Squares and Square Roots Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બે ચોરસ ખેતરોની બાજુઓ અનુક્રમે $s_1$ અને $s_2$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 420.25 \; m^2$ અને બીજા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 441 \; m^2$ છે.
ચોરસની બાજુ શોધવાનું સૂત્ર $s = \sqrt{A}$ છે.
તેથી,$s_1 = \sqrt{420.25} = 20.5 \; m$ અને $s_2 = \sqrt{441} = 21 \; m$ થાય.
તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર $s_1 : s_2 = 20.5 : 21$ છે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,બંને પદોને $2$ વડે ગુણતા: $(20.5 \times 2) : (21 \times 2) = 41 : 42$ મળે.

(B) ઉપલબ્ધ સૈનિકોની કુલ સંખ્યા $5180$ છે.
નક્કર ચોરસ બનાવવા માટે,સૈનિકોની કુલ સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ હોવી જોઈએ.
જનરલને જણાયું કે પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે તેની પાસે $4$ સૈનિકો ઓછા છે.
તેથી,નક્કર ચોરસ બનાવવા માટે જરૂરી સૈનિકોની સંખ્યા $5180 + 4 = 5184$ છે.
આગળની હરોળમાં સૈનિકોની સંખ્યા એ ચોરસમાં રહેલા સૈનિકોની કુલ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ છે.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $\sqrt{5184} = 72$.
આમ,આગળની હરોળમાં સૈનિકોની સંખ્યા $72$ છે.

(C) ત્રણ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $999$ છે.
ત્રણ અંકની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીત દ્વારા $999$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ:
$\begin{array}{l|l} \hline & 31 \\ \hline 3 & 999 \\ \hline & 9 \\ \hline 61 & 099 \\ & 61 \\ \hline & 38 \end{array}$
અહીં શેષ $38$ વધે છે,તેથી $999$ થી નાની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મેળવવા માટે આપણે $999$ માંથી $38$ બાદ કરી શકીએ અથવા ભાગફળ $31$ નો વર્ગ કરી શકીએ.
$(31)^2 = 961$.
આમ,ત્રણ અંકની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $961$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$21 \frac{15}{289} = \frac{21 \times 289 + 15}{289} = \frac{6069 + 15}{289} = \frac{6084}{289}$
હવે,તેનું વર્ગમૂળ શોધો:
$\sqrt{\frac{6084}{289}} = \frac{\sqrt{6084}}{\sqrt{289}} = \frac{78}{17}$
અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$\frac{78}{17} = 4 \frac{10}{17}$
પરિણામને પૂર્ણ સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ભાગને બાદ કરવો પડશે:
$4 \frac{10}{17} - \frac{10}{17} = 4$
તેથી,બાદ કરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $\frac{10}{17}$ છે.

(C) બાદ કરવાની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $62512$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\begin{array}{c|ccc} & 250 & & \\ \hline 2 & 62 & 5 & 12 \\ & 4 & & \\ \hline 45 & 225 & & \\ & 225 & & \\ \hline 50 & 0 & 12 & \end{array}$
ભાગાકારની રીત દ્વારા,આપણને શેષ $12$ મળે છે.
જો આપણે મૂળ સંખ્યા $62512$ માંથી શેષ $12$ બાદ કરીએ,તો આપણને $62512 - 12 = 62500$ મળે છે.
કારણ કે $\sqrt{62500} = 250$ થાય છે,તેથી $62500$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે.
આમ,બાદ કરવાની સૌથી નાની સંખ્યા $12$ છે.

(C) $5$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $99999$ છે.
$5$ અંકની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીત દ્વારા $99999$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
$\sqrt{99999} \approx 316.22$.
પૂર્ણાંક ભાગ લેતા,આપણને $316$ મળે છે.
તેથી,$5$ અંકની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $(316)^{2} = 99856$ છે.

(D) $2450$ ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ગુણવી જોઈએ તે શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$2450 = 2 \times 1225$
$2450 = 2 \times 5 \times 245$
$2450 = 2 \times 5 \times 5 \times 49$
$2450 = 2 \times 5^2 \times 7^2$
અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં,અવિભાજ્ય અવયવો $5$ અને $7$ જોડીમાં છે ($5^2$ અને $7^2$),પરંતુ અવિભાજ્ય અવયવ $2$ ની જોડી નથી.
$2450$ ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે તેને $2$ વડે ગુણવા પડશે જેથી બધા અવિભાજ્ય અવયવો જોડીમાં આવી જાય.
તેથી,જરૂરી નાનામાં નાની સંખ્યા $2$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ અનુક્રમે $1x$ અને $4x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $H.C.F.$ અને $L.C.M.$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
તેથી,$(1x) \times (4x) = 21 \times 84$
$4x^2 = 1764$
$x^2 = \frac{1764}{4} = 441$
$x = \sqrt{441} = 21$
આમ,બે સંખ્યાઓ $1 \times 21 = 21$ અને $4 \times 21 = 84$ છે.
તેથી મોટી સંખ્યા $84$ છે.

(A) આપેલ છે: $a=64$ અને $b=289.$
સૌ પ્રથમ,$a$ અને $b$ ના વર્ગમૂળ શોધો:
$\sqrt{a} = \sqrt{64} = 8$
$\sqrt{b} = \sqrt{289} = 17$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ $(\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{\sqrt{b}-\sqrt{a}})^{\frac{1}{2}}$ માં મૂકતા:
$= (\sqrt{8+17} - \sqrt{17-8})^{\frac{1}{2}}$
$= (\sqrt{25} - \sqrt{9})^{\frac{1}{2}}$
$= (5 - 3)^{\frac{1}{2}}$
$= (2)^{\frac{1}{2}}$

(C) આપેલ છે: $\sqrt{x} = \sqrt{3} - \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$
$x = 3 + 5 - 2\sqrt{15}$
$x = 8 - 2\sqrt{15}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$x - 8 = -2\sqrt{15}$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 8)^2 = (-2\sqrt{15})^2$
$x^2 - 16x + 64 = 4 \times 15$
$x^2 - 16x + 64 = 60$
બંને બાજુથી $60$ બાદ કરતા:
$x^2 - 16x + 4 = 0$
આપણે $x^2 - 16x + 6$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$x^2 - 16x + 6 = (x^2 - 16x + 4) + 2$
કારણ કે $x^2 - 16x + 4 = 0$,તેથી:
$0 + 2 = 2$.

(A) આપણે $1000000.000001$ નું વર્ગમૂળ શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 1000000$ અને $\Delta x = 0.000001$.
આપણે દ્વિપદી અંદાજ $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,$\sqrt{x} = \sqrt{1000000} = 1000$.
તેથી,$\sqrt{1000000.000001} \approx 1000 + \frac{0.000001}{2 \times 1000}$.
$\sqrt{1000000.000001} \approx 1000 + \frac{0.000001}{2000} = 1000 + 0.0000000005 = 1000.0000005$.
કારણ કે $1000.0000005$ એ $1000$ ની ખૂબ જ નજીક છે,તેથી આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ $1000$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(2+\sqrt{2}) + \frac{1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{2}}$
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{4}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$
હવે,આ પરિણામને પ્રથમ પદ સાથે ઉમેરો:
$(2+\sqrt{2}) + 2 = 4+\sqrt{2}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $[(5 \sqrt{7} + \sqrt{7}) \times (4 \sqrt{7} + 8 \sqrt{7})] - (19)^{2}$
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$(5 \sqrt{7} + \sqrt{7}) = 6 \sqrt{7}$
$(4 \sqrt{7} + 8 \sqrt{7}) = 12 \sqrt{7}$
હવે,આ પરિણામોનો ગુણાકાર કરો:
$(6 \sqrt{7}) \times (12 \sqrt{7}) = (6 \times 12) \times (\sqrt{7} \times \sqrt{7}) = 72 \times 7 = 504$
ત્યારબાદ,$19$ નો વર્ગ શોધો:
$(19)^{2} = 361$
અંતે,કિંમતોની બાદબાકી કરો:
$504 - 361 = 143$

(D) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની ગણતરી કરો: $\sqrt{33124} = 182$ અને $\sqrt{2601} = 51$.
ત્યારબાદ,વર્ગની ગણતરી કરો: $(83)^{2} = 6889$ અને $(37)^{2} = 1369$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો: $(182 \times 51) - 6889 = (?)^{2} + 1369$.
ગુણાકાર કરો: $182 \times 51 = 9282$.
હવે,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $9282 - 6889 = (?)^{2} + 1369$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપો: $2393 = (?)^{2} + 1369$.
બંને બાજુથી $1369$ બાદ કરો: $(?)^{2} = 2393 - 1369 = 1024$.
અંતે,વર્ગમૂળ શોધો: $? = \sqrt{1024} = 32$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $8787 \div 343 \times \sqrt{50}$
સૌ પ્રથમ,$50$ નું વર્ગમૂળ શોધો: $\sqrt{50} \approx 7.071$
ત્યારબાદ,ભાગાકાર કરો: $8787 \div 343 \approx 25.618$
હવે,પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $25.618 \times 7.071 \approx 181.14$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવતા,આપણને $181$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $180$ છે.

(B) આ પ્રશ્ન ઉકેલવા માટે,આપણે અંદાજિત કિંમતનો ઉપયોગ કરીશું.
$\sqrt{6354}$ એ $\sqrt{6400}$ ની ખૂબ નજીક છે,જે $80$ થાય છે.
$34.993$ એ $35$ ની ખૂબ નજીક છે.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{6400} \times 35$ બને છે.
$= 80 \times 35 = 2800$.

(D) $1020$ માં કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા ઉમેરવાથી તે પૂર્ણ વર્ગ બને તે શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતથી $1020$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
$31^2 = 961$ અને $32^2 = 1024$ થાય છે.
$1020$ એ $31^2$ અને $32^2$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી તેના પછીની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $32^2 = 1024$ છે.
ઉમેરવાની સંખ્યા $1024 - 1020 = 4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(2 \sqrt{392}-21)+(\sqrt{8}-7)^{2}=(?)^{2}$
પગલું $1$: $\sqrt{392}$ નું સાદું રૂપ આપો. $392 = 196 \times 2$ હોવાથી,$\sqrt{392} = 14 \sqrt{2}$ થાય.
પગલું $2$: આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(2 \times 14 \sqrt{2}-21)+(\sqrt{8}-7)^{2}=(?)^{2}$
પગલું $3$: $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વર્ગનું વિસ્તરણ કરો. અહીં $a = \sqrt{8}$ અને $b = 7$ છે.
$(28 \sqrt{2}-21) + ((\sqrt{8})^{2} - 2 \times \sqrt{8} \times 7 + 7^{2}) = (?)^{2}$
પગલું $4$: પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$28 \sqrt{2} - 21 + 8 - 28 \sqrt{2} + 49 = (?)^{2}$
પગલું $5$: સમાન પદોને ભેગા કરો. $28 \sqrt{2}$ અને $-28 \sqrt{2}$ ઉડી જશે:
$-21 + 8 + 49 = (?)^{2}$
$36 = (?)^{2}$
પગલું $6$: $?$ માટે ઉકેલતા: $? = \sqrt{36} = 6$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+\frac{x}{961}}=\frac{32}{31}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$1+\frac{x}{961} = \left(\frac{32}{31}\right)^2$
અપૂર્ણાંકનો વર્ગ કરતા:
$1+\frac{x}{961} = \frac{1024}{961}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{961} = \frac{1024}{961} - 1$
જમણી બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{961} = \frac{1024 - 961}{961}$
$\frac{x}{961} = \frac{63}{961}$
બંને બાજુ $961$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x = 63$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+\frac{x}{9}}=\frac{13}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$1+\frac{x}{9} = \left(\frac{13}{3}\right)^2$
$1+\frac{x}{9} = \frac{169}{9}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{9} = \frac{169}{9} - 1$
$\frac{x}{9} = \frac{169-9}{9}$
$\frac{x}{9} = \frac{160}{9}$
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x = 160$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ અને $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(4 \sqrt{3})(4 \sqrt{3}) - (4 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) - (5 \sqrt{2})(3 \sqrt{2})$
$= 16(3) - 12 \sqrt{6} + 20 \sqrt{6} - 15(2) = 48 + 8 \sqrt{6} - 30 = 18 + 8 \sqrt{6}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(4 \sqrt{3})^2 - (3 \sqrt{2})^2 = 16(3) - 9(2) = 48 - 18 = 30$.
આમ,પદાવલિ થશે: $\frac{18 + 8 \sqrt{6}}{30} = \frac{18}{30} + \frac{8 \sqrt{6}}{30} = \frac{3}{5} + \frac{4}{15} \sqrt{6}$.
આને $a+b \sqrt{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{3}{5}$ અને $b = \frac{4}{15}$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(0.75)^{3}}{1-0.75} + (0.75 + (0.75)^{2} + 1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - 0.75 = 0.25$.
તેથી,$E = \frac{(0.75)^{3}}{0.25} + (0.75^{2} + 0.75 + 1)$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$E = \frac{(0.75)^{3} + 0.25(0.75^{2} + 0.75 + 1)}{0.25}$.
કારણ કે $0.25 = 1 - 0.75$,તેથી:
$E = \frac{(0.75)^{3} + (1 - 0.75)(1^{2} + 1 \times 0.75 + 0.75^{2})}{0.25}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 0.75$ છે:
$(1 - 0.75)(1^{2} + 1 \times 0.75 + 0.75^{2}) = 1^{3} - 0.75^{3} = 1 - 0.75^{3}$.
આ કિંમતને $E$ માં મૂકતા:
$E = \frac{0.75^{3} + (1 - 0.75^{3})}{0.25} = \frac{1}{0.25} = 4$.
આમ,આપેલ પદાવલિનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4} = 2$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{4096} = 64$.
પ્રથમ,$\sqrt{40.96}$ ની ગણતરી કરો:
$\sqrt{40.96} = \sqrt{\frac{4096}{100}} = \frac{\sqrt{4096}}{\sqrt{100}} = \frac{64}{10} = 6.4$.
ત્યારબાદ,$\sqrt{0.004096}$ ની ગણતરી કરો:
$\sqrt{0.004096} = \sqrt{\frac{4096}{1000000}} = \frac{\sqrt{4096}}{\sqrt{1000000}} = \frac{64}{1000} = 0.064$.
હવે,આ કિંમતોનો સરવાળો કરો:
$64 + 6.4 + 0.064 = 70.464$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $[(3 \sqrt{8} + \sqrt{8}) \times (8 \sqrt{8} + 7 \sqrt{8})] - 98$
પગલું $1$: કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
$(3 \sqrt{8} + \sqrt{8}) = 4 \sqrt{8}$
$(8 \sqrt{8} + 7 \sqrt{8}) = 15 \sqrt{8}$
પગલું $2$: સાદું રૂપ આપેલા પદોનો ગુણાકાર કરો.
$(4 \sqrt{8}) \times (15 \sqrt{8}) = 4 \times 15 \times \sqrt{8} \times \sqrt{8}$
$= 60 \times 8 = 480$
પગલું $3$: પરિણામમાંથી $98$ બાદ કરો.
$480 - 98 = 382$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની ગણતરી કરો:
$\sqrt{11449} = 107$
$\sqrt{6241} = 79$
ત્યારબાદ,વર્ગની ગણતરી કરો:
$(54)^{2} = 2916$
$(74)^{2} = 5476$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$107 \times 79 - 2916 = \sqrt{?} + 5476$
$8453 - 2916 = \sqrt{?} + 5476$
$5537 = \sqrt{?} + 5476$
$\sqrt{?}$ ને અલગ કરો:
$\sqrt{?} = 5537 - 5476$
$\sqrt{?} = 61$
અંતે,$?$ શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરો:
$? = (61)^{2} = 3721$

(B) આ પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે,આપણે અંદાજિત કિંમતનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$\sqrt{6354}$ ની અંદાજિત કિંમત શોધો. કારણ કે $80^2 = 6400$ થાય છે,તેથી $\sqrt{6354}$ ની અંદાજિત કિંમત $80$ છે.
ત્યારબાદ,$34.993$ ને $35$ તરીકે લો.
હવે,અંદાજિત કિંમતોનો ગુણાકાર કરો: $80 \times 35 = 2800$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $(15.01)^{2} \times \sqrt{730}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે આશરે કિંમતનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$(15.01)^{2}$ ને $(15)^{2} = 225$ તરીકે લો.
ત્યારબાદ,$\sqrt{730}$ ને નજીકના પૂર્ણ વર્ગ સાથે સરખાવો. કારણ કે $27^{2} = 729$ છે,તેથી $\sqrt{730} \approx 27$ થાય.
હવે,આશરે કિંમતોનો ગુણાકાર કરો:
$225 \times 27 = 6075$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $6125$ (વિકલ્પ $A$) છે.

(C) $\sqrt{54} \times \sqrt{2120} \div \sqrt{460}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે પહેલા વર્ગમૂળની અંદાજિત કિંમત શોધીએ:
$\sqrt{54} \approx 7.348$
$\sqrt{2120} \approx 46.043$
$\sqrt{460} \approx 21.447$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$7.348 \times 46.043 \div 21.447$
$= 338.324 \div 21.447$
$\approx 15.77$
વૈકલ્પિક રીતે,વર્ગમૂળના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{\frac{54 \times 2120}{460}} = \sqrt{\frac{114480}{460}} = \sqrt{248.869} \approx 15.77$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $16$ થાય છે (નોંધ: આપેલા વિકલ્પો $10$ ના ગુણાંકમાં હોવાથી,$160$ એ સૌથી નજીકનો તાર્કિક વિકલ્પ છે).

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $\sqrt{25 x^{2}} - 125 = 0$
$\Rightarrow \sqrt{25 x^{2}} = 125$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 x^{2} = 125^{2} = 15625$
$\Rightarrow x^{2} = \frac{15625}{25} = 625$
$\therefore x = \pm 25$
સમીકરણ $II$ માટે: $\sqrt{361} y + 95 = 0$
$\Rightarrow 19 y + 95 = 0$
$\Rightarrow 19 y = -95$
$\Rightarrow y = -\frac{95}{19} = -5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: જો $x = 25$ હોય,તો $x > y$ $(25 > -5)$. જો $x = -25$ હોય,તો $x < y$ $(-25 < -5)$.
આમ,આપણને બે અલગ પરિણામો મળે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) $I$. $\frac{5}{7} - \frac{5}{21} = \frac{\sqrt{x}}{42}$
$\Rightarrow \frac{15 - 5}{21} = \frac{\sqrt{x}}{42}$
$\Rightarrow \frac{10}{21} = \frac{\sqrt{x}}{42}$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \frac{10}{21} \times 42 = 20$
$\therefore x = 20^2 = 400$
$II$. $\frac{\sqrt{y}}{4} + \frac{\sqrt{y}}{16} = \frac{250}{\sqrt{y}}$
$\Rightarrow \frac{4\sqrt{y} + \sqrt{y}}{16} = \frac{250}{\sqrt{y}}$
$\Rightarrow \frac{5\sqrt{y}}{16} = \frac{250}{\sqrt{y}}$
$\Rightarrow 5(\sqrt{y})^2 = 250 \times 16$
$\Rightarrow 5y = 4000$
$\Rightarrow y = \frac{4000}{5} = 800$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$800 > 400$,તેથી $y > x$ અથવા $x < y$.

(A) સમીકરણ $I$ માટે:
$(625)^{\frac{1}{4}} x + \sqrt{1225} = 155$
કારણ કે $625 = 5^4$,તેથી $(5^4)^{\frac{1}{4}} x + 35 = 155$
$5x + 35 = 155$
$5x = 155 - 35 = 120$
$x = \frac{120}{5} = 24$
સમીકરણ $II$ માટે:
$\sqrt{196} y + 13 = 279$
કારણ કે $\sqrt{196} = 14$,તેથી $14y + 13 = 279$
$14y = 279 - 13 = 266$
$y = \frac{266}{14} = 19$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 24$ અને $y = 19$ મળે છે.
તેથી,$x > y$.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો: $5x^2 - 18x + 9 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $5x^2 - 15x - 3x + 9 = 0$.
$5x(x - 3) - 3(x - 3) = 0$.
$(5x - 3)(x - 3) = 0$.
આમ,$x = \frac{3}{5} = 0.6$ અથવા $x = 3$.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો: $3y^2 + 5y - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3y^2 + 6y - y - 2 = 0$.
$3y(y + 2) - 1(y + 2) = 0$.
$(3y - 1)(y + 2) = 0$.
આમ,$y = \frac{1}{3} \approx 0.33$ અથવા $y = -2$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
$x$ માટેની શક્ય કિંમતો ${0.6, 3}$ છે.
$y$ માટેની શક્ય કિંમતો ${0.33, -2}$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.6 > 0.33$,$0.6 > -2$,$3 > 0.33$,અને $3 > -2$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x > y$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\frac{13}{\sqrt{x}} + \frac{9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{13 + 9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{22}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$22 = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$
$x = 22$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^4 - \frac{(26)^{9/2}}{\sqrt{y}} = 0$
$y^4 = \frac{(26)^{9/2}}{y^{1/2}}$
$y^4 \times y^{1/2} = (26)^{9/2}$
$y^{4 + 0.5} = (26)^{9/2}$
$y^{9/2} = (26)^{9/2}$
ઘાતાંક સમાન અને એકી હોવાથી,આધાર પણ સમાન હોવા જોઈએ.
$y = 26$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = 22$ અને $y = 26$.
તેથી,$x < y$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{x}} = 18$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{x} = 18^{2}$
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $25 \times 14 - 42 + (4)^{x} = 324$
$350 - 42 + (4)^{x} = 324$
$308 + (4)^{x} = 324$
$(4)^{x} = 324 - 308$
$(4)^{x} = 16$
કારણ કે $16 = 4^{2}$,તેથી $(4)^{x} = 4^{2}$
આમ,$x = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x)^{2} \times (12)^{2} \div (48)^{2} = 81$
ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખતા:
$\frac{x^{2} \times 12^{2}}{48^{2}} = 81$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x^{2} \times 144}{2304} = 81$
કારણ કે $\frac{144}{2304} = \frac{1}{16}$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{x^{2}}{16} = 81$
બંને બાજુ $16$ વડે ગુણતા:
$x^{2} = 81 \times 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \sqrt{81 \times 16}$
$x = 9 \times 4$
$x = 36$

(A) $0.09$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$0.09 = \frac{9}{100}$
હવે,વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{0.09} = \sqrt{\frac{9}{100}}$
$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}$
$= \frac{3}{10}$
$= 0.3$

(D) આપેલ છે કે $a^{2}=2,$ તેથી $a=\sqrt{2}.$
આપણે $(a+1)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$(a+1) = \sqrt{2}+1.$
આને આપેલા વિકલ્પોના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,$(\sqrt{2}-1)^{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$(a+1) = (\sqrt{2}+1) \times \frac{(\sqrt{2}-1)^{2}}{(\sqrt{2}-1)^{2}}$
$= \frac{[(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)](\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^{2} + 1^{2} - 2\sqrt{2}}$
$= \frac{(2-1)(\sqrt{2}-1)}{2+1-2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}-1}{3-2\sqrt{2}}$
અહીં $a=\sqrt{2}$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા આપણને $\frac{a-1}{3-2a}$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,દશાંશ ચિહ્નો દૂર કરીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$\frac{9.5 \times 0.0085 \times 18.9}{0.0017 \times 1.9 \times 2.1} = \frac{95 \times 10^{-1} \times 85 \times 10^{-4} \times 189 \times 10^{-1}}{17 \times 10^{-4} \times 19 \times 10^{-1} \times 21 \times 10^{-1}}$
$= \frac{95 \times 85 \times 189}{17 \times 19 \times 21} \times \frac{10^{-6}}{10^{-6}}$
$= \frac{95}{19} \times \frac{85}{17} \times \frac{189}{21}$
$= 5 \times 5 \times 9 = 225$
તેથી,જરૂરી વર્ગમૂળ $\sqrt{225} = 15$ છે.

(B) $\sqrt{x+2}-\sqrt{x}$ પ્રકારની સંખ્યાઓની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેને અનુબદ્ધ કરણી $\sqrt{x+2}+\sqrt{x}$ વડે ગુણી અને ભાગીને સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
$\sqrt{x+2}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} = \frac{(x+2)-x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$.
જેમ $x$ ની કિંમત વધે છે,તેમ છેદ $\sqrt{x+2}+\sqrt{x}$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક $\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$ ની કિંમત ઘટે છે.
આપેલ સંખ્યાઓની સરખામણી કરતા:
$1$. $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ માટે,$x=3$,કિંમત $= \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$.
$2$. $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ માટે,$x=5$,કિંમત $= \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$.
$3$. $\sqrt{9}-\sqrt{7}$ માટે,$x=7$,કિંમત $= \frac{2}{\sqrt{9}+\sqrt{7}}$.
$4$. $\sqrt{11}-\sqrt{9}$ માટે,$x=9$,કિંમત $= \frac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{9}}$.
$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ માટે છેદ સૌથી નાનો હોવાથી,$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ ની કિંમત સૌથી મોટી છે.