Squares and Square Roots Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{x}{15}\right)\left(\frac{x}{135}\right) = 1$
अंश और हर का गुणा करने पर: $\frac{x^2}{15 \times 135} = 1$
$x^2 = 15 \times 135$
$x^2 = 15 \times (15 \times 9)$
$x^2 = 15^2 \times 3^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x = \sqrt{15^2 \times 3^2}$
$x = 15 \times 3 = 45$
अतः,$x$ का मान $45$ है।

(D) हमें $\sqrt{1.3} + \sqrt{1300} + \sqrt{0.013}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,प्रत्येक पद को $\sqrt{13}$ या $\sqrt{130}$ के रूप में व्यक्त करें:
$\sqrt{1.3} = \sqrt{\frac{130}{100}} = \frac{\sqrt{130}}{10} = 0.1 \times 11.4 = 1.14$
$\sqrt{1300} = \sqrt{100 \times 13} = 10 \times \sqrt{13} = 10 \times 3.605 = 36.05$
$\sqrt{0.013} = \sqrt{\frac{130}{10000}} = \frac{\sqrt{130}}{100} = 0.01 \times 11.4 = 0.114$
अब,इन मानों को जोड़ें:
$1.14 + 36.05 + 0.114 = 37.304$
अतः,मान $37.304$ है।

(C) $4356$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$4356 = 2 \times 2178$
$2178 = 2 \times 1089$
$1089 = 3 \times 363$
$363 = 3 \times 121$
$121 = 11 \times 11$
अतः,अभाज्य गुणनखंड $4356 = 2^2 \times 3^2 \times 11^2$ हैं।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{4356} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 11^2}$
$\sqrt{4356} = 2 \times 3 \times 11$
$\sqrt{4356} = 66$
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) $104976$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंड विधि या भाग विधि का उपयोग कर सकते हैं।
चरण $1$: दाईं से बाईं ओर अंकों के जोड़े बनाएं: $10, 49, 76$।
चरण $2$: वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग $10$ से कम या उसके बराबर हो। वह $3^2 = 9$ है।
चरण $3$: $10$ में से $9$ घटाने पर $1$ प्राप्त होता है,फिर $49$ को नीचे लाने पर $149$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: भागफल को दोगुना करें $(3 \times 2 = 6)$ और एक ऐसा अंक $x$ ज्ञात करें जिससे $6x \times x \leq 149$ हो। $x = 2$ के लिए,$62 \times 2 = 124$ होता है।
चरण $5$: $149$ में से $124$ घटाने पर $25$ प्राप्त होता है,फिर $76$ को नीचे लाने पर $2576$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: वर्तमान भागफल को दोगुना करें $(32 \times 2 = 64)$ और एक ऐसा अंक $y$ ज्ञात करें जिससे $64y \times y = 2576$ हो। $y = 4$ के लिए,$644 \times 4 = 2576$ होता है।
अतः,$\sqrt{104976} = 324$।

(A) $211600$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sqrt{211600} = \sqrt{2116 \times 100}$.
चूंकि $\sqrt{100} = 10$ होता है,इसलिए हमें $2116$ का वर्गमूल ज्ञात करना होगा।
$2116$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर: $2116 = 2^2 \times 23^2$.
अतः,$\sqrt{2116} = 2 \times 23 = 46$.
इस प्रकार,$\sqrt{211600} = 46 \times 10 = 460$.

(C) $6492304$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग कर सकते हैं:
$1$. दाईं से बाईं ओर अंकों के जोड़े बनाएं: $6, 49, 23, 04$।
$2$. $6$ से छोटी या उसके बराबर सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें,जो $2^2 = 4$ है। $6$ में से $4$ घटाने पर $2$ प्राप्त होता है। ऊपर से $49$ नीचे लाएं,जिससे संख्या $249$ बन जाती है।
$3$. भाजक को दोगुना करें $(2 \times 2 = 4)$। एक ऐसा अंक $x$ ज्ञात करें कि $4x \times x \leq 249$ हो। $x = 5$ के लिए,$45 \times 5 = 225$। $249$ में से $225$ घटाने पर $24$ प्राप्त होता है। ऊपर से $23$ नीचे लाएं,जिससे संख्या $2423$ बन जाती है।
$4$. वर्तमान भाजक को दोगुना करें $(25 \times 2 = 50)$। एक ऐसा अंक $y$ ज्ञात करें कि $50y \times y \leq 2423$ हो। $y = 4$ के लिए,$504 \times 4 = 2016$। $2423$ में से $2016$ घटाने पर $407$ प्राप्त होता है। ऊपर से $04$ नीचे लाएं,जिससे संख्या $40704$ बन जाती है।
$5$. वर्तमान भाजक को दोगुना करें $(254 \times 2 = 508)$। एक ऐसा अंक $z$ ज्ञात करें कि $508z \times z = 40704$ हो। $z = 8$ के लिए,$5088 \times 8 = 40704$।
अतः,$\sqrt{6492304} = 2548$।

(A) सबसे पहले,$74088$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$74088 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7$
अभाज्य गुणनखंडों को युग्मों में व्यवस्थित करने पर:
$74088 = (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (7 \times 7) \times (2 \times 3 \times 7)$
संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का युग्म होना आवश्यक है। यहाँ $2, 3,$ और $7$ गुणनखंड बिना युग्म के हैं।
अतः,गुणा करने के लिए आवश्यक संख्या $= 2 \times 3 \times 7 = 42$ है।

(D) वर्गमूल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
अतः,$\sqrt{10} \times \sqrt{250} = \sqrt{10 \times 250}$.
$\sqrt{10 \times 250} = \sqrt{2500}$.
चूंकि $50 \times 50 = 2500$,इसलिए $2500$ का वर्गमूल $50$ है।

(A) सबसे पहले,प्रत्येक वर्गमूल पद को उसके अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करके सरल करें:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$
$3\sqrt{245} = 3\sqrt{49 \times 5} = 3 \times 7\sqrt{5} = 21\sqrt{5}$
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$4\sqrt{5} + 21\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$
$= (4 + 21 - 5)\sqrt{5}$
$= 20\sqrt{5}$

(C) मान लीजिए कि लुप्त संख्या $x$ है।
अतः,समीकरण $\frac{250}{\sqrt{x}} = 10$ है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $\sqrt{x} = \frac{250}{10}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{x} = 25$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x = (25)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 625$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{x}}=2$
चूंकि $\sqrt{256} = 16$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{16}{\sqrt{x}} = 2$
दोनों पक्षों को $\sqrt{x}$ से गुणा करने पर:
$16 = 2\sqrt{x}$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$8 = \sqrt{x}$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = 8^2 = 64$

(C) $216$ को किस सबसे छोटी संख्या से विभाजित किया जाए कि वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए,यह ज्ञात करने के लिए हम पहले $216$ का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \times 6$.
अभाज्य गुणनखंडन में,$2$ और $3$ के गुणनखंड युग्मों में हैं,लेकिन गुणनखंड $6$ (जो $2 \times 3$ है) बिना युग्म के रह जाता है।
संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें $216$ को इस शेष गुणनखंड $6$ से विभाजित करना होगा।
अतः,$\frac{216}{6} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$,जो कि एक पूर्ण वर्ग है $(6^2 = 36)$।
इसलिए,सबसे छोटी संख्या $6$ है।

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $\frac{\sqrt{x}}{200} = 0.02$ है।
दोनों पक्षों को $200$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{x} = 200 \times 0.02$
$\sqrt{x} = 4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = 4^2 = 16$।

(C) $\frac{\sqrt{6727}}{\sqrt{7}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
इस गुणधर्म को लागू करने पर,हमें $\sqrt{\frac{6727}{7}}$ प्राप्त होता है।
$6727$ को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $6727 \div 7 = 961$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\sqrt{961}$ बन जाता है।
चूंकि $31 \times 31 = 961$,इसलिए $961$ का वर्गमूल $31$ है।

(A) $0.09$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम दशमलव को भिन्न के रूप में लिख सकते हैं:
$\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}}$
चूंकि $\sqrt{9} = 3$ और $\sqrt{100} = 10$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3}{10} = 0.3$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $\frac{14}{3+\sqrt{2}}$ को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे,जिसके लिए अंश और हर को $(3-\sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{14}{3+\sqrt{2}} = \frac{14(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{14(3-\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{14(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{14(3-\sqrt{2})}{7}$
$= 2(3-\sqrt{2})$
यहाँ $\sqrt{2} \approx 1.414$ दिया गया है,मान रखने पर:
$= 2(3 - 1.414) = 2(1.586) = 3.172$

(C) वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे $3579$ में जोड़ने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए,हम भाग विधि द्वारा $3579$ का वर्गमूल ज्ञात करते हैं।
$\sqrt{3579} \approx 59.82$.
$3579$ के बाद आने वाली पूर्ण वर्ग संख्या उसके अगले पूर्णांक का वर्ग है,जो $60^2$ है।
$60^2 = 3600$.
अभीष्ट संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $3600$ में से $3579$ घटाते हैं।
अभीष्ट संख्या $= 3600 - 3579 = 21$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\left(1+\frac{27}{169}\right)}=1+\frac{x}{13}$
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$1+\frac{27}{169} = \frac{169+27}{169} = \frac{196}{169}$
अब,भिन्न का वर्गमूल लें:
$\sqrt{\frac{196}{169}} = \frac{14}{13}$
इस मान को मूल समीकरण में रखें:
$\frac{14}{13} = 1+\frac{x}{13}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाएं:
$\frac{14}{13} - 1 = \frac{x}{13}$
$\frac{14-13}{13} = \frac{x}{13}$
$\frac{1}{13} = \frac{x}{13}$
अतः,$x = 1$।

(C) $\frac{\sqrt{4375}}{\sqrt{7}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम करणी के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
इस गुणधर्म को लागू करने पर,हमें $\sqrt{\frac{4375}{7}}$ प्राप्त होता है।
$4375$ को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $4375 \div 7 = 625$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\sqrt{625}$ हो जाता है।
चूंकि $25 \times 25 = 625$ होता है,इसलिए $625$ का वर्गमूल $25$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{0.04 \times 0.4 \times a} = 0.4 \times 0.04 \times \sqrt{b}$
सबसे पहले,बाईं ओर वर्गमूल के अंदर का गुणनफल ज्ञात करें: $0.04 \times 0.4 = 0.016$.
अतः,समीकरण इस प्रकार होगा: $\sqrt{0.016 \times a} = 0.016 \times \sqrt{b}$.
$\frac{a}{b}$ का अनुपात प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को $\sqrt{b}$ और $\sqrt{0.016}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{0.016}{\sqrt{0.016}}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{0.016}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{a}{b} = 0.016$.

(D) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
अतः,समीकरण $\frac{\sqrt{1296}}{x} = \frac{x}{2.25}$ है।
हम जानते हैं कि $\sqrt{1296} = 36$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{36}{x} = \frac{x}{2.25}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$x^2 = 36 \times 2.25$ प्राप्त होता है।
$x^2 = 36 \times \frac{225}{100}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = \sqrt{36 \times \frac{225}{100}}$।
$x = 6 \times \frac{15}{10} = 6 \times 1.5 = 9$।
अतः,लुप्त संख्या $9$ है।

(B) सबसे पहले,$2401$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए। चूँकि $40^2 = 1600$ और $50^2 = 2500$ है,संख्या का इकाई अंक $1$ है,इसलिए यह $41$ या $49$ हो सकता है। $49^2$ की जाँच करने पर: $49 \times 49 = 2401$।
अतः,$\sqrt{2401} = 49$।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{176 + 49}$।
योग की गणना करें: $176 + 49 = 225$।
अंत में,$225$ का वर्गमूल ज्ञात करें: $\sqrt{225} = 15$।

(A) $\sqrt{10} \times \sqrt{15}$ को हल करने के लिए,हम $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
$\sqrt{10} \times \sqrt{15} = \sqrt{10 \times 15} = \sqrt{150}$.
अब,वर्गमूल को सरल बनाने के लिए $150$ का गुणनखंड करते हैं:
$150 = 25 \times 6$.
अतः,$\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = \sqrt{25} \times \sqrt{6}$.
चूंकि $\sqrt{25} = 5$ होता है,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $5 \sqrt{6}$ है।

(A) व्यंजक $\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{4}}$ को हल करने के लिए,हम पहले अलग-अलग पदों के वर्गमूल को सरल करते हैं।
$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
अब,दोनों भिन्नों को घटाते हैं:
$\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \times 2 - \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$
$= \frac{4 - 3}{2 \sqrt{3}}$
$= \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(B) $\sqrt{248+\sqrt{52+\sqrt{144}}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम सबसे अंदर वाले वर्गमूल से शुरुआत करेंगे।
सबसे पहले,$\sqrt{144} = 12$ की गणना करें।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{248+\sqrt{52+12}}$।
इसके बाद,वर्गमूल के अंदर के पद को सरल करें: $52 + 12 = 64$।
अब,$\sqrt{64} = 8$ की गणना करें।
इस मान को वापस रखने पर: $\sqrt{248+8}$।
अंत में,$\sqrt{256} = 16$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{\sqrt{0.0009}}{\sqrt{0.01}}$ है।
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{\frac{0.0009}{0.01}}$ प्राप्त होता है।
दशमलव हटाने के लिए अंश और हर को $10000$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{\frac{9}{100}}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल की गणना करने पर,$\sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$ प्राप्त होता है।

(D) $\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे।
सबसे पहले,वर्गमूलों को सरल करें: $\sqrt{9} = 3$ और $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$।
अतः,व्यंजक $\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ हो जाता है।
अब,अंश और हर को संयुग्मी $(3+2\sqrt{2})$ से गुणा करें:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$।
हर की गणना करें: $(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$।
इसलिए,अंतिम परिणाम $3+2\sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\frac{x}{169}} = \frac{54}{39}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x}{169} = \left(\frac{54}{39}\right)^2$
$\frac{x}{169} = \frac{54 \times 54}{39 \times 39}$
चूंकि $169 = 13 \times 13$ और $39 = 3 \times 13$ है,इसलिए $\frac{169}{39 \times 39} = \frac{169}{1521} = \frac{1}{9}$ होगा।
अतः,$x = \frac{54 \times 54}{9} = 6 \times 54 = 324$।

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $x = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 12 + \sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह व्यंजक अनंत है,इसलिए वर्गमूल के अंदर का पद पुनः $x$ होगा,अतः $x^2 = 12 + x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - x - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 4)(x + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x$ के दो संभावित मान मिलते हैं: $x = 4$ या $x = -3$।
चूंकि धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए हम $x = -3$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 4$।

(D) सबसे पहले,व्यंजक में दिए गए वर्गमूलों का मान ज्ञात करें:
$\sqrt{196} = 14$
$\sqrt{576} = 24$
$\sqrt{256} = 16$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{112}{14} \times \frac{24}{12} \times \frac{16}{8}$
$= 8 \times 2 \times 2$
$= 32$

(C) दिया गया है: $\sqrt{12} = 3.464$.
हमें $\sqrt{\frac{3}{4}} + 2 \sqrt{\frac{4}{3}}$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को सरल करने पर:
$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \times 2}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{12}}{4}$.
$2 \sqrt{\frac{4}{3}} = 2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \times \sqrt{3} \times 4}{3 \times 4} = \frac{16 \sqrt{3}}{12} = \frac{8 \sqrt{12}}{12} = \frac{2 \sqrt{12}}{3}$.
दोनों को जोड़ने पर:
$\frac{\sqrt{12}}{4} + \frac{2 \sqrt{12}}{3} = \sqrt{12} \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) = \sqrt{12} \left( \frac{3 + 8}{12} \right) = \sqrt{12} \left( \frac{11}{12} \right)$.
$\sqrt{12} = 3.464$ रखने पर:
$= 3.464 \times \frac{11}{12} = \frac{38.104}{12} = 3.175333... \approx 3.1753$.

(C) दिया गया है कि $\sqrt{15625} = 125$ है।
हमें व्यंजक $\sqrt{15625} + \sqrt{156.25} + \sqrt{1.5625}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,दशमलव संख्याओं को भिन्न के रूप में लिखें:
$\sqrt{156.25} = \sqrt{\frac{15625}{100}} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{100}} = \frac{125}{10} = 12.5$.
$\sqrt{1.5625} = \sqrt{\frac{15625}{10000}} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{10000}} = \frac{125}{100} = 1.25$.
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$125 + 12.5 + 1.25 = 138.75$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{0.03 \times 0.3 \times a} = 0.03 \times 0.3 \times \sqrt{b}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{b}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{0.03 \times 0.3 \times a}}{\sqrt{b}} = 0.03 \times 0.3$
बाईं ओर वर्गमूल को संयोजित करने पर:
$\sqrt{\frac{0.03 \times 0.3 \times a}{b}} = 0.03 \times 0.3$
वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{0.03 \times 0.3 \times a}{b} = (0.03 \times 0.3)^2$
दोनों पक्षों को $(0.03 \times 0.3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{b} = 0.03 \times 0.3$
गुणनफल ज्ञात करने पर:
$\frac{a}{b} = 0.009$

(B) हमें दिया गया है कि $\sqrt{4096} = 64$.
हमें व्यंजक $\sqrt{4096} + \sqrt{40.96} + \sqrt{0.004096}$ का मान ज्ञात करना है।
चरण $1$: प्रत्येक पद का सरलीकरण करें।
$\sqrt{4096} = 64$
$\sqrt{40.96} = \sqrt{\frac{4096}{100}} = \frac{64}{10} = 6.4$
$\sqrt{0.004096} = \sqrt{\frac{4096}{1000000}} = \frac{64}{1000} = 0.064$
चरण $2$: सभी मानों को जोड़ें।
$64 + 6.4 + 0.064 = 70.464$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\sqrt{1-\frac{2176}{2401}}}=1+\frac{x}{7}$
सबसे पहले,आंतरिक वर्गमूल के अंदर के पद को सरल करने पर: $1-\frac{2176}{2401} = \frac{2401-2176}{2401} = \frac{225}{2401}$
अब,इस भिन्न का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{225}{2401}} = \frac{15}{49}$
इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{1+\frac{15}{49}} = 1+\frac{x}{7}$
बाहरी वर्गमूल के अंदर के पद को सरल करने पर: $\sqrt{\frac{49+15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}}$
वर्गमूल की गणना करने पर: $\frac{8}{7} = 1+\frac{x}{7}$
$\frac{8}{7}$ को $1+\frac{1}{7}$ के रूप में लिखने पर: $1+\frac{1}{7} = 1+\frac{x}{7}$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा एक विषम अंक $(1, 5, 9)$ पर समाप्त होता है। विकल्प $C$ का अंतिम अंक $4$ है,जो सम है,इसलिए यह संभव नहीं है।
$2$. एक $3$-अंकीय संख्या $n$ का मान $100$ से $999$ के बीच होता है। इसका वर्ग $n^2$ का मान $100^2 = 10,000$ से $999^2 = 998,001$ के बीच होता है।
$3$. अतः,$3$-अंकीय संख्या का वर्ग हमेशा $5$ या $6$ अंकों का होना चाहिए।
$4$. विकल्प $A$ $(65xxx1)$ में $6$ अंक हैं,जो संभव है।
$5$. विकल्प $B$ $(9xx1)$ में केवल $4$ अंक हैं,जो $3$-अंकीय संख्या के लिए असंभव है।
$6$. विकल्प $D$ $(9xxxxxx5)$ में $8$ अंक हैं,जो $3$-अंकीय संख्या के लिए असंभव है।
$7$. इस प्रकार,$65xxx1$ ही एकमात्र संभावित विकल्प है।

(C) दिया गया व्यंजक $= \sqrt{\frac{0.324 \times 0.081 \times 4.624}{1.5625 \times 0.0289 \times 72.9 \times 64}}$
सबसे पहले,अंश और हर में दशमलव स्थानों की संख्या गिनें।
अंश: $3 + 3 + 3 = 9$ दशमलव स्थान।
हर: $4 + 4 + 1 + 0 = 9$ दशमलव स्थान।
चूंकि दशमलव स्थानों की संख्या समान है,इसलिए हम दशमलव को हटा सकते हैं:
$= \sqrt{\frac{324 \times 81 \times 4624}{15625 \times 289 \times 729 \times 64}}$
अब,प्रत्येक संख्या का वर्गमूल निकालें:
$= \frac{\sqrt{324} \times \sqrt{81} \times \sqrt{4624}}{\sqrt{15625} \times \sqrt{289} \times \sqrt{729} \times \sqrt{64}}$
$= \frac{18 \times 9 \times 68}{125 \times 17 \times 27 \times 8}$
भिन्न को सरल करने पर:
$= \frac{18 \times 9 \times 68}{125 \times 17 \times 27 \times 8} = \frac{11016}{459000} = \frac{3}{125} = 0.024$

(A) दी गई व्यंजक $\sqrt{0.01+\sqrt{0.0064}}$ है।
सबसे पहले,आंतरिक वर्गमूल का मान ज्ञात करें: $\sqrt{0.0064} = 0.08$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{0.01 + 0.08}$.
वर्गमूल के अंदर की संख्याओं को जोड़ें: $\sqrt{0.09}$.
अंत में,वर्गमूल की गणना करें: $\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$.

(C) $0.000064$ का घनमूल ज्ञात करने के लिए,हम पहले दशमलव को भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\sqrt[3]{0.000064} = \sqrt[3]{\frac{64}{1000000}}$
इसके बाद,हम $64$ को $4^3$ के रूप में और $1000000$ को $100^3$ के रूप में लिखते हैं:
$= \sqrt[3]{\frac{4^3}{100^3}}$
घनमूल लेने पर:
$= \frac{4}{100} = 0.04$

(C) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे $14175$ को विभाजित करने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए,हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$14175 = 5 \times 2835 = 5 \times 5 \times 567 = 5 \times 5 \times 3 \times 189 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 63 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 21 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7$.
अतः,$14175 = 5^2 \times 3^4 \times 7$.
किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए।
$14175$ के अभाज्य गुणनखंडन में,अभाज्य गुणनखंड $7$ का घातांक $1$ है,जो कि विषम है।
इसलिए,संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें $14175$ को $7$ से विभाजित करना होगा ताकि $7^1$ गुणनखंड हट जाए।

(B) व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे। इसके लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
$= \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}$
$= \frac{5 + 3 - 2\sqrt{15}}{5-3}$
$= \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2}$
$= \frac{2(4 - \sqrt{15})}{2} = 4 - \sqrt{15}$

(C) व्यंजक $\frac{\sqrt{24}+\sqrt{216}}{\sqrt{96}}$ को हल करने के लिए,हम प्रत्येक वर्गमूल पद को पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों में विभाजित करके सरल करेंगे:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
$\sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6}$
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2\sqrt{6} + 6\sqrt{6}}{4\sqrt{6}} = \frac{(2+6)\sqrt{6}}{4\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{4\sqrt{6}}$
अंश और हर से $\sqrt{6}$ को काटने पर:
$\frac{8}{4} = 2$

(C) सबसे पहले,मिश्रित भिन्न $2 \frac{2}{9}$ को अनुचित भिन्न में बदलें:
$2 \frac{2}{9} = \frac{2 \times 9 + 2}{9} = \frac{18 + 2}{9} = \frac{20}{9}$.
अब,इसका वर्गमूल ज्ञात करें:
$\sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{9}}$.
यह दिया गया है कि $\sqrt{20} = 4.472$ और $\sqrt{9} = 3$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4.472}{3} = 1.49066...$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.49$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,$a$ और $b$ का परिमेयकरण (rationalization) करने पर:
$a = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} \times \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^{2}}{5 - 1} = \frac{5 + 1 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$b = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} - 1)^{2}}{5 - 1} = \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
अब,$a + b$ और $ab$ का मान ज्ञात करने पर:
$a + b = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$ab = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
हम जानते हैं कि $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = (3)^{2} - 2(1) = 9 - 2 = 7$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^{2} + ab + b^{2}}{a^{2} - ab + b^{2}} = \frac{(a^{2} + b^{2}) + ab}{(a^{2} + b^{2}) - ab} = \frac{7 + 1}{7 - 1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(C) $10584$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए किस न्यूनतम संख्या से गुणा किया जाना चाहिए,यह ज्ञात करने के लिए हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$10584 = 2 \times 5292 = 2^2 \times 2646 = 2^3 \times 1323 = 2^3 \times 3 \times 441 = 2^3 \times 3 \times 3 \times 147 = 2^3 \times 3^3 \times 7^2$.
अभाज्य गुणनखंडों को युग्मों में व्यवस्थित करने पर: $10584 = (2^2 \times 3^2 \times 7^2) \times (2 \times 3)$.
किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए,सभी अभाज्य गुणनखंडों के घातांक सम होने चाहिए।
यहाँ,गुणनखंड $2$ और $3$ के घातांक विषम $(1)$ हैं।
अतः,सभी घातांकों को सम बनाने के लिए हमें इसे $2 \times 3 = 6$ से गुणा करना होगा।

(B) सबसे पहले,$7936$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें।
$7936 = 2 \times 3968 = 2^2 \times 1984 = 2^3 \times 992 = 2^4 \times 496 = 2^5 \times 248 = 2^6 \times 124 = 2^7 \times 62 = 2^8 \times 31$.
किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक एक सम संख्या होनी चाहिए।
$7936 = 2^8 \times 31^1$ में,$2$ का घातांक $8$ है (जो सम है),लेकिन $31$ का घातांक $1$ है (जो विषम है)।
इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें $7936$ को $31$ से गुणा करना होगा ताकि $31$ का घातांक $2$ हो जाए।
अतः,सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या $7936 \times 31 = 246016$ है।

(B) $0.00059049$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले दशमलव संख्या को भिन्न के रूप में लिखें:
$\sqrt{0.00059049} = \sqrt{\frac{59049}{100000000}}$
इसके बाद,अंश और हर का अलग-अलग वर्गमूल लें:
$= \frac{\sqrt{59049}}{\sqrt{100000000}}$
चूंकि $243^2 = 59049$ और $\sqrt{100000000} = 10000$ होता है,इसलिए:
$= \frac{243}{10000}$
$= 0.0243$

(C) $\sqrt{\frac{4}{12.1}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले वर्गमूल के अंदर की संख्या को दशमलव हटाने के लिए अंश और हर को $10$ से गुणा करते हैं:
$\sqrt{\frac{4}{12.1}} = \sqrt{\frac{4 \times 10}{12.1 \times 10}} = \sqrt{\frac{40}{121}}$
$= \frac{\sqrt{4} \times \sqrt{10}}{\sqrt{121}}$
$= \frac{2 \times 3.16}{11}$
$= \frac{6.32}{11}$
$= 0.5745...$
दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.6$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sqrt{\frac{0.256 \times 0.081 \times 4.356}{1.5625 \times 0.0121 \times 129.6 \times 64}}$ को हल करने के लिए,सबसे पहले दशमलव बिंदुओं को समायोजित करें।
अंश में कुल $3 + 3 + 3 = 9$ दशमलव स्थान हैं और हर में कुल $4 + 4 + 1 + 0 = 9$ दशमलव स्थान हैं।
चूंकि दशमलव स्थानों की संख्या समान है,हम दशमलव को हटा सकते हैं:
$= \sqrt{\frac{256 \times 81 \times 4356}{15625 \times 121 \times 1296 \times 64}}$
अब,व्यक्तिगत संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करें:
$= \frac{\sqrt{256} \times \sqrt{81} \times \sqrt{4356}}{\sqrt{15625} \times \sqrt{121} \times \sqrt{1296} \times \sqrt{64}}$
$= \frac{16 \times 9 \times 66}{125 \times 11 \times 36 \times 8}$
भिन्न को सरल करने पर:
$= \frac{16 \times 9 \times 66}{125 \times 11 \times 36 \times 8} = 0.024$

(A) माना कि अगली पंक्ति में सैनिकों की संख्या $x$ है। चूंकि सैनिकों को एक ठोस वर्ग में व्यवस्थित किया गया है, इसलिए वर्ग में उपयोग किए गए सैनिकों की कुल संख्या $x^2$ होगी।
कुल $16160$ सैनिकों में से $31$ सैनिक बच जाते हैं, इसलिए वर्ग में उपयोग किए गए सैनिकों की संख्या $16160 - 31 = 16129$ है।
अतः, $x^2 = 16129$ है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम $16129$ का वर्गमूल निकालते हैं: $x = \sqrt{16129} = 127$।
इस प्रकार, अगली पंक्ति में सैनिकों की संख्या $127$ है।