Cubes and Cube Roots Questions in Hindi

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}}}}$ है।
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= ((((3^{1/3})^{1/3})^{1/3})^{1/3})^{1/3})^{1/2}$
$= 3^{(1/3 \times 1/3 \times 1/3 \times 1/3 \times 1/3 \times 1/2)}$
$= 3^{(1/3^5 \times 1/2)}$
$= 3^{(1/243 \times 1/2)}$
$= 3^{\frac{1}{486}}$
चूंकि कोई भी विकल्प $3^{\frac{1}{486}}$ से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(C) $\frac{512}{3375}$ का घनमूल ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर के घनमूल अलग-अलग ज्ञात करेंगे।
सबसे पहले,$512$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$512 = 2^9 = (2^3)^3 = 8^3$.
अतः,$\sqrt[3]{512} = 8$.
इसके बाद,$3375$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$3375 = 3^3 \times 5^3 = (3 \times 5)^3 = 15^3$.
अतः,$\sqrt[3]{3375} = 15$.
इसलिए,$\sqrt[3]{\frac{512}{3375}} = \frac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{3375}} = \frac{8}{15}$.

(B) $15.625$ का घनमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं:
$\sqrt[3]{15.625} = \sqrt[3]{\frac{15625}{1000}}$
हम जानते हैं कि $15625 = 25^3 = (5^2)^3 = 5^6$ और $1000 = 10^3$ होता है।
अतः,$\sqrt[3]{\frac{15625}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{15625}}{\sqrt[3]{1000}}$
$= \frac{\sqrt[3]{25 \times 25 \times 25}}{\sqrt[3]{10 \times 10 \times 10}}$
$= \frac{25}{10} = 2.5$

(A) $\sqrt[3]{\sqrt{441} + \sqrt{16} + \sqrt{4}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक के भीतर के वर्गमूलों का मान निकालते हैं:
$\sqrt{441} = 21$
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{4} = 2$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt[3]{21 + 4 + 2} = \sqrt[3]{27}$
चूंकि $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$ होता है,इसलिए $27$ का घनमूल है:
$\sqrt[3]{27} = 3$
अतः,सही मान $3$ है।

(B) सबसे पहले,$3600$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$3600 = 2 \times 1800 = 2^2 \times 900 = 2^3 \times 450 = 2^4 \times 225 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2$.
किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक $3$ का गुणज होना चाहिए।
$3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2$ में,घातांक $4, 2$ और $2$ हैं।
इन घातांकों को $3$ का गुणज बनाने के लिए,हमें निम्नलिखित से गुणा करना होगा:
$2^{(6-4)} \times 3^{(3-2)} \times 5^{(3-2)} = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
अतः,वह सबसे छोटी संख्या जिससे $3600$ को गुणा किया जाना चाहिए,$60$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $2 \sqrt[3]{40} - 4 \sqrt[3]{320} + 3 \sqrt[3]{625} - 3 \sqrt[3]{5}$
चरण $1$: प्रत्येक करणी (radical) पद का सरलीकरण करें।
$2 \sqrt[3]{40} = 2 \sqrt[3]{8 \times 5} = 2 \times 2 \sqrt[3]{5} = 4 \sqrt[3]{5}$
$4 \sqrt[3]{320} = 4 \sqrt[3]{64 \times 5} = 4 \times 4 \sqrt[3]{5} = 16 \sqrt[3]{5}$
$3 \sqrt[3]{625} = 3 \sqrt[3]{125 \times 5} = 3 \times 5 \sqrt[3]{5} = 15 \sqrt[3]{5}$
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।
$= 4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{5} + 15 \sqrt[3]{5} - 3 \sqrt[3]{5}$
चरण $3$: पदों को संयोजित करें।
$= (4 - 16 + 15 - 3) \sqrt[3]{5}$
$= (19 - 19) \sqrt[3]{5}$
$= 0 \times \sqrt[3]{5} = 0$

(B) सबसे पहले,$54872$ का घनमूल ज्ञात कीजिए। चूँकि $30^3 = 27000$ और $40^3 = 64000$ है,और संख्या का अंतिम अंक $2$ है,इसलिए इसका घनमूल $38$ होगा (क्योंकि $38^3 = 54872$)।
इसके बाद,भाग कीजिए: $304 \div 8 = 38$.
अब,इन मानों को समीकरण में रखिए: $38 \times 38 = (?)^{2}$.
यह $38^2 = (?)^{2}$ के रूप में सरल होता है।
अतः,$? = 38$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt[3]{4663} + 349 = ? \div 21.003$
मानों का सन्निकटन (approximation) करने पर:
$\sqrt[3]{4663} \approx \sqrt[3]{4913} = 17$
$21.003 \approx 21$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$17 + 349 = ? \div 21$
$366 = ? \div 21$
$?$ के लिए हल करने पर:
$? = 366 \times 21$
$? = 7686$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $7680$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(x)^{3} = 4913$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हमें $4913$ का घनमूल निकालना होगा।
हम जानते हैं कि $10^{3} = 1000$ और $20^{3} = 8000$ होता है। चूँकि $4913$ का इकाई अंक $3$ है,इसलिए इसके घनमूल का इकाई अंक $7$ होना चाहिए (क्योंकि $7^{3} = 343$ होता है)।
$17$ की जाँच करने पर: $17 \times 17 = 289$.
$289 \times 17 = 4913$.
अतः,$(17)^{3} = 4913$.
इसलिए,$x = 17$.

(B) दिया गया समीकरण: $348 \div 29 \times 15 + 156 = (?)^{3} + 120$
चरण $1$: $BODMAS$ नियम के अनुसार भाग करने पर: $348 \div 29 = 12$.
चरण $2$: मान रखने पर: $12 \times 15 + 156 = (?)^{3} + 120$.
चरण $3$: गुणा करने पर: $180 + 156 = (?)^{3} + 120$.
चरण $4$: जोड़ने पर: $336 = (?)^{3} + 120$.
चरण $5$: दोनों पक्षों से $120$ घटाने पर: $336 - 120 = (?)^{3}$.
चरण $6$: सरल करने पर: $216 = (?)^{3}$.
चरण $7$: चूंकि $6^{3} = 216$,इसलिए $(6)^{3} = (?)^{3}$.
अतः,$? = 6$.

(C) दिया गया समीकरण: $(4 \times 4)^{3} \div (512 \div 8)^{4} \times (32 \times 8)^{4} = (2 \times 2)^{?} + ?^{4}$
चरण $1$: कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें।
$(16)^{3} \div (64)^{4} \times (256)^{4} = (4)^{?} + ?^{4}$
चरण $2$: सभी आधारों को $4$ के घात के रूप में व्यक्त करें।
$(4^{2})^{3} \div (4^{3})^{4} \times (4^{4})^{4} = (4)^{?} + ?^{4}$
चरण $3$: घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करें।
$4^{6} \div 4^{12} \times 4^{16} = 4^{?} + ?^{4}$
चरण $4$: घातांक के नियमों $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ और $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करें।
$4^{6-12+16} = 4^{?} + ?^{4}$
$4^{10} = 4^{?} + ?^{4}$
चरण $5$: पदों की तुलना करने पर,$? = 6$ समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $(\sqrt{8} \times \sqrt{8})^{\frac{1}{2}} + (9)^{\frac{1}{2}} = x^{3} + \sqrt{8} - 340$
चूँकि $\sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8$ होता है,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$(8)^{\frac{1}{2}} + \sqrt{9} = x^{3} + \sqrt{8} - 340$
$\sqrt{8} + 3 = x^{3} + \sqrt{8} - 340$
दोनों पक्षों से $\sqrt{8}$ घटाने पर:
$3 = x^{3} - 340$
$x^{3} = 340 + 3$
$x^{3} = 343$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$x = \sqrt[3]{343}$
$x = 7$

(C) माना पहली संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,दूसरी संख्या का वर्ग $8$ के वर्ग से $15$ कम है:
$8^2 - y^2 = 15$
$64 - y^2 = 15$
$y^2 = 64 - 15 = 49$
चूंकि संख्या धनात्मक है,$y = \sqrt{49} = 7$.
आगे,पहली संख्या का वर्ग और दूसरी संख्या का घन का योग $568$ है:
$x^2 + y^3 = 568$
$y = 7$ रखने पर:
$x^2 + 7^3 = 568$
$x^2 + 343 = 568$
$x^2 = 568 - 343 = 225$
चूंकि संख्या धनात्मक है,$x = \sqrt{225} = 15$.
अंत में,हमें पहली संख्या का $\frac{3}{5}$ भाग ज्ञात करना है:
$\frac{3}{5} \times 15 = 3 \times 3 = 9$.

(D) चरण $1$: घनमूल का अनुमानित मान ज्ञात करें। चूँकि $16^3 = 4096$ और $17^3 = 4913$ है,इसलिए $\sqrt[3]{4663} \approx 16.7 \approx 17$ होगा।
चरण $2$: भाजक का अनुमानित मान लें। $21.003 \approx 21$ है।
चरण $3$: समीकरण इस प्रकार होगा: $17 + 349 = ? \div 21$.
चरण $4$: सरल करने पर: $366 = ? \div 21$.
चरण $5$: $?$ के लिए हल करें: $? = 366 \times 21 = 7686$.
चरण $6$: दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $7680$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $9^{3} \times 81^{2} \div 27^{3} = (3)^{?}$
प्रत्येक आधार को $3$ की घात के रूप में व्यक्त करें:
$9 = 3^{2}$,$81 = 3^{4}$,और $27 = 3^{3}$।
इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3^{2})^{3} \times (3^{4})^{2} \div (3^{3})^{3} = (3)^{?}$
घात के घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$3^{6} \times 3^{8} \div 3^{9} = (3)^{?}$
घातांकों के गुणन और भाग के नियमों $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ और $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$3^{6+8-9} = (3)^{?}$
$3^{5} = (3)^{?}$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $? = 5$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $(35)^{2} \div \sqrt[3]{125} + (25)^{2} \div 125 = ?$
चरण $1$: वर्ग और घनमूल की गणना करें।
$(35)^{2} = 1225$
$\sqrt[3]{125} = 5$
$(25)^{2} = 625$
चरण $2$: इन मानों को अभिव्यक्ति में रखें।
$1225 \div 5 + 625 \div 125 = ?$
चरण $3$: भाग करें।
$1225 / 5 = 245$
$625 / 125 = 5$
चरण $4$: परिणामों को जोड़ें।
$245 + 5 = 250$
अतः,सही उत्तर $250$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $(x)^{3} = 729$ है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हमें $729$ का घनमूल निकालना होगा।
हम जानते हैं कि $9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$ होता है।
अतः,$(x)^{3} = (9)^{3}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(B) माना $a = 0.75$ है।
व्यंजक $\frac{a^3}{1-a} + (a^2 + a + 1)$ है।
हम जानते हैं कि $1 - a^3 = (1 - a)(1 + a + a^2)$,इसलिए $\frac{1 - a^3}{1 - a} = 1 + a + a^2$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
व्यंजक $= \frac{a^3}{1-a} + \frac{1-a^3}{1-a} = \frac{a^3 + 1 - a^3}{1-a} = \frac{1}{1-a}$.
अब $a = 0.75$ रखने पर:
व्यंजक $= \frac{1}{1 - 0.75} = \frac{1}{0.25} = 4$.
अतः,व्यंजक का वर्गमूल $\sqrt{4} = 2$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\sqrt[3]{(13.608)^{2}-(13.392)^{2}}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt[3]{(13.608+13.392) \times (13.608-13.392)}$
$= \sqrt[3]{(27) \times (0.216)}$
$= \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{0.216}$
$= \sqrt[3]{3^{3}} \times \sqrt[3]{(0.6)^{3}}$
$= 3 \times 0.6 = 1.8$.

(B) $0.000216$ का घनमूल ज्ञात करने के लिए,हम संख्या को वैज्ञानिक संकेतन में लिख सकते हैं:
$0.000216 = 216 \times 10^{-6}$
अब,इस व्यंजक का घनमूल लेने पर:
$\sqrt[3]{0.000216} = \sqrt[3]{216 \times 10^{-6}}$
चूंकि $\sqrt[3]{216} = 6$ और $\sqrt[3]{10^{-6}} = 10^{-2}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$6 \times 10^{-2} = 0.06$
अतः,$0.000216$ का घनमूल $0.06$ है।

(B) $0.000729$ का घनमूल ज्ञात करने के लिए,हम संख्या को वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त कर सकते हैं:
$0.000729 = 729 \times 10^{-6}$
अब,इस व्यंजक का घनमूल लें:
$\sqrt[3]{0.000729} = \sqrt[3]{729 \times 10^{-6}}$
हम जानते हैं कि $729 = 9^3$,इसलिए $\sqrt[3]{729} = 9$.
साथ ही,$\sqrt[3]{10^{-6}} = (10^{-6})^{1/3} = 10^{-2}$.
अतः,$\sqrt[3]{0.000729} = 9 \times 10^{-2} = 0.09$.

(B) पाँच अंकों की सबसे छोटी पूर्ण घन संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $20$ से शुरू करके पूर्णांकों के घन की जाँच करते हैं क्योंकि $20^3 = 8000$ (चार अंकों की संख्या है)।
इसके बाद,हम $21^3 = 9261$ की गणना करते हैं (जो कि चार अंकों की संख्या है)।
फिर,हम $22^3 = 22 \times 22 \times 22 = 484 \times 22 = 10648$ की गणना करते हैं।
चूँकि $10648$ पूर्ण घन संख्याओं के क्रम में प्राप्त होने वाली पहली पाँच अंकों की संख्या है,इसलिए यह पाँच अंकों की सबसे छोटी पूर्ण घन संख्या है।

(D) $5600$ को किस सबसे छोटी संख्या से विभाजित किया जाए कि वह एक पूर्ण घन बन जाए,यह ज्ञात करने के लिए हम पहले $5600$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$5600 = 56 \times 100 = (8 \times 7) \times (10 \times 10) = (2^3 \times 7) \times (2 \times 5 \times 2 \times 5) = 2^3 \times 7 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2 \times 7^1$।
किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक $3$ का गुणज होना चाहिए।
यहाँ $2^5 \times 5^2 \times 7^1$ में घातांक $5, 2$ और $1$ हैं।
विभाजन द्वारा इन घातांकों को $3$ का गुणज बनाने के लिए,हमें उन गुणनखंडों को हटाना होगा जो इसे पूर्ण घन बनने से रोक रहे हैं:
- $2^5$ के लिए,हम $2^2$ से विभाजित करते हैं ताकि $2^3$ प्राप्त हो।
- $5^2$ के लिए,हम $5^2$ से विभाजित करते हैं ताकि $5^0 = 1$ प्राप्त हो।
- $7^1$ के लिए,हम $7^1$ से विभाजित करते हैं ताकि $7^0 = 1$ प्राप्त हो।
अतः,वह संख्या जिससे विभाजित करना है वह $2^2 \times 5^2 \times 7^1 = 4 \times 25 \times 7 = 100 \times 7 = 700$ है।

(C) $21, 24$ और $27$ से पूर्णतः विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं।
संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$21 = 3 \times 7$
$24 = 2^3 \times 3$
$27 = 3^3$
$LCM$ = $2^3 \times 3^3 \times 7 = 8 \times 27 \times 7 = 1512$.
किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक $3$ का गुणज होना चाहिए।
$LCM$ $(2^3 \times 3^3 \times 7^1)$ में,$2$ और $3$ के घातांक पहले से ही $3$ के गुणज हैं। हालाँकि,$7$ का घातांक $1$ है।
इसे पूर्ण घन बनाने के लिए,हमें $LCM$ को $7^2$ (जो $49$ है) से गुणा करना होगा ताकि $7$ का घातांक $3$ हो जाए।
अभीष्ट संख्या = $2^3 \times 3^3 \times 7^3 = 1512 \times 49 = 74088$.

(C) सबसे पहले,$4800$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$4800 = 48 \times 100 = (16 \times 3) \times (10^2) = (2^4 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^6 \times 3^1 \times 5^2$.
संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक $3$ का गुणज होना चाहिए।
अभाज्य गुणनखंडन $2^6 \times 3^1 \times 5^2$ में:
- $2$ का घातांक $6$ है,जो $3$ का गुणज है।
- $3$ का घातांक $1$ है। इसे $3$ का गुणज बनाने के लिए,हमें $3^2$ से गुणा करने की आवश्यकता है।
- $5$ का घातांक $2$ है। इसे $3$ का गुणज बनाने के लिए,हमें $5^1$ से गुणा करने की आवश्यकता है।
अतः,गुणा की जाने वाली न्यूनतम संख्या $3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45$ है।