Squares and Square Roots Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $\left(\frac{x}{15}\right)\left(\frac{x}{135}\right) = 1$
અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરતા: $\frac{x^2}{15 \times 135} = 1$
$x^2 = 15 \times 135$
$x^2 = 15 \times (15 \times 9)$
$x^2 = 15^2 \times 3^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x = \sqrt{15^2 \times 3^2}$
$x = 15 \times 3 = 45$
તેથી,$x$ ની કિંમત $45$ છે.

(D) આપણે $\sqrt{1.3} + \sqrt{1300} + \sqrt{0.013}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,દરેક પદને $\sqrt{13}$ અથવા $\sqrt{130}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$\sqrt{1.3} = \sqrt{\frac{130}{100}} = \frac{\sqrt{130}}{10} = 0.1 \times 11.4 = 1.14$
$\sqrt{1300} = \sqrt{100 \times 13} = 10 \times \sqrt{13} = 10 \times 3.605 = 36.05$
$\sqrt{0.013} = \sqrt{\frac{130}{10000}} = \frac{\sqrt{130}}{100} = 0.01 \times 11.4 = 0.114$
હવે,આ કિંમતોનો સરવાળો કરો:
$1.14 + 36.05 + 0.114 = 37.304$
આમ,જવાબ $37.304$ છે.

(C) $4356$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$4356 = 2 \times 2178$
$2178 = 2 \times 1089$
$1089 = 3 \times 363$
$363 = 3 \times 121$
$121 = 11 \times 11$
આમ,અવિભાજ્ય અવયવો $4356 = 2^2 \times 3^2 \times 11^2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{4356} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 11^2}$
$\sqrt{4356} = 2 \times 3 \times 11$
$\sqrt{4356} = 66$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $104976$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીત અથવા ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પગલું $1$: જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ અંકોની જોડી બનાવો: $10, 49, 76$.
પગલું $2$: એવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધો જેનો વર્ગ $10$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય. તે $3^2 = 9$ છે.
પગલું $3$: $10$ માંથી $9$ બાદ કરતા $1$ મળે,ત્યારબાદ $49$ નીચે ઉતારતા $149$ મળે.
પગલું $4$: ભાગફળને બમણું કરો $(3 \times 2 = 6)$ અને એક એવો અંક $x$ શોધો કે જેથી $6x \times x \leq 149$ થાય. $x = 2$ માટે,$62 \times 2 = 124$ થાય.
પગલું $5$: $149$ માંથી $124$ બાદ કરતા $25$ મળે,ત્યારબાદ $76$ નીચે ઉતારતા $2576$ મળે.
પગલું $6$: વર્તમાન ભાગફળને બમણું કરો $(32 \times 2 = 64)$ અને એક એવો અંક $y$ શોધો કે જેથી $64y \times y = 2576$ થાય. $y = 4$ માટે,$644 \times 4 = 2576$ થાય.
તેથી,$\sqrt{104976} = 324$.

(A) $211600$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\sqrt{211600} = \sqrt{2116 \times 100}$.
કારણ કે $\sqrt{100} = 10$ થાય,તેથી આપણે $2116$ નું વર્ગમૂળ શોધવાની જરૂર છે.
$2116$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતા: $2116 = 2^2 \times 23^2$.
તેથી,$\sqrt{2116} = 2 \times 23 = 46$.
આમ,$\sqrt{211600} = 46 \times 10 = 460$.

(C) $6492304$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$1$. જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ બે-બે અંકોની જોડી બનાવો: $6, 49, 23, 04$.
$2$. $6$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણ વર્ગ શોધો,જે $2^2 = 4$ છે. $6$ માંથી $4$ બાદ કરતા $2$ મળે. ઉપરથી $49$ નીચે ઉતારો,જેથી સંખ્યા $249$ બને.
$3$. ભાજકને બમણો કરો $(2 \times 2 = 4)$. એવો અંક $x$ શોધો કે જેથી $4x \times x \leq 249$ થાય. $x = 5$ માટે,$45 \times 5 = 225$. $249$ માંથી $225$ બાદ કરતા $24$ મળે. ઉપરથી $23$ નીચે ઉતારો,જેથી સંખ્યા $2423$ બને.
$4$. વર્તમાન ભાજકને બમણો કરો $(25 \times 2 = 50)$. એવો અંક $y$ શોધો કે જેથી $50y \times y \leq 2423$ થાય. $y = 4$ માટે,$504 \times 4 = 2016$. $2423$ માંથી $2016$ બાદ કરતા $407$ મળે. ઉપરથી $04$ નીચે ઉતારો,જેથી સંખ્યા $40704$ બને.
$5$. વર્તમાન ભાજકને બમણો કરો $(254 \times 2 = 508)$. એવો અંક $z$ શોધો કે જેથી $508z \times z = 40704$ થાય. $z = 8$ માટે,$5088 \times 8 = 40704$.
તેથી,$\sqrt{6492304} = 2548$.

(A) સૌ પ્રથમ,$74088$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$74088 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7$
અવિભાજ્ય અવયવોને જોડીમાં ગોઠવતા:
$74088 = (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (7 \times 7) \times (2 \times 3 \times 7)$
સંખ્યાને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવ જોડીમાં હોવો જોઈએ. અહીં $2, 3,$ અને $7$ અવયવો જોડી વગરના છે.
તેથી,ગુણવા માટે જરૂરી સંખ્યા $= 2 \times 3 \times 7 = 42$ છે.

(D) વર્ગમૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
તેથી,$\sqrt{10} \times \sqrt{250} = \sqrt{10 \times 250}$.
$\sqrt{10 \times 250} = \sqrt{2500}$.
કારણ કે $50 \times 50 = 2500$,તેથી $2500$ નું વર્ગમૂળ $50$ થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગમૂળ પદને તેના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીને સરળ બનાવો:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$
$3\sqrt{245} = 3\sqrt{49 \times 5} = 3 \times 7\sqrt{5} = 21\sqrt{5}$
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$4\sqrt{5} + 21\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$
$= (4 + 21 - 5)\sqrt{5}$
$= 20\sqrt{5}$

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{250}{\sqrt{x}} = 10$ થાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $\sqrt{x} = \frac{250}{10}$ મળે છે.
$\sqrt{x} = 25$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x = (25)^2$ મળે છે.
તેથી,$x = 625$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{x}}=2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{256} = 16$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{16}{\sqrt{x}} = 2$
બંને બાજુ $\sqrt{x}$ વડે ગુણતા:
$16 = 2\sqrt{x}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$8 = \sqrt{x}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = 8^2 = 64$

(C) $216$ ને કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણ વર્ગ બને તે શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $216$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \times 6$.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં,અવયવો $2$ અને $3$ ની જોડી બને છે,પરંતુ અવયવ $6$ (જે $2 \times 3$ છે) જોડી વગરનો રહે છે.
સંખ્યાને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $216$ ને આ બાકી રહેલા અવયવ $6$ વડે ભાગવા જોઈએ.
આમ,$\frac{216}{6} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$,જે એક પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે $(6^2 = 36)$.
તેથી,માંગેલી નાનામાં નાની સંખ્યા $6$ છે.

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sqrt{x}}{200} = 0.02$.
બંને બાજુ $200$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{x} = 200 \times 0.02$
$\sqrt{x} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = 4^2 = 16$.

(C) $\frac{\sqrt{6727}}{\sqrt{7}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{\frac{6727}{7}}$ મળે છે.
$6727$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $6727 \div 7 = 961$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{961}$ બને છે.
કારણ કે $31 \times 31 = 961$,તેથી $961$ નું વર્ગમૂળ $31$ છે.

(A) $0.09$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}}$
કારણ કે $\sqrt{9} = 3$ અને $\sqrt{100} = 10$ છે,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{3}{10} = 0.3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $\frac{14}{3+\sqrt{2}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ (rationalization) કરીશું,જેમાં અંશ અને છેદને $(3-\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{14}{3+\sqrt{2}} = \frac{14(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{14(3-\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{14(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{14(3-\sqrt{2})}{7}$
$= 2(3-\sqrt{2})$
અહીં $\sqrt{2} \approx 1.414$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$= 2(3 - 1.414) = 2(1.586) = 3.172$

(C) $3579$ માં કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા ઉમેરવાથી તે પૂર્ણવર્ગ બને તે શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતથી $3579$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
$\sqrt{3579} \approx 59.82$.
$3579$ પછીની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા એ તેના પછીના પૂર્ણાંકનો વર્ગ છે,જે $60^2$ છે.
$60^2 = 3600$.
જરૂરી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $3600$ માંથી $3579$ બાદ કરીએ.
જરૂરી સંખ્યા $= 3600 - 3579 = 21$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\left(1+\frac{27}{169}\right)}=1+\frac{x}{13}$
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$1+\frac{27}{169} = \frac{169+27}{169} = \frac{196}{169}$
હવે,અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ લો:
$\sqrt{\frac{196}{169}} = \frac{14}{13}$
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકો:
$\frac{14}{13} = 1+\frac{x}{13}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરો:
$\frac{14}{13} - 1 = \frac{x}{13}$
$\frac{14-13}{13} = \frac{x}{13}$
$\frac{1}{13} = \frac{x}{13}$
તેથી,$x = 1$.

(C) $\frac{\sqrt{4375}}{\sqrt{7}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે કરણીના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
આ ગુણધર્મ લાગુ કરતાં,આપણને $\sqrt{\frac{4375}{7}}$ મળે છે.
$4375$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $4375 \div 7 = 625$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{625}$ બને છે.
કારણ કે $25 \times 25 = 625$ થાય છે,તેથી $625$ નું વર્ગમૂળ $25$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{0.04 \times 0.4 \times a} = 0.4 \times 0.04 \times \sqrt{b}$
પ્રથમ,ડાબી બાજુએ વર્ગમૂળની અંદરનો ગુણાકાર કરો: $0.04 \times 0.4 = 0.016$.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\sqrt{0.016 \times a} = 0.016 \times \sqrt{b}$.
$\frac{a}{b}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે બંને બાજુને $\sqrt{b}$ અને $\sqrt{0.016}$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{0.016}{\sqrt{0.016}}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{0.016}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{a}{b} = 0.016$.

(D) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{\sqrt{1296}}{x} = \frac{x}{2.25}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{1296} = 36$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{36}{x} = \frac{x}{2.25}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$x^2 = 36 \times 2.25$ મળે.
$x^2 = 36 \times \frac{225}{100}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \sqrt{36 \times \frac{225}{100}}$.
$x = 6 \times \frac{15}{10} = 6 \times 1.5 = 9$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $9$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$2401$ નું વર્ગમૂળ શોધો. $40^2 = 1600$ અને $50^2 = 2500$ હોવાથી,સંખ્યાનો એકમનો અંક $1$ છે,તેથી તે $41$ અથવા $49$ હોઈ શકે છે. $49^2$ તપાસતા: $49 \times 49 = 2401$.
તેથી,$\sqrt{2401} = 49$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો: $\sqrt{176 + 49}$.
સરવાળો ગણો: $176 + 49 = 225$.
અંતે,$225$ નું વર્ગમૂળ શોધો: $\sqrt{225} = 15$.

(A) $\sqrt{10} \times \sqrt{15}$ ઉકેલવા માટે,આપણે $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\sqrt{10} \times \sqrt{15} = \sqrt{10 \times 15} = \sqrt{150}$.
હવે,વર્ગમૂળને સરળ બનાવવા માટે $150$ ના અવયવો પાડીએ:
$150 = 25 \times 6$.
તેથી,$\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = \sqrt{25} \times \sqrt{6}$.
કારણ કે $\sqrt{25} = 5$ થાય,તેથી જવાબ $5 \sqrt{6}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{4}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક પદના વર્ગમૂળને સરળ બનાવીશું.
$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
હવે,આ બંને અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરીએ:
$\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \times 2 - \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$
$= \frac{4 - 3}{2 \sqrt{3}}$
$= \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(B) $\sqrt{248+\sqrt{52+\sqrt{144}}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે સૌથી અંદરના વર્ગમૂળથી શરૂઆત કરીશું.
પ્રથમ,$\sqrt{144} = 12$ ની ગણતરી કરો.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{248+\sqrt{52+12}}$.
ત્યારબાદ,વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપો: $52 + 12 = 64$.
હવે,$\sqrt{64} = 8$ ની ગણતરી કરો.
આ કિંમતને ફરીથી મૂકતા: $\sqrt{248+8}$.
અંતે,$\sqrt{256} = 16$ મળે છે.

(B) આપેલ પદ $\frac{\sqrt{0.0009}}{\sqrt{0.01}}$ છે.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{\frac{0.0009}{0.01}}$ મળે છે.
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે અંશ અને છેદને $10000$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{\frac{9}{100}}$ મળે છે.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા,$\sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$ થાય છે.

(D) $\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ (rationalization) કરીશું.
પ્રથમ,વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{9} = 3$ અને $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ બને છે.
હવે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી $(3+2\sqrt{2})$ વડે ગુણો:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$.
છેદની ગણતરી કરો: $(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$.
તેથી,અંતિમ જવાબ $3+2\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{x}{169}} = \frac{54}{39}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x}{169} = \left(\frac{54}{39}\right)^2$
$\frac{x}{169} = \frac{54 \times 54}{39 \times 39}$
અહીં $169 = 13 \times 13$ અને $39 = 3 \times 13$ હોવાથી,$\frac{169}{39 \times 39} = \frac{169}{1521} = \frac{1}{9}$ થાય.
તેથી,$x = \frac{54 \times 54}{9} = 6 \times 54 = 324$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $x = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 12 + \sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}$ મળે છે.
આ પદાવલિ અનંત હોવાથી,વર્ગમૂળની અંદરનું પદ ફરીથી $x$ જ થશે,તેથી $x^2 = 12 + x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 12 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 4)(x + 3) = 0$ મળે છે.
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = 4$ અથવા $x = -3$.
ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $x = -3$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$x = 4$.

(D) સૌ પ્રથમ,પદાવલિમાં રહેલા વર્ગમૂળની કિંમત શોધો:
$\sqrt{196} = 14$
$\sqrt{576} = 24$
$\sqrt{256} = 16$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$= \frac{112}{14} \times \frac{24}{12} \times \frac{16}{8}$
$= 8 \times 2 \times 2$
$= 32$

(C) આપેલ છે: $\sqrt{12} = 3.464$.
આપણે $\sqrt{\frac{3}{4}} + 2 \sqrt{\frac{4}{3}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \times 2}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{12}}{4}$.
$2 \sqrt{\frac{4}{3}} = 2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \times \sqrt{3} \times 4}{3 \times 4} = \frac{16 \sqrt{3}}{12} = \frac{8 \sqrt{12}}{12} = \frac{2 \sqrt{12}}{3}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\sqrt{12}}{4} + \frac{2 \sqrt{12}}{3} = \sqrt{12} \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) = \sqrt{12} \left( \frac{3 + 8}{12} \right) = \sqrt{12} \left( \frac{11}{12} \right)$.
$\sqrt{12} = 3.464$ મૂકતા:
$= 3.464 \times \frac{11}{12} = \frac{38.104}{12} = 3.175333... \approx 3.1753$.

(C) આપેલ છે કે $\sqrt{15625} = 125$.
આપણે પદાવલિ $\sqrt{15625} + \sqrt{156.25} + \sqrt{1.5625}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,દશાંશ સંખ્યાઓને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$\sqrt{156.25} = \sqrt{\frac{15625}{100}} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{100}} = \frac{125}{10} = 12.5$.
$\sqrt{1.5625} = \sqrt{\frac{15625}{10000}} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{10000}} = \frac{125}{100} = 1.25$.
હવે,આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$125 + 12.5 + 1.25 = 138.75$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{0.03 \times 0.3 \times a} = 0.03 \times 0.3 \times \sqrt{b}$
બંને બાજુને $\sqrt{b}$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{0.03 \times 0.3 \times a}}{\sqrt{b}} = 0.03 \times 0.3$
ડાબી બાજુએ વર્ગમૂળને ભેગા કરતા:
$\sqrt{\frac{0.03 \times 0.3 \times a}{b}} = 0.03 \times 0.3$
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{0.03 \times 0.3 \times a}{b} = (0.03 \times 0.3)^2$
બંને બાજુને $(0.03 \times 0.3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{b} = 0.03 \times 0.3$
ગુણાકાર કરતા:
$\frac{a}{b} = 0.009$

(B) આપણને આપેલ છે કે $\sqrt{4096} = 64$.
આપણે પદાવલિ $\sqrt{4096} + \sqrt{40.96} + \sqrt{0.004096}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પગલું $1$: દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો.
$\sqrt{4096} = 64$
$\sqrt{40.96} = \sqrt{\frac{4096}{100}} = \frac{64}{10} = 6.4$
$\sqrt{0.004096} = \sqrt{\frac{4096}{1000000}} = \frac{64}{1000} = 0.064$
પગલું $2$: ત્રણેય કિંમતોનો સરવાળો કરો.
$64 + 6.4 + 0.064 = 70.464$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+\sqrt{1-\frac{2176}{2401}}}=1+\frac{x}{7}$
સૌ પ્રથમ,અંદરના વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $1-\frac{2176}{2401} = \frac{2401-2176}{2401} = \frac{225}{2401}$
હવે,આ અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{225}{2401}} = \frac{15}{49}$
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{1+\frac{15}{49}} = 1+\frac{x}{7}$
બહારના વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{\frac{49+15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}}$
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $\frac{8}{7} = 1+\frac{x}{7}$
$\frac{8}{7}$ ને $1+\frac{1}{7}$ તરીકે લખતા: $1+\frac{1}{7} = 1+\frac{x}{7}$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(A) $1$. એકી સંખ્યાનો વર્ગ એકી અંક $(1, 5, 9)$ માં જ સમાપ્ત થાય. વિકલ્પ $C$ માં છેલ્લો અંક $4$ છે,જે બેકી છે,તેથી તે શક્ય નથી.
$2$. $3$-અંકની સંખ્યા $n$ એ $100$ થી $999$ ની વચ્ચે હોય છે. તેનો વર્ગ $n^2$ એ $100^2 = 10,000$ થી $999^2 = 998,001$ ની વચ્ચે હોય છે.
$3$. તેથી,$3$-અંકની સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા $5$ અથવા $6$ અંકનો હોવો જોઈએ.
$4$. વિકલ્પ $A$ $(65xxx1)$ માં $6$ અંકો છે,જે શક્ય છે.
$5$. વિકલ્પ $B$ $(9xx1)$ માં માત્ર $4$ અંકો છે,જે $3$-અંકની સંખ્યા માટે અશક્ય છે.
$6$. વિકલ્પ $D$ $(9xxxxxx5)$ માં $8$ અંકો છે,જે $3$-અંકની સંખ્યા માટે અશક્ય છે.
$7$. આમ,$65xxx1$ એ એકમાત્ર શક્ય વિકલ્પ છે.

(C) આપેલ પદ $= \sqrt{\frac{0.324 \times 0.081 \times 4.624}{1.5625 \times 0.0289 \times 72.9 \times 64}}$
પ્રથમ,અંશ અને છેદમાં દશાંશ ચિહ્નો પછીના અંકોની સંખ્યા ગણો.
અંશ: $3 + 3 + 3 = 9$ દશાંશ સ્થળ.
છેદ: $4 + 4 + 1 + 0 = 9$ દશાંશ સ્થળ.
દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા સમાન હોવાથી,આપણે દશાંશ ચિહ્નો દૂર કરી શકીએ છીએ:
$= \sqrt{\frac{324 \times 81 \times 4624}{15625 \times 289 \times 729 \times 64}}$
હવે,દરેક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધો:
$= \frac{\sqrt{324} \times \sqrt{81} \times \sqrt{4624}}{\sqrt{15625} \times \sqrt{289} \times \sqrt{729} \times \sqrt{64}}$
$= \frac{18 \times 9 \times 68}{125 \times 17 \times 27 \times 8}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{18 \times 9 \times 68}{125 \times 17 \times 27 \times 8} = \frac{11016}{459000} = \frac{3}{125} = 0.024$

(A) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{0.01+\sqrt{0.0064}}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અંદરના વર્ગમૂળની કિંમત શોધો: $\sqrt{0.0064} = 0.08$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો: $\sqrt{0.01 + 0.08}$.
વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $\sqrt{0.09}$.
અંતે,વર્ગમૂળની ગણતરી કરો: $\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$.

(C) $0.000064$ નું ઘનમૂળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દશાંશને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવીએ:
$\sqrt[3]{0.000064} = \sqrt[3]{\frac{64}{1000000}}$
ત્યારબાદ,આપણે $64$ ને $4^3$ તરીકે અને $1000000$ ને $100^3$ તરીકે દર્શાવીએ:
$= \sqrt[3]{\frac{4^3}{100^3}}$
ઘનમૂળ લેતા:
$= \frac{4}{100} = 0.04$

(C) $14175$ ને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ભાગવું જોઈએ તે શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$14175 = 5 \times 2835 = 5 \times 5 \times 567 = 5 \times 5 \times 3 \times 189 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 63 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 21 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7$.
આમ,$14175 = 5^2 \times 3^4 \times 7$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ હોય ત્યારે તેના દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યામાં હોવો જોઈએ.
$14175$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં,અવિભાજ્ય અવયવ $7$ નો ઘાતાંક $1$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,સંખ્યાને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $14175$ ને $7$ વડે ભાગવું જોઈએ જેથી $7^1$ અવયવ દૂર થઈ જાય.

(B) આ પદાવલિને સરળ બનાવવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું. આ માટે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
$= \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}$
$= \frac{5 + 3 - 2\sqrt{15}}{5-3}$
$= \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2}$
$= \frac{2(4 - \sqrt{15})}{2} = 4 - \sqrt{15}$

(C) $\frac{\sqrt{24}+\sqrt{216}}{\sqrt{96}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક વર્ગમૂળના પદને પૂર્ણ વર્ગના અવયવો પાડીને સાદું રૂપ આપીશું:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
$\sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6}$
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2\sqrt{6} + 6\sqrt{6}}{4\sqrt{6}} = \frac{(2+6)\sqrt{6}}{4\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{4\sqrt{6}}$
અંશ અને છેદમાંથી $\sqrt{6}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{8}{4} = 2$

(C) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંક $2 \frac{2}{9}$ ને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$2 \frac{2}{9} = \frac{2 \times 9 + 2}{9} = \frac{18 + 2}{9} = \frac{20}{9}$.
હવે,તેનું વર્ગમૂળ શોધો:
$\sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{9}}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{20} = 4.472$ અને $\sqrt{9} = 3$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4.472}{3} = 1.49066...$.
દશાંશના બે સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.49$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$a$ અને $b$ નું સંમેયીકરણ (rationalization) કરતા:
$a = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} \times \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^{2}}{5 - 1} = \frac{5 + 1 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$b = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} - 1)^{2}}{5 - 1} = \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
હવે,$a + b$ અને $ab$ ની કિંમત મેળવતા:
$a + b = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$ab = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = (3)^{2} - 2(1) = 9 - 2 = 7$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^{2} + ab + b^{2}}{a^{2} - ab + b^{2}} = \frac{(a^{2} + b^{2}) + ab}{(a^{2} + b^{2}) - ab} = \frac{7 + 1}{7 - 1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(C) $10584$ ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે તેને કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ગુણવી જોઈએ તે શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$10584 = 2 \times 5292 = 2^2 \times 2646 = 2^3 \times 1323 = 2^3 \times 3 \times 441 = 2^3 \times 3 \times 3 \times 147 = 2^3 \times 3^3 \times 7^2$.
અવિભાજ્ય અવયવોને જોડીમાં ગોઠવતા: $10584 = (2^2 \times 3^2 \times 7^2) \times (2 \times 3)$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય તે માટે તેના તમામ અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાતાંક બેકી સંખ્યામાં હોવા જોઈએ.
અહીં,અવયવો $2$ અને $3$ ના ઘાતાંક એકી સંખ્યા $(1)$ છે.
તેથી,બધા ઘાતાંકને બેકી બનાવવા માટે આપણે તેને $2 \times 3 = 6$ વડે ગુણવા પડશે.

(B) સૌ પ્રથમ,$7936$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$7936 = 2 \times 3968 = 2^2 \times 1984 = 2^3 \times 992 = 2^4 \times 496 = 2^5 \times 248 = 2^6 \times 124 = 2^7 \times 62 = 2^8 \times 31$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ હોય તે માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા હોવો જોઈએ.
$7936 = 2^8 \times 31^1$ માં,$2$ નો ઘાતાંક $8$ છે (જે બેકી છે),પરંતુ $31$ નો ઘાતાંક $1$ છે (જે એકી છે).
તેને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $7936$ ને $31$ વડે ગુણવા પડશે જેથી $31$ નો ઘાતાંક $2$ થઈ જાય.
તેથી,સૌથી નાની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $7936 \times 31 = 246016$ છે.

(B) $0.00059049$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવો:
$\sqrt{0.00059049} = \sqrt{\frac{59049}{100000000}}$
ત્યારબાદ,અંશ અને છેદનું અલગ-અલગ વર્ગમૂળ લો:
$= \frac{\sqrt{59049}}{\sqrt{100000000}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $243^2 = 59049$ અને $\sqrt{100000000} = 10000$ થાય છે,તેથી:
$= \frac{243}{10000}$
$= 0.0243$

(C) $\sqrt{\frac{4}{12.1}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યાને દશાંશ દૂર કરવા માટે અંશ અને છેદને $10$ વડે ગુણીએ:
$\sqrt{\frac{4}{12.1}} = \sqrt{\frac{4 \times 10}{12.1 \times 10}} = \sqrt{\frac{40}{121}}$
$= \frac{\sqrt{4} \times \sqrt{10}}{\sqrt{121}}$
$= \frac{2 \times 3.16}{11}$
$= \frac{6.32}{11}$
$= 0.5745...$
દશાંશના એક સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.6$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{\frac{0.256 \times 0.081 \times 4.356}{1.5625 \times 0.0121 \times 129.6 \times 64}}$ ને ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ દશાંશ ચિહ્નોને દૂર કરો.
અંશમાં કુલ $3 + 3 + 3 = 9$ દશાંશ સ્થળો છે અને છેદમાં કુલ $4 + 4 + 1 + 0 = 9$ દશાંશ સ્થળો છે.
દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા સમાન હોવાથી,આપણે દશાંશ ચિહ્નો દૂર કરી શકીએ છીએ:
$= \sqrt{\frac{256 \times 81 \times 4356}{15625 \times 121 \times 1296 \times 64}}$
હવે,દરેક સંખ્યાના વર્ગમૂળ શોધો:
$= \frac{\sqrt{256} \times \sqrt{81} \times \sqrt{4356}}{\sqrt{15625} \times \sqrt{121} \times \sqrt{1296} \times \sqrt{64}}$
$= \frac{16 \times 9 \times 66}{125 \times 11 \times 36 \times 8}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{16 \times 9 \times 66}{125 \times 11 \times 36 \times 8} = 0.024$

(A) ધારો કે આગળની હરોળમાં સૈનિકોની સંખ્યા $x$ છે. સૈનિકોને નક્કર ચોરસમાં ગોઠવવામાં આવ્યા હોવાથી, ચોરસમાં વપરાયેલા કુલ સૈનિકોની સંખ્યા $x^2$ થશે.
કુલ $16160$ સૈનિકોમાંથી $31$ સૈનિકો વધે છે, તેથી ચોરસમાં વપરાયેલા સૈનિકોની સંખ્યા $16160 - 31 = 16129$ છે.
તેથી, $x^2 = 16129$.
$x$ શોધવા માટે, આપણે $16129$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ: $x = \sqrt{16129} = 127$.
આમ, આગળની હરોળમાં સૈનિકોની સંખ્યા $127$ છે.