Squares and Square Roots Questions in Hindi

(C) सबसे पहले,$x$ का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{3-1} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
इसके बाद,$y$ का परिमेयकरण करने पर:
$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
अब,$(x^{2}+y^{2})$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x^{2}+y^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} + (2-\sqrt{3})^{2}$.
सर्वसमिका $(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2}+b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$x^{2}+y^{2} = 2(2^{2} + (\sqrt{3})^{2}) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.

(C) दिया गया है कि $x = 7 - 4\sqrt{3}$।
सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करके $\frac{1}{x}$ का मान ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{1 \times (7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3}) \times (7 + 4\sqrt{3})}$
सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{x} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{1} = 7 + 4\sqrt{3}$
अब,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करें:
$x + \frac{1}{x} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3})$
$x + \frac{1}{x} = 7 + 7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 14$.

(B) $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,पहले हम हर का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = (\sqrt{2}-1)^2$.
अब,हमें इस व्यंजक का वर्गमूल ज्ञात करना है:
$\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.414$,इसलिए मान रखने पर:
$1.414 - 1 = 0.414$.

(C) $\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3}$ को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे। इसके लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-4 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}} = \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3} - 8(3)}{49 - 16(3)}$
$= \frac{35 - 24 - 6 \sqrt{3}}{49 - 48}$
$= \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{1} = 11 - 6 \sqrt{3}$
$a+b \sqrt{3} = 11 - 6 \sqrt{3}$ की तुलना करने पर,हमें $a = 11$ और $b = -6$ प्राप्त होता है।

(C) व्यंजक $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}-\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}$ को हल करने के लिए,प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं।
प्रथम पद: $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{12}+3 \sqrt{6}}{6-3} = \frac{6 \sqrt{3}+3 \sqrt{6}}{3} = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$.
द्वितीय पद: $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{18}+4 \sqrt{6}}{6-2} = \frac{12 \sqrt{2}+4 \sqrt{6}}{4} = 3 \sqrt{2}+\sqrt{6}$.
तृतीय पद: $\frac{6}{\sqrt{8}-\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{8}+\sqrt{12}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} = \frac{6(\sqrt{8}+\sqrt{12})}{8-12} = \frac{6(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{-4} = -\frac{3(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{2} = -3 \sqrt{2}-3 \sqrt{3}$.
इन सबको संयोजित करने पर: $(2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) - (3 \sqrt{2}+\sqrt{6}) - (-3 \sqrt{2}-3 \sqrt{3})$.
$= 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}-3 \sqrt{2}-\sqrt{6}+3 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}$.
$= 2 \sqrt{3}+3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $2+\sqrt{2}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-2}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{1}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}-2} = \frac{1}{\sqrt{2}-2} \times \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2} = \frac{\sqrt{2}+2}{2-4} = \frac{\sqrt{2}+2}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2 + \sqrt{2} + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$
$= 2 + \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 2 + (1 - 1) + (\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$
$= 2 + 0 + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 2$

(C) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे,जिसके लिए अंश और हर को $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग हर में करने पर:
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
दिए गए मान $\sqrt{5} = 2.2361$ और $\sqrt{3} = 1.7321$ रखने पर:
$= \frac{2.2361 + 1.7321}{2} = \frac{3.9682}{2} = 1.9841$

(A) दी गई संख्या को $0.000326 = 326 \times 10^{-6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $326$ से छोटी निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या देखते हैं।
$326$ से छोटी निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या $324$ है,जो $18$ का वर्ग है $(18^2 = 324)$।
अतः,$324 \times 10^{-6} = 0.000324$ एक पूर्ण वर्ग है।
घटाई जाने वाली संख्या $0.000326 - 0.000324 = 0.000002$ है।

(B) $5808$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए किस सबसे छोटी संख्या से गुणा किया जाना चाहिए,यह ज्ञात करने के लिए हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$5808 = 2 \times 2904 = 2 \times 2 \times 1452 = 2 \times 2 \times 2 \times 726 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 363 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 121 = 2^4 \times 3 \times 11^2$।
एक पूर्ण वर्ग संख्या में,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए।
यहाँ,अभाज्य गुणनखंड $3$ का घातांक $1$ है,जो कि विषम है।
$3$ के घातांक को सम (अर्थात $2$) बनाने के लिए,हमें संख्या को $3$ से गुणा करना होगा।
अतः,गुणा की जाने वाली सबसे छोटी संख्या $3$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{10}{\sqrt{5}} + \sqrt{125}$
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$1$. $\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$
$2$. $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sqrt{5}}{2} - 2\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2} + 3\sqrt{5} = \sqrt{5} \left( \frac{1}{2} + 3 \right) = \frac{7}{2} \sqrt{5}$
दिया गया है कि $\sqrt{5} = 2.236$,मान रखने पर:
$\frac{7}{2} \times 2.236 = 7 \times 1.118 = 7.826$

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{1+\sqrt{0.01}}{1-\sqrt{0.1}}$ है।
चूंकि $\sqrt{0.01} = 0.1$,व्यंजक $\frac{1+0.1}{1-\sqrt{0.1}} = \frac{1.1}{1-\sqrt{0.1}}$ हो जाता है।
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(1+\sqrt{0.1})$ से गुणा करें:
$\frac{1.1(1+\sqrt{0.1})}{(1-\sqrt{0.1})(1+\sqrt{0.1})} = \frac{1.1(1+\sqrt{0.1})}{1-0.1} = \frac{1.1(1+\sqrt{0.1})}{0.9}$.
$\sqrt{0.1} \approx 0.3162$ का सन्निकट मान उपयोग करने पर:
$= \frac{1.1(1+0.3162)}{0.9} = \frac{1.1(1.3162)}{0.9} = \frac{1.44782}{0.9} \approx 1.6086$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,मान लगभग $1.6$ है।

(A) दी गई आवर्ती दशमलव संख्या $0 . \overline{4}$ है।
हम इसे भिन्न के रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं: $0 . \overline{4} = \frac{4}{9}$।
अब,हमें इस मान का वर्गमूल ज्ञात करना है: $\sqrt{0 . \overline{4}} = \sqrt{\frac{4}{9}}$।
वर्गमूल की गणना करने पर: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$।
भिन्न $\frac{2}{3}$ को वापस दशमलव रूप में बदलने पर: $\frac{2}{3} = 0.666 \dots = 0 . \overline{6}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दी गई व्यंजक $\sqrt{4a^{2} - 4a + 1} + 3a$ है।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के पद को सरल करने पर: $4a^{2} - 4a + 1 = (2a - 1)^{2}$।
अतः,व्यंजक $\sqrt{(2a - 1)^{2}} + 3a = |2a - 1| + 3a$ हो जाता है।
चूंकि $a = 0.1039$ है,इसलिए $2a = 0.2078$,जो $1$ से छोटा है। अतः,$|2a - 1| = -(2a - 1) = 1 - 2a$ होगा।
अब इस मान को व्यंजक में रखने पर: $(1 - 2a) + 3a = a + 1$।
अंत में,$a$ का मान रखने पर: $0.1039 + 1 = 1.1039$।

(C) बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sqrt{3}$ और $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है:
$\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$= 3 + \frac{1}{3} - 2$
$= 1 + \frac{1}{3}$
$= \frac{4}{3}$

(B) हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 7$ और $b = 3 \sqrt{5}$ है।
अतः,$(7+3 \sqrt{5})(7-3 \sqrt{5}) = 7^2 - (3 \sqrt{5})^2$.
वर्गों की गणना करने पर: $7^2 = 49$ और $(3 \sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$.
इस प्रकार,$49 - 45 = 4$.
परिणाम का वर्गमूल $\sqrt{4} = 2$ है।

(B) हमें दिया गया व्यंजक है: $\sqrt{\frac{(0.03)^{2}+(0.21)^{2}+(0.065)^{2}}{(0.003)^{2}+(0.021)^{2}}{(0.0065)^{2}}}$
ध्यान दें कि अंश का प्रत्येक पद हर के संगत पद का $10$ गुना है: $0.03 = 10 \times 0.003$,$0.21 = 10 \times 0.021$,और $0.065 = 10 \times 0.0065$.
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(0.03)^{2} = (10 \times 0.003)^{2} = 10^{2} \times (0.003)^{2}$,$(0.21)^{2} = 10^{2} \times (0.021)^{2}$,और $(0.065)^{2} = 10^{2} \times (0.0065)^{2}$.
अंश से $10^{2}$ को कॉमन लेने पर: $\sqrt{\frac{10^{2} \left[(0.003)^{2} + (0.021)^{2} + (0.0065)^{2}\right]}{(0.003)^{2} + (0.021)^{2} + (0.0065)^{2}}}$
कोष्ठक में दिए गए पद कट जाएंगे: $\sqrt{10^{2}} = 10$.

(D) सबसे पहले,दिए गए व्यंजक को सरल करें: $3 \sqrt{5} + \sqrt{125} = 3 \sqrt{5} + \sqrt{25 \times 5} = 3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5}$.
दिया गया है कि $8 \sqrt{5} = 17.88$,इसलिए हम $\sqrt{5}$ का मान ज्ञात कर सकते हैं: $\sqrt{5} = \frac{17.88}{8} = 2.235$.
अब,उस व्यंजक को सरल करें जिसका मान ज्ञात करना है: $\sqrt{80} + 6 \sqrt{5} = \sqrt{16 \times 5} + 6 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5} = 10 \sqrt{5}$.
$\sqrt{5}$ का मान रखने पर: $10 \times 2.235 = 22.35$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\frac{55}{729}}=1+\frac{x}{27}$
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $1+\frac{55}{729} = \frac{729+55}{729} = \frac{784}{729}$
अब,भिन्न का वर्गमूल लें: $\sqrt{\frac{784}{729}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{729}} = \frac{28}{27}$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $\frac{28}{27} = 1+\frac{x}{27}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाएं: $\frac{28}{27} - 1 = \frac{x}{27}$
$\frac{28-27}{27} = \frac{x}{27}$
$\frac{1}{27} = \frac{x}{27}$
अतः,$x = 1$।

(C) $\sqrt{\frac{48.4}{0.289}}$ को हल करने के लिए,अंश और हर को $1000$ से गुणा करके दशमलव हटाएँ:
$\sqrt{\frac{48.4 \times 1000}{0.289 \times 1000}} = \sqrt{\frac{48400}{289}}$
चूँकि $\sqrt{48400} = 220$ और $\sqrt{289} = 17$ है,इसलिए व्यंजक $\frac{220}{17}$ हो जाता है।
$220$ को $17$ से भाग देने पर $12$ भागफल और $16$ शेषफल प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{220}{17} = 12 \frac{16}{17}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x} + \sqrt{441} = 0.02$
हम जानते हैं कि $\sqrt{441} = 21$ है।
समीकरण में यह मान रखने पर: $\sqrt{x} + 21 = 0.02$
$\sqrt{x} = 0.02 - 21 = -20.98$
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्गमूल ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए इस समीकरण के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है। यदि प्रश्न $\sqrt{x} = 0.02 \times \sqrt{441}$ होता,तो:
$\sqrt{x} = 0.02 \times 21 = 0.42$
$x = (0.42)^2 = 0.1764$.

(B) दिया गया समीकरण: $28 \sqrt{?} + 1426 = \frac{3}{4} \times 2872$
सबसे पहले,$\frac{3}{4} \times 2872 = 3 \times 718 = 2154$ की गणना करें।
अब,इस मान को समीकरण में रखें: $28 \sqrt{?} + 1426 = 2154$.
दोनों पक्षों से $1426$ घटाएं: $28 \sqrt{?} = 2154 - 1426 = 728$.
$28$ से भाग दें: $\sqrt{?} = \frac{728}{28} = 26$.
$?$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: $? = (26)^2 = 676$.

(A) माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{x}{\sqrt{0.25}} = 25$ है।
हम जानते हैं कि $\sqrt{0.25} = 0.5$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x}{0.5} = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 25 \times 0.5 = 12.5$।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{52}{x} = \sqrt{\frac{169}{289}}$
सबसे पहले,दाईं ओर के भिन्न का वर्गमूल ज्ञात करें:
$\sqrt{\frac{169}{289}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{289}} = \frac{13}{17}$
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{52}{x} = \frac{13}{17}$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए तिरछा गुणा (cross-multiply) करें:
$13x = 52 \times 17$
$x = \frac{52 \times 17}{13}$
चूंकि $52 \div 13 = 4$,इसलिए:
$x = 4 \times 17 = 68$

(B) $1.5625$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं:
$1.5625 = \frac{15625}{10000}$
अब,अंश और हर का वर्गमूल लें:
$\sqrt{\frac{15625}{10000}} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{10000}}$
चूंकि $125^2 = 15625$ और $100^2 = 10000$ है,इसलिए:
$\frac{125}{100} = 1.25$
अतः,$\sqrt{1.5625} = 1.25$.

(B) चरण $1$: $1.5$ का वर्ग ज्ञात कीजिए।
$1.5^{2} = 1.5 \times 1.5 = 2.25$.
चरण $2$: $0.0225$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
$\sqrt{0.0225} = \sqrt{\frac{225}{10000}} = \frac{15}{100} = 0.15$.
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ के परिणामों का गुणा कीजिए।
$2.25 \times 0.15 = 0.3375$.

(C) $\sqrt{0.000441}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम दशमलव संख्या को भिन्न या वैज्ञानिक संकेतन में लिख सकते हैं।
$0.000441 = \frac{441}{1000000} = \frac{441}{10^6}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{0.000441} = \sqrt{\frac{441}{10^6}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{10^6}}$.
चूंकि $\sqrt{441} = 21$ और $\sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$ होता है।
अतः,$\frac{21}{1000} = 0.021$ प्राप्त होता है।

(C) $15876$ के वर्गमूल का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम संख्या का इकाई अंक देखते हैं,जो $6$ है।
यदि कोई पूर्ण वर्ग संख्या $6$ पर समाप्त होती है,तो उसका वर्गमूल $4$ या $6$ पर समाप्त होना चाहिए (क्योंकि $4^2 = 16$ और $6^2 = 36$)।
हम वर्गमूल का अनुमान लगा सकते हैं: $100^2 = 10000$ और $200^2 = 40000$।
चूंकि $15876$,$100^2$ और $200^2$ के बीच है,इसलिए वर्गमूल $100$ और $200$ के बीच होगा।
$120^2 = 14400$ और $130^2 = 16900$ की जाँच करने पर।
चूंकि $15876$,$14400$ और $16900$ के बीच है,इसलिए वर्गमूल $120$ और $130$ के बीच होगा।
संभावित मान $124$ या $126$ हैं।
$126^2 = 15876$ की गणना करने पर।
अतः,इकाई का अंक $6$ है।

(B) दी गई संक्रिया $x * y = x + y + \sqrt{xy}$ है।
$6 * 24$ का मान ज्ञात करने के लिए,दिए गए व्यंजक में $x = 6$ और $y = 24$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6 * 24 = 6 + 24 + \sqrt{6 \times 24}$
$= 30 + \sqrt{144}$
$= 30 + 12$
$= 42$

(A) सबसे पहले,व्यंजक में दिए गए वर्गमूलों का मान ज्ञात करें:
$\sqrt{625} = 25$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{196} = 14$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{25}{11} \times \frac{14}{5} \times \frac{11}{14}\right)$
अब,अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$= \left(\frac{25}{5} \times \frac{14}{14} \times \frac{11}{11}\right)$
$= 5 \times 1 \times 1 = 5$

(C) व्यंजक $\sqrt{41-\sqrt{21+\sqrt{19-\sqrt{9}}}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे अंदर वाले वर्गमूल से बाहर की ओर हल करेंगे।
चरण $1$: $\sqrt{9} = 3$ का मान ज्ञात करें।
चरण $2$: इस मान को अगले पद में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{19-3} = \sqrt{16} = 4$।
चरण $3$: इस मान को अगले पद में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{21+4} = \sqrt{25} = 5$।
चरण $4$: अंत में,सबसे बाहरी पद का मान ज्ञात करें: $\sqrt{41-5} = \sqrt{36} = 6$।
अतः,व्यंजक का मान $6$ है।

(A) व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे आंतरिक वर्गमूल से शुरू करके बाहर की ओर गणना करेंगे:
चरण $1$: $\sqrt{225} = 15$ का मान ज्ञात करें।
चरण $2$: इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\sqrt{154 + 15} = \sqrt{169} = 13$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\sqrt{108 + 13} = \sqrt{121} = 11$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\sqrt{25 + 11} = \sqrt{36} = 6$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: अंत में,$\sqrt{10 + 6} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $4$ है।

(C) $(272^{2}-128^{2})$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a=272$ और $b=128$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{272^{2}-128^{2}} = \sqrt{(272+128)(272-128)}$
$= \sqrt{(400)(144)}$
$= \sqrt{400} \times \sqrt{144}$
$= 20 \times 12$
$= 240$

(B) $0.00004761$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम संख्या को भिन्न या वैज्ञानिक पद्धति में लिख सकते हैं।
$0.00004761 = \frac{4761}{100000000}$.
अंश और हर दोनों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{0.00004761} = \sqrt{\frac{4761}{10^8}} = \frac{\sqrt{4761}}{\sqrt{10^8}}$.
हम जानते हैं कि $69^2 = 4761$,इसलिए $\sqrt{4761} = 69$.
साथ ही,$\sqrt{10^8} = 10^4 = 10000$.
अतः,$\sqrt{0.00004761} = \frac{69}{10000} = 0.0069$.

(D) व्यंजक $\sqrt{0.01} + \sqrt{0.81} + \sqrt{1.21} + \sqrt{0.0009}$ का मान ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक वर्गमूल की गणना अलग-अलग करते हैं:
$1$. $\sqrt{0.01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = 0.1$
$2$. $\sqrt{0.81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = 0.9$
$3$. $\sqrt{1.21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = 1.1$
$4$. $\sqrt{0.0009} = \sqrt{\frac{9}{10000}} = 0.03$
इन मानों को जोड़ने पर: $0.1 + 0.9 + 1.1 + 0.03 = 2.13$।

(B) $1.5625$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं:
$\sqrt{1.5625} = \sqrt{\frac{15625}{10000}}$
चूंकि $\sqrt{15625} = 125$ और $\sqrt{10000} = 100$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{125}{100} = 1.25$
अतः,$\sqrt{1.5625} = 1.25$ है।

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{3}{5} \times x^{2} = 126.15$
$x^{2}$ को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को $\frac{5}{3}$ से गुणा करने पर:
$x^{2} = \frac{126.15 \times 5}{3}$
$x^{2} = 42.05 \times 5$
$x^{2} = 210.25$
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \sqrt{210.25}$
$x = 14.5$

(C) $\sqrt{\frac{96.8}{0.578}}$ को हल करने के लिए,अंश और हर को $1000$ से गुणा करके दशमलव हटाएँ:
$\sqrt{\frac{96.8 \times 1000}{0.578 \times 1000}} = \sqrt{\frac{96800}{578}}$
अंश और हर दोनों को $2$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{\frac{48400}{289}}$
अंश और हर का वर्गमूल अलग-अलग ज्ञात करें:
$\sqrt{48400} = 220$ और $\sqrt{289} = 17$
अतः,भिन्न $\frac{220}{17}$ प्राप्त होती है।
इस विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:
$220 \div 17 = 12$ और शेषफल $16$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उत्तर $12 \frac{16}{17}$ है।

(B) व्यंजक $\frac{\sqrt{80}-\sqrt{112}}{\sqrt{45}-\sqrt{63}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले वर्गमूलों को सरल करते हैं:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4\sqrt{5}-4\sqrt{7}}{3\sqrt{5}-3\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{3(\sqrt{5}-\sqrt{7})}$
अंश और हर से उभयनिष्ठ पद $(\sqrt{5}-\sqrt{7})$ को काटने पर:
$= \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$

(A) $680621$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग करके $680621$ का वर्गमूल निकालते हैं।
चरण $1$: दाएं से बाएं अंकों के जोड़े बनाएं: $68, 06, 21$।
चरण $2$: $68$ से छोटी या उसके बराबर सबसे बड़ी वर्ग संख्या $8^2 = 64$ है। अतः,पहला अंक $8$ है।
चरण $3$: $68$ में से $64$ घटाने पर $4$ प्राप्त होता है,और अगला जोड़ा $06$ नीचे लाने पर $406$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: भागफल $8$ को दोगुना करने पर $16$ प्राप्त होता है। एक ऐसा अंक $x$ खोजें जिससे $16x \times x \leq 406$ हो। $x = 2$ के लिए,$162 \times 2 = 324$। $x = 3$ के लिए,$163 \times 3 = 489$ (अधिक है)।
चरण $5$: $406$ में से $324$ घटाने पर $82$ प्राप्त होता है,और अगला जोड़ा $21$ नीचे लाने पर $8221$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: वर्तमान भागफल $82$ है। इसे दोगुना करने पर $164$ प्राप्त होता है। एक ऐसा अंक $y$ खोजें जिससे $164y \times y \leq 8221$ हो। $y = 4$ के लिए,$1644 \times 4 = 6576$। $y = 5$ के लिए,$1645 \times 5 = 8225$।
चूंकि $8225 > 8221$,अगली पूर्ण वर्ग संख्या $825^2 = 680625$ है।
चरण $7$: जोड़ी जाने वाली संख्या $680625 - 680621 = 4$ है।

(A) व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे:
चरण $1$: $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ का परिमेयकरण:
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3} = 4+3+4\sqrt{3} = 7+4\sqrt{3}$
चरण $2$: $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ का परिमेयकरण:
$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3} = 4+3-4\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}$
चरण $3$: $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ का परिमेयकरण:
$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$
चरण $4$: परिणामों को जोड़ें:
$(7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})$
$= 7 + 7 + 2 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$= 16 - \sqrt{3}$

(B) घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम संख्या को $0.000365 = 365 \times 10^{-6}$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम $365$ से छोटी निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या देखते हैं। $365$ के निकटतम पूर्ण वर्ग $361$ है,जो $19^2$ है।
अतः,$361 \times 10^{-6} = 0.000361$ एक पूर्ण वर्ग है।
घटाई जाने वाली संख्या $0.000365 - 0.000361 = 0.000004$ है।

(A) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{5}$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं।
$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
दिया गया है कि $\sqrt{5} = 2.236$,इसलिए इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2.236}{5} = 0.4472$.
दशमलव के तीन अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.447$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,व्यंजक में दिए गए वर्गमूलों की गणना करें:
$\sqrt{0.04} = 0.2$
$\sqrt{0.1} \approx 0.3162$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 + 0.2}{1 - 0.3162} = \frac{1.2}{0.6838}$
भाग देने पर:
$\frac{1.2}{0.6838} \approx 1.754$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.7$ है।

(B) माना व्यंजक $E = \frac{(0.75)^{3}}{1-0.75} + [0.75 + 0.75^{2} + 1]$ है।
सबसे पहले,भिन्न को सरल करने पर: $\frac{(0.75)^{3}}{0.25} = \frac{(0.75)^{3}}{(0.75/3)} = 3 \times (0.75)^{2}$ प्राप्त होता है।
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = 3 \times (0.75)^{2} + 0.75^{2} + 0.75 + 1$ प्राप्त होता है।
पदों को जोड़ने पर: $E = 4 \times (0.75)^{2} + 0.75 + 1$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $4 \times (0.5625) + 0.75 + 1 = 2.25 + 0.75 + 1 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का वर्गमूल $\sqrt{4} = 2$ है।

(B) सबसे पहले,प्रत्येक पद का सरलीकरण करें:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$2\sqrt{32} = 2\sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
$3\sqrt{128} = 3\sqrt{64 \times 2} = 3 \times 8\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$
$4\sqrt{50} = 4\sqrt{25 \times 2} = 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$2\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 24\sqrt{2} + 20\sqrt{2}$
$= (2 + 8 - 24 + 20)\sqrt{2}$
$= 6\sqrt{2}$
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.414$,इसलिए:
$6 \times 1.414 = 8.484$

(A) $21, 36$ और $66$ से पूर्णतः विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$21 = 3 \times 7$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$66 = 2 \times 3 \times 11$
$LCM$ $= 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 11 = 4 \times 9 \times 77 = 2772$.
किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम (even) होना चाहिए।
$LCM$ $(2^2 \times 3^2 \times 7^1 \times 11^1)$ में,अभाज्य गुणनखंडों $7$ और $11$ के घातांक विषम हैं।
इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें $LCM$ को $7 \times 11 = 77$ से गुणा करना होगा।
अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या $= 2772 \times 77 = 213444$.

(D) $\sqrt{\frac{0.16}{0.4}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले वर्गमूल के अंदर के भिन्न को सरल करें।
$\frac{0.16}{0.4} = \frac{16}{40} = \frac{4}{10} = 0.4$.
अब,$0.4$ का वर्गमूल निकालें।
$\sqrt{0.4} \approx 0.63245$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$0.02$,$0.2$ या $0.63$ में से कोई भी मान $\sqrt{0.4}$ के बराबर नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) व्यंजक $\sqrt{\frac{0.081 \times 0.484}{0.0064 \times 6.25}}$ को हल करने के लिए,हम गणना को सरल बनाने हेतु दशमलव स्थानों को व्यवस्थित करते हैं।
$\sqrt{\frac{0.081 \times 0.484}{0.0064 \times 6.25}} = \sqrt{\frac{81 \times 10^{-3} \times 484 \times 10^{-3}}{64 \times 10^{-4} \times 625 \times 10^{-2}}}$
$= \sqrt{\frac{81 \times 484 \times 10^{-6}}{64 \times 625 \times 10^{-6}}}$
$= \sqrt{\frac{81 \times 484}{64 \times 625}}$
$= \frac{\sqrt{81} \times \sqrt{484}}{\sqrt{64} \times \sqrt{625}}$
$= \frac{9 \times 22}{8 \times 25}$
$= \frac{198}{200} = 0.99$

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{0.13}{p^{2}} = 13$
$p^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$p^{2} = \frac{0.13}{13}$
भाग देने पर:
$p^{2} = 0.01$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$p = \sqrt{0.01}$
$p = 0.1$

(A) माना कि प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर $x$ है।
तब समीकरण $\frac{x}{\sqrt{128}} = \frac{\sqrt{162}}{x}$ हो जाता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 = \sqrt{128} \times \sqrt{162}$.
$x^2 = \sqrt{128 \times 162}$.
$x^2 = \sqrt{(64 \times 2) \times (81 \times 2)}$.
$x^2 = \sqrt{64 \times 81 \times 4}$.
$x^2 = 8 \times 9 \times 2$.
$x^2 = 144$.
$x = \sqrt{144} = 12$.