = \frac{150}{18} = \frac{25}{3} \, m/s$ થાય છે.
ટ્રેનની લંબાઈ $L_t = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{25}{3} \times 12 = 100 \, m$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર $L_t + L_p$ થાય છે.
$L_t + L_p = \text{ટ્રેનની ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{125}{18} \times 18 = 125 \, m$.
$L_t = 100 \, m$ મૂકતા,આપણને $100 + L_p = 125$ મળે છે,તેથી $L_p = 25 \, m$.
ટ્રેન અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો $L_t + L_p = 100 + 25 = 125 \, m$ થાય છે.

(B) સમય શોધવાનું સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ છે.
અહીં,$\text{અંતર} = \frac{4}{5} \, km$ અને $\text{ઝડપ} = 45 \, km/hr$ આપેલ છે.
$\text{સમય} = \frac{4/5}{45} \, hr = \frac{4}{5 \times 45} \, hr = \frac{4}{225} \, hr$.
કલાકને સેકન્ડમાં ફેરવવા માટે $3600$ વડે ગુણાકાર કરો $(1 \, hr = 3600 \, sec)$.
$\text{સમય} = \frac{4}{225} \times 3600 \, sec$.
$\text{સમય} = 4 \times 16 \, sec = 64 \, sec$.

(C) પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= 570 \, m + 570 \, m = 1140 \, m$.
લીધેલ સમય $= 15 \, s$.
ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{લીધેલ સમય}}$.
ઝડપ $= \frac{1140}{15} \, m/s = 76 \, m/s$.

(B) છોકરાની પ્રારંભિક ઝડપ $p \, km/h$ છે.
લપસણી જમીનને કારણે,ઝડપમાં $q \, km/h$ નો ઘટાડો થાય છે.
તેથી,છોકરાની વાસ્તવિક ઝડપ $(p - q) \, km/h$ થશે.
કાપવાનું અંતર $1 \, km$ છે.
આ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $r$ કલાક છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(p - q) = \frac{1}{r}$.
આમ,$\frac{1}{r} = p - q$.

(A) ધારો કે ગામ અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $d \, km$ છે.
શાળાએ જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{d}{3} \, hours$.
શાળાએથી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{d}{2} \, hours$.
કુલ લાગતો સમય $= \frac{d}{3} + \frac{d}{2} = 5 \, hours$.
$3$ અને $2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $6$ લેતા:
$\frac{2d + 3d}{6} = 5$
$\frac{5d}{6} = 5$
$5d = 30$
$d = 6 \, km$.
તેથી,ગામ અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $6 \, km$ છે.

(B) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $d \, km$ છે.
ધારો કે શાળાએ પહોંચવાનો નિર્ધારિત સમય $t \, hours$ છે.
કિસ્સો $1$: ઝડપ $= 5 \, km/h$,લીધેલ સમય $= t + \frac{10}{60} \, hours$.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $d = 5(t + \frac{1}{6})$.
કિસ્સો $2$: ઝડપ $= 6 \, km/h$,લીધેલ સમય $= t - \frac{15}{60} \, hours$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $d = 6(t - \frac{1}{4})$.
$d$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$5(t + \frac{1}{6}) = 6(t - \frac{1}{4})$
$5t + \frac{5}{6} = 6t - \frac{6}{4}$
$t = \frac{5}{6} + \frac{3}{2} = \frac{5+9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \, hours$.
હવે,$t$ ની કિંમત અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$d = 5(\frac{7}{3} + \frac{1}{6}) = 5(\frac{14+1}{6}) = 5(\frac{15}{6}) = 5(2.5) = 12.5 \, km$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L \, m$ છે અને તેની ઝડપ $v \, m/s$ છે.
જ્યારે ટ્રેન સ્ટેશન પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને સ્ટેશનની લંબાઈનો સરવાળો હોય છે.
પ્રથમ સ્ટેશન માટે: $v = \frac{L + 162}{18} \dots (I)$
બીજા સ્ટેશન માટે: $v = \frac{L + 120}{15} \dots (II)$
સમીકરણ $(I)$ અને $(II)$ પરથી ઝડપને સરખાવતા:
$\frac{L + 162}{18} = \frac{L + 120}{15}$
છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{L + 162}{6} = \frac{L + 120}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(L + 162) = 6(L + 120)$
$5L + 810 = 6L + 720$
$L = 810 - 720$
$L = 90 \, m$
આમ,ટ્રેનની લંબાઈ $90 \, m$ છે.

(B) એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર એ બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 120 \,m + 80 \,m = 200 \,m$.
ટ્રેનો એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ એ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો તફાવત છે: $v_{rel} = 50 \,km/h - 40 \,km/h = 10 \,km/h$.
સાપેક્ષ વેગને $m/s$ માં ફેરવતા: $v_{rel} = 10 \times \frac{5}{18} \,m/s = \frac{50}{18} \,m/s = \frac{25}{9} \,m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v_{rel}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \frac{200}{25/9} = 200 \times \frac{9}{25} = 8 \times 9 = 72 \,sec$.

(B) ધારો કે દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $x \, m$ છે.
પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $v_1 = \frac{x}{4} \, m/s$ છે.
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $v_2 = \frac{x}{5} \, m/s$ છે.
જ્યારે ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_1 + v_2 = \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = \frac{5x + 4x}{20} = \frac{9x}{20} \, m/s$ થાય છે.
એકબીજાને પસાર કરવા માટે,કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે,જે $x + x = 2x \, m$ છે.
એકબીજાને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{2x}{9x/20} = 2x \times \frac{20}{9x} = \frac{40}{9} \, seconds$ થાય છે.

(C) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $s \, km/h$ છે.
માણસ વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલી રહ્યો હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ $(s + 3) \, km/h$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીશું.
સાપેક્ષ ઝડપ $= (s + 3) \times \frac{5}{18} \, m/s$.
ટ્રેન દ્વારા માણસને ઓળંગવા માટે કાપેલું અંતર તેની પોતાની લંબાઈ જેટલું એટલે કે $240 \, m$ છે.
સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(s + 3) \times \frac{5}{18} = \frac{240}{10}$
$(s + 3) \times \frac{5}{18} = 24$
$s + 3 = 24 \times \frac{18}{5}$
$s + 3 = 4.8 \times 18$
$s + 3 = 86.4$
$s = 86.4 - 3 = 83.4 \, km/h$.

(C) ધારો કે ટ્રેન $A$ ને મુલાકાત બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $8 \, a.m.$ પછી $t$ કલાક છે.
ટ્રેન $B$ સવારે $9 \, a.m.$ વાગ્યે શરૂ થાય છે,તેથી તે $(t - 1)$ કલાક મુસાફરી કરે છે.
ટ્રેન $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $60t$ છે અને ટ્રેન $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર $75(t - 1)$ છે.
બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપેલા અંતરનો સરવાળો શહેરો વચ્ચેના કુલ અંતર જેટલો થાય છે:
$60t + 75(t - 1) = 330$
$60t + 75t - 75 = 330$
$135t = 405$
$t = 3 \, \text{કલાક}$.
ટ્રેન $A$ સવારે $8 \, a.m.$ વાગ્યે શરૂ થઈ હોવાથી,મુલાકાતનો સમય $8 \, a.m. + 3 \, \text{કલાક} = 11 \, a.m.$ થશે.

(B) બે માણસો વચ્ચેનું કુલ અંતર $1200 \, m$ છે.
તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં (એકબીજા તરફ) ચાલી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 5 \, m/min + 10 \, m/min = 15 \, m/min$.
ધારો કે તેમને મળતા લાગતો સમય $t$ મિનિટ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$1200 = 15 \times t$.
$t = \frac{1200}{15} = 80 \, \text{મિનિટ}$.
તેથી,તેઓ $80 \, \text{મિનિટ}$ પછી એકબીજાને મળશે.

(B) જ્યારે બે પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી હોય છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 77 \, km/h + 67 \, km/h = 144 \, km/h$.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 144 \times \frac{5}{18} \, m/s = 8 \times 5 = 40 \, m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર એ બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો છે:
કુલ અંતર $= 160 \, m + 140 \, m = 300 \, m$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{300}{40} \, s = 7.5 \, s$.