Mix Examples - Probability Questions in Gujarati

(C) પત્તાંના પ્રમાણિત પેકમાં કુલ $52$ પત્તાં હોય છે.
ચિત્રવાળા પત્તાં (face cards) એટલે કે દરેક $4$ પ્રકારના પત્તાંમાં રહેલા રાજા (King),રાણી (Queen) અને ગુલામ (Jack).
ચિત્રવાળા પત્તાંની કુલ સંખ્યા = $3 \times 4 = 12$ થાય.
ચિત્રવાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P = \frac{12}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{3}{13}$ મળે છે.

(D) લીપ વર્ષમાં ફેબ્રુઆરી મહિનામાં $29$ દિવસ હોય છે.
$29$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે.
$4$ અઠવાડિયામાં $4$ સોમવાર આવી જાય છે.
$29$ મો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર અથવા રવિવાર) કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે.
ફેબ્રુઆરીમાં $5$ સોમવાર મેળવવા માટે,$29$ મો દિવસ સોમવાર હોવો જરૂરી છે.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ (સોમવાર) હોવાથી,સંભાવના $\frac{1}{7}$ થાય છે.

(A) વર્ગમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $50$.
છોકરીઓની સંખ્યા = $22$.
છોકરાઓની સંખ્યા = $\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ} - \text{છોકરીઓની સંખ્યા} = 50 - 22 = 28$.
પ્રથમ ક્રમ મેળવનાર વિદ્યાર્થી છોકરો હોય તેની સંભાવના એ છોકરાઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના = $\frac{\text{છોકરાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{28}{50}$.
આને દશાંશમાં ફેરવવા માટે, અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણો: $\frac{28 \times 2}{50 \times 2} = \frac{56}{100} = 0.56$.

(B) પત્તાના પ્રમાણિત પેકમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
લાલ રંગના બે પ્રકાર (suits) હોય છે: લાલ (Hearts) અને ચોકટ (Diamonds).
દરેક પ્રકારમાં $13$ પત્તા હોય છે.
તેથી,લાલ રંગના કુલ પત્તાની સંખ્યા $13 + 13 = 26$ થાય.
લાલ રંગનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{\text{લાલ પત્તાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે.
$365$ દિવસ $= 52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ.
$52$ અઠવાડિયામાં $52$ રવિવાર હોય છે.
બાકી રહેલો $1$ દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: {સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર}.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવા માટે,વધારાનો દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે.

(D) ઓગસ્ટ મહિનામાં કુલ $31$ દિવસો હોય છે.
$31$ દિવસોમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $3$ વધારાના દિવસો હોય છે $(31 = 4 \times 7 + 3)$.
આ $3$ વધારાના દિવસો નીચે મુજબના ક્રમિક દિવસોની જોડી હોઈ શકે છે:
$1$. (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર)
$2$. (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર)
$3$. (મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર)
$4$. (બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર)
$5$. (ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર)
$6$. (શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર)
$7$. (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર)
આ $7$ શક્યતાઓમાંથી,જે સમૂહમાં બુધવાર આવે છે તે છે: (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર),(મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર) અને (બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર).
આમ,$7$ કુલ શક્યતાઓમાંથી $3$ સાનુકૂળ પરિણામો મળે છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{7}$ છે.

(A) કુલ દિવસોની સંખ્યા = $30$.
આગાહી સાચી પડી હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા = $20$.
આગાહી ખોટી પડી હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા = $\text{કુલ દિવસો} - \text{સાચા દિવસો} = 30 - 20 = 10$.
આગાહી ખોટી સાબિત થવાની સંભાવના એ આગાહી ખોટી પડી હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા અને કુલ દિવસોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{ખોટી}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(B) લિપ વર્ષમાં કુલ $366$ દિવસો હોય છે.
$366$ દિવસ $= 52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચેનામાંથી કોઈ પણ જોડી હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),અથવા (શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,$2$ વધારાના દિવસોમાંથી એક રવિવાર હોવો જોઈએ.
સાનુકૂળ પરિણામો (રવિવાર,સોમવાર) અને (શનિવાર,રવિવાર) છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{7}$.

(C) ચોક્કસ ઘટના એટલે એવી ઘટના જે ચોક્કસપણે બનવાની જ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે ઘટના ચોક્કસપણે બનવાની હોય તેની સંભાવના $1$ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) અશક્ય ઘટના એટલે એવી ઘટના જે ક્યારેય બની શકતી નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના $0 \le P(E) \le 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
અશક્ય ઘટના બનવાની કોઈ શક્યતા ન હોવાથી,તેની સંભાવના $0$ ગણવામાં આવે છે.

(A) ઘટના $A$ બનવાની સંભાવનાને $P(A) = 0.43$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના (પૂરક ઘટના) ને $P(\text{not } A)$ અથવા $P(A')$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ ઘટના બનવાની અને ન બનવાની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
$P(A) + P(A') = 1$
$0.43 + P(A') = 1$
$P(A') = 1 - 0.43$
$P(A') = 0.57$
તેથી,ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના $0.57$ છે.

(B) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની શ્રેણીમાં હોય છે.
તેથી,કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાનું ન્યૂનતમ શક્ય મૂલ્ય $0$ છે (જે અશક્ય ઘટના માટે હોય છે),અને મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $1$ છે (જે ચોક્કસ ઘટના માટે હોય છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની શ્રેણીમાં હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સંભાવનાનું ન્યૂનતમ શક્ય મૂલ્ય $0$ (અશક્ય ઘટના માટે) છે અને મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $1$ (ચોક્કસ ઘટના માટે) છે.
તેથી,કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.

(D) $100$ ગુણની કસોટીમાં,વિદ્યાર્થી $0$ થી $100$ સુધીના ગુણ મેળવી શકે છે.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા = $100 - 0 + 1 = 101$.
દરેક સ્કોરને સમાન રીતે સંભવિત પરિણામ ગણવામાં આવે છે,તેથી બરાબર $70$ ગુણ મેળવવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ($70$ ગુણ મેળવવા) = $1$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{1}{101}$.

(A) એક-અંકની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 9$ છે.
આ ગણમાં $3$ ના ગુણકો $E = \{3, 6, 9\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(B) એક સમતોલ પાસા પર $6$ સપાટીઓ હોય છે,જેના પર $1, 2, 3, 4, 5,$ અને $6$ અંકિત હોય છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
$3$ મેળવવાની ઘટના $E = {3}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{1}{6}$ થાય.

(C) 'સૂર્ય પૂર્વમાં ઉગે છે' તે ઘટના એક ચોક્કસ ઘટના છે.
સંભાવનાના સિદ્ધાંત મુજબ,ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $1$ હોય છે.

(D) બાવળનું ઝાડ એ આંબાના ઝાડથી અલગ પ્રજાતિ છે. બાવળના ઝાડ પર કેરી ઉગવી જૈવિક રીતે અશક્ય છે. આ એક અશક્ય ઘટના હોવાથી,તેની સંભાવના $0$ છે.

(A) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
વિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અવયવ હોય.
ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં,વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $4$ અને $6$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{4, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
$52$ પત્તાના પ્રમાણિત ડેકમાં $4$ રાણી હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તા માટે એક: લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી).
ધારો કે $E$ એ રાણી ખેંચવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ મળે છે.

(C) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $1, 3$ અને $5$ છે.
ધારો કે $E$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે,તેથી $E = \{1, 3, 5\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $30$.
છોકરાઓની સંખ્યા = $12$.
છોકરીઓની સંખ્યા = $30 - 12 = 18$.
પ્રથમ ઇનામ છોકરી જીતે તેની સંભાવના એ છોકરીઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના = $\frac{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ}} = \frac{18}{30}$.
અંશ અને છેદને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે બે સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
આપણે એક પણ છાપ ન મળે (એટલે કે કોઈ કાંટો ન મળે) તેની સંભાવના શોધવાની છે. એક પણ કાંટો ન મળે તેવું પરિણામ $(H, H)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$.

(B) કોઈપણ વર્ષમાં,$26$ જાન્યુઆરી અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર અથવા રવિવાર) કોઈપણ દિવસે સમાન સંભાવના સાથે આવી શકે છે.
અહીં કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે અને તેમાંથી માત્ર $1$ પરિણામ રવિવાર છે,તેથી સંભાવના નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$P(\text{રવિવાર}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{7}$.

(C) મહિલાઓની કુલ સંખ્યા $700$ છે.
નોકરી કરતી મહિલાઓની સંખ્યા $280$ છે.
નોકરી કરતી મહિલા પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ નોકરી કરતી મહિલાઓની સંખ્યા અને મહિલાઓની કુલ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{\text{નોકરી કરતી મહિલાઓની સંખ્યા}}{\text{મહિલાઓની કુલ સંખ્યા}}$
$P = \frac{280}{700}$
અંશ અને છેદને $140$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{2}{5}$

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $40$.
છોકરીઓની સંખ્યા = $16$.
છોકરાઓની સંખ્યા = $40 - 16 = 24$.
છોકરો પસંદ થાય તેની સંભાવના એ છોકરાઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{છોકરો}) = \frac{\text{છોકરાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{24}{40}$.
અંશ અને છેદને $8$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
તેથી, છોકરો પસંદ થાય તેની સંભાવના $3/5$ છે.

(A) કુલ ઉછાળની સંખ્યા = $200$.
છાપ (tail) મળવાની સંખ્યા = $92$.
કાંટો (head) મળવાની સંખ્યા = $200 - 92 = 108$.
કાંટો મળવાની સંભાવના એ કાંટાની સંખ્યા અને કુલ ઉછાળની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{Head}) = \frac{\text{કાંટાની સંખ્યા}}{\text{કુલ ઉછાળની સંખ્યા}} = \frac{108}{200}$.
$P(\text{Head}) = \frac{54}{100} = 0.54$.

(B) પરીક્ષામાં કુલ ગુણ $50$ છે.
$50$ ગુણમાંથી $51$ ગુણ મેળવવા અશક્ય છે કારણ કે મહત્તમ શક્ય સ્કોર $50$ છે.
તેથી,$51$ ગુણ મેળવવાની ઘટના એક અશક્ય ઘટના છે,તેથી તેની સંભાવના $0$ છે.