Cubes and Cube Roots Questions in Gujarati

(D) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}}}}$ છે.
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$= ((((3^{1/3})^{1/3})^{1/3})^{1/3})^{1/3})^{1/2}$
$= 3^{(1/3 \times 1/3 \times 1/3 \times 1/3 \times 1/3 \times 1/2)}$
$= 3^{(1/3^5 \times 1/2)}$
$= 3^{(1/243 \times 1/2)}$
$= 3^{\frac{1}{486}}$
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $3^{\frac{1}{486}}$ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(C) $\frac{512}{3375}$ નું ઘનમૂળ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદના ઘનમૂળ અલગ-અલગ શોધીશું.
પ્રથમ,$512$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$512 = 2^9 = (2^3)^3 = 8^3$.
તેથી,$\sqrt[3]{512} = 8$.
ત્યારબાદ,$3375$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$3375 = 3^3 \times 5^3 = (3 \times 5)^3 = 15^3$.
તેથી,$\sqrt[3]{3375} = 15$.
આમ,$\sqrt[3]{\frac{512}{3375}} = \frac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{3375}} = \frac{8}{15}$.

(B) $15.625$ નું ઘનમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકીએ:
$\sqrt[3]{15.625} = \sqrt[3]{\frac{15625}{1000}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $15625 = 25^3 = (5^2)^3 = 5^6$ અને $1000 = 10^3$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt[3]{\frac{15625}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{15625}}{\sqrt[3]{1000}}$
$= \frac{\sqrt[3]{25 \times 25 \times 25}}{\sqrt[3]{10 \times 10 \times 10}}$
$= \frac{25}{10} = 2.5$

(A) $\sqrt[3]{\sqrt{441} + \sqrt{16} + \sqrt{4}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ પદાવલિમાં રહેલા વર્ગમૂળની કિંમત શોધીશું:
$\sqrt{441} = 21$
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{4} = 2$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sqrt[3]{21 + 4 + 2} = \sqrt[3]{27}$
કારણ કે $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$ થાય છે,તેથી $27$ નું ઘનમૂળ:
$\sqrt[3]{27} = 3$
આમ,સાચી કિંમત $3$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$3600$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$3600 = 2 \times 1800 = 2^2 \times 900 = 2^3 \times 450 = 2^4 \times 225 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2$.
કોઈપણ સંખ્યાને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે,તેના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2$ માં,ઘાતાંકો $4, 2$ અને $2$ છે.
આ ઘાતાંકોને $3$ ના ગુણક બનાવવા માટે,આપણે નીચે મુજબ ગુણાકાર કરવો પડશે:
$2^{(6-4)} \times 3^{(3-2)} \times 5^{(3-2)} = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
આમ,$3600$ ને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે તેને $60$ વડે ગુણવી જોઈએ.

(B) આપેલ પદાવલિ: $2 \sqrt[3]{40} - 4 \sqrt[3]{320} + 3 \sqrt[3]{625} - 3 \sqrt[3]{5}$
પગલું $1$: દરેક કરણી (radical) પદનું સાદું રૂપ આપો.
$2 \sqrt[3]{40} = 2 \sqrt[3]{8 \times 5} = 2 \times 2 \sqrt[3]{5} = 4 \sqrt[3]{5}$
$4 \sqrt[3]{320} = 4 \sqrt[3]{64 \times 5} = 4 \times 4 \sqrt[3]{5} = 16 \sqrt[3]{5}$
$3 \sqrt[3]{625} = 3 \sqrt[3]{125 \times 5} = 3 \times 5 \sqrt[3]{5} = 15 \sqrt[3]{5}$
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો.
$= 4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{5} + 15 \sqrt[3]{5} - 3 \sqrt[3]{5}$
પગલું $3$: સમાન પદોનો સરવાળો-બાદબાકી કરો.
$= (4 - 16 + 15 - 3) \sqrt[3]{5}$
$= (19 - 19) \sqrt[3]{5}$
$= 0 \times \sqrt[3]{5} = 0$

(B) સૌ પ્રથમ,$54872$ નું ઘનમૂળ શોધો. $30^3 = 27000$ અને $40^3 = 64000$ હોવાથી,અને સંખ્યાનો અંતિમ અંક $2$ હોવાથી,તેનું ઘનમૂળ $38$ થાય છે (કારણ કે $38^3 = 54872$).
ત્યારબાદ,ભાગાકાર કરો: $304 \div 8 = 38$.
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો: $38 \times 38 = (?)^{2}$.
આથી $38^2 = (?)^{2}$ મળે છે.
તેથી,$? = 38$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt[3]{4663} + 349 = ? \div 21.003$
કિંમતોનું આશરે મૂલ્ય લેતા:
$\sqrt[3]{4663} \approx \sqrt[3]{4913} = 17$
$21.003 \approx 21$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$17 + 349 = ? \div 21$
$366 = ? \div 21$
$?$ માટે ઉકેલતા:
$? = 366 \times 21$
$? = 7686$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $7680$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x)^{3} = 4913$.
$x$ શોધવા માટે,આપણે $4913$ નું ઘનમૂળ શોધવું પડશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $10^{3} = 1000$ અને $20^{3} = 8000$ થાય છે. $4913$ નો એકમનો અંક $3$ છે,તેથી તેના ઘનમૂળનો એકમનો અંક $7$ હોવો જોઈએ (કારણ કે $7^{3} = 343$ થાય છે).
$17$ ની ચકાસણી કરતા: $17 \times 17 = 289$.
$289 \times 17 = 4913$.
તેથી,$(17)^{3} = 4913$.
આમ,$x = 17$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $348 \div 29 \times 15 + 156 = (?)^{3} + 120$
પગલું $1$: $BODMAS$ ના નિયમ મુજબ ભાગાકાર કરતા: $348 \div 29 = 12$.
પગલું $2$: કિંમત મૂકતા: $12 \times 15 + 156 = (?)^{3} + 120$.
પગલું $3$: ગુણાકાર કરતા: $180 + 156 = (?)^{3} + 120$.
પગલું $4$: સરવાળો કરતા: $336 = (?)^{3} + 120$.
પગલું $5$: બંને બાજુથી $120$ બાદ કરતા: $336 - 120 = (?)^{3}$.
પગલું $6$: સાદું રૂપ આપતા: $216 = (?)^{3}$.
પગલું $7$: કારણ કે $6^{3} = 216$,તેથી $(6)^{3} = (?)^{3}$.
આમ,$? = 6$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(4 \times 4)^{3} \div (512 \div 8)^{4} \times (32 \times 8)^{4} = (2 \times 2)^{?} + ?^{4}$
પગલું $1$: કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
$(16)^{3} \div (64)^{4} \times (256)^{4} = (4)^{?} + ?^{4}$
પગલું $2$: બધા પાયાને $4$ ના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવો.
$(4^{2})^{3} \div (4^{3})^{4} \times (4^{4})^{4} = (4)^{?} + ?^{4}$
પગલું $3$: ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરો.
$4^{6} \div 4^{12} \times 4^{16} = 4^{?} + ?^{4}$
પગલું $4$: ઘાતાંકના નિયમો $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ અને $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરો.
$4^{6-12+16} = 4^{?} + ?^{4}$
$4^{10} = 4^{?} + ?^{4}$
પગલું $5$: પદોની સરખામણી કરતા,$? = 6$ એ સમીકરણને સંતોષે છે.

(A) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{8} \times \sqrt{8})^{\frac{1}{2}} + (9)^{\frac{1}{2}} = x^{3} + \sqrt{8} - 340$
કારણ કે $\sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8$ થાય,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(8)^{\frac{1}{2}} + \sqrt{9} = x^{3} + \sqrt{8} - 340$
$\sqrt{8} + 3 = x^{3} + \sqrt{8} - 340$
બંને બાજુથી $\sqrt{8}$ બાદ કરતા:
$3 = x^{3} - 340$
$x^{3} = 340 + 3$
$x^{3} = 343$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$x = \sqrt[3]{343}$
$x = 7$

(C) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે અને બીજી સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજી સંખ્યાનો વર્ગ એ $8$ ના વર્ગ કરતાં $15$ ઓછો છે:
$8^2 - y^2 = 15$
$64 - y^2 = 15$
$y^2 = 64 - 15 = 49$
સંખ્યા ધન હોવાથી,$y = \sqrt{49} = 7$.
આગળ,પ્રથમ સંખ્યાનો વર્ગ અને બીજી સંખ્યાનો ઘનનો સરવાળો $568$ છે:
$x^2 + y^3 = 568$
$y = 7$ મુકતા:
$x^2 + 7^3 = 568$
$x^2 + 343 = 568$
$x^2 = 568 - 343 = 225$
સંખ્યા ધન હોવાથી,$x = \sqrt{225} = 15$.
અંતે,આપણે પ્રથમ સંખ્યાના $\frac{3}{5}$ ભાગ શોધવાના છે:
$\frac{3}{5} \times 15 = 3 \times 3 = 9$.

(D) પગલું $1$: ઘનમૂળનું આશરે મૂલ્ય શોધો. $16^3 = 4096$ અને $17^3 = 4913$ હોવાથી,$\sqrt[3]{4663} \approx 16.7 \approx 17$ થાય.
પગલું $2$: ભાજકનું આશરે મૂલ્ય લો. $21.003 \approx 21$.
પગલું $3$: સમીકરણ આ મુજબ થશે: $17 + 349 = ? \div 21$.
પગલું $4$: સાદું રૂપ આપતા: $366 = ? \div 21$.
પગલું $5$: $?$ માટે ઉકેલતા: $? = 366 \times 21 = 7686$.
પગલું $6$: આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $7680$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $9^{3} \times 81^{2} \div 27^{3} = (3)^{?}$
દરેક આધારને $3$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો:
$9 = 3^{2}$,$81 = 3^{4}$,અને $27 = 3^{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(3^{2})^{3} \times (3^{4})^{2} \div (3^{3})^{3} = (3)^{?}$
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ વાપરતા:
$3^{6} \times 3^{8} \div 3^{9} = (3)^{?}$
ઘાતાંકના ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ અને $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ વાપરતા:
$3^{6+8-9} = (3)^{?}$
$3^{5} = (3)^{?}$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $? = 5$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(35)^{2} \div \sqrt[3]{125} + (25)^{2} \div 125 = ?$
પગલું $1$: વર્ગ અને ઘનમૂળની ગણતરી કરો.
$(35)^{2} = 1225$
$\sqrt[3]{125} = 5$
$(25)^{2} = 625$
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો.
$1225 \div 5 + 625 \div 125 = ?$
પગલું $3$: ભાગાકાર કરો.
$1225 / 5 = 245$
$625 / 125 = 5$
પગલું $4$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$245 + 5 = 250$
તેથી,સાચો જવાબ $250$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x)^{3} = 729$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $729$ નું ઘનમૂળ શોધવું પડશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$.
તેથી,$(x)^{3} = (9)^{3}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(B) ધારો કે $a = 0.75$.
આ પદાવલિ $\frac{a^3}{1-a} + (a^2 + a + 1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - a^3 = (1 - a)(1 + a + a^2)$,તેથી $\frac{1 - a^3}{1 - a} = 1 + a + a^2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
પદાવલિ $= \frac{a^3}{1-a} + \frac{1-a^3}{1-a} = \frac{a^3 + 1 - a^3}{1-a} = \frac{1}{1-a}$.
હવે $a = 0.75$ મૂકતા:
પદાવલિ $= \frac{1}{1 - 0.75} = \frac{1}{0.25} = 4$.
આમ,પદાવલિનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4} = 2$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sqrt[3]{(13.608)^{2}-(13.392)^{2}}$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt[3]{(13.608+13.392) \times (13.608-13.392)}$
$= \sqrt[3]{(27) \times (0.216)}$
$= \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{0.216}$
$= \sqrt[3]{3^{3}} \times \sqrt[3]{(0.6)^{3}}$
$= 3 \times 0.6 = 1.8$.

(B) $0.000216$ નું ઘનમૂળ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં લખી શકીએ છીએ:
$0.000216 = 216 \times 10^{-6}$
હવે,આ પદનું ઘનમૂળ લેતા:
$\sqrt[3]{0.000216} = \sqrt[3]{216 \times 10^{-6}}$
કારણ કે $\sqrt[3]{216} = 6$ અને $\sqrt[3]{10^{-6}} = 10^{-2}$ થાય છે,તેથી આપણને મળે છે:
$6 \times 10^{-2} = 0.06$
આમ,$0.000216$ નું ઘનમૂળ $0.06$ છે.

(B) $0.000729$ નું ઘનમૂળ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$0.000729 = 729 \times 10^{-6}$
હવે,આ પદનું ઘનમૂળ લો:
$\sqrt[3]{0.000729} = \sqrt[3]{729 \times 10^{-6}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $729 = 9^3$,તેથી $\sqrt[3]{729} = 9$.
વળી,$\sqrt[3]{10^{-6}} = (10^{-6})^{1/3} = 10^{-2}$.
તેથી,$\sqrt[3]{0.000729} = 9 \times 10^{-2} = 0.09$.

(B) પાંચ અંકની સૌથી નાની પૂર્ણ ઘન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $20$ થી શરૂ કરીને પૂર્ણાંકોના ઘન ચકાસીએ છીએ કારણ કે $20^3 = 8000$ (ચાર અંકની સંખ્યા છે).
ત્યારબાદ,આપણે $21^3 = 9261$ ગણીએ છીએ (જે પણ ચાર અંકની સંખ્યા છે).
પછી,આપણે $22^3 = 22 \times 22 \times 22 = 484 \times 22 = 10648$ ગણીએ છીએ.
આમ,$10648$ એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં મળતી પ્રથમ પાંચ અંકની સંખ્યા હોવાથી,તે પાંચ અંકની સૌથી નાની પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.

(D) $5600$ ને પૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ભાગવું પડે તે શોધવા માટે,આપણે પહેલા $5600$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ.
$5600 = 56 \times 100 = (8 \times 7) \times (10 \times 10) = (2^3 \times 7) \times (2 \times 5 \times 2 \times 5) = 2^3 \times 7 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2 \times 7^1$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણ ઘન ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાતાંક $3$ ના ગુણકમાં હોય.
અહીં $2^5 \times 5^2 \times 7^1$ માં ઘાતાંક $5, 2$ અને $1$ છે.
ભાગાકાર કરીને આ ઘાતાંકોને $3$ ના ગુણકમાં ફેરવવા માટે,આપણે વધારાના અવયવો દૂર કરવા પડશે:
- $2^5$ માટે,આપણે $2^2$ વડે ભાગીએ જેથી $2^3$ મળે.
- $5^2$ માટે,આપણે $5^2$ વડે ભાગીએ જેથી $5^0 = 1$ મળે.
- $7^1$ માટે,આપણે $7^1$ વડે ભાગીએ જેથી $7^0 = 1$ મળે.
તેથી,જે સંખ્યા વડે ભાગવાનું છે તે $2^2 \times 5^2 \times 7^1 = 4 \times 25 \times 7 = 100 \times 7 = 700$ છે.

(C) $21, 24$ અને $27$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$21 = 3 \times 7$
$24 = 2^3 \times 3$
$27 = 3^3$
$LCM$ = $2^3 \times 3^3 \times 7 = 8 \times 27 \times 7 = 1512$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય તે માટે,તેના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$LCM$ $(2^3 \times 3^3 \times 7^1)$ માં,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પહેલેથી જ $3$ ના ગુણક છે. પરંતુ,$7$ નો ઘાતાંક $1$ છે.
તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે,આપણે $LCM$ ને $7^2$ (એટલે કે $49$) વડે ગુણવું પડશે જેથી $7$ નો ઘાતાંક $3$ થઈ જાય.
જરૂરી સંખ્યા = $2^3 \times 3^3 \times 7^3 = 1512 \times 49 = 74088$.

(C) સૌ પ્રથમ,$4800$ ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવો:
$4800 = 48 \times 100 = (16 \times 3) \times (10^2) = (2^4 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^6 \times 3^1 \times 5^2$.
સંખ્યાને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^6 \times 3^1 \times 5^2$ માં:
- $2$ નો ઘાતાંક $6$ છે,જે $3$ નો ગુણક છે.
- $3$ નો ઘાતાંક $1$ છે. તેને $3$ નો ગુણક બનાવવા માટે,આપણે $3^2$ વડે ગુણવાની જરૂર છે.
- $5$ નો ઘાતાંક $2$ છે. તેને $3$ નો ગુણક બનાવવા માટે,આપણે $5^1$ વડે ગુણવાની જરૂર છે.
તેથી,ગુણવાની સૌથી નાની સંખ્યા $3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45$ છે.