Time and Distances Questions in Gujarati

(D) પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $(S_1) = \frac{120 \, m}{10 \, s} = 12 \, m/s$.
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $(S_2) = \frac{120 \, m}{15 \, s} = 8 \, m/s$.
જ્યારે સમાન દિશામાં મુસાફરી કરતા હોય,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(S_1 - S_2) = 12 - 8 = 4 \, m/s$ થાય.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે,કાપવાનું કુલ અંતર બંને ટ્રેનની લંબાઈનો સરવાળો છે: $120 \, m + 120 \, m = 240 \, m$.
જરૂરી સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{240 \, m}{4 \, m/s} = 60 \, s$.

(A) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર $= 600 + 800 + 500 + 100 = 2000 \, km$.
દરેક ભાગ માટે લીધેલો સમય:
ટ્રેન: $t_1 = \frac{600}{80} = 7.5 \, hr$.
જહાજ: $t_2 = \frac{800}{40} = 20 \, hr$.
વિમાન: $t_3 = \frac{500}{400} = 1.25 \, hr$.
કાર: $t_4 = \frac{100}{50} = 2 \, hr$.
કુલ સમય $= 7.5 + 20 + 1.25 + 2 = 30.75 \, hr$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{2000}{30.75} = \frac{200000}{3075} = \frac{8000}{123} = 65 \frac{5}{123} \, km/hr$.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $= d \, km$ છે.
મુસાફરી ત્રણ ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. પ્રથમ ભાગ: અંતર $= \frac{d}{3}$,ઝડપ $= 25 \, km/hr$. સમય $t_1 = \frac{d/3}{25} = \frac{d}{75} \, hr$.
$2$. બીજો ભાગ: અંતર $= \frac{d}{4}$,ઝડપ $= 30 \, km/hr$. સમય $t_2 = \frac{d/4}{30} = \frac{d}{120} \, hr$.
$3$. ત્રીજો ભાગ: અંતર $= d - (\frac{d}{3} + \frac{d}{4}) = d - \frac{7d}{12} = \frac{5d}{12}$,ઝડપ $= 50 \, km/hr$. સમય $t_3 = \frac{5d/12}{50} = \frac{d}{120} \, hr$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{d}{75} + \frac{d}{120} + \frac{d}{120} = \frac{d}{75} + \frac{2d}{120} = \frac{d}{75} + \frac{d}{60}$.
$75$ અને $60$ નો લ.સા.અ. $300$ લેતા,$T = \frac{4d + 5d}{300} = \frac{9d}{300} = \frac{3d}{100} \, hr$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d}{3d/100} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \, km/hr$.

(C) ધારો કે $A$ ની ઝડપ $3x$ છે અને $B$ ની ઝડપ $4x$ છે.
ધારો કે અંતર $D$ છે.
$A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_A = D / 3x$ અને $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_B = D / 4x$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ને $B$ કરતા $30 \text{ મિનિટ}$ $(0.5 \text{ કલાક})$ વધુ સમય લાગે છે,તેથી $T_A - T_B = 0.5$.
કિંમતો મૂકતા: $D / 3x - D / 4x = 0.5$.
$D/x$ સામાન્ય લેતા: $(D/x) \times (1/3 - 1/4) = 0.5$.
$(D/x) \times (1/12) = 0.5 \Rightarrow D/x = 6$.
હવે,$A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_A = D / 3x = (1/3) \times (D/x) = (1/3) \times 6 = 2 \text{ કલાક}$.

(C) પ્રથમ $2$ કલાક માટે કાર $70 \, km/h$ ની ઝડપે મુસાફરી કરે છે. કાપેલું અંતર $= 70 \times 2 = 140 \, km$.
ત્યારબાદ,ઝડપમાં $10 \, km/h$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી ઝડપ $70 + 10 = 80 \, km/h$ થાય છે. કાર આ ઝડપે આગામી $2$ કલાક મુસાફરી કરે છે. કાપેલું અંતર $= 80 \times 2 = 160 \, km$.
$4$ કલાકમાં કાપેલું કુલ અંતર $= 140 + 160 = 300 \, km$.
બાકી રહેલું અંતર $= 345 - 300 = 45 \, km$.
આગામી સમયગાળા માટે ઝડપ $80 + 10 = 90 \, km/h$ થશે.
બાકીનું $45 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{45}{90} = 0.5 \, \text{કલાક}$ (અથવા $\frac{1}{2} \, \text{કલાક}$).
કુલ સમય $= 4 + 0.5 = 4.5 \, \text{કલાક}$ (અથવા $4\frac{1}{2} \, \text{કલાક}$).

(A) $1$. રોકાયા વગર મુસાફરીનો કુલ સમય ગણો: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{150\, km}{15\, km/h} = 10\, \text{કલાક}$.
$2$. વિરામની સંખ્યા ગણો: તે દર $20\, km$ એ રોકાય છે. તેથી કુલ વિરામની સંખ્યા $\lfloor \frac{150}{20} \rfloor = 7$ થશે. (નોંધ: $150\, km$ ના અંતિમ મુકામે પહોંચ્યા પછી તે રોકાતો નથી).
$3$. કુલ આરામનો સમય ગણો: $7\, \text{વિરામ} \times 10\, \text{મિનિટ/વિરામ} = 70\, \text{મિનિટ} = 1\, \text{કલાક}\, 10\, \text{મિનિટ}$.
$4$. કુલ સમય ગણો: $10\, \text{કલાક }+ 1\, \text{કલાક}\, 10\, \text{મિનિટ }= 11\, \text{કલાક}\, 10\, \text{મિનિટ}$.

(A) ધારો કે બાઇકની ઝડપ $15x$ છે અને ટ્રેનની ઝડપ $27x$ છે.
બસની ઝડપની ગણતરી આ મુજબ છે: $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{720 \, \text{કિમી}}{9 \, \text{કલાક}} = 80 \, \text{કિમી}/\text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,બાઇકની ઝડપ એ બસની ઝડપના ત્રણ-ચતુર્થાંશ છે:
$15x = \frac{3}{4} \times 80$
$15x = 60$
$x = 4$.
હવે,ટ્રેનની ઝડપ શોધો:
$\text{ટ્રેનની ઝડપ} = 27x = 27 \times 4 = 108 \, \text{કિમી}/\text{કલાક}$.
ટ્રેન દ્વારા $7 \, \text{કલાક}$ માં કાપેલું અંતર:
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 108 \, \text{કિમી}/\text{કલાક }\times 7 \, \text{કલાક }= 756 \, \text{કિમી}$.

(D) પગલું $1$: બેતિયા અને મોતિહારી વચ્ચેનું અંતર શોધો.
અંતર = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અહીં, $\text{ઝડપ} = 50 \, \text{km/h}$ અને $\text{સમય} = 44 \, \text{min} = \frac{44}{60} \, \text{કલાક}$.
અંતર = $50 \times \frac{44}{60} = \frac{50 \times 44}{60} = \frac{220}{6} \, \text{km} = \frac{110}{3} \, \text{km}$.
પગલું $2$: નવી ઝડપ શોધો.
નવી ઝડપ = $50 + 5 = 55 \, \text{km/h}$.
પગલું $3$: તે જ અંતર કાપવા માટે જરૂરી નવો સમય શોધો.
$\text{નવો સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{નવી ઝડપ}} = \frac{110/3}{55} \, \text{કલાક}$.
$\text{નવો સમય} = \frac{110}{3 \times 55} = \frac{2}{3} \, \text{કલાક}$.
પગલું $4$: સમયને મિનિટમાં ફેરવો.
$\text{મિનિટમાં નવો સમય} = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \, \text{min}$.

(B) ધારો કે બસની ઝડપ $v_b = v \, km/h$ છે.
ટ્રેન બસ કરતા $50\%$ ઝડપી હોવાથી, ટ્રેનની ઝડપ $v_t = v + 0.5v = 1.5v \, km/h$ થશે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d = 75 \, km$ છે.
બસ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_b = \frac{75}{v}$ છે.
ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_t = \frac{75}{1.5v} = \frac{50}{v}$ છે.
ટ્રેન $12.5 \, \text{મિનિટ}$ માટે રોકાય છે, જે $\frac{12.5}{60} = \frac{5}{24} \, \text{કલાક}$ થાય છે.
બંને એક જ સમયે પહોંચતા હોવાથી, મુસાફરીના સમયનો તફાવત એ રોકાણના સમય જેટલો હોય:
$t_b - t_t = \text{રોકાણનો સમય}$
$\frac{75}{v} - \frac{50}{v} = \frac{5}{24}$
$\frac{25}{v} = \frac{5}{24}$
$v = \frac{25 \times 24}{5} = 5 \times 24 = 120 \, km/h$.
આમ, બસની ઝડપ $120 \, km/h$ છે.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L \, m$ છે.
આપેલ છે કે પ્લેટફોર્મ ટ્રેન કરતા $40 \%$ લાંબુ છે,તેથી પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $L + 0.4L = 1.4L$ થાય.
પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $140 \, m$ હોવાથી,$1.4L = 140$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $L = 100 \, m$ મળે.
ટ્રેન થાંભલાને $10 \, s$ માં પસાર કરે છે,તેથી ટ્રેનની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{L}{10} = \frac{100}{10} = 10 \, m/s$ થાય.
ચકાસણી: ટ્રેન પ્લેટફોર્મને $24 \, s$ માં પસાર કરે છે. કુલ કાપેલું અંતર $L + 1.4L = 2.4L = 240 \, m$ થાય. ઝડપ $v = \frac{240}{24} = 10 \, m/s$. આમ,ઝડપ સમાન રહે છે.

(D) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, \text{km/h}$ છે અને કારની ઝડપ $y \, \text{km/h}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
કિસ્સો $1$: $\frac{120}{x} + \frac{480}{y} = 8$ --- $(i)$
કિસ્સો $2$: $\frac{200}{x} + \frac{400}{y} = 8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$5 \times (\frac{120}{x} + \frac{480}{y}) = 5 \times 8 \Rightarrow \frac{600}{x} + \frac{2400}{y} = 40$ --- $(iii)$
$3 \times (\frac{200}{x} + \frac{400}{y}) = 3 \times \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{600}{x} + \frac{1200}{y} = 25$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ ને $(iii)$ માંથી બાદ કરતા:
$(\frac{600}{x} - \frac{600}{x}) + (\frac{2400}{y} - \frac{1200}{y}) = 40 - 25$
$\frac{1200}{y} = 15 \Rightarrow y = \frac{1200}{15} = 80 \, \text{km/h}$.
$y = 80$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$\frac{120}{x} + \frac{480}{80} = 8 \Rightarrow \frac{120}{x} + 6 = 8$
$\frac{120}{x} = 2 \Rightarrow x = 60 \, \text{km/h}$.
ટ્રેનની ઝડપ અને કારની ઝડપનો ગુણોત્તર $x:y = 60:80 = 3:4$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ સુધીનું અંતર $d\, km$ છે.
ધારો કે $1\, pm$ વાગ્યે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T$ કલાક છે.
જ્યારે ઝડપ $10\, km/h$ હોય, ત્યારે લાગતો સમય $T+1$ કલાક છે.
જ્યારે ઝડપ $15\, km/h$ હોય, ત્યારે લાગતો સમય $T-1$ કલાક છે.
અંતર $d = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ હોવાથી:
$d = 10(T+1) = 15(T-1)$
$10T + 10 = 15T - 15$
$5T = 25 \Rightarrow T = 5\, \text{કલાક}$.
અંતર $d = 10(5+1) = 60\, km$.
$1\, pm$ વાગ્યે પહોંચવા માટે, તેણે $T = 5\, \text{કલાક}$ મુસાફરી કરવી પડશે.
જરૂરી ઝડપ $= \frac{d}{T} = \frac{60}{5} = 12\, km/h$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $x \, m$ છે.
તેથી,પુલની લંબાઈ $3.5x \, m$ થશે.
થાંભલાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ}}{\text{ઝડપ}} = \frac{x}{40} \, s$.
પુલને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પુલની લંબાઈ}}{\text{ઝડપ}} = \frac{x + 3.5x}{40} = \frac{4.5x}{40} \, s$.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $21 \, s$ છે:
$\frac{4.5x}{40} - \frac{x}{40} = 21$
$\frac{3.5x}{40} = 21$
$3.5x = 21 \times 40 = 840$
$x = \frac{840}{3.5} = 240 \, m$.
પુલની લંબાઈ $= 3.5x = 3.5 \times 240 = 840 \, m$.

(A) ધારો કે ટ્રેન $A$ ની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
તેથી,ટ્રેન $B$ ની ઝડપ $(x + 27) \, km/h$ થશે.
તેઓ એકબીજાની તરફ ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે: $(x + x + 27) \, km/h = (2x + 27) \, km/h$.
બંને ટ્રેન દ્વારા $16 \, h$ માં કાપેલું કુલ અંતર $1872 \, km$ છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16(2x + 27) = 1872$
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા:
$2x + 27 = 117$
$2x = 117 - 27$
$2x = 90$
$x = 45 \, km/h$.
આમ,ટ્રેન $A$ ની ઝડપ $45 \, km/h$ છે.

(D) ધારો કે ટ્રેન $N$ ની લંબાઈ $= x \text{ મીટર}$ છે.
તેથી,ટ્રેન $M$ ની લંબાઈ $= \frac{x}{2} \text{ મીટર}$ થશે.
ટ્રેન $M$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 25 \text{ સેકન્ડ}$.
ટ્રેન $N$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 1 \text{ મિનિટ } 15 \text{ સેકન્ડ} = 75 \text{ સેકન્ડ}$.
ટ્રેન $M$ ની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{x/2}{25} = \frac{x}{50} \text{ મીટર/સેકન્ડ}$.
ટ્રેન $N$ ની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{x}{75} \text{ મીટર/સેકન્ડ}$.
ટ્રેન $M$ અને ટ્રેન $N$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $= \frac{x/50}{x/75} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2} = 3:2$.

(A) ટ્રક દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 5 \, \text{કલાક }\, 30 \, \text{મિનિટ }= 5.5 \, \text{કલાક }= \frac{11}{2} \, \text{કલાક}$.
ટ્રકની સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{396}{11/2} = \frac{396 \times 2}{11} = 36 \times 2 = 72 \, km/h$.
બાઇકની સરેરાશ ઝડપ $= \frac{4}{3} \times 72 = 4 \times 24 = 96 \, km/h$.
બાઇક દ્વારા કાપવાનું અંતર $= 396 - 12 = 384 \, km$.
બાઇક દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{384}{96} = 4 \, \text{કલાક}$.

(C) ધારો કે ટ્રેન $A$ અને ટ્રેન $B$ ની ઝડપ અનુક્રમે $v_A$ અને $v_B$ છે.
એકબીજાને ઓળંગ્યા પછી ટ્રેન $A$ અને ટ્રેન $B$ ને તેમના ગંતવ્ય સ્થાને પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_A = 81\, \text{કલાક}$ અને $t_B = 121\, \text{કલાક}$ છે.
ઓળંગ્યા પછીની ઝડપ અને સમય વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{t_B}{t_A}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{44}{v_B} = \sqrt{\frac{121}{81}}$.
$\frac{44}{v_B} = \frac{11}{9}$.
$v_B = \frac{44 \times 9}{11} = 4 \times 9 = 36\, \text{km/h}$.

(C) ધારો કે બંને ટ્રેનને મળવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે.
બંને ટ્રેન એક જ સમયે નીકળે છે અને એક જ સમયે મળે છે,તેથી સમય $t$ બંને માટે સમાન રહેશે.
ધારો કે બીજી ટ્રેન (ઝડપ $65 \, km/h$) દ્વારા કાપેલું અંતર $d \, km$ છે.
તો પ્રથમ ટ્રેન (ઝડપ $85 \, km/h$) દ્વારા કાપેલું અંતર $(d + 20) \, km$ થશે.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{d}{65} = \frac{d + 20}{85}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $85d = 65(d + 20)$
$85d = 65d + 1300$
$20d = 1300$
$d = 65 \, km$.
પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $= 65 + 20 = 85 \, km$.
દિલ્હી અને મુંબઈ વચ્ચેનું કુલ અંતર $= 85 + 65 = 150 \, km$.

(C) ધારો કે પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $t$ કલાક છે。
બીજી ટ્રેન બપોરે $3$ વાગ્યે ઉપડે છે, જે સવારે $9$ વાગ્યાના $6$ કલાક પછી છે, તેથી બીજી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $(t - 6)$ કલાક છે。
જ્યારે બંને ટ્રેન મળે છે ત્યારે તેઓ દિલ્હીથી સમાન અંતર કાપે છે。
અંતર = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
તેથી, $25t = 40(t - 6)$.
$25t = 40t - 240$.
$15t = 240$.
$t = 16 \, \text{કલાક}$.
જરૂરી અંતર = $16 \times 25 = 400 \, km$.

(D) પગલું $1$: કાપેલું કુલ અંતર શોધો.
અંતર = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 240 \text{ km/h} \times 5 \text{ h} = 1200 \text{ km}$.
પગલું $2$: નવા સમયને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
નવો સમય = $1 \frac{2}{3} \text{ h} = \frac{5}{3} \text{ h}$.
પગલું $3$: તે જ અંતર નવા સમયમાં કાપવા માટે જરૂરી ઝડપ શોધો.
જરૂરી ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{નવો સમય}} = \frac{1200}{\frac{5}{3}} = 1200 \times \frac{3}{5} = 240 \times 3 = 720 \text{ km/h}$.

(D) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $d \text{ km}$ છે.
શાળાએ જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{3} \text{ કલાક}$ છે.
શાળાએથી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{3} \text{ કલાક}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t_1 + t_2 = 5 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$\frac{d}{3} + \frac{d}{3} = 5$.
$\frac{2d}{3} = 5$.
$2d = 15$.
$d = 7.5 \text{ km}$.
આમ,તેના ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $7.5 \text{ km}$ છે.

(C) ધારો કે સાચો સમય $t$ કલાક છે અને અંતર $d$ કિમી છે.
કિસ્સો $1$: ઝડપ $= 40 \text{ km/h}$,લીધેલ સમય $= (t + \frac{11}{60}) \text{ કલાક}$.
તેથી,$d = 40(t + \frac{11}{60}) \dots (i)$
કિસ્સો $2$: ઝડપ $= 50 \text{ km/h}$,લીધેલ સમય $= (t + \frac{5}{60}) \text{ કલાક}$.
તેથી,$d = 50(t + \frac{5}{60}) \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$40(t + \frac{11}{60}) = 50(t + \frac{5}{60})$
$4(t + \frac{11}{60}) = 5(t + \frac{5}{60})$
$4t + \frac{44}{60} = 5t + \frac{25}{60}$
$t = \frac{44}{60} - \frac{25}{60} = \frac{19}{60} \text{ કલાક}$.
$1 \text{ કલાક} = 60 \text{ મિનિટ}$ હોવાથી,$t = \frac{19}{60} \times 60 = 19 \text{ મિનિટ}$.

(B) ટ્રેનની લંબાઈ $800 \, m$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $78 \, km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરીશું:
ઝડપ $= 78 \times \frac{5}{18} = \frac{390}{18} = \frac{65}{3} \, m/s$.
ટનલ પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $1 \, minute = 60 \, seconds$ છે.
ધારો કે ટનલની લંબાઈ $L \, m$ છે.
ટ્રેન દ્વારા ટનલ પસાર કરવા માટે કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $(800 + L) \, m$ થશે.
સૂત્ર $\text{અંતર }= \text{ઝડપ }\times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$800 + L = (\frac{65}{3}) \times 60$
$800 + L = 65 \times 20$
$800 + L = 1300$
$L = 1300 - 800 = 500 \, m$.
આમ,ટનલની લંબાઈ $500 \, m$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ દિવસે કાપેલું અંતર $d_1$ છે અને બીજા દિવસે કાપેલું અંતર $d_2$ છે.
આપેલ છે કે $d_2 = 70 \,km$ અને ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 4 : 5$ છે.
તેથી,$\frac{d_1}{70} = \frac{4}{5}$.
$d_1 = \frac{4 \times 70}{5} = 4 \times 14 = 56 \,km$.
ત્રીજા દિવસે કાપેલું અંતર $d_3 = 42 \,km$ છે.
ત્રીજા દિવસે અને પ્રથમ દિવસે કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $d_3 : d_1 = 42 : 56$ થાય.
બંનેને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $14$ વડે ભાગતા,આપણને $42 \div 14 = 3$ અને $56 \div 14 = 4$ મળે છે.
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(A) ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મીની સાપેક્ષ ઝડપ $(11 - 10)\, km/h = 1\, km/h$ છે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 1 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{18}\, m/s$.
આપેલ સમય $6\, \text{મિનિટ}$ છે,જે $6 \times 60 = 360\, \text{સેકન્ડ}$ થાય છે.
$360\, \text{સેકન્ડ}$ માં ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મી દ્વારા કાપેલું અંતર:
અંતર $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{5}{18} \times 360 = 5 \times 20 = 100\, m$.
તેમની વચ્ચેનું શરૂઆતનું અંતર $200\, m$ હતું. $6\, \text{મિનિટ}$ પછી,પોલીસકર્મીએ $100\, m$ નું અંતર કાપી લીધું છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $(200 - 100)\, m = 100\, m$ છે.

(C) છોકરો સવારે $10:00$ વાગ્યે નીકળ્યો અને બપોરે $1:30$ વાગ્યે પકડાયો. છોકરા દ્વારા લેવાયેલ કુલ સમય $3\, \text{કલાક}\, 30\, \text{મિનિટ }= 3.5\, \text{કલાક }= \frac{7}{2}\, \text{કલાક}$ છે.
છોકરા દ્વારા કાપેલું અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 12\, km/hr \times \frac{7}{2}\, hr = 42\, km$.
મોટો ભાઈ $1\, \text{કલાક}\, 15\, \text{મિનિટ}$ પછી નીકળ્યો,એટલે કે $10:00$ વાગ્યાના $1.25\, \text{કલાક }= \frac{5}{4}\, \text{કલાક}$ પછી.
સ્કૂટર દ્વારા તે જ અંતર કાપવા માટે લેવાયેલ સમય $\frac{7}{2} - \frac{5}{4} = \frac{14-5}{4} = \frac{9}{4}\, \text{કલાક}$ છે.
ધારો કે સ્કૂટરની ઝડપ $x\, km/hr$ છે.
અંતર સમાન હોવાથી,$x \times \frac{9}{4} = 42$.
$x = \frac{42 \times 4}{9} = \frac{14 \times 4}{3} = \frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}\, km/hr$.

(B) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $x \, km$ છે.
કિસ્સો $1$: ઝડપ $= 2 \, km/h$. લાગતો સમય $= x/2 \, \text{કલાક}$.
તે $6 \, minutes$ મોડો હોવાથી,વાસ્તવિક સમય $(x/2 - 6/60) \, \text{કલાક}$ છે.
કિસ્સો $2$: ઝડપ $= 2 + 1 = 3 \, km/h$. લાગતો સમય $= x/3 \, \text{કલાક}$.
તે $6 \, minutes$ વહેલો હોવાથી,વાસ્તવિક સમય $(x/3 + 6/60) \, \text{કલાક}$ છે.
વાસ્તવિક સમયને સરખાવતા:
$x/2 - 1/10 = x/3 + 1/10$
$x/2 - x/3 = 1/10 + 1/10$
$(3x - 2x) / 6 = 2/10$
$x/6 = 1/5$
$x = 6/5 \, km$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L$ છે અને તેની ઝડપ $s$ છે.
જ્યારે ટ્રેન એક માણસને પસાર કરે છે, ત્યારે કાપેલું અંતર ટ્રેનની લંબાઈ $(L)$ જેટલું હોય છે:
$s = \frac{L}{10} \implies L = 10s$ ....$(i)$
જ્યારે ટ્રેન $300 \, \text{મીટર}$ લાંબા પુલને પસાર કરે છે, ત્યારે કાપેલું અંતર $(L + 300)$ હોય છે:
$s = \frac{L + 300}{25} \implies 25s = L + 300$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$25s = 10s + 300$
$15s = 300$
$s = 20 \, \text{મીટર/સેકન્ડ}$
હવે, ટ્રેનની લંબાઈ $L$ શોધો:
$L = 10 \times 20 = 200 \, \text{મીટર}$
$200 \, \text{મીટર}$ લાંબા પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે, કાપવાનું કુલ અંતર $(L + 200) = 200 + 200 = 400 \, \text{મીટર}$ થશે.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{400}{20} = 20 \, \text{સેકન્ડ}$.

(A) તેઓ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે $A, B$ અને $C$ દ્વારા લેવાયેલા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સમયનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$A = 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$
$B = 308 = 2^2 \times 7 \times 11$
$C = 198 = 2 \times 3^2 \times 11$
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 11 = 4 \times 9 \times 77 = 2772 \text{ સેકન્ડ}$.
સેકન્ડને મિનિટમાં ફેરવતા:
$2772 \div 60 = 46 \text{ મિનિટ અને } 12 \text{ સેકન્ડ}$ $(2772 = 46 \times 60 + 12)$.

(A) ધારો કે $A, B, C$ દ્વારા $1000 \text{ m}$ દોડવા માટે લેવાયેલ સમય $T_A, T_B, T_C$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $T_B - T_A = 25 \text{ sec} \implies T_B = T_A + 25$.
$A$ એ $C$ ને $275 \text{ m}$ થી હરાવ્યો,એટલે કે $T_A$ સમયમાં $C$ એ $1000 - 275 = 725 \text{ m}$ અંતર કાપ્યું.
$C$ ની ઝડપ = $\frac{725}{T_A}$.
$C$ દ્વારા $1000 \text{ m}$ દોડવા માટે લેવાયેલ સમય $T_C = \frac{1000}{725/T_A} = \frac{40}{29} T_A$.
આપેલ છે કે $T_C - T_B = 30 \text{ sec}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{40}{29} T_A - (T_A + 25) = 30$.
$\frac{11}{29} T_A = 55 \implies T_A = 145 \text{ sec}$.
$145 \text{ sec} = 2 \text{ min } 25 \text{ sec}$.

(A) ધારો કે અંતર $d \text{ km}$ છે અને સામાન્ય ઝડપ $s \text{ km/h}$ છે।
પ્રથમ શરત મુજબ:
$\frac{d}{s} - \frac{d}{s+3} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{d(s+3) - ds}{s(s+3)} = \frac{2}{3} \implies \frac{3d}{s(s+3)} = \frac{2}{3} \implies 9d = 2s(s+3)$ .....$(i)$
બીજી શરત મુજબ:
$\frac{d}{s-2} - \frac{d}{s} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{ds - d(s-2)}{s(s-2)} = \frac{2}{3} \implies \frac{2d}{s(s-2)} = \frac{2}{3} \implies 3d = s(s-2)$ .....$(ii)$
$(ii)$ પરથી, $d = \frac{s(s-2)}{3}$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$9 \left( \frac{s(s-2)}{3} \right) = 2s(s+3)$
$3s(s-2) = 2s(s+3)$
$s \neq 0$ હોવાથી, $s$ વડે ભાગતા:
$3s - 6 = 2s + 6$
$s = 12 \text{ km/h}$
હવે, $s = 12$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$d = \frac{12(12-2)}{3} = \frac{12 \times 10}{3} = 40 \text{ km}$.

(D) કુલ સમય $= 15\, \text{કલાક}$.
$1$. પ્રથમ ભાગ: સમય $= \frac{1}{3} \times 15 = 5\, \text{કલાક}$. અંતર $= 5 \times 80 = 400\, km$.
બાકી રહેલ સમય $= 15 - 5 = 10\, \text{કલાક}$.
$2$. બીજો ભાગ: સમય $= 10$ નો $40\% = 0.4 \times 10 = 4\, \text{કલાક}$. અંતર $= 4 \times 70 = 280\, km$.
બાકી રહેલ સમય $= 10 - 4 = 6\, \text{કલાક}$.
$3$. ત્રીજો ભાગ: સમય $= \frac{2}{3} \times 6 = 4\, \text{કલાક}$. અંતર $= 4 \times 85 = 340\, km$.
બાકી રહેલ સમય $= 6 - 4 = 2\, \text{કલાક}$.
$4$. ચોથો ભાગ: સમય $= 2\, \text{કલાક}$. અંતર $= 2 \times 100 = 200\, km$.
કુલ અંતર $= 400 + 280 + 340 + 200 = 1220\, km$.

(A) ધારો કે $A$ ને $1000 \, m$ કાપતા $x$ સેકન્ડ લાગે છે અને $B$ ને તેટલું જ અંતર કાપતા $y$ સેકન્ડ લાગે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$A$ એ $x$ સેકન્ડમાં $1000 \, m$ દોડે છે,જ્યારે $B$ એ $(x + 20)$ સેકન્ડમાં $900 \, m$ દોડે છે.
તેથી,$B$ ની ઝડપ $v_B = \frac{900}{x + 20}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,$A$ એ $(y - 25)$ સેકન્ડમાં $950 \, m$ દોડે છે,જ્યારે $B$ એ $y$ સેકન્ડમાં $1000 \, m$ દોડે છે.
તેથી,$B$ ની ઝડપ $v_B = \frac{1000}{y}$ છે.
ઝડપને સરખાવતા: $\frac{900}{x + 20} = \frac{1000}{y} \Rightarrow y = \frac{10}{9}(x + 20) = \frac{10x + 200}{9} \dots (i)$.
વળી,$A$ ની ઝડપ $v_A = \frac{1000}{x}$ છે. બીજા કિસ્સામાં,$A$ એ $(y - 25)$ સેકન્ડમાં $950 \, m$ અંતર કાપે છે: $\frac{950}{y - 25} = \frac{1000}{x} \Rightarrow \frac{19}{y - 25} = \frac{20}{x} \Rightarrow 19x = 20y - 500 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $19x = 20(\frac{10x + 200}{9}) - 500$.
$171x = 200x + 4000 - 4500$.
$29x = 500 \Rightarrow x = \frac{500}{29} \, s$.

(C) ધારો કે ઘર અને ઓફિસ વચ્ચેનું અંતર $x \, km$ છે.
ધારો કે ઓફિસે પહોંચવાનો નિર્ધારિત સમય $t \, hours$ છે.
જ્યારે ઝડપ $30 \, km/hr$ હોય,ત્યારે લાગતો સમય $(t + 10/60) \, hours$ છે. તેથી,$x/30 = t + 1/6$.
જ્યારે ઝડપ $40 \, km/hr$ હોય,ત્યારે લાગતો સમય $(t - 5/60) \, hours$ છે. તેથી,$x/40 = t - 1/12$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x/30 - x/40 = (t + 1/6) - (t - 1/12)$.
$(4x - 3x) / 120 = 1/6 + 1/12$.
$x / 120 = (2 + 1) / 12 = 3/12 = 1/4$.
$x = 120 / 4 = 30 \, km$.
તેથી,અંતર $30 \, km$ છે.

(C) ધારો કે $3:20 \, p.m.$ પછી લાગતો સમય $t$ કલાક છે.
દિલ્હીથી આવતી ટ્રેન $4:00 \, p.m.$ વાગ્યે ઉપડે છે,તેથી તે $(t - 40/60)$ કલાક એટલે કે $(t - 2/3)$ કલાક મુસાફરી કરે છે.
અમૃતસરથી આવતી ટ્રેન $t$ કલાક મુસાફરી કરે છે.
બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપેલ અંતરનો સરવાળો કુલ અંતર $450 \, km$ જેટલો થાય છે:
$60(t - 2/3) + 80t = 450$
$60t - 40 + 80t = 450$
$140t = 490$
$t = 490 / 140 = 3.5 \, \text{કલાક}$.
$3.5 \, \text{કલાક}$ એટલે $3 \, \text{કલાક}$ અને $30 \, \text{મિનિટ}$.
બીજી ટ્રેનના ઉપડવાના સમય $(3:20 \, p.m.)$ માં આ સમય ઉમેરતા:
$3:20 \, p.m. + 3 \, \text{કલાક} \, 30 \, \text{મિનિટ} = 6:50 \, p.m.$

(B) ધારો કે $B$ એ $2$ વાગ્યે નીકળ્યા પછી $A$ ને પકડવા માટે લીધેલ સમય $t$ છે.
$A$ એ $1$ વાગ્યે શરૂઆત કરી હતી,તેથી $2$ વાગ્યે $A$ એ $3 \text{ km}$ અંતર કાપ્યું હશે.
$A$ ની સાપેક્ષે $B$ ની ઝડપ = $4 - 3 = 1 \text{ km/h}$.
$B$ ને $A$ ને પકડવા માટે લાગતો સમય = $\frac{3 \text{ km}}{1 \text{ km/h}} = 3 \text{ કલાક}$.
તેથી,$B$ એ $A$ ને $2 + 3 = 5$ વાગ્યે પકડશે.
$5$ વાગ્યે,પુણેથી અંતર $4 \times 3 = 12 \text{ km}$ છે.
હવે,$B$ આ બિંદુએથી ($12 \text{ km}$ દૂર) $C$ ને સંદેશો પાછો મોકલે છે.
$5$ વાગ્યે,$C$ એ $5 - 3 = 2$ કલાકથી ચાલી રહ્યો છે.
$5$ વાગ્યે $C$ દ્વારા કાપેલું અંતર = $5 \times 2 = 10 \text{ km}$.
$B$ ($12 \text{ km}$ પર) અને $C$ ($10 \text{ km}$ પર) વચ્ચેનું અંતર = $12 - 10 = 2 \text{ km}$.
તેઓ એકબીજાની તરફ આવી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ = $3 + 5 = 8 \text{ km/h}$.
મળવા માટે લાગતો સમય = $\frac{2}{8} \text{ કલાક} = \frac{1}{4} \text{ કલાક} = 15 \text{ મિનિટ}$.
તેથી,$C$ ને $5:15$ વાગ્યે સંદેશો મળશે.

(A) ધારો કે બંને ટ્રેનોને મળવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે.
બંને ટ્રેનો એક જ સમયે શરૂ થાય છે,તેથી સમય $t$ બંને માટે સમાન છે.
પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર: $d_1 = 20t$.
બીજી ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર: $d_2 = 25t$.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજી ટ્રેને પ્રથમ ટ્રેન કરતા $80 \, km$ વધુ મુસાફરી કરી છે: $25t = 20t + 80$.
$5t = 80 \Rightarrow t = 16 \, \text{કલાક}$.
બંને સ્ટેશનો વચ્ચેનું અંતર એ બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપેલા અંતરનો સરવાળો છે: $D = d_1 + d_2 = 20t + 25t = 45t$.
$D = 45 \times 16 = 720 \, km$.

(B) ધારો કે માલગાડીની લંબાઈ $L_1$ અને તેની ઝડપ $S_1$ છે.
ધારો કે પેસેન્જર ટ્રેનની લંબાઈ $L_2$ અને તેની ઝડપ $S_2$ છે.
આપેલ ઝડપનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 = 1 : 2$ છે,તેથી $S_2 = 2S_1$.
જ્યારે પેસેન્જર ટ્રેન માલગાડીને ઓવરટેક કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(S_2 - S_1)$ થાય છે. સંપૂર્ણપણે પસાર થવા માટે કાપેલું કુલ અંતર $(L_1 + L_2)$ છે.
$(S_2 - S_1) = \frac{L_1 + L_2}{60} \implies S_1 = \frac{L_1 + L_2}{60} \dots (i)$
જ્યારે પેસેન્જર ટ્રેનનો મુસાફર માલગાડીને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું અંતર ફક્ત માલગાડીની લંબાઈ $(L_1)$ જેટલું જ હોય છે.
$(S_2 - S_1) = \frac{L_1}{40} \implies S_1 = \frac{L_1}{40} \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{L_1 + L_2}{60} = \frac{L_1}{40}$
$\frac{L_1 + L_2}{3} = \frac{L_1}{2}$
$2(L_1 + L_2) = 3L_1$
$2L_1 + 2L_2 = 3L_1$
$2L_2 = L_1$
તેથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2 = 2 : 1$ છે.

(D) ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ $v$ km/hr છે।
ધારો કે પ્રથમ અકસ્માત બિંદુ $(C)$ અને ગંતવ્ય સ્થાન $(B)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ km છે।
જ્યારે અકસ્માત $C$ પર થાય છે, ત્યારે ટ્રેન બાકીનું અંતર $d$ ને $\frac{3}{4}v$ ઝડપે કાપે છે।
લાગેલો સમય $= \frac{d}{\frac{3}{4}v} = \frac{4d}{3v}$
સામાન્ય ઝડપે લાગેલો સમય $= \frac{d}{v}$
વિલંબ:
$\frac{4d}{3v} - \frac{d}{v} = \frac{d}{3v}$
$\frac{d}{3v} = 35$ મિનિટ $= \frac{35}{60} = \frac{7}{12}$ કલાક
અેથી,
$\frac{d}{v} = \frac{7}{12} \times 3 = \frac{7}{4}$  ...(1)
જ્યારે અકસ્માત $D$ બિંદુ પર $72$ km આગળ થાય છે, ત્યારે બાકીનું અંતર $(d - 72)$ km છે।
વિલંબ:
$\frac{d-72}{\frac{3}{4}v} - \frac{d-72}{v} = 15$ મિનિટ
$= \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ કલાક
$\frac{d-72}{v}\left(\frac{4}{3} - 1\right) = \frac{1}{4}$
$\frac{d-72}{v} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$
$\frac{d-72}{v} = \frac{3}{4}$ ...(2)
(1) માંથી (2) બાદ કરતા:
$\frac{d}{v} - \frac{d-72}{v} = \frac{7}{4} - \frac{3}{4} = 1$
$\frac{72}{v} = 1$
$v = 72$ km/hr

(D) ધારો કે બે ટ્રેનોની ઝડપ $S_1$ અને $S_2$ ($m/s$ માં) છે,જ્યાં $S_1 > S_2$ છે.
જ્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(S_1 + S_2)$ થાય છે. એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપેલું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $100 + 80 = 180\, m$.
આપેલ સમય $= 9\, s$,તેથી $S_1 + S_2 = 180 / 9 = 20\, m/s$ ... $(i)$.
જ્યારે તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(S_1 - S_2)$ થાય છે. કાપેલું કુલ અંતર હજુ પણ $180\, m$ છે.
આપેલ સમય $= 18\, s$,તેથી $S_1 - S_2 = 180 / 18 = 10\, m/s$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2S_1 = 30 \implies S_1 = 15\, m/s$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2S_2 = 10 \implies S_2 = 5\, m/s$.
$18/5$ વડે ગુણીને $km/h$ માં રૂપાંતર કરતા:
$S_1 = 15 \times (18/5) = 54\, km/h$.
$S_2 = 5 \times (18/5) = 18\, km/h$.

(C) પગલું $1$: ટ્રેનના મધ્ય બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય.
કાપવાનું અંતર $= 150 \, m = 0.15 \, km$.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 70 - 45 = 25 \, km/hr$.
સમય $t_1 = \frac{0.15}{25} \, hr = 0.006 \, hr$.
$t_1$ સમયમાં મોટરબાઈક દ્વારા કાપેલું અંતર $= 70 \times 0.006 = 0.42 \, km = 420 \, m$.
પગલું $2$: ટ્રેનનો બાકીનો અડધો ભાગ કાપવા માટે લાગતો સમય.
કાપવાનું બાકી અંતર $= 150 \, m = 0.15 \, km$.
નવી સાપેક્ષ ઝડપ $= 65 - 60 = 5 \, km/hr$.
સમય $t_2 = \frac{0.15}{5} \, hr = 0.03 \, hr$.
$t_2$ સમયમાં મોટરબાઈક દ્વારા કાપેલું અંતર $= 65 \times 0.03 = 1.95 \, km = 1950 \, m$.
પગલું $3$: મોટરબાઈક દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર.
કુલ અંતર $= 0.42 + 1.95 = 2.37 \, km$.

(B) ધારો કે કાનપુર મેઇલની ઝડપ $S_1$ છે અને દિલ્હી મેઇલની ઝડપ $S_2$ છે.
કાનપુર મેઇલને મળ્યા પછી તેના ગંતવ્ય સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = 12\, \text{કલાક}$ છે.
દિલ્હી મેઇલને મળ્યા પછી તેના ગંતવ્ય સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = 3\, \text{કલાક}$ છે.
એકબીજાને પસાર કર્યા પછી ઝડપ અને સમય વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{S_1}{S_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$.
અહીં $S_1 = 48\, \text{km/hr}$,$t_1 = 12\, \text{કલાક}$,અને $t_2 = 3\, \text{કલાક}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{48}{S_2} = \sqrt{\frac{3}{12}}$.
$\frac{48}{S_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
$S_2 = 48 \times 2 = 96\, \text{km/hr}$.

(C) ધારો કે રેણુની શરૂઆતની ઝડપ $v$ છે અને હીનાની શરૂઆતની ઝડપ $2v$ છે.
પ્રથમ $50\, m$ માટે:
હીના દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_{H1} = \frac{50}{2v} = \frac{25}{v}$.
રેણુ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_{R1} = \frac{50}{v}$.
$50\, m$ પછી,હીનાની ઝડપ $\frac{1}{4} \times 2v = 0.5v$ થાય છે.
રેણુ $v$ ઝડપે દોડવાનું ચાલુ રાખે છે.
ધારો કે રેણુ હીનાને પકડે ત્યાં સુધી બંને દ્વારા કાપેલું વધારાનું અંતર $d$ છે.
હીના દ્વારા $d$ અંતર કાપવા માટે લેવાયેલ સમય $t_{H2} = \frac{d}{0.5v} = \frac{2d}{v}$ છે.
રેણુ દ્વારા $d$ અંતર કાપવા માટે લેવાયેલ સમય $t_{R2} = \frac{d}{v}$ છે.
રેણુ હીનાને પકડે છે,તેથી બંને દ્વારા લેવાયેલ કુલ સમય સમાન હોવો જોઈએ:
$t_{R1} + t_{R2} = t_{H1} + t_{H2}$
$\frac{50}{v} + \frac{d}{v} = \frac{25}{v} + \frac{2d}{v}$
$50 + d = 25 + 2d$
$d = 25\, m$.
શરૂઆતથી કાપેલું કુલ અંતર $50 + 25 = 75\, m$ છે.
ફિનિશ લાઇનથી અંતર $N = 100 - 75 = 25\, m$ છે.

(A) ધારો કે અંતર $d \, km$ છે અને મૂળ ઝડપ $s \, km/h$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $\frac{d}{s} - \frac{d}{s+6} = 4 \implies \frac{6d}{s(s+6)} = 4 \implies \frac{d}{s(s+6)} = \frac{2}{3} \implies d = \frac{2s(s+6)}{3} \dots (i)$
બીજી શરત મુજબ: $\frac{d}{s-6} - \frac{d}{s+6} = 10 \implies d \left( \frac{(s+6) - (s-6)}{(s-6)(s+6)} \right) = 10 \implies d \left( \frac{12}{s^2-36} \right) = 10 \implies d = \frac{10(s^2-36)}{12} = \frac{5(s^2-36)}{6} \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $\frac{2s^2+12s}{3} = \frac{5s^2-180}{6} \implies 4s^2 + 24s = 5s^2 - 180 \implies s^2 - 24s - 180 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(s-30)(s+6) = 0$. ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $s = 30 \, km/h$.
$s = 30$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $d = \frac{2(30)(36)}{3} = 20 \times 36 = 720 \, km$.

(B) ધારો કે સીતા અને ગીતાની ઝડપ અનુક્રમે $v_S$ અને $v_G$ છે. ધારો કે ગીતાને $B$ થી મીટિંગ પોઈન્ટ $M$ સુધી પહોંચવામાં $t$ સમય લાગે છે. તો સીતાને $A$ થી $M$ સુધી પહોંચવામાં $(t-6)$ કલાક લાગે છે.
ધારો કે $d_S$ અને $d_G$ એ સીતા અને ગીતા દ્વારા કાપેલું અંતર છે જ્યાં સુધી તેઓ $M$ પર મળે છે. આપણી પાસે $d_S = v_S(t-6)$ અને $d_G = v_G t$ છે.
આપેલ છે કે $d_G - d_S = 12$,તેથી $v_G t - v_S(t-6) = 12$.
મળ્યા પછી,સીતા બાકીનું અંતર $B$ સુધી $8$ કલાકમાં કાપે છે,તેથી $d_G = v_S \times 8$. ગીતા બાકીનું અંતર $A$ સુધી $9$ કલાકમાં કાપે છે,તેથી $d_S = v_G \times 9$.
આ કિંમતોને અંતરના સમીકરણોમાં મૂકતા: $v_S(t-6) = 9 v_G$ અને $v_G t = 8 v_S$.
$v_G t = 8 v_S$ પરથી,આપણને $v_S/v_G = t/8$ મળે છે. તેમજ $v_S(t-6) = 9 v_G$ પરથી,આપણને $v_S/v_G = 9/(t-6)$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા: $t/8 = 9/(t-6) \Rightarrow t(t-6) = 72 \Rightarrow t^2 - 6t - 72 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(t-12)(t+6) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 12$.
તેથી $v_S/v_G = 12/8 = 3/2$. ધારો કે $v_S = 3k$ અને $v_G = 2k$.
$v_G t - v_S(t-6) = 12$ માં કિંમત મૂકતા: $(2k)(12) - (3k)(12-6) = 12 \Rightarrow 24k - 18k = 12 \Rightarrow 6k = 12 \Rightarrow k = 2$.
આમ,$v_S = 3(2) = 6 \, km/hr$ અને $v_G = 2(2) = 4 \, km/hr$.
ઝડપી સાયકલ સવારની ઝડપ $6 \, km/hr$ છે.

(B) ધારો કે બે સાયકલ સવારોની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ કિમી/કલાક છે અને કુલ અંતર $D$ કિમી છે. ધારો કે $v_1 > v_2$.
તેઓ $t = 3$ કલાક $20$ મિનિટ $= 10/3$ કલાક પછી મળે છે.
તેથી,$D = (v_1 + v_2) \times (10/3)$.
પ્રથમ સાયકલ સવારને અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = D/v_1$ અને બીજાને $T_2 = D/v_2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $T_2 - T_1 = 5$ કલાક.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે $T_2 = 10$ કલાક.

(A) કૂતરા અને બિલાડી વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $= 25$ કૂતરાના કુદકા.
એક મિનિટમાં, કૂતરો $5$ કુદકા મારે છે.
એક મિનિટમાં, બિલાડી $6$ કુદકા મારે છે. કારણ કે કૂતરાનો $1$ કુદકો $= 2$ બિલાડીના કુદકા, તેથી $6$ બિલાડીના કુદકા $= 3$ કૂતરાના કુદકા થાય.
તેથી, બિલાડીની સાપેક્ષમાં કૂતરાની સાપેક્ષ ઝડપ $= 5 - 3 = 2$ કૂતરાના કુદકા પ્રતિ મિનિટ.
બિલાડીને પકડવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{પ્રારંભિક અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{25}{2} = 12.5$ મિનિટ.

(A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $v_t \text{ m/s}$ છે.
બે બંદૂકના અવાજ વચ્ચેનો સમયગાળો $13 \text{ મિનિટ} = 780 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
વ્યક્તિ જે સમયગાળામાં અવાજ સાંભળે છે તે $12 \text{ મિનિટ } 30 \text{ સેકન્ડ} = 750 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
જે સમયમાં ટ્રેન $750 \text{ સેકન્ડ}$ મુસાફરી કરે છે,તે સમયમાં અવાજ તે અંતર કાપે છે જે ટ્રેન બાકીની $30 \text{ સેકન્ડ}$ $(780 - 750 = 30 \text{ સેકન્ડ})$ માં કાપતી હોત.
$30 \text{ સેકન્ડ}$ માં અવાજ દ્વારા કાપેલું અંતર $= 330 \times 30 = 9900 \text{ મીટર}$.
આ અંતર ટ્રેન દ્વારા $750 \text{ સેકન્ડ}$ માં કાપવામાં આવે છે.
ટ્રેનની ઝડપ $v_t = \frac{9900}{750} \text{ m/s} = 13.2 \text{ m/s}$.
$\text{m/s}$ ને $\text{km/hr}$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$v_t = 13.2 \times \frac{18}{5} = \frac{132}{10} \times \frac{18}{5} = \frac{2376}{50} = \frac{1188}{25} \text{ km/hr}$.
$v_t = 47 \frac{13}{25} \text{ km/hr}$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $x \text{ km}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ સમય $T_1 = \frac{x}{3.5} + \frac{x}{3.5} = \frac{2x}{3.5} = \frac{2x}{7/2} = \frac{4x}{7} \text{ કલાક}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,કુલ સમય $T_2 = \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{4x + 3x}{12} = \frac{7x}{12} \text{ કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $5 \text{ મિનિટ}$ છે,જે $\frac{5}{60} = \frac{1}{12} \text{ કલાક}$ થાય છે.
તેથી,$T_2 - T_1 = \frac{1}{12}$.
$\frac{7x}{12} - \frac{4x}{7} = \frac{1}{12}$.
લસાઅ $(84)$ લેતા:
$\frac{49x - 48x}{84} = \frac{1}{12}$.
$\frac{x}{84} = \frac{1}{12}$.
$x = \frac{84}{12} = 7 \text{ km}$.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $7 \text{ km}$ છે.

(B) ધારો કે ગાડીની ઝડપ $v \text{ km/h}$ છે.
માણસની સાપેક્ષમાં ગાડીની સાપેક્ષ ઝડપ $(v - 3) \text{ km/h}$ થાય.
$4 \text{ મિનિટ}$ માં,માણસની સાપેક્ષમાં ગાડી દ્વારા કાપેલું અંતર $100 \text{ m} = 0.1 \text{ km}$ છે.
સમય $t = 4 \text{ મિનિટ} = \frac{4}{60} \text{ કલાક} = \frac{1}{15} \text{ કલાક}$.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.1 = (v - 3) \times \frac{1}{15}$
$v - 3 = 0.1 \times 15 = 1.5$
$v = 1.5 + 3 = 4.5 \text{ km/h}$.
આમ,ગાડીની ઝડપ $4\frac{1}{2} \text{ km/h}$ છે.