Numbers Questions in Hindi

(A) $9067 + 2065 - 8400 + 3045 - 1520$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम संक्रियाओं के क्रम (बाएं से दाएं जोड़ और घटाव) का पालन करते हैं:
$1$. सबसे पहले,धनात्मक संख्याओं को जोड़ें: $9067 + 2065 + 3045 = 14177$.
$2$. इसके बाद,ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ें: $8400 + 1520 = 9920$.
$3$. अंत में,धनात्मक संख्याओं के योग में से ऋणात्मक संख्याओं के योग को घटाएं: $14177 - 9920 = 4257$.

(D) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $\frac{1}{16} \times 8432 + 50 \% \text{ of } x = 4429$.
सबसे पहले,$\frac{1}{16} \times 8432 = 527$ की गणना करें।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $527 + 0.5x = 4429$.
दोनों पक्षों से $527$ घटाने पर: $0.5x = 4429 - 527$.
$0.5x = 3902$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $x = 3902 \times 2 = 7804$.

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $(250 \% \text{ of } x) \div 250 - 444 = 200$
चरण $1$: दोनों पक्षों में $444$ जोड़ने पर:
$(250 \% \text{ of } x) \div 250 = 200 + 444 = 644$
चरण $2$: प्रतिशत को भिन्न में बदलने पर:
$\left(\frac{250}{100} \times x\right) \div 250 = 644$
चरण $3$: समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2.5x}{250} = 644$
$\frac{x}{100} = 644$
$x = 644 \times 100 = 64400$

(B) दिया गया समीकरण: $0.01024 \times (0.4)^{9} = (0.4)^{x} \times (0.0256)^{3}$
दशमलव संख्याओं को $4$ और $10$ के घात के रूप में व्यक्त करें:
$0.01024 = \frac{1024}{100000} = \frac{4^{5}}{10^{5}}$
$0.0256 = \frac{256}{10000} = \frac{4^{4}}{10^{4}}$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{4^{5}}{10^{5}} \times (0.4)^{9} = (0.4)^{x} \times \left(\frac{4^{4}}{10^{4}}\right)^{3}$
चूंकि $0.4 = \frac{4}{10}$,इसलिए:
$\left(\frac{4}{10}\right)^{5} \times \left(\frac{4}{10}\right)^{9} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x} \times \left(\left(\frac{4}{10}\right)^{4}\right)^{3}$
$\left(\frac{4}{10}\right)^{5} \times \left(\frac{4}{10}\right)^{9} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x} \times \left(\frac{4}{10}\right)^{12}$
घातांक के नियम $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$\left(\frac{4}{10}\right)^{5+9} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x+12}$
$\left(\frac{4}{10}\right)^{14} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x+12}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$14 = x + 12$
$x = 14 - 12 = 2$

(B) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $18 \times 16 - 3445 \div 13 = x - 344$.
$BODMAS$ नियम का पालन करते हुए,पहले भाग करें: $3445 \div 13 = 265$.
इसके बाद,गुणा करें: $18 \times 16 = 288$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $288 - 265 = x - 344$.
$23 = x - 344$.
$x = 23 + 344$.
$x = 367$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $[(3^{2})^{6}]^{5} = 9^{x}$ है।
घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,बाईं ओर को सरल करने पर:
$(3^{2 \times 6})^{5} = (3^{12})^{5} = 3^{12 \times 5} = 3^{60}$ प्राप्त होता है।
अब,दाईं ओर को $3$ के आधार में व्यक्त करने पर:
$9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$3^{60} = 3^{2x}$।
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांक भी समान होने चाहिए:
$60 = 2x$।
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = 30$।

(A) $1 \frac{1}{4} + 1 \frac{5}{9} \times 1 \frac{5}{8} \div 6 \frac{1}{2}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
सबसे पहले,मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$,$1 \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$,$1 \frac{5}{8} = \frac{13}{8}$,और $6 \frac{1}{2} = \frac{13}{2}$.
व्यंजक इस प्रकार होगा: $\frac{5}{4} + \frac{14}{9} \times \frac{13}{8} \div \frac{13}{2}$.
पहले भाग करें: $\frac{13}{8} \div \frac{13}{2} = \frac{13}{8} \times \frac{2}{13} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
अब,व्यंजक है: $\frac{5}{4} + \frac{14}{9} \times \frac{1}{4}$.
गुणा करें: $\frac{14}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
अंत में,पदों को जोड़ें: $\frac{5}{4} + \frac{7}{18}$.
$4$ और $18$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $36$ है।
$\frac{5 \times 9}{36} + \frac{7 \times 2}{36} = \frac{45}{36} + \frac{14}{36} = \frac{59}{36}$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $\frac{59}{36} = 1 \frac{23}{36}$.

(B) माना कि लुप्त संख्या $x$ है। समीकरण $(2 \sqrt{392} - 21) + (\sqrt{8} - 7)^{2} = x^{2}$ है।
सबसे पहले,$\sqrt{392}$ का सरलीकरण करें: $\sqrt{392} = \sqrt{196 \times 2} = 14 \sqrt{2}$.
अतः,$2 \sqrt{392} = 2 \times 14 \sqrt{2} = 28 \sqrt{2}$.
अब,$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करके $(\sqrt{8} - 7)^{2}$ का विस्तार करें:
$(\sqrt{8} - 7)^{2} = (\sqrt{8})^{2} - 2 \times \sqrt{8} \times 7 + 7^{2} = 8 - 14 \sqrt{8} + 49 = 57 - 14 \sqrt{8}$.
चूंकि $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$,इसलिए $14 \sqrt{8} = 14 \times 2 \sqrt{2} = 28 \sqrt{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(28 \sqrt{2} - 21) + (57 - 28 \sqrt{2}) = x^{2}$.
$28 \sqrt{2} - 21 + 57 - 28 \sqrt{2} = x^{2}$.
$57 - 21 = x^{2}$.
$36 = x^{2}$.
$x = 6$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sqrt{9})^{3} \times (\sqrt{81})^{5} \div 27^{2} = 3^{x}$
चरण $1$: आधार मानों को सरल करें।
$\sqrt{9} = 3$,इसलिए $(\sqrt{9})^{3} = 3^{3} = 27$.
$\sqrt{81} = 9$,इसलिए $(\sqrt{81})^{5} = 9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$.
$27^{2} = (3^{3})^{2} = 3^{6}$.
चरण $2$: इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें।
$3^{3} \times 3^{10} \div 3^{6} = 3^{x}$.
चरण $3$: घातांक के नियमों का उपयोग करें ($a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ और $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$)।
$3^{3+10-6} = 3^{x}$.
$3^{7} = 3^{x}$.
अतः,$x = 7$.

(B) $220$ का $18.5 \% + 680$ का $12.4 \%$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम प्रत्येक भाग की अलग-अलग गणना करते हैं:
पहला भाग: $\frac{18.5}{100} \times 220 = 0.185 \times 220 = 40.7$
दूसरा भाग: $\frac{12.4}{100} \times 680 = 0.124 \times 680 = 84.32$
दोनों परिणामों को जोड़ने पर: $40.7 + 84.32 = 125.02$
अतः,अंतिम उत्तर $125.02$ है।

(C) $\sqrt[3]{1331} + \sqrt[3]{1728}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम सबसे पहले दी गई संख्याओं का घनमूल ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि $11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 1331$,इसलिए $\sqrt[3]{1331} = 11$ है।
हम यह भी जानते हैं कि $12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728$,इसलिए $\sqrt[3]{1728} = 12$ है।
इन मानों को जोड़ने पर: $11 + 12 = 23$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $5.6 \times 12.5 \div 0.5 + 15.5 = x + 49.5$
सबसे पहले,भाग करें: $12.5 \div 0.5 = 25$
इसके बाद,गुणा करें: $5.6 \times 25 = 140$
अब,मानों को समीकरण में रखें: $140 + 15.5 = x + 49.5$
बाएँ पक्ष को सरल करें: $155.5 = x + 49.5$
$x$ के लिए हल करें: $x = 155.5 - 49.5$
$x = 106$

(D) $390$ का $72 \%$ ज्ञात करें: $\frac{72}{100} \times 390 = 0.72 \times 390 = 280.8$.
$165$ का $28 \%$ ज्ञात करें: $\frac{28}{100} \times 165 = 0.28 \times 165 = 46.2$.
दोनों परिणामों को जोड़ें: $280.8 + 46.2 = 327$.
समीकरण बनाएं: $327 = x - 3$.
$x$ का मान ज्ञात करें: $x = 327 + 3 = 330$.

(D) माना कि वह संख्या $x$ है।
दिया गया है कि $x$ का $42 \% = 357$ है।
$\frac{42}{100} \times x = 357$.
$x = \frac{357 \times 100}{42}$.
अब,हमें उस संख्या का $63 \%$ ज्ञात करना है।
$x$ का $63 \% = \frac{63}{100} \times x$.
$x$ का मान रखने पर:
$= \frac{63}{100} \times \left( \frac{357 \times 100}{42} \right)$.
$= \frac{63 \times 357}{42}$.
$63$ और $42$ को $21$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3}{2} \times 357$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1071}{2} = 535.5$.

(A) $4042$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले अनुमान द्वारा $4042$ का वर्गमूल ज्ञात करते हैं।
हम जानते हैं कि $63^{2} = 3969$ और $64^{2} = 4096$ होता है।
चूंकि $4042$,$63^{2}$ और $64^{2}$ के बीच स्थित है,इसलिए अगली पूर्ण वर्ग संख्या $64^{2} = 4096$ है।
अतः,जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या $4096 - 4042 = 54$ है।

(C) घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले भाग विधि द्वारा $5500$ का वर्गमूल ज्ञात करते हैं।
हमें प्राप्त होता है कि $(74)^2 = 5476$ और $(75)^2 = 5625$ है।
चूंकि $5476 < 5500 < 5625$,इसलिए $5500$ से छोटी निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या $5476$ है।
अतः,घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या $5500 - 5476 = 24$ है।

(D) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $33 \%$ और $x$ का $14 \%$ का योग $3055$ है।
$\frac{33}{100}x + \frac{14}{100}x = 3055$
$\frac{47}{100}x = 3055$
$x = \frac{3055 \times 100}{47}$
$x = 65 \times 100 = 6500$
अब,हमें $x$ का $72 \%$ ज्ञात करना है:
$6500$ का $72 \% = \frac{72}{100} \times 6500$
$= 72 \times 65 = 4680$

(C) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ में से $64$ घटाने पर वह $x$ का $36 \%$ हो जाती है।
समीकरण: $x - 64 = \frac{36}{100}x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x - 0.36x = 64$
$0.64x = 64$
$x = \frac{64}{0.64} = 100$
अब,हमें उस संख्या $x$ का $\frac{4}{5}$ ज्ञात करना है।
$\frac{4}{5} \times 100 = 4 \times 20 = 80$.

(C) माना कि $4$ क्रमागत विषम संख्याएँ $(x), (x+2), (x+4),$ और $(x+6)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $184$ है:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 184$
$4x + 12 = 184$
$4x = 184 - 12$
$4x = 172$
$x = 43$
अतः,$4$ क्रमागत विषम संख्याएँ $43, 45, 47,$ और $49$ हैं।
सबसे बड़ी संख्या $49$ है।

(B) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $35 \% = 182$ है।
$\frac{35}{100} \times x = 182$
$x = \frac{182 \times 100}{35}$
$x = 5.2 \times 100 = 520$।
अब,हमें $x$ का $150 \%$ ज्ञात करना है।
$520$ का $150 \% = \frac{150}{100} \times 520$
$= 1.5 \times 520 = 780$।
अतः,उस संख्या का $150 \%$ $780$ है।

(C) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या के एक-चौथाई और एक-सातवें भाग के बीच का अंतर $24$ है।
अतः,$\frac{x}{4} - \frac{x}{7} = 24$.
$4$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $28$ लेने पर:
$\frac{7x - 4x}{28} = 24$
$\frac{3x}{28} = 24$
$3x = 24 \times 28$
$x = 8 \times 28$
$x = 224$.
अतः,वह संख्या $224$ है।

(A) सबसे पहले,$550$ का दो-पांचवां $(2/5)$ भाग ज्ञात करें:
$\frac{2}{5} \times 550 = 2 \times 110 = 220$.
इसके बाद,$220$ का $68 \%$ ज्ञात करें:
$68 \% \text{ of } 220 = \frac{68}{100} \times 220$.
$= 0.68 \times 220 = 149.6$.

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $30 \% = 190.8$ है।
$\frac{30}{100} \times x = 190.8$
$x = \frac{190.8 \times 100}{30}$
$x = \frac{19080}{30} = 636$।
अब,हमें $636$ का $175 \%$ ज्ञात करना है।
$636$ का $175 \% = \frac{175}{100} \times 636$
$= 1.75 \times 636 = 1113$।

(A) जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,पहले $1056$ को $23$ से विभाजित करें।
$1056 \div 23 = 45$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$1056 = 23 \times 45 + 21$।
यहाँ शेषफल $21$ है।
संख्या को $23$ से पूरी तरह विभाज्य बनाने के लिए,हमें भाजक और शेषफल के बीच के अंतर को मूल संख्या में जोड़ना होगा।
जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या $= 23 - 21 = 2$।
अतः,$1056$ में $2$ जोड़ने पर $1058$ प्राप्त होता है,जो कि $23 \times 46 = 1058$ है।

(B) माना बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार, दोनों संख्याओं का अंतर $1365$ है, अतः:
$x - y = 1365$ $...(i)$
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$.
यहाँ, $x = 6y + 15$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $x$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(6y + 15) - y = 1365$
$5y + 15 = 1365$
$5y = 1365 - 15$
$5y = 1350$
$y = 1350 / 5 = 270$
अतः, छोटी संख्या $270$ है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र है: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$।
यहाँ,$n = 45$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$S_{45} = \frac{45(45+1)}{2}$
$S_{45} = \frac{45 \times 46}{2}$
$S_{45} = 45 \times 23$
$S_{45} = 1035$।

(A) माना कि $a = 753$ और $b = 247$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^2 + b^2 - ab}{a^3 + b^3}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{a^2 + b^2 - ab}{(a + b)(a^2 + b^2 - ab)} = \frac{1}{a + b}$.
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{753 + 247} = \frac{1}{1000}$.

(D) माना कि $*$ के स्थान पर लुप्त अंक $x$ है।
किसी संख्या के $9$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंकों का योग $9$ से विभाज्य होना चाहिए।
$481*673$ के अंकों का योग $4 + 8 + 1 + x + 6 + 7 + 3 = 29 + x$ है।
$(29 + x)$ को $9$ से विभाज्य होने के लिए,$29$ के बाद $9$ का अगला गुणज $36$ है।
अतः,$29 + x = 36$,जिससे हमें $x = 36 - 29 = 7$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$*$ के स्थान पर आने वाली सबसे छोटी पूर्ण संख्या $7$ है।

(B) माना कि वह संख्या $N$ है। विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$N = 56q + 29$,जहाँ $q$ भागफल है।
हमें $N$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$N = (8 \times 7q) + 29$.
चूंकि $29 = (8 \times 3) + 5$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$N = 8(7q) + 8(3) + 5$
$N = 8(7q + 3) + 5$.
अतः,जब $N$ को $8$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $5$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $a = 0.83$ और $b = 0.17$ है।
यह व्यंजक $a^3 + b^3$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि $a + b = 0.83 + 0.17 = 1$ होता है।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
चूंकि $a + b = 1$,इसलिए $a^3 + b^3 = a^2 - ab + b^2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1^2 = 1$ होता है।
अतः,$a^2 + b^2 = 1 - 2ab$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $a^3 + b^3 = (1 - 2ab) - ab = 1 - 3ab$।
अब,$3ab = 3 \times 0.83 \times 0.17 = 0.83 \times 0.51$ की गणना करने पर।
अतः,व्यंजक का मान $1 - 0.51 \times 0.83$ है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $63 \sqrt{(729)^{-\frac{2}{3}}+(343)^{-\frac{2}{3}}}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$63 \sqrt{\frac{1}{(729)^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(343)^{\frac{2}{3}}}}$
घातों की गणना करने पर:
$(729)^{\frac{2}{3}} = (9^3)^{\frac{2}{3}} = 9^2 = 81$
$(343)^{\frac{2}{3}} = (7^3)^{\frac{2}{3}} = 7^2 = 49$
इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$63 \sqrt{\frac{1}{81} + \frac{1}{49}} = 63 \sqrt{\frac{49 + 81}{81 \cdot 49}}$
वर्गमूल का सरलीकरण करने पर:
$63 \cdot \frac{\sqrt{49 + 81}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{49}} = 63 \cdot \frac{\sqrt{130}}{9 \cdot 7}$
चूंकि $9 \cdot 7 = 63$,इसलिए अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी:
$63 \cdot \frac{\sqrt{130}}{63} = \sqrt{130}$

(B) $(128)^{182}$ का इकाई अंक $8^{182}$ के इकाई अंक के समान होता है।
$8$ की घातों के इकाई अंकों की चक्रीयता $4$ होती है: $8^1 = 8$,$8^2 = 64$ (इकाई अंक $4$),$8^3 = 512$ (इकाई अंक $2$),$8^4 = 4096$ (इकाई अंक $6$),और $8^5$ पुनः $8$ पर आ जाता है।
यह चक्र $(8, 4, 2, 6)$ है।
घातांक $182$ को चक्र की लंबाई $4$ से विभाजित करने पर: $182 = 4 \times 45 + 2$।
शेषफल $2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(128)^{182}$ का इकाई अंक $8^2$ के इकाई अंक के समान होगा,जो कि $4$ है।

(C) माना $a = 2.25$ और $b = 4$ है।
व्यंजक $a^2 + b^2 - ab - \frac{a^3}{a+b}$ है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$k = \frac{(a^2 + b^2 - ab)(a+b) - a^3}{a+b}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a^2 + b^2 - ab) = a^3 + b^3$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{(a^3 + b^3) - a^3}{a+b} = \frac{b^3}{a+b}$
$a = 2.25 = \frac{9}{4}$ और $b = 4$ मान रखने पर:
$k = \frac{4^3}{\frac{9}{4} + 4} = \frac{64}{\frac{9+16}{4}} = \frac{64}{\frac{25}{4}} = \frac{64 \times 4}{25} = \frac{256}{25}$
वर्गमूल $\sqrt{k} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$ है।

(A) $\{(6374)^{1793} \times (625)^{317} \times (341)^{491}\}$ व्यंजक का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक आधार के इकाई अंकों को देखते हैं।
$1$. $(6374)^{1793}$ के लिए: इकाई का अंक $4$ है। चूंकि घातांक $1793$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(6374)^{1793}$ का इकाई अंक $4$ होगा।
$2$. $(625)^{317}$ के लिए: इकाई का अंक $5$ है। $5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या की घात का इकाई अंक हमेशा $5$ होता है।
$3$. $(341)^{491}$ के लिए: इकाई का अंक $1$ है। $1$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या की घात का इकाई अंक हमेशा $1$ होता है।
अब,इन इकाई अंकों का गुणा करें: $4 \times 5 \times 1 = 20$.
गुणनफल $20$ का इकाई अंक $0$ है।
अतः,पूरे व्यंजक का इकाई अंक $0$ है।

(C) संख्या के $88$ से विभाज्य होने के लिए,इसे $8$ और $11$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
संख्या के $8$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम तीन अंकों $(29b)$ से बनी संख्या $8$ से विभाज्य होनी चाहिए।
$290 + b$ को $8$ से भाग देने पर: $296 / 8 = 37$. अतः,$b = 6$.
संख्या के $11$ से विभाज्य होने के लिए,विषम स्थानों पर स्थित अंकों का योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग का अंतर $0$ या $11$ का गुणज होना चाहिए।
विषम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से): $b + 2 + 3 = 6 + 2 + 3 = 11$.
सम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से): $9 + a + 5 = 14 + a$.
अंतर: $(14 + a) - 11 = a + 3$.
$11$ से विभाज्यता के लिए,$a + 3$ का मान $0$ या $11$ होना चाहिए। चूंकि $a$ एक अंक है,इसलिए $a + 3 = 11 \Rightarrow a = 8$.
अतः,$a = 8$ और $b = 6$.

(C) माना कि संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n \times \frac{3}{5}n = 12^{2} - 3^{2}$.
इसे सरल करने पर,$\frac{3}{5}n^{2} = (12 + 3)(12 - 3)$.
$\frac{3}{5}n^{2} = 15 \times 9$.
$n^{2} = \frac{15 \times 9 \times 5}{3} = 5 \times 9 \times 5 = 225$.
वर्गमूल लेने पर,$n = 15$.
अब,हमें उस संख्या का $\frac{5}{3}$ ज्ञात करना है,जो $\frac{5}{3} \times 15 = 5 \times 5 = 25$ है।

(D) अवरोही क्रम निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक भिन्न को उसके दशमलव रूप में बदलते हैं:
$\frac{6}{7} \approx 0.857$
$\frac{5}{6} \approx 0.833$
$\frac{4}{5} = 0.8$
$\frac{3}{7} \approx 0.428$
$\frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
इन मानों की तुलना करने पर: $0.857 > 0.833 > 0.8 > 0.428 > 0.4 > 0.333$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुक्रम $\frac{6}{7}, \frac{5}{6}, \frac{4}{5}, \frac{3}{7}, \frac{2}{5}, \frac{1}{3}$ अवरोही क्रम में है।

(D) यह व्यंजक $\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \dots \sqrt{a}}}}$ ($n$ बार) के रूप में है।
$n$ करणी (radicals) के लिए,मान $a^{\frac{2^n - 1}{2^n}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$ और करणी की संख्या $n = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = 3^{\frac{2^6 - 1}{2^6}}$
$x = 3^{\frac{64 - 1}{64}}$
$x = 3^{\frac{63}{64}}$
चूंकि $3^{\frac{63}{64}}$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $P, Q$ और $R$ द्वारा बनाए गए रन क्रमशः $P, Q$ और $R$ हैं।
दिया गया है कि $4P = 5Q = 7R$ है।
माना $4P = 5Q = 7R = K$ है।
तब $P = K/4, Q = K/5, R = K/7$ होगा।
कुल रन $P + Q + R = 581$ दिए गए हैं।
मान रखने पर: $K/4 + K/5 + K/7 = 581$।
$4, 5$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $140$ लेने पर: $(35K + 28K + 20K) / 140 = 581$।
$83K / 140 = 581$।
$K = (581 \times 140) / 83 = 7 \times 140 = 980$।
अब,$P$ और $R$ की गणना करते हैं: $P = 980 / 4 = 245$ और $R = 980 / 7 = 140$।
$P$ और $R$ के बीच का अंतर $245 - 140 = 105$ है।

(D) $23$ और $100$ के बीच $6$ से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं।
$23$ से बड़ी $6$ से विभाज्य पहली संख्या $24$ है।
$100$ से छोटी $6$ से विभाज्य अंतिम संख्या $96$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$,जहाँ $a = 24$,$d = 6$,और $a_n = 96$ है।
$96 = 24 + (n - 1)6$
$96 - 24 = (n - 1)6$
$72 = (n - 1)6$
$n - 1 = 72 / 6 = 12$
$n = 12 + 1 = 13$
अतः,ऐसी कुल $13$ संख्याएँ हैं।

(B) मान लीजिए $2001$ के बाद वर्षों की संख्या $n$ है।
$n$ वर्षों के बाद वस्तु $X$ की कीमत $420 + 40n$ पैसे होगी।
$n$ वर्षों के बाद वस्तु $Y$ की कीमत $630 + 15n$ पैसे होगी।
प्रश्न के अनुसार,हम चाहते हैं कि $X$ की कीमत $Y$ की कीमत से $40 \text{ पैसे}$ अधिक हो:
$420 + 40n = (630 + 15n) + 40$
$420 + 40n = 670 + 15n$
$40n - 15n = 670 - 420$
$25n = 250$
$n = 10$
इस प्रकार,$2001$ से $10$ वर्षों के बाद,यह शर्त पूरी हो जाएगी।
अतः,वह वर्ष $2001 + 10 = 2011$ होगा।

(A) माना कि लुप्त मान $x$ है।
$24-[2.4-\{0.24 \times 2-(0.024-x)\}]=22.0584$
$24-[2.4-\{0.48-0.024+x\}]=22.0584$
$24-[2.4-0.48+0.024-x]=22.0584$
$24-[1.944-x]=22.0584$
$24-1.944+x=22.0584$
$22.056+x=22.0584$
$x=22.0584-22.056$
$x=0.0024$

(A) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
$3648.24 + \frac{364.824}{x} - 36.4824 = 3794.1696$
दोनों पक्षों से $3648.24$ घटाने और $36.4824$ जोड़ने पर:
$\frac{364.824}{x} = 3794.1696 - 3648.24 + 36.4824$
$\frac{364.824}{x} = 145.9296 + 36.4824$
$\frac{364.824}{x} = 182.412$
$x = \frac{364.824}{182.412}$
$x = 2$

(D) सबसे पहले,मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$3 \frac{7}{8} = \frac{31}{8}$,$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,$1 \frac{7}{9} = \frac{16}{9}$.
अब,मंझले कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हल करें:
$\frac{31}{8} - \frac{7}{3} + \frac{16}{9} = \frac{279 - 168 + 128}{72} = \frac{239}{72}$.
इसके बाद,मंझले कोष्ठक के बाहर लेकिन बड़े कोष्ठक के अंदर स्थित भिन्न को जोड़ें:
$\frac{5}{6} + \frac{239}{72} = \frac{60 + 239}{72} = \frac{299}{72}$.
अंत में,इसे $6$ में से घटाएं:
$6 - \frac{299}{72} = \frac{432 - 299}{72} = \frac{133}{72} = 1 \frac{61}{72}$.
चूंकि $1 \frac{61}{72}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) इस व्यंजक को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
सबसे पहले,रेखा कोष्ठक (vinculum) को हल करें: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$.
इसके बाद,वर्गमूल को हल करें: $\sqrt{\frac{144}{121}} = \frac{12}{11}$.
इन मानों को आंतरिक कोष्ठक में रखें: $\left( \frac{11}{12} \times \frac{12}{11} + 23 \right) = (1 + 23) = 24$.
अब,इस मान को मजले कोष्ठक में रखें: $\{ 4 \times 24 \div 12 + 5 \}$.
भाग और गुणा करें: $4 \times (24 \div 12) + 5 = 4 \times 2 + 5 = 8 + 5 = 13$.
अंत में,मुख्य व्यंजक में मान रखें: $[10 + 13 - 3] = 20$.

(D) चरण $1$: सबसे अंदर वाले कोष्ठक का सरलीकरण करें।
$\sqrt{\frac{9}{441}} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
अतः,$\frac{21 \times (1/7)}{5} = \frac{3}{5}$.
चरण $2$: 'of' (का) संक्रिया की गणना करें।
$\frac{3}{5} \text{ of } 60\% = \frac{3}{5} \times \frac{60}{100} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$.
चरण $3$: परिणाम में से $1/5$ घटाएं।
$\frac{9}{25} - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} - \frac{5}{25} = \frac{4}{25}$.
चरण $4$: $625$ से गुणा करें और $7$ जोड़ें।
$(\frac{4}{25} \times 625) + 7 = (4 \times 25) + 7 = 100 + 7 = 107$.
चरण $5$: मुख्य व्यंजक में मान रखें।
$\left[ 8 \{ 107 \} \div 4 \right] = (8 \times 107) \div 4 = 856 \div 4 = 214$.

(D) दिया गया समीकरण: $(0.25)^{6} \div (0.125)^{2} \times (0.5)^{4} = (0.5)^{x+3}$
सभी पदों को $0.5$ के आधार में व्यक्त करें:
$(0.25) = (0.5)^{2}$
$(0.125) = (0.5)^{3}$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$((0.5)^{2})^{6} \div ((0.5)^{3})^{2} \times (0.5)^{4} = (0.5)^{x+3}$
घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करें:
$(0.5)^{12} \div (0.5)^{6} \times (0.5)^{4} = (0.5)^{x+3}$
घातांक के नियमों $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ और $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करें:
$(0.5)^{12-6+4} = (0.5)^{x+3}$
$(0.5)^{10} = (0.5)^{x+3}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करें:
$10 = x + 3$
$x = 10 - 3$
$x = 7$

(D) प्रत्येक भिन्न को $1 - \frac{1}{n}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\frac{17}{18} = 1 - \frac{1}{18}$
$\frac{21}{22} = 1 - \frac{1}{22}$
$\frac{26}{27} = 1 - \frac{1}{27}$
$\frac{36}{37} = 1 - \frac{1}{37}$
चूंकि अंश समान $(1)$ हैं,इसलिए जिस भिन्न का हर (denominator) सबसे बड़ा होता है,उसका मान सबसे छोटा होता है।
अतः,$\frac{1}{18} > \frac{1}{22} > \frac{1}{27} > \frac{1}{37}$।
इन मानों को $1$ से घटाने पर,जो सबसे छोटा मान घटाया जाता है,वह भिन्न सबसे बड़ी होती है:
$1 - \frac{1}{18} < 1 - \frac{1}{22} < 1 - \frac{1}{27} < 1 - \frac{1}{37}$।
इसलिए,सबसे बड़ी भिन्न $\frac{36}{37}$ है।

(B) माना $a = 3.25$ है।
दी गई व्यंजक $E = \left[\frac{a^3}{a-1} - (a^2 + a + 1)\right]$ है।
हम जानते हैं कि $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{a^3 - 1}{a - 1} = a^2 + a + 1$ है।
इस मान को व्यंजक $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{a^3}{a-1} - \frac{a^3 - 1}{a-1} = \frac{a^3 - (a^3 - 1)}{a-1} = \frac{1}{a-1}$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 3.25$ रखने पर:
$E = \frac{1}{3.25 - 1} = \frac{1}{2.25} = \frac{1}{9/4} = \frac{4}{9}$ है।
अतः,व्यंजक का वर्गमूल $\sqrt{E} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।

(B) $4000$ का $7 \%$ - $550$ का $12 \%$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम प्रत्येक भाग की अलग-अलग गणना करते हैं।
सबसे पहले,$4000$ का $7 \%$ निकालें:
$\frac{7}{100} \times 4000 = 7 \times 40 = 280$.
इसके बाद,$550$ का $12 \%$ निकालें:
$\frac{12}{100} \times 550 = 0.12 \times 550 = 66$.
अंत में,पहले मान में से दूसरे मान को घटाएं:
$280 - 66 = 214$.
अतः,सही उत्तर $214$ है।