Squares and Square Roots Questions in Hindi

(C) माना कि दो वर्गाकार खेतों की भुजाएँ क्रमशः $s_1$ और $s_2$ हैं।
दिया गया है कि पहले वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = 420.25 \; m^2$ और दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल $A_2 = 441 \; m^2$ है।
वर्ग की भुजा ज्ञात करने का सूत्र $s = \sqrt{A}$ है।
अतः,$s_1 = \sqrt{420.25} = 20.5 \; m$ और $s_2 = \sqrt{441} = 21 \; m$ है।
उनकी भुजाओं का अनुपात $s_1 : s_2 = 20.5 : 21$ है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए,दोनों पदों को $2$ से गुणा करने पर: $(20.5 \times 2) : (21 \times 2) = 41 : 42$ प्राप्त होता है।

(B) उपलब्ध सैनिकों की कुल संख्या $5180$ है।
ठोस वर्ग बनाने के लिए,सैनिकों की कुल संख्या एक पूर्ण वर्ग होनी चाहिए।
जनरल ने पाया कि पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसके पास $4$ सैनिक कम हैं।
इसलिए,ठोस वर्ग बनाने के लिए आवश्यक सैनिकों की संख्या $5180 + 4 = 5184$ है।
अगली पंक्ति में सैनिकों की संख्या वर्ग में मौजूद सैनिकों की कुल संख्या का वर्गमूल है।
वर्गमूल की गणना करने पर: $\sqrt{5184} = 72$।
अतः,अगली पंक्ति में सैनिकों की संख्या $72$ है।

(C) तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या $999$ है।
तीन अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि द्वारा $999$ का वर्गमूल निकालते हैं:
$\begin{array}{l|l} \hline & 31 \\ \hline 3 & 999 \\ \hline & 9 \\ \hline 61 & 099 \\ & 61 \\ \hline & 38 \end{array}$
चूंकि शेषफल $38$ है,इसलिए $999$ से छोटी सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए हम $999$ में से $38$ घटा सकते हैं या भागफल $31$ का वर्ग कर सकते हैं।
$(31)^2 = 961$.
अतः,तीन अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $961$ है।

(C) सबसे पहले,मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें:
$21 \frac{15}{289} = \frac{21 \times 289 + 15}{289} = \frac{6069 + 15}{289} = \frac{6084}{289}$
अब,इसका वर्गमूल ज्ञात करें:
$\sqrt{\frac{6084}{289}} = \frac{\sqrt{6084}}{\sqrt{289}} = \frac{78}{17}$
अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलें:
$\frac{78}{17} = 4 \frac{10}{17}$
परिणाम को एक पूर्ण संख्या बनाने के लिए,हमें भिन्नात्मक भाग को घटाना होगा:
$4 \frac{10}{17} - \frac{10}{17} = 4$
अतः,घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या $\frac{10}{17}$ है।

(C) घटाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $62512$ का वर्गमूल निकालने के लिए भाग विधि का उपयोग करते हैं।
$\begin{array}{c|ccc} & 250 & & \\ \hline 2 & 62 & 5 & 12 \\ & 4 & & \\ \hline 45 & 225 & & \\ & 225 & & \\ \hline 50 & 0 & 12 & \end{array}$
भाग विधि द्वारा,हमें शेषफल $12$ प्राप्त होता है।
यदि हम मूल संख्या $62512$ में से शेषफल $12$ घटाते हैं,तो हमें $62512 - 12 = 62500$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{62500} = 250$ होता है,इसलिए $62500$ एक पूर्ण वर्ग है।
अतः,घटाई जाने वाली सबसे छोटी संख्या $12$ है।

(C) $5$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $99999$ है।
$5$ अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि द्वारा $99999$ का वर्गमूल निकालते हैं।
$\sqrt{99999} \approx 316.22$।
पूर्णांक भाग लेने पर,हमें $316$ प्राप्त होता है।
अतः,$5$ अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $(316)^{2} = 99856$ है।

(D) $2450$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए किस न्यूनतम संख्या से गुणा किया जाना चाहिए,यह ज्ञात करने के लिए हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$2450 = 2 \times 1225$
$2450 = 2 \times 5 \times 245$
$2450 = 2 \times 5 \times 5 \times 49$
$2450 = 2 \times 5^2 \times 7^2$
अभाज्य गुणनखंडन में,अभाज्य गुणनखंड $5$ और $7$ जोड़े में हैं ($5^2$ और $7^2$),लेकिन अभाज्य गुणनखंड $2$ का कोई जोड़ा नहीं है।
$2450$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें इसे $2$ से गुणा करना होगा ताकि सभी अभाज्य गुणनखंड जोड़े में आ जाएं।
अतः,अभीष्ट न्यूनतम संख्या $2$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ क्रमशः $1x$ और $4x$ हैं।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके $H.C.F.$ और $L.C.M.$ के गुणनफल के बराबर होता है।
इसलिए,$(1x) \times (4x) = 21 \times 84$
$4x^2 = 1764$
$x^2 = \frac{1764}{4} = 441$
$x = \sqrt{441} = 21$
अतः,दो संख्याएँ $1 \times 21 = 21$ और $4 \times 21 = 84$ हैं।
बड़ी संख्या $84$ है।

(A) दिया गया है: $a=64$ और $b=289.$
सबसे पहले,$a$ और $b$ का वर्गमूल ज्ञात करें:
$\sqrt{a} = \sqrt{64} = 8$
$\sqrt{b} = \sqrt{289} = 17$
अब,इन मानों को व्यंजक $(\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{\sqrt{b}-\sqrt{a}})^{\frac{1}{2}}$ में प्रतिस्थापित करें:
$= (\sqrt{8+17} - \sqrt{17-8})^{\frac{1}{2}}$
$= (\sqrt{25} - \sqrt{9})^{\frac{1}{2}}$
$= (5 - 3)^{\frac{1}{2}}$
$= (2)^{\frac{1}{2}}$

(C) दिया गया है: $\sqrt{x} = \sqrt{3} - \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$
$x = 3 + 5 - 2\sqrt{15}$
$x = 8 - 2\sqrt{15}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x - 8 = -2\sqrt{15}$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 8)^2 = (-2\sqrt{15})^2$
$x^2 - 16x + 64 = 4 \times 15$
$x^2 - 16x + 64 = 60$
दोनों पक्षों से $60$ घटाने पर:
$x^2 - 16x + 4 = 0$
हमें $x^2 - 16x + 6$ का मान ज्ञात करना है:
$x^2 - 16x + 6 = (x^2 - 16x + 4) + 2$
चूंकि $x^2 - 16x + 4 = 0$,इसलिए:
$0 + 2 = 2$.

(A) हमें $1000000.000001$ का वर्गमूल ज्ञात करना है।
मान लीजिए $x = 1000000$ और $\Delta x = 0.000001$ है।
हम द्विपद सन्निकटन $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,$\sqrt{x} = \sqrt{1000000} = 1000$ है।
अतः,$\sqrt{1000000.000001} \approx 1000 + \frac{0.000001}{2 \times 1000}$ है।
$\sqrt{1000000.000001} \approx 1000 + \frac{0.000001}{2000} = 1000 + 0.0000000005 = 1000.0000005$ है।
चूंकि $1000.0000005$,$1000$ के अत्यंत निकट है,इसलिए दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त विकल्प $1000$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $(2+\sqrt{2}) + \frac{1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{2}}$
सबसे पहले,भिन्नों के योग को सरल करें:
$\frac{1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{4}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$
अब,इस परिणाम को पहले पद में जोड़ें:
$(2+\sqrt{2}) + 2 = 4+\sqrt{2}$

(A) दी गई व्यंजक: $[(5 \sqrt{7} + \sqrt{7}) \times (4 \sqrt{7} + 8 \sqrt{7})] - (19)^{2}$
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें:
$(5 \sqrt{7} + \sqrt{7}) = 6 \sqrt{7}$
$(4 \sqrt{7} + 8 \sqrt{7}) = 12 \sqrt{7}$
अब,इन परिणामों का गुणा करें:
$(6 \sqrt{7}) \times (12 \sqrt{7}) = (6 \times 12) \times (\sqrt{7} \times \sqrt{7}) = 72 \times 7 = 504$
इसके बाद,$19$ का वर्ग ज्ञात करें:
$(19)^{2} = 361$
अंत में,मानों को घटाएं:
$504 - 361 = 143$

(D) सबसे पहले,वर्गमूल की गणना करें: $\sqrt{33124} = 182$ और $\sqrt{2601} = 51$।
इसके बाद,वर्गों की गणना करें: $(83)^{2} = 6889$ और $(37)^{2} = 1369$।
इन मानों को समीकरण में रखें: $(182 \times 51) - 6889 = (?)^{2} + 1369$।
गुणनफल ज्ञात करें: $182 \times 51 = 9282$।
अब,समीकरण इस प्रकार होगा: $9282 - 6889 = (?)^{2} + 1369$।
बाएँ पक्ष को सरल करें: $2393 = (?)^{2} + 1369$।
दोनों पक्षों से $1369$ घटाएँ: $(?)^{2} = 2393 - 1369 = 1024$।
अंत में,वर्गमूल ज्ञात करें: $? = \sqrt{1024} = 32$।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $8787 \div 343 \times \sqrt{50}$
सबसे पहले,$50$ का वर्गमूल ज्ञात करें: $\sqrt{50} \approx 7.071$
इसके बाद,भाग करें: $8787 \div 343 \approx 25.618$
अब,परिणामों का गुणा करें: $25.618 \times 7.071 \approx 181.14$
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $181$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सबसे निकटतम मान $180$ है।

(B) इसे हल करने के लिए,हम सन्निकटन (approximation) का उपयोग करते हैं।
$\sqrt{6354}$,$\sqrt{6400}$ के बहुत करीब है,जो $80$ होता है।
$34.993$,$35$ के बहुत करीब है।
इसलिए,व्यंजक $\sqrt{6400} \times 35$ हो जाता है।
$= 80 \times 35 = 2800$.

(D) $1020$ में वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे जोड़ने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए,हम भाग विधि द्वारा $1020$ का वर्गमूल निकालते हैं।
$31^2 = 961$ और $32^2 = 1024$ होता है।
चूंकि $1020$,$31^2$ और $32^2$ के बीच स्थित है,इसलिए अगली पूर्ण वर्ग संख्या $32^2 = 1024$ है।
जोड़ी जाने वाली संख्या $1024 - 1020 = 4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $(2 \sqrt{392}-21)+(\sqrt{8}-7)^{2}=(?)^{2}$
चरण $1$: $\sqrt{392}$ का सरलीकरण करें। चूँकि $392 = 196 \times 2$,इसलिए $\sqrt{392} = 14 \sqrt{2}$ होगा।
चरण $2$: इस मान को समीकरण में रखने पर: $(2 \times 14 \sqrt{2}-21)+(\sqrt{8}-7)^{2}=(?)^{2}$
चरण $3$: $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ सूत्र का उपयोग करके वर्ग का विस्तार करें। यहाँ $a = \sqrt{8}$ और $b = 7$ है।
$(28 \sqrt{2}-21) + ((\sqrt{8})^{2} - 2 \times \sqrt{8} \times 7 + 7^{2}) = (?)^{2}$
चरण $4$: पदों को सरल करें:
$28 \sqrt{2} - 21 + 8 - 28 \sqrt{2} + 49 = (?)^{2}$
चरण $5$: समान पदों को संयोजित करें। $28 \sqrt{2}$ और $-28 \sqrt{2}$ कट जाएंगे:
$-21 + 8 + 49 = (?)^{2}$
$36 = (?)^{2}$
चरण $6$: $?$ के लिए हल करने पर: $? = \sqrt{36} = 6$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\frac{x}{961}}=\frac{32}{31}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1+\frac{x}{961} = \left(\frac{32}{31}\right)^2$
भिन्न का वर्ग करने पर:
$1+\frac{x}{961} = \frac{1024}{961}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{x}{961} = \frac{1024}{961} - 1$
दाहिनी ओर सरल करने पर:
$\frac{x}{961} = \frac{1024 - 961}{961}$
$\frac{x}{961} = \frac{63}{961}$
दोनों पक्षों को $961$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 63$

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\frac{x}{9}}=\frac{13}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1+\frac{x}{9} = \left(\frac{13}{3}\right)^2$
$1+\frac{x}{9} = \frac{169}{9}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{x}{9} = \frac{169}{9} - 1$
$\frac{x}{9} = \frac{169-9}{9}$
$\frac{x}{9} = \frac{160}{9}$
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 160$

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}$
हर का सरलीकरण करने पर: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ और $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$.
अतः,अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$ से गुणा करने पर:
$= \frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}$
अंश का विस्तार करने पर: $(4 \sqrt{3})(4 \sqrt{3}) - (4 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) - (5 \sqrt{2})(3 \sqrt{2})$
$= 16(3) - 12 \sqrt{6} + 20 \sqrt{6} - 15(2) = 48 + 8 \sqrt{6} - 30 = 18 + 8 \sqrt{6}$.
हर का विस्तार करने पर: $(4 \sqrt{3})^2 - (3 \sqrt{2})^2 = 16(3) - 9(2) = 48 - 18 = 30$.
इस प्रकार,अभिव्यक्ति होगी: $\frac{18 + 8 \sqrt{6}}{30} = \frac{18}{30} + \frac{8 \sqrt{6}}{30} = \frac{3}{5} + \frac{4}{15} \sqrt{6}$.
इसे $a+b \sqrt{6}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{3}{5}$ और $b = \frac{4}{15}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दी गई व्यंजक $E = \frac{(0.75)^{3}}{1-0.75} + (0.75 + (0.75)^{2} + 1)$ है।
हम जानते हैं कि $1 - 0.75 = 0.25$ होता है।
अतः,$E = \frac{(0.75)^{3}}{0.25} + (0.75^{2} + 0.75 + 1)$।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = \frac{(0.75)^{3} + 0.25(0.75^{2} + 0.75 + 1)}{0.25}$।
चूंकि $0.25 = 1 - 0.75$,इसलिए:
$E = \frac{(0.75)^{3} + (1 - 0.75)(1^{2} + 1 \times 0.75 + 0.75^{2})}{0.25}$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$ और $b = 0.75$ है:
$(1 - 0.75)(1^{2} + 1 \times 0.75 + 0.75^{2}) = 1^{3} - 0.75^{3} = 1 - 0.75^{3}$।
इस मान को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{0.75^{3} + (1 - 0.75^{3})}{0.25} = \frac{1}{0.25} = 4$।
अतः,व्यंजक का वर्गमूल $\sqrt{4} = 2$ है।

(B) दिया गया है कि $\sqrt{4096} = 64$ है।
सबसे पहले,$\sqrt{40.96}$ का मान ज्ञात करें:
$\sqrt{40.96} = \sqrt{\frac{4096}{100}} = \frac{\sqrt{4096}}{\sqrt{100}} = \frac{64}{10} = 6.4$।
इसके बाद,$\sqrt{0.004096}$ का मान ज्ञात करें:
$\sqrt{0.004096} = \sqrt{\frac{4096}{1000000}} = \frac{\sqrt{4096}}{\sqrt{1000000}} = \frac{64}{1000} = 0.064$।
अब,इन मानों को जोड़ें:
$64 + 6.4 + 0.064 = 70.464$।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $[(3 \sqrt{8} + \sqrt{8}) \times (8 \sqrt{8} + 7 \sqrt{8})] - 98$
चरण $1$: कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें।
$(3 \sqrt{8} + \sqrt{8}) = 4 \sqrt{8}$
$(8 \sqrt{8} + 7 \sqrt{8}) = 15 \sqrt{8}$
चरण $2$: सरल किए गए पदों का गुणा करें।
$(4 \sqrt{8}) \times (15 \sqrt{8}) = 4 \times 15 \times \sqrt{8} \times \sqrt{8}$
$= 60 \times 8 = 480$
चरण $3$: परिणाम में से $98$ घटाएं।
$480 - 98 = 382$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सबसे पहले,वर्गमूल की गणना करें:
$\sqrt{11449} = 107$
$\sqrt{6241} = 79$
इसके बाद,वर्गों की गणना करें:
$(54)^{2} = 2916$
$(74)^{2} = 5476$
इन मानों को समीकरण में रखें:
$107 \times 79 - 2916 = \sqrt{?} + 5476$
$8453 - 2916 = \sqrt{?} + 5476$
$5537 = \sqrt{?} + 5476$
$\sqrt{?}$ को अलग करें:
$\sqrt{?} = 5537 - 5476$
$\sqrt{?} = 61$
अंत में,$?$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें:
$? = (61)^{2} = 3721$

(B) इसे हल करने के लिए,हम सन्निकटन (approximation) का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$\sqrt{6354}$ का सन्निकट मान ज्ञात करें। चूंकि $80^2 = 6400$ होता है,इसलिए $\sqrt{6354}$ लगभग $80$ है।
इसके बाद,$34.993$ को $35$ के रूप में लें।
अब,सन्निकट मानों का गुणा करें: $80 \times 35 = 2800$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) व्यंजक $(15.01)^{2} \times \sqrt{730}$ को हल करने के लिए,हम सन्निकटन (approximation) का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$(15.01)^{2}$ को $(15)^{2} = 225$ के रूप में लें।
इसके बाद,$\sqrt{730}$ को निकटतम पूर्ण वर्ग के साथ देखें। चूँकि $27^{2} = 729$ होता है,इसलिए $\sqrt{730} \approx 27$ होगा।
अब,अनुमानित मानों का गुणा करें:
$225 \times 27 = 6075$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सबसे निकटतम मान $6125$ (विकल्प $A$) है।

(C) $\sqrt{54} \times \sqrt{2120} \div \sqrt{460}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम पहले वर्गमूलों का अनुमानित मान ज्ञात करते हैं:
$\sqrt{54} \approx 7.348$
$\sqrt{2120} \approx 46.043$
$\sqrt{460} \approx 21.447$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$7.348 \times 46.043 \div 21.447$
$= 338.324 \div 21.447$
$\approx 15.77$
वैकल्पिक रूप से,वर्गमूल के गुणों का उपयोग करते हुए:
$\sqrt{\frac{54 \times 2120}{460}} = \sqrt{\frac{114480}{460}} = \sqrt{248.869} \approx 15.77$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $16$ है (नोट: दिए गए विकल्प $10$ के गुणक में हैं,इसलिए $160$ सबसे निकटतम तार्किक विकल्प है)।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $\sqrt{25 x^{2}} - 125 = 0$
$\Rightarrow \sqrt{25 x^{2}} = 125$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 x^{2} = 125^{2} = 15625$
$\Rightarrow x^{2} = \frac{15625}{25} = 625$
$\therefore x = \pm 25$
समीकरण $II$ के लिए: $\sqrt{361} y + 95 = 0$
$\Rightarrow 19 y + 95 = 0$
$\Rightarrow 19 y = -95$
$\Rightarrow y = -\frac{95}{19} = -5$
मानों की तुलना करने पर: यदि $x = 25$ है,तो $x > y$ $(25 > -5)$। यदि $x = -25$ है,तो $x < y$ $(-25 < -5)$।
चूंकि हमें दो अलग-अलग परिणाम मिलते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) $I$. $\frac{5}{7} - \frac{5}{21} = \frac{\sqrt{x}}{42}$
$\Rightarrow \frac{15 - 5}{21} = \frac{\sqrt{x}}{42}$
$\Rightarrow \frac{10}{21} = \frac{\sqrt{x}}{42}$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \frac{10}{21} \times 42 = 20$
$\therefore x = 20^2 = 400$
$II$. $\frac{\sqrt{y}}{4} + \frac{\sqrt{y}}{16} = \frac{250}{\sqrt{y}}$
$\Rightarrow \frac{4\sqrt{y} + \sqrt{y}}{16} = \frac{250}{\sqrt{y}}$
$\Rightarrow \frac{5\sqrt{y}}{16} = \frac{250}{\sqrt{y}}$
$\Rightarrow 5(\sqrt{y})^2 = 250 \times 16$
$\Rightarrow 5y = 4000$
$\Rightarrow y = \frac{4000}{5} = 800$
मानों की तुलना करने पर,$800 > 400$,इसलिए $y > x$ या $x < y$।

(A) समीकरण $I$ के लिए:
$(625)^{\frac{1}{4}} x + \sqrt{1225} = 155$
चूंकि $625 = 5^4$,इसलिए $(5^4)^{\frac{1}{4}} x + 35 = 155$
$5x + 35 = 155$
$5x = 155 - 35 = 120$
$x = \frac{120}{5} = 24$
समीकरण $II$ के लिए:
$\sqrt{196} y + 13 = 279$
चूंकि $\sqrt{196} = 14$,इसलिए $14y + 13 = 279$
$14y = 279 - 13 = 266$
$y = \frac{266}{14} = 19$
मानों की तुलना करने पर,$x = 24$ और $y = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,$x > y$।

(A) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें: $5x^2 - 18x + 9 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $5x^2 - 15x - 3x + 9 = 0$।
$5x(x - 3) - 3(x - 3) = 0$।
$(5x - 3)(x - 3) = 0$।
अतः,$x = \frac{3}{5} = 0.6$ या $x = 3$।
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें: $3y^2 + 5y - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3y^2 + 6y - y - 2 = 0$।
$3y(y + 2) - 1(y + 2) = 0$।
$(3y - 1)(y + 2) = 0$।
अतः,$y = \frac{1}{3} \approx 0.33$ या $y = -2$।
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
$x$ के संभावित मान ${0.6, 3}$ हैं।
$y$ के संभावित मान ${0.33, -2}$ हैं।
मानों की तुलना करने पर: $0.6 > 0.33$,$0.6 > -2$,$3 > 0.33$,और $3 > -2$।
सभी स्थितियों में,$x > y$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\frac{13}{\sqrt{x}} + \frac{9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{13 + 9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{22}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$22 = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$
$x = 22$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^4 - \frac{(26)^{9/2}}{\sqrt{y}} = 0$
$y^4 = \frac{(26)^{9/2}}{y^{1/2}}$
$y^4 \times y^{1/2} = (26)^{9/2}$
$y^{4 + 0.5} = (26)^{9/2}$
$y^{9/2} = (26)^{9/2}$
चूंकि घातांक समान और विषम हैं,इसलिए आधार भी समान होने चाहिए।
$y = 26$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
$x = 22$ और $y = 26$ है।
अतः,$x < y$।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{x}} = 18$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{x} = 18^{2}$
मानों की गणना करने पर: $25 \times 14 - 42 + (4)^{x} = 324$
$350 - 42 + (4)^{x} = 324$
$308 + (4)^{x} = 324$
$(4)^{x} = 324 - 308$
$(4)^{x} = 16$
चूंकि $16 = 4^{2}$,इसलिए $(4)^{x} = 4^{2}$
अतः,$x = 2$.

(D) दिया गया समीकरण: $(x)^{2} \times (12)^{2} \div (48)^{2} = 81$
भाग को भिन्न के रूप में लिखने पर:
$\frac{x^{2} \times 12^{2}}{48^{2}} = 81$
भिन्न को सरल करने पर:
$\frac{x^{2} \times 144}{2304} = 81$
चूंकि $\frac{144}{2304} = \frac{1}{16}$,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{x^{2}}{16} = 81$
दोनों पक्षों को $16$ से गुणा करने पर:
$x^{2} = 81 \times 16$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \sqrt{81 \times 16}$
$x = 9 \times 4$
$x = 36$

(A) $0.09$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं:
$0.09 = \frac{9}{100}$
अब,वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}}$
$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}$
$= \frac{3}{10}$
$= 0.3$

(D) दिया गया है कि $a^{2}=2,$ इसलिए $a=\sqrt{2}.$
हमें $(a+1)$ का मान ज्ञात करना है।
$(a+1) = \sqrt{2}+1.$
इसे दिए गए विकल्पों के रूप में व्यक्त करने के लिए,$(\sqrt{2}-1)^{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$(a+1) = (\sqrt{2}+1) \times \frac{(\sqrt{2}-1)^{2}}{(\sqrt{2}-1)^{2}}$
$= \frac{[(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)](\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^{2} + 1^{2} - 2\sqrt{2}}$
$= \frac{(2-1)(\sqrt{2}-1)}{2+1-2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}-1}{3-2\sqrt{2}}$
चूंकि $a=\sqrt{2}$ है,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर हमें $\frac{a-1}{3-2a}$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,दशमलव हटाकर व्यंजक का सरलीकरण करें:
$\frac{9.5 \times 0.0085 \times 18.9}{0.0017 \times 1.9 \times 2.1} = \frac{95 \times 10^{-1} \times 85 \times 10^{-4} \times 189 \times 10^{-1}}{17 \times 10^{-4} \times 19 \times 10^{-1} \times 21 \times 10^{-1}}$
$= \frac{95 \times 85 \times 189}{17 \times 19 \times 21} \times \frac{10^{-6}}{10^{-6}}$
$= \frac{95}{19} \times \frac{85}{17} \times \frac{189}{21}$
$= 5 \times 5 \times 9 = 225$
अतः,अभीष्ट वर्गमूल $\sqrt{225} = 15$ है।

(B) $\sqrt{x+2}-\sqrt{x}$ के रूप वाली संख्याओं की तुलना करने के लिए,हम इसे संयुग्मी (conjugate) $\sqrt{x+2}+\sqrt{x}$ से गुणा और भाग करके परिमेयकरण करते हैं।
$\sqrt{x+2}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} = \frac{(x+2)-x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$.
जैसे-जैसे $x$ का मान बढ़ता है,हर (denominator) $\sqrt{x+2}+\sqrt{x}$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि भिन्न $\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$ का मान घटता है।
दी गई संख्याओं की तुलना करने पर:
$1$. $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ के लिए,$x=3$,मान $= \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
$2$. $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ के लिए,$x=5$,मान $= \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$.
$3$. $\sqrt{9}-\sqrt{7}$ के लिए,$x=7$,मान $= \frac{2}{\sqrt{9}+\sqrt{7}}$.
$4$. $\sqrt{11}-\sqrt{9}$ के लिए,$x=9$,मान $= \frac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{9}}$.
चूंकि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ के लिए हर सबसे छोटा है,इसलिए $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ का मान सबसे बड़ा है।