Pipes and Cistern Questions in Gujarati

(C) પાઇપ $A$ ટાંકીને $2$ કલાકમાં ભરે છે,તેથી $1$ કલાકમાં તે ટાંકીનો $\frac{1}{2}$ ભાગ ભરે છે.
પાઇપ $B$ ટાંકીને $6$ કલાકમાં ભરે છે,તેથી $1$ કલાકમાં તે ટાંકીનો $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરે છે.
પાઇપ $A$ સવારે $10$ વાગ્યે ખોલવામાં આવ્યો હતો. સવારે $11$ વાગ્યા સુધીમાં,તેણે $1$ કલાક કામ કર્યું અને ટાંકીનો $\frac{1}{2}$ ભાગ ભરી દીધો.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સવારે $11$ વાગ્યે,બંને પાઇપ $A$ અને $B$ ખુલ્લા છે. તેમની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા પ્રતિ કલાક $= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ભાગ પ્રતિ કલાક.
બાકી રહેલો $\frac{1}{2}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{બાકી રહેલો ભાગ}}{\text{સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા}} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ કલાક.
$\frac{3}{4}$ કલાક $= \frac{3}{4} \times 60 = 45$ મિનિટ.
તેથી,ટાંકી સવારે $11:45$ વાગ્યે ભરાઈ જશે.

(A) ધારો કે પાઇપ $A$ ને લાગતો સમય $x$ કલાક છે. પાઇપ $A$ એ પાઇપ $B$ કરતા અડધો સમય લે છે,તેથી પાઇપ $B$ ને લાગતો સમય $2x$ કલાક છે.
પાઇપ $A$ અને $B$ નો સંયુક્ત દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંયુક્ત દર પાઇપ $C$ ના દર કરતા બમણો છે (કારણ કે તેઓ $C$ કરતા અડધો સમય લે છે). તેથી,પાઇપ $C$ નો દર $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2x} = \frac{3}{4x}$ છે.
ત્રણેય પાઇપ સાથે મળીને $6$ કલાક $40$ મિનિટ લે છે,જે $6 + \frac{40}{60} = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ કલાક થાય છે.
ત્રણેય પાઇપનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{3}{4x} = \frac{1}{20/3} = \frac{3}{20}$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{4+2+3}{4x} = \frac{3}{20} \Rightarrow \frac{9}{4x} = \frac{3}{20}$.
$12x = 180 \Rightarrow x = 15$ કલાક.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
નળ $A$ દ્વારા ભરવાનો દર $= \frac{1}{4}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
નળ $B$ દ્વારા ભરવાનો દર $= \frac{1}{6}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
નળ $C$ દ્વારા ખાલી કરવાનો દર $= \frac{1}{3}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
જ્યારે ત્રણેય નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર:
$= \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right)$ એકમ પ્રતિ કલાક.
$= \left(\frac{3 + 2 - 4}{12}\right) = \frac{1}{12}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
તેથી,ટાંકીને સંપૂર્ણપણે ભરવા માટે જરૂરી સમય એ ચોખ્ખા દરનો વ્યસ્ત છે:
$= \frac{1}{1/12} = 12$ $hours$.

(A) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $3, 4$ અને $1$ નો લ.સા.અ. એટલે કે $12$ એકમ છે.
પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= +4$ એકમ/કલાક.
પાઇપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= +3$ એકમ/કલાક.
પાઇપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $= -12$ એકમ/કલાક.
પાઇપ $A$ ને $3 \text{ pm}$ વાગ્યે ખોલવામાં આવે છે. $5 \text{ pm}$ સુધીમાં,તેણે $2$ કલાક કામ કર્યું છે. થયેલું કામ $= 2 \times 4 = 8$ એકમ.
પાઇપ $B$ ને $4 \text{ pm}$ વાગ્યે ખોલવામાં આવે છે. $5 \text{ pm}$ સુધીમાં,તેણે $1$ કલાક કામ કર્યું છે. થયેલું કામ $= 1 \times 3 = 3$ એકમ.
$5 \text{ pm}$ સુધીમાં થયેલું કુલ કામ $= 8 + 3 = 11$ એકમ.
$5 \text{ pm}$ વાગ્યે,ત્રણેય પાઇપ ખુલ્લા છે. ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 4 + 3 - 12 = -5$ એકમ/કલાક.
આનો અર્થ એ છે કે ટાંકી $5$ એકમ/કલાકના દરે ખાલી થઈ રહી છે.
$11$ એકમ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{11}{5} \text{ કલાક} = 2 \text{ કલાક અને } 12 \text{ મિનિટ}$.
તેથી,ટાંકી $5 \text{ pm} + 2 \text{ કલાક } 12 \text{ મિનિટ} = 7:12 \text{ pm}$ વાગ્યે ખાલી થશે.

(D) ધારો કે ઝડપી પાઇપ દ્વારા ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $x$ મિનિટ છે.
બીજી પાઇપ ત્રણ ગણી ધીમી હોવાથી,તેને ટાંકી ભરતા $3x$ મિનિટ લાગશે.
ઝડપી પાઇપ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થયેલું કામ $\frac{1}{x}$ છે અને ધીમી પાઇપ દ્વારા $\frac{1}{3x}$ છે.
બંને સાથે મળીને ટાંકી $36$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી તેમનો સંયુક્ત કાર્ય દર $\frac{1}{36}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{x} + \frac{1}{3x} = \frac{1}{36}$.
$3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3 + 1 = \frac{3x}{36}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4 = \frac{x}{12}$ થાય છે.
આમ,$x = 48$ મિનિટ.
ધીમી પાઇપને લાગતો સમય $3x = 3 \times 48 = 144$ મિનિટ છે.
$144$ મિનિટ એટલે $2$ કલાક અને $24$ મિનિટ.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ ગેલન છે.
પ્રથમ પાઇપ ટાંકીને $24$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી તેનો દર $\frac{C}{24}$ ગેલન/મિનિટ છે.
બીજી પાઇપ ટાંકીને $40$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી તેનો દર $\frac{C}{40}$ ગેલન/મિનિટ છે.
ત્રીજી પાઇપ $30$ ગેલન/મિનિટના દરે ટાંકી ખાલી કરે છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{C}{24} + \frac{C}{40} - 30$ ગેલન/મિનિટ થાય છે.
ટાંકી $1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં ભરાતી હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$60 \times (\frac{C}{24} + \frac{C}{40} - 30) = C$
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{5C + 3C}{120} - 30 = \frac{C}{60}$
$\frac{8C}{120} - 30 = \frac{C}{60}$
$\frac{C}{15} - 30 = \frac{C}{60}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$4C - 1800 = C$
$3C = 1800$
$C = 600$
તેથી,ટાંકીની ક્ષમતા $600$ ગેલન છે.