Squares and Square Roots Questions in Gujarati

(C) સૌ પ્રથમ,$x$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{3-1} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
ત્યારબાદ,$y$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
હવે,$(x^{2}+y^{2})$ ની કિંમત શોધીએ:
$x^{2}+y^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} + (2-\sqrt{3})^{2}$.
નિત્યસમ $(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2}+b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{2}+y^{2} = 2(2^{2} + (\sqrt{3})^{2}) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.

(C) આપેલ છે કે $x = 7 - 4\sqrt{3}$.
પ્રથમ,છેદનું સંમેયીકરણ કરીને $\frac{1}{x}$ ની કિંમત શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{1 \times (7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3}) \times (7 + 4\sqrt{3})}$
નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{x} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{1} = 7 + 4\sqrt{3}$
હવે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરો:
$x + \frac{1}{x} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3})$
$x + \frac{1}{x} = 7 + 7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 14$.

(B) $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,પહેલા આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = (\sqrt{2}-1)^2$.
હવે,આપણે આ પદાવલિનું વર્ગમૂળ શોધવાનું છે:
$\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.414$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$1.414 - 1 = 0.414$.

(C) $\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું. આ માટે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7-4 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}} = \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3} - 8(3)}{49 - 16(3)}$
$= \frac{35 - 24 - 6 \sqrt{3}}{49 - 48}$
$= \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{1} = 11 - 6 \sqrt{3}$
$a+b \sqrt{3} = 11 - 6 \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 11$ અને $b = -6$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}-\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{8}-\sqrt{12}}$ ને ઉકેલવા માટે,દરેક પદનું સંમેયીકરણ (rationalization) કરીએ.
પ્રથમ પદ: $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{12}+3 \sqrt{6}}{6-3} = \frac{6 \sqrt{3}+3 \sqrt{6}}{3} = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$.
બીજું પદ: $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{18}+4 \sqrt{6}}{6-2} = \frac{12 \sqrt{2}+4 \sqrt{6}}{4} = 3 \sqrt{2}+\sqrt{6}$.
ત્રીજું પદ: $\frac{6}{\sqrt{8}-\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{8}+\sqrt{12}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} = \frac{6(\sqrt{8}+\sqrt{12})}{8-12} = \frac{6(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{-4} = -\frac{3(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{2} = -3 \sqrt{2}-3 \sqrt{3}$.
આ બધાને જોડતા: $(2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) - (3 \sqrt{2}+\sqrt{6}) - (-3 \sqrt{2}-3 \sqrt{3})$.
$= 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}-3 \sqrt{2}-\sqrt{6}+3 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}$.
$= 2 \sqrt{3}+3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $2+\sqrt{2}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-2}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{1}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}-2} = \frac{1}{\sqrt{2}-2} \times \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2} = \frac{\sqrt{2}+2}{2-4} = \frac{\sqrt{2}+2}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મુકતા:
$= 2 + \sqrt{2} + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$
$= 2 + \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 2 + (1 - 1) + (\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$
$= 2 + 0 + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 2$

(C) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું,જેના માટે અંશ અને છેદને $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ છેદમાં કરતા:
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
આપેલ કિંમતો $\sqrt{5} = 2.2361$ અને $\sqrt{3} = 1.7321$ મૂકતા:
$= \frac{2.2361 + 1.7321}{2} = \frac{3.9682}{2} = 1.9841$

(A) આપેલ સંખ્યાને $0.000326 = 326 \times 10^{-6}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સંખ્યાને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $326$ થી નાની નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા શોધવી પડે.
$326$ થી નાની નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $324$ છે,જે $18$ નો વર્ગ છે $(18^2 = 324)$.
આમ,$324 \times 10^{-6} = 0.000324$ એ એક પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે.
બાદ કરવાની સંખ્યા $0.000326 - 0.000324 = 0.000002$ છે.

(B) $5808$ ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ગુણવી જોઈએ તે શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$5808 = 2 \times 2904 = 2 \times 2 \times 1452 = 2 \times 2 \times 2 \times 726 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 363 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 121 = 2^4 \times 3 \times 11^2$.
પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં,દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા હોવો જોઈએ.
અહીં,અવિભાજ્ય અવયવ $3$ નો ઘાતાંક $1$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
$3$ ના ઘાતાંકને બેકી (એટલે કે $2$) બનાવવા માટે,આપણે સંખ્યાને $3$ વડે ગુણવી પડશે.
તેથી,ગુણવાની નાનામાં નાની સંખ્યા $3$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{10}{\sqrt{5}} + \sqrt{125}$
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$1$. $\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$
$2$. $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sqrt{5}}{2} - 2\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2} + 3\sqrt{5} = \sqrt{5} \left( \frac{1}{2} + 3 \right) = \frac{7}{2} \sqrt{5}$
આપેલ છે કે $\sqrt{5} = 2.236$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{7}{2} \times 2.236 = 7 \times 1.118 = 7.826$

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{1+\sqrt{0.01}}{1-\sqrt{0.1}}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{0.01} = 0.1$,તેથી પદાવલિ $\frac{1+0.1}{1-\sqrt{0.1}} = \frac{1.1}{1-\sqrt{0.1}}$ બને છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(1+\sqrt{0.1})$ વડે ગુણતા:
$\frac{1.1(1+\sqrt{0.1})}{(1-\sqrt{0.1})(1+\sqrt{0.1})} = \frac{1.1(1+\sqrt{0.1})}{1-0.1} = \frac{1.1(1+\sqrt{0.1})}{0.9}$.
$\sqrt{0.1} \approx 0.3162$ ની આશરે કિંમત લેતા:
$= \frac{1.1(1+0.3162)}{0.9} = \frac{1.1(1.3162)}{0.9} = \frac{1.44782}{0.9} \approx 1.6086$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,કિંમત આશરે $1.6$ મળે છે.

(A) આપેલ આવૃત દશાંશ સંખ્યા $0 . \overline{4}$ છે.
આ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં આ રીતે લખી શકાય: $0 . \overline{4} = \frac{4}{9}$.
હવે,આપણે આ કિંમતનું વર્ગમૂળ શોધવાનું છે: $\sqrt{0 . \overline{4}} = \sqrt{\frac{4}{9}}$.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{2}{3}$ ને ફરીથી દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $\frac{2}{3} = 0.666 \dots = 0 . \overline{6}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{4a^{2} - 4a + 1} + 3a$ છે.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $4a^{2} - 4a + 1 = (2a - 1)^{2}$.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{(2a - 1)^{2}} + 3a = |2a - 1| + 3a$ બને છે.
અહીં $a = 0.1039$ હોવાથી,$2a = 0.2078$ થાય,જે $1$ કરતા નાનું છે. તેથી,$|2a - 1| = -(2a - 1) = 1 - 2a$ થશે.
હવે આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $(1 - 2a) + 3a = a + 1$.
છેલ્લે,$a$ ની કિંમત મૂકતા: $0.1039 + 1 = 1.1039$.

(C) બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sqrt{3}$ અને $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે:
$\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$= 3 + \frac{1}{3} - 2$
$= 1 + \frac{1}{3}$
$= \frac{4}{3}$

(B) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 7$ અને $b = 3 \sqrt{5}$ છે.
તેથી,$(7+3 \sqrt{5})(7-3 \sqrt{5}) = 7^2 - (3 \sqrt{5})^2$.
વર્ગોની ગણતરી કરતા: $7^2 = 49$ અને $(3 \sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$.
આમ,$49 - 45 = 4$.
પરિણામનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4} = 2$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{\frac{(0.03)^{2}+(0.21)^{2}+(0.065)^{2}}{(0.003)^{2}+(0.021)^{2}+(0.0065)^{2}}}$
અહીં અંશનું દરેક પદ છેદના અનુરૂપ પદ કરતાં $10$ ગણું છે: $0.03 = 10 \times 0.003$,$0.21 = 10 \times 0.021$,અને $0.065 = 10 \times 0.0065$.
તેથી,અંશમાં કિંમતો મૂકતા: $(0.03)^{2} = (10 \times 0.003)^{2} = 10^{2} \times (0.003)^{2}$,$(0.21)^{2} = 10^{2} \times (0.021)^{2}$,અને $(0.065)^{2} = 10^{2} \times (0.0065)^{2}$.
અંશમાંથી $10^{2}$ સામાન્ય લેતા: $\sqrt{\frac{10^{2} \left[(0.003)^{2} + (0.021)^{2} + (0.0065)^{2}\right]}{(0.003)^{2} + (0.021)^{2} + (0.0065)^{2}}}$
કૌંસમાં રહેલા પદો ઉડી જશે: $\sqrt{10^{2}} = 10$.

(D) પ્રથમ,આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $3 \sqrt{5} + \sqrt{125} = 3 \sqrt{5} + \sqrt{25 \times 5} = 3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $8 \sqrt{5} = 17.88$,તેથી આપણે $\sqrt{5}$ ની કિંમત શોધી શકીએ: $\sqrt{5} = \frac{17.88}{8} = 2.235$.
હવે,જે પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે તેનું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{80} + 6 \sqrt{5} = \sqrt{16 \times 5} + 6 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5} = 10 \sqrt{5}$.
$\sqrt{5}$ ની કિંમત મૂકતા: $10 \times 2.235 = 22.35$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+\frac{55}{729}}=1+\frac{x}{27}$
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $1+\frac{55}{729} = \frac{729+55}{729} = \frac{784}{729}$
હવે,અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ લો: $\sqrt{\frac{784}{729}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{729}} = \frac{28}{27}$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકો: $\frac{28}{27} = 1+\frac{x}{27}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરો: $\frac{28}{27} - 1 = \frac{x}{27}$
$\frac{28-27}{27} = \frac{x}{27}$
$\frac{1}{27} = \frac{x}{27}$
તેથી,$x = 1$.

(C) $\sqrt{\frac{48.4}{0.289}}$ ને ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદને $1000$ વડે ગુણીને દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરો:
$\sqrt{\frac{48.4 \times 1000}{0.289 \times 1000}} = \sqrt{\frac{48400}{289}}$
અહીં $\sqrt{48400} = 220$ અને $\sqrt{289} = 17$ હોવાથી,પદ $\frac{220}{17}$ બને છે.
$220$ ને $17$ વડે ભાગતા $12$ ભાગફળ અને $16$ શેષ મળે છે.
તેથી,$\frac{220}{17} = 12 \frac{16}{17}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x} + \sqrt{441} = 0.02$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{441} = 21$.
સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{x} + 21 = 0.02$
$\sqrt{x} = 0.02 - 21 = -20.98$
વાસ્તવિક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આ સમીકરણ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય નથી. જો પ્રશ્ન $\sqrt{x} = 0.02 \times \sqrt{441}$ હોય,તો:
$\sqrt{x} = 0.02 \times 21 = 0.42$
$x = (0.42)^2 = 0.1764$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $28 \sqrt{?} + 1426 = \frac{3}{4} \times 2872$
સૌ પ્રથમ,$\frac{3}{4} \times 2872 = 3 \times 718 = 2154$ ની ગણતરી કરો.
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકો: $28 \sqrt{?} + 1426 = 2154$.
બંને બાજુથી $1426$ બાદ કરો: $28 \sqrt{?} = 2154 - 1426 = 728$.
$28$ વડે ભાગાકાર કરો: $\sqrt{?} = \frac{728}{28} = 26$.
$?$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરો: $? = (26)^2 = 676$.

(A) ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{x}{\sqrt{0.25}} = 25$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{0.25} = 0.5$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{0.5} = 25$ મળે છે.
તેથી,$x = 25 \times 0.5 = 12.5$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{52}{x} = \sqrt{\frac{169}{289}}$
સૌ પ્રથમ,જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ શોધો:
$\sqrt{\frac{169}{289}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{289}} = \frac{13}{17}$
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકો:
$\frac{52}{x} = \frac{13}{17}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરો:
$13x = 52 \times 17$
$x = \frac{52 \times 17}{13}$
કારણ કે $52 \div 13 = 4$,તેથી:
$x = 4 \times 17 = 68$

(B) $1.5625$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકીએ:
$1.5625 = \frac{15625}{10000}$
હવે,અંશ અને છેદનું વર્ગમૂળ લો:
$\sqrt{\frac{15625}{10000}} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{10000}}$
કારણ કે $125^2 = 15625$ અને $100^2 = 10000$ છે,તેથી:
$\frac{125}{100} = 1.25$
આમ,$\sqrt{1.5625} = 1.25$.

(B) પગલું $1$: $1.5$ નો વર્ગ શોધો.
$1.5^{2} = 1.5 \times 1.5 = 2.25$.
પગલું $2$: $0.0225$ નું વર્ગમૂળ શોધો.
$\sqrt{0.0225} = \sqrt{\frac{225}{10000}} = \frac{15}{100} = 0.15$.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના પરિણામોનો ગુણાકાર કરો.
$2.25 \times 0.15 = 0.3375$.

(C) $0.000441$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે દશાંશ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક અથવા વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
$0.000441 = \frac{441}{1000000} = \frac{441}{10^6}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{0.000441} = \sqrt{\frac{441}{10^6}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{10^6}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{441} = 21$ અને $\sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$ થાય છે.
તેથી,$\frac{21}{1000} = 0.021$ મળે છે.

(C) $15876$ ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાનો એકમનો અંક જોઈએ,જે $6$ છે.
જો કોઈ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાનો અંત $6$ થી થતો હોય,તો તેના વર્ગમૂળનો અંત $4$ અથવા $6$ થી થાય (કારણ કે $4^2 = 16$ અને $6^2 = 36$).
આપણે વર્ગમૂળનો અંદાજ લગાવી શકીએ: $100^2 = 10000$ અને $200^2 = 40000$.
$15876$ એ $100^2$ અને $200^2$ ની વચ્ચે હોવાથી,તેનું વર્ગમૂળ $100$ અને $200$ ની વચ્ચે હશે.
$120^2 = 14400$ અને $130^2 = 16900$ તપાસતા.
$15876$ એ $14400$ અને $16900$ ની વચ્ચે હોવાથી,વર્ગમૂળ $120$ અને $130$ ની વચ્ચે હશે.
શક્ય કિંમતો $124$ અથવા $126$ છે.
$126^2 = 15876$ ગણતરી કરતા.
તેથી,એકમનો અંક $6$ છે.

(B) આપેલ ક્રિયા $x * y = x + y + \sqrt{xy}$ છે.
$6 * 24$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપેલ પદાવલિમાં $x = 6$ અને $y = 24$ મૂકતા:
$6 * 24 = 6 + 24 + \sqrt{6 \times 24}$
$= 30 + \sqrt{144}$
$= 30 + 12$
$= 42$

(A) સૌ પ્રથમ,પદાવલિમાં રહેલા વર્ગમૂળની કિંમત શોધો:
$\sqrt{625} = 25$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{196} = 14$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{25}{11} \times \frac{14}{5} \times \frac{11}{14}\right)$
હવે,અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને ઉડાડતા:
$= \left(\frac{25}{5} \times \frac{14}{14} \times \frac{11}{11}\right)$
$= 5 \times 1 \times 1 = 5$

(C) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{41-\sqrt{21+\sqrt{19-\sqrt{9}}}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌથી અંદરના વર્ગમૂળથી શરૂઆત કરીશું.
પગલું $1$: $\sqrt{9} = 3$ ની કિંમત શોધો.
પગલું $2$: આ કિંમતને આગળના પદમાં મૂકતા: $\sqrt{19-3} = \sqrt{16} = 4$.
પગલું $3$: આ કિંમતને આગળના પદમાં મૂકતા: $\sqrt{21+4} = \sqrt{25} = 5$.
પગલું $4$: અંતે,સૌથી બહારના પદની કિંમત શોધો: $\sqrt{41-5} = \sqrt{36} = 6$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $6$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌથી અંદરના વર્ગમૂળથી શરૂ કરીને બહારના વર્ગમૂળ સુધી ગણતરી કરીશું:
પગલું $1$: $\sqrt{225} = 15$ ની કિંમત મેળવો.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{154 + 15} = \sqrt{169} = 13$.
પગલું $3$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{108 + 13} = \sqrt{121} = 11$.
પગલું $4$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{25 + 11} = \sqrt{36} = 6$.
પગલું $5$: અંતે,$\sqrt{10 + 6} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.
આમ,સાચો જવાબ $4$ છે.

(C) $(272^{2}-128^{2})$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a=272$ અને $b=128$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{272^{2}-128^{2}} = \sqrt{(272+128)(272-128)}$
$= \sqrt{(400)(144)}$
$= \sqrt{400} \times \sqrt{144}$
$= 20 \times 12$
$= 240$

(B) $0.00004761$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાને અપૂર્ણાંક અથવા વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
$0.00004761 = \frac{4761}{100000000}$.
અંશ અને છેદ બંનેનું વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{0.00004761} = \sqrt{\frac{4761}{10^8}} = \frac{\sqrt{4761}}{\sqrt{10^8}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $69^2 = 4761$,તેથી $\sqrt{4761} = 69$.
વળી,$\sqrt{10^8} = 10^4 = 10000$.
તેથી,$\sqrt{0.00004761} = \frac{69}{10000} = 0.0069$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{0.01} + \sqrt{0.81} + \sqrt{1.21} + \sqrt{0.0009}$ ની કિંમત શોધવા માટે,દરેક વર્ગમૂળની ગણતરી અલગથી કરીએ:
$1$. $\sqrt{0.01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = 0.1$
$2$. $\sqrt{0.81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = 0.9$
$3$. $\sqrt{1.21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = 1.1$
$4$. $\sqrt{0.0009} = \sqrt{\frac{9}{10000}} = 0.03$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $0.1 + 0.9 + 1.1 + 0.03 = 2.13$.

(B) $1.5625$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકીએ:
$\sqrt{1.5625} = \sqrt{\frac{15625}{10000}}$
કારણ કે $\sqrt{15625} = 125$ અને $\sqrt{10000} = 100$ છે,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{125}{100} = 1.25$
આમ,$\sqrt{1.5625} = 1.25$ થાય.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમીકરણ આ મુજબ છે:
$\frac{3}{5} \times x^{2} = 126.15$
$x^{2}$ ને અલગ કરવા માટે બંને બાજુ $\frac{5}{3}$ વડે ગુણતા:
$x^{2} = \frac{126.15 \times 5}{3}$
$x^{2} = 42.05 \times 5$
$x^{2} = 210.25$
હવે,$x$ શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \sqrt{210.25}$
$x = 14.5$

(C) $\sqrt{\frac{96.8}{0.578}}$ ને ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદને $1000$ વડે ગુણીને દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરો:
$\sqrt{\frac{96.8 \times 1000}{0.578 \times 1000}} = \sqrt{\frac{96800}{578}}$
અંશ અને છેદ બંનેને $2$ વડે ભાગતા:
$\sqrt{\frac{48400}{289}}$
અંશ અને છેદનું વર્ગમૂળ અલગ-અલગ શોધો:
$\sqrt{48400} = 220$ અને $\sqrt{289} = 17$
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{220}{17}$ મળે છે.
આ અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં ફેરવતા:
$220 \div 17 = 12$ અને શેષ $16$ વધે છે.
આમ,જવાબ $12 \frac{16}{17}$ છે.

(B) પદાવલિ $\frac{\sqrt{80}-\sqrt{112}}{\sqrt{45}-\sqrt{63}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપીશું:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{4\sqrt{5}-4\sqrt{7}}{3\sqrt{5}-3\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{3(\sqrt{5}-\sqrt{7})}$
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $(\sqrt{5}-\sqrt{7})$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$

(A) $680621$ ને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે તેમાં ઉમેરવાની નાનામાં નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $680621$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
પગલું $1$: જમણેથી ડાબે અંકોની જોડી બનાવો: $68, 06, 21$.
પગલું $2$: $68$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો વર્ગ $8^2 = 64$ છે. તેથી,પ્રથમ અંક $8$ છે.
પગલું $3$: $68$ માંથી $64$ બાદ કરતા $4$ મળે,અને પછીની જોડી $06$ નીચે ઉતારતા $406$ મળે.
પગલું $4$: ભાગફળ $8$ ને બમણું કરતા $16$ મળે. એવો અંક $x$ શોધો કે જેથી $16x \times x \leq 406$ થાય. $x = 2$ માટે,$162 \times 2 = 324$. $x = 3$ માટે,$163 \times 3 = 489$ (વધારે છે).
પગલું $5$: $406$ માંથી $324$ બાદ કરતા $82$ મળે,અને પછીની જોડી $21$ નીચે ઉતારતા $8221$ મળે.
પગલું $6$: અત્યારનું ભાગફળ $82$ છે. તેને બમણું કરતા $164$ મળે. એવો અંક $y$ શોધો કે જેથી $164y \times y \leq 8221$ થાય. $y = 4$ માટે,$1644 \times 4 = 6576$. $y = 5$ માટે,$1645 \times 5 = 8225$.
$8225 > 8221$ હોવાથી,પછીની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $825^2 = 680625$ છે.
પગલું $7$: ઉમેરવાની સંખ્યા $680625 - 680621 = 4$ છે.

(A) આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
પગલું $1$: $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ નું સંમેયીકરણ:
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3} = 4+3+4\sqrt{3} = 7+4\sqrt{3}$
પગલું $2$: $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ નું સંમેયીકરણ:
$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3} = 4+3-4\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}$
પગલું $3$: $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ નું સંમેયીકરણ:
$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$
પગલું $4$: પરિણામોનો સરવાળો:
$(7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})$
$= 7 + 7 + 2 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$= 16 - \sqrt{3}$

(B) બાદ કરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાને $0.000365 = 365 \times 10^{-6}$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
આપણે $365$ થી નાની નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા શોધીએ છીએ. $365$ ની નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $361$ છે,જે $19^2$ છે.
તેથી,$361 \times 10^{-6} = 0.000361$ એ એક પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે.
બાદ કરવાની સંખ્યા $0.000365 - 0.000361 = 0.000004$ છે.

(A) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $\sqrt{5}$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{5} = 2.236$,તેથી આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2.236}{5} = 0.4472$.
દશાંશના ત્રણ અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.447$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,પદાવલિમાં રહેલા વર્ગમૂળની ગણતરી કરો:
$\sqrt{0.04} = 0.2$
$\sqrt{0.1} \approx 0.3162$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 + 0.2}{1 - 0.3162} = \frac{1.2}{0.6838}$
ભાગાકાર કરતા:
$\frac{1.2}{0.6838} \approx 1.754$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.7$ છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{(0.75)^{3}}{1-0.75} + [0.75 + 0.75^{2} + 1]$ છે.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(0.75)^{3}}{0.25} = \frac{(0.75)^{3}}{(0.75/3)} = 3 \times (0.75)^{2}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $E = 3 \times (0.75)^{2} + 0.75^{2} + 0.75 + 1$.
પદોને જોડતા: $E = 4 \times (0.75)^{2} + 0.75 + 1$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $4 \times (0.5625) + 0.75 + 1 = 2.25 + 0.75 + 1 = 4$.
આમ,પદાવલિનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4} = 2$ થાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$2\sqrt{32} = 2\sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
$3\sqrt{128} = 3\sqrt{64 \times 2} = 3 \times 8\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$
$4\sqrt{50} = 4\sqrt{25 \times 2} = 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 24\sqrt{2} + 20\sqrt{2}$
$= (2 + 8 - 24 + 20)\sqrt{2}$
$= 6\sqrt{2}$
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.414$,તેથી:
$6 \times 1.414 = 8.484$

(A) $21, 36$ અને $66$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$21 = 3 \times 7$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$66 = 2 \times 3 \times 11$
$LCM$ $= 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 11 = 4 \times 9 \times 77 = 2772$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય તે માટે,તેના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા હોવો જોઈએ.
$LCM$ $(2^2 \times 3^2 \times 7^1 \times 11^1)$ માં,અવિભાજ્ય અવયવો $7$ અને $11$ ના ઘાતાંક એકી છે.
તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $LCM$ ને $7 \times 11 = 77$ વડે ગુણવા પડશે.
જરૂરી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $= 2772 \times 77 = 213444$.

(D) $\sqrt{\frac{0.16}{0.4}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપો.
$\frac{0.16}{0.4} = \frac{16}{40} = \frac{4}{10} = 0.4$.
હવે,$0.4$ નું વર્ગમૂળ શોધો.
$\sqrt{0.4} \approx 0.63245$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$0.02$,$0.2$ અથવા $0.63$ માંથી કોઈ પણ કિંમત $\sqrt{0.4}$ જેટલી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $\sqrt{\frac{0.081 \times 0.484}{0.0064 \times 6.25}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ગણતરી સરળ બનાવવા માટે દશાંશ ચિહ્નોને વ્યવસ્થિત કરીએ.
$\sqrt{\frac{0.081 \times 0.484}{0.0064 \times 6.25}} = \sqrt{\frac{81 \times 10^{-3} \times 484 \times 10^{-3}}{64 \times 10^{-4} \times 625 \times 10^{-2}}}$
$= \sqrt{\frac{81 \times 484 \times 10^{-6}}{64 \times 625 \times 10^{-6}}}$
$= \sqrt{\frac{81 \times 484}{64 \times 625}}$
$= \frac{\sqrt{81} \times \sqrt{484}}{\sqrt{64} \times \sqrt{625}}$
$= \frac{9 \times 22}{8 \times 25}$
$= \frac{198}{200} = 0.99$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{0.13}{p^{2}} = 13$
$p^{2}$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$p^{2} = \frac{0.13}{13}$
ભાગાકાર કરતા:
$p^{2} = 0.01$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$p = \sqrt{0.01}$
$p = 0.1$

(A) ધારો કે પ્રશ્નાર્થ ચિહ્નની જગ્યાએ $x$ છે.
તેથી સમીકરણ $\frac{x}{\sqrt{128}} = \frac{\sqrt{162}}{x}$ બને છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $x^2 = \sqrt{128} \times \sqrt{162}$.
$x^2 = \sqrt{128 \times 162}$.
$x^2 = \sqrt{(64 \times 2) \times (81 \times 2)}$.
$x^2 = \sqrt{64 \times 81 \times 4}$.
$x^2 = 8 \times 9 \times 2$.
$x^2 = 144$.
$x = \sqrt{144} = 12$.