Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि एक बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,भुज (abscissa) और कोटि (ordinate) बराबर हैं,इसलिए $x = y$ है।
यदि $x = y > 0$ है,तो बिंदु $(x, x)$ प्रथम $(I)$ चतुर्थांश में स्थित है।
यदि $x = y < 0$ है,तो बिंदु $(x, x)$ तृतीय $(III)$ चतुर्थांश में स्थित है।
चूंकि मूलबिंदु $(0, 0)$ को छोड़ दिया गया है,इसलिए ये बिंदु $I$ और $III$ चतुर्थांश में स्थित होंगे।

(B) कार्तीय तल (Cartesian plane) में चतुर्थांशों के लिए चिह्न परिपाटी इस प्रकार है:
- प्रथम चतुर्थांश: $(+, +)$
- द्वितीय चतुर्थांश: $(-, +)$
- तृतीय चतुर्थांश: $(-, -)$
- चतुर्थ चतुर्थांश: $(+, -)$
बिंदु $(-3, 5)$ के लिए,भुज ($x$-निर्देशांक) $-3$ (ऋणात्मक) है और कोटि ($y$-निर्देशांक) $5$ (धनात्मक) है।
चूंकि बिंदु का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक है और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,इसलिए यह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(C) कार्तीय तल में,निर्देशांक प्रणाली को चार चतुर्थांशों में विभाजित किया गया है।
प्रथम चतुर्थांश में,$x$ और $y$ दोनों निर्देशांक धनात्मक $(+,+)$ होते हैं।
द्वितीय चतुर्थांश में,$x$-निर्देशांक (भुज) ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक (कोटि) धनात्मक $(-,+)$ होते हैं।
तृतीय चतुर्थांश में,दोनों निर्देशांक ऋणात्मक $(-,-)$ होते हैं।
चतुर्थ चतुर्थांश में,$x$-निर्देशांक धनात्मक और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक $(+,-)$ होते हैं।
अतः,द्वितीय चतुर्थांश में स्थित बिंदु के लिए चिह्न $(-,+)$ होते हैं।

(D) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,कोई भी बिंदु $(x, y)$ के रूप में होता है।
यदि $x$-निर्देशांक $0$ है,तो बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित होता है।
यदि $y$-निर्देशांक $0$ है,तो बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित होता है।
बिंदु $(0, -7)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए यह $y$-अक्ष पर स्थित है।

(A) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,यदि किसी बिंदु $(x, y)$ का $y$-निर्देशांक $0$ है,तो वह बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित होता है।
यहाँ दिया गया बिंदु $(-10, 0)$ है,जिसका $y$-निर्देशांक $0$ है,अतः यह $x$-अक्ष पर स्थित है।
चूँकि $x$-निर्देशांक $-10$ है (जो $0$ से छोटा है),इसलिए यह बिंदु $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर स्थित है।

(B) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु को $(x, 0)$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है।
बिंदु $(x, y)$ के पहले निर्देशांक को भुज (abscissa) कहा जाता है।
अतः,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,भुज कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु को $(x, 0)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यहाँ,पहले निर्देशांक $x$ को 'भुज' (abscissa) कहा जाता है और दूसरे निर्देशांक $0$ को 'कोटि' (ordinate) कहा जाता है।
अतः,$x$-अक्ष पर स्थित सभी बिंदुओं की कोटि $0$ होती है।

(D) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,दो अक्ष ($x$-अक्ष और $y$-अक्ष) एक विशिष्ट बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु (origin) कहा जाता है,और इसके निर्देशांक $(0, 0)$ होते हैं।

(A) कार्तीय तल में,निर्देशांक प्रणाली को $x$ और $y$ निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर चार चतुर्थांशों में विभाजित किया गया है:
$1$. $I$ चतुर्थांश: $x$ और $y$ दोनों धनात्मक $(+, +)$ होते हैं।
$2$. $II$ चतुर्थांश: $x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक $(-, +)$ होते हैं।
$3$. $III$ चतुर्थांश: $x$ और $y$ दोनों ऋणात्मक $(-, -)$ होते हैं।
$4$. $IV$ चतुर्थांश: $x$ धनात्मक और $y$ ऋणात्मक $(+, -)$ होते हैं।
अतः,एक बिंदु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं,वह $III$ चतुर्थांश में स्थित होगा।

(B) कार्तीय तल (Cartesian plane) में,एक बिंदु $(x, y)$ $IV$ चतुर्थांश में स्थित होता है यदि $x > 0$ और $y < 0$ हो। एक बिंदु $(x, y)$ $III$ चतुर्थांश में स्थित होता है यदि $x < 0$ और $y < 0$ हो।
दिए गए बिंदुओं के लिए:
$1$. $(1, -1)$: $x > 0, y < 0$,अतः यह $IV$ चतुर्थांश में है।
$2$. $(2, -2)$: $x > 0, y < 0$,अतः यह $IV$ चतुर्थांश में है।
$3$. $(4, -5)$: $x > 0, y < 0$,अतः यह $IV$ चतुर्थांश में है।
$4$. $(-3, -4)$: $x < 0, y < 0$,अतः यह $III$ चतुर्थांश में है।
चूंकि बिंदु अलग-अलग चतुर्थांशों ($IV$ और $III$) में स्थित हैं,इसलिए वे एक ही चतुर्थांश में स्थित नहीं हैं।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,एक बिंदु को $(x, y)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यदि किसी बिंदु का $y$-निर्देशांक (कोटि) $0$ है,तो वह बिंदु $(x, 0)$ के रूप में होता है।
जिस बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है,वह हमेशा $x$-अक्ष पर स्थित होता है,क्योंकि मूल बिंदु से उसका कोई ऊर्ध्वाधर विस्थापन नहीं होता है।

(D) कार्तीय तल में,चतुर्थांशों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$I$ चतुर्थांश: $(+, +)$
$II$ चतुर्थांश: $(-, +)$
$III$ चतुर्थांश: $(-, -)$
$IV$ चतुर्थांश: $(+, -)$
बिंदु $(-5, 2)$ के लिए,$x$-निर्देशांक ऋणात्मक है और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,इसलिए यह $II$ चतुर्थांश में स्थित है।
बिंदु $(2, -5)$ के लिए,$x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,बिंदु $(-5, 2)$ और $(2, -5)$ क्रमशः $II$ और $IV$ चतुर्थांश में स्थित हैं।

(A) किसी बिंदु $P(x, y)$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी $|y|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि लंबवत दूरी $5$ इकाई है,इसलिए $|y| = 5$,जिसका अर्थ है कि $y = 5$ या $y = -5$ है।
बिंदु $P$ से $x$-अक्ष पर डाले गए लंब का पाद $(x, 0)$ है।
चूंकि लंब का पाद $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में स्थित है,इसलिए $x$-निर्देशांक ऋणात्मक होना चाहिए (अर्थात $x < 0$)।
हालाँकि,प्रश्न में बिंदु $P$ के $y$-निर्देशांक के संभावित मान पूछे गए हैं।
चूंकि $y$ का मान $5$ या $-5$ हो सकता है,इसलिए बिंदु $P$,$(x, 5)$ या $(x, -5)$ हो सकता है जहाँ $x < 0$ है।

(B) शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0), A(3,0), B(3,4)$ और $C(0,4)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$OA = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ इकाई।
$AB = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3$ इकाई।
$CO = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-4)^2} = 4$ इकाई।
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं ($OA = BC = 3$ इकाई और $AB = CO = 4$ इकाई) और आसन्न भुजाएं लंबवत हैं (क्योंकि वे अक्षों पर स्थित हैं),इसलिए आकृति $OABC$ एक आयत है।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,चतुर्थ चतुर्थांश उन बिंदुओं $(x, y)$ द्वारा परिभाषित होता है जहाँ $x$-निर्देशांक धनात्मक $(x > 0)$ होता है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक $(y < 0)$ होता है।
आइए दिए गए बिंदुओं की जाँच करें:
$P(-1, 1)$: $x$ ऋणात्मक है,$y$ धनात्मक है (द्वितीय चतुर्थांश)।
$Q(3, -4)$: $x$ धनात्मक है,$y$ ऋणात्मक है (चतुर्थ चतुर्थांश)।
$R(1, -1)$: $x$ धनात्मक है,$y$ ऋणात्मक है (चतुर्थ चतुर्थांश)।
$S(-2, -3)$: $x$ ऋणात्मक है,$y$ ऋणात्मक है (तृतीय चतुर्थांश)।
$T(-4, 4)$: $x$ ऋणात्मक है,$y$ धनात्मक है (द्वितीय चतुर्थांश)।
अतः,चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित बिंदु $Q$ और $R$ हैं।

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ का $x$-निर्देशांक उसका भुज (abscissa) कहलाता है।
बिंदु $P(-2, 3)$ के लिए,भुज $-2$ है।
बिंदु $Q(-3, 5)$ के लिए,भुज $-3$ है।
अतः,($P$ का भुज) $-$ ($Q$ का भुज) $= -2 - (-3)$ है।
$= -2 + 3 = 1$।

(A) हम जानते हैं कि यदि कोई बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित होता है,तो उसका कोटि ($y$-निर्देशांक) $0$ होता है।
दिए गए बिंदु $P(5,1), Q(8,0), R(0,4), S(0,5)$ और $O(0,0)$ हैं।
प्रत्येक बिंदु के $y$-निर्देशांक की जाँच करने पर:
- $P(5,1)$ के लिए,$y = 1 \neq 0$ है।
- $Q(8,0)$ के लिए,$y = 0$ है।
- $R(0,4)$ के लिए,$y = 4 \neq 0$ है।
- $S(0,5)$ के लिए,$y = 5 \neq 0$ है।
- $O(0,0)$ के लिए,$y = 0$ है।
अतः,बिंदु $Q(8,0)$ और $O(0,0)$ $x$-अक्ष पर स्थित हैं।

(B) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,भुज (abscissa) किसी बिंदु का $x$-निर्देशांक होता है। $x$-निर्देशांक $y$-अक्ष के दाईं ओर धनात्मक होता है। यह क्षेत्र $I$ चतुर्थांश (जहाँ $x$ और $y$ दोनों धनात्मक होते हैं) और $IV$ चतुर्थांश (जहाँ $x$ धनात्मक और $y$ ऋणात्मक होता है) के अंतर्गत आता है। अतः,भुज $I$ और $IV$ चतुर्थांश में धनात्मक होता है।

(C) कार्तीय तल में,विभिन्न चतुर्थांशों में निर्देशांकों $(x, y)$ के चिह्न इस प्रकार होते हैं:
$I$ चतुर्थांश: $(+, +)$ (दोनों चिह्न समान हैं)
$II$ चतुर्थांश: $(-, +)$ (चिह्न अलग-अलग हैं)
$III$ चतुर्थांश: $(-, -)$ (दोनों चिह्न समान हैं)
$IV$ चतुर्थांश: $(+, -)$ (चिह्न अलग-अलग हैं)
अतः,वे बिंदु जिनके भुज ($x$-निर्देशांक) और कोटि ($y$-निर्देशांक) के चिह्न अलग-अलग होते हैं,वे केवल $II$ और $IV$ चतुर्थांश में स्थित होते हैं।

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम कार्तीय तल पर इसकी स्थिति देखते हैं।
$1$. $x$-निर्देशांक $y$-अक्ष से बिंदु की लंबवत दूरी है। आकृति को देखने पर,बिंदु $P$,$y$-अक्ष से बाईं ओर $2$ इकाई की दूरी पर है,इसलिए $x$-निर्देशांक $-2$ है।
$2$. $y$-निर्देशांक $x$-अक्ष से बिंदु की लंबवत दूरी है। आकृति को देखने पर,बिंदु $P$,$x$-अक्ष से ऊपर $4$ इकाई की दूरी पर है,इसलिए $y$-निर्देशांक $4$ है।
$3$. अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(-2, 4)$ हैं।

(A) $(-5, 3)$ निर्देशांक वाले बिंदु की पहचान करने के लिए,हम उस बिंदु को देखते हैं जो $x$-अक्ष पर $-5$ इकाई और $y$-अक्ष पर $3$ इकाई की दूरी पर स्थित है।
कार्तीय तल (Cartesian plane) को देखने पर:
$1$. मूल बिंदु $(0, 0)$ से प्रारंभ करें।
$2$. $x$-अक्ष पर बाईं ओर $5$ इकाई चलें ताकि $x = -5$ प्राप्त हो।
$3$. वहाँ से,$y$-अक्ष पर ऊपर की ओर $3$ इकाई चलें ताकि $y = 3$ प्राप्त हो।
इन निर्देशांकों पर स्थित बिंदु $L$ है।

(B) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज (abscissa) $0$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि बिंदु की कोटि (ordinate) $4$ है।
अतः,उस बिंदु के निर्देशांक $(0,4)$ होंगे।

(C) हम जानते हैं कि $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $y$-निर्देशांक (कोटि) हमेशा $0$ होता है।
आइए दिए गए बिंदुओं की जाँच करें:
$P(0,3)$: $y$-निर्देशांक $3 \neq 0$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर स्थित नहीं है।
$Q(1,0)$: $y$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर स्थित है।
$R(0,-1)$: $y$-निर्देशांक $-1 \neq 0$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर स्थित नहीं है।
$S(-5,0)$: $y$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर स्थित है।
$T(1,2)$: $y$-निर्देशांक $2 \neq 0$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर स्थित नहीं है।
अतः,वे बिंदु जो $x$-अक्ष पर स्थित नहीं हैं,वे $P, R$ और $T$ हैं।

(D) $y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज ($x$-निर्देशांक) हमेशा $0$ होता है।
$y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा $0$ से कम मानों को दर्शाती है।
चूंकि बिंदु $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $5$ इकाई की दूरी पर है,इसलिए इसका कोटि ($y$-निर्देशांक) $-5$ होगा।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(0, -5)$ हैं।

(A) किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक (भुज) के निरपेक्ष मान के बराबर होती है।
बिंदु $P(3, 4)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $3$ है।
अतः,$y$-अक्ष से लंबवत दूरी $|3| = 3$ इकाई है।

(A) $(i)$ सत्य। $y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है। चूँकि दिया गया बिंदु $(0, -2)$ है,इसलिए यह $y$-अक्ष पर स्थित है।
$(ii)$ असत्य। किसी बिंदु $(x, y)$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y$-निर्देशांक (कोटि) के निरपेक्ष मान के बराबर होती है। बिंदु $(4, 3)$ के लिए,कोटि $3$ है। अतः,$x$-अक्ष से इसकी लंबवत दूरी $3$ है,$4$ नहीं।

(N/A) $(i)$ बिंदु $(3,0)$ का भुज (x-निर्देशांक) $3$ है और कोटि (y-निर्देशांक) $0$ है। यदि किसी बिंदु की कोटि $0$ हो,तो वह बिंदु x-अक्ष पर स्थित होता है,न कि किसी चतुर्थांश में।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।
$(ii)$ बिंदु $(1,-1)$ का x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह $IV$ चतुर्थांश में स्थित है। बिंदु $(-1,1)$ का x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है,इसलिए यह $II$ चतुर्थांश में स्थित है।
चूंकि वे अलग-अलग चतुर्थांशों में स्थित हैं,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) $(i)$ असत्य। हम जानते हैं कि किसी बिंदु के निर्देशांक में,भुज ($x$-निर्देशांक) पहले लिखा जाता है और उसके बाद कोटि ($y$-निर्देशांक) लिखा जाता है। अतः,बिंदु के निर्देशांक $(1, -\frac{1}{2})$ हैं,न कि $(-\frac{1}{2}, 1)$।
$(ii)$ असत्य। $y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज $0$ होता है और वह $(0, y)$ के रूप में होता है। चूँकि बिंदु $x$-अक्ष से $2$ इकाई की दूरी पर है,इसलिए इसके निर्देशांक $(0, 2)$ या $(0, -2)$ होने चाहिए,$(2, 0)$ नहीं।

(TRUE) कार्तीय तल में,द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश उन बिंदुओं द्वारा परिभाषित होता है जहाँ $x$-निर्देशांक (भुज) ऋणात्मक होता है और $y$-निर्देशांक (कोटि) धनात्मक होता है।
बिंदु $(-1, 7)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-1$ है (जो $< 0$ है) और $y$-निर्देशांक $7$ है (जो $> 0$ है)।
चूँकि चिह्न $(-, +)$ हैं,इसलिए बिंदु $(-1, 7)$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(N/A) $1$. बिंदु $P(-6, 2)$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ $x$-निर्देशांक $-6$ है और $y$-निर्देशांक $2$ है।
$2$. $P$ से $x$-अक्ष पर एक लंब $PM$ खींचा गया है। चूँकि $M$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ है। $x$-निर्देशांक $P$ के समान ही रहता है,जो $-6$ है। अतः,$M$ के निर्देशांक $(-6, 0)$ हैं।
$3$. $P$ से $y$-अक्ष पर एक लंब $PN$ खींचा गया है। चूँकि $N$,$y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ है। $y$-निर्देशांक $P$ के समान ही रहता है,जो $2$ है। अतः,$N$ के निर्देशांक $(0, 2)$ हैं।

(N/A) $(i)$ किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष के सापेक्ष उसकी स्थिति देखते हैं।
- बिंदु $B$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-5$ है और $y$-निर्देशांक $2$ है। अतः,$B = (-5, 2)$.
- बिंदु $C$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-2$ है और $y$-निर्देशांक $-3$ है। अतः,$C = (-2, -3)$.
- बिंदु $E$ के लिए,$x$-निर्देशांक $3$ है और $y$-निर्देशांक $-1$ है। अतः,$E = (3, -1)$.
$(ii)$ निर्देशांक $(0, -2)$ का अर्थ है कि $x = 0$ और $y = -2$ है। ग्राफ को देखने पर,यह बिंदु $Y$-अक्ष पर $-2$ पर स्थित है,जो बिंदु $F$ है।
$(iii)$ भुज (abscissa) किसी बिंदु का $x$-निर्देशांक होता है। बिंदु $H$ के निर्देशांक $(1, 4)$ हैं। इसलिए,भुज $1$ है।
$(iv)$ कोटि (ordinate) किसी बिंदु का $y$-निर्देशांक होता है। बिंदु $D$ के निर्देशांक $(4, 0)$ हैं। इसलिए,कोटि $0$ है।

(N/A) किसी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $Y$-अक्ष से उसकी दूरी (x-निर्देशांक) और $X$-अक्ष से उसकी दूरी (y-निर्देशांक) निर्धारित करते हैं।
- बिंदु $P$ के लिए: x-निर्देशांक $1$ है और y-निर्देशांक $1$ है। अतः,$P = (1, 1)$।
- बिंदु $Q$ के लिए: x-निर्देशांक $-3$ है और y-निर्देशांक $0$ है (क्योंकि यह $X$-अक्ष पर स्थित है)। अतः,$Q = (-3, 0)$।
- बिंदु $R$ के लिए: x-निर्देशांक $-2$ है और y-निर्देशांक $-3$ है। अतः,$R = (-2, -3)$।
- बिंदु $S$ के लिए: x-निर्देशांक $2$ है और y-निर्देशांक $1$ है। अतः,$S = (2, 1)$।
- बिंदु $T$ के लिए: x-निर्देशांक $4$ है और y-निर्देशांक $-2$ है। अतः,$T = (4, -2)$।
- बिंदु $O$ के लिए: यह मूल बिंदु (origin) है,जहाँ दोनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं। अतः,$O = (0, 0)$।

(N/A) $1$. ग्राफ पेपर पर निर्देशांक अक्ष $X'OX$ और $Y'OY$ खींचिए।
$2$. बिंदुओं $P(-3, 2)$,$Q(-7, -3)$,$R(6, -3)$,और $S(2, 2)$ को उनके संबंधित $x$ और $y$ निर्देशांकों द्वारा ग्राफ पर अंकित कीजिए।
$3$. बिंदुओं को $P$ से $Q$,$Q$ से $R$,$R$ से $S$,और $S$ से $P$ के क्रम में जोड़िए।
$4$. प्राप्त आकृति का अवलोकन कीजिए। भुजा $PS$,भुजा $QR$ के समांतर है क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाओं पर स्थित हैं (क्रमशः $y=2$ और $y=-3$),लेकिन उनकी लंबाई अलग-अलग है ($PS = 5$ इकाई,$QR = 13$ इकाई)।
$5$. चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है और दूसरा नहीं,इसलिए प्राप्त आकृति एक समलंब चतुर्भुज (Trapezium) है।

(N/A) कार्तीय तल पर बिंदुओं $(x, y)$ को आलेखित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. निर्देशांक अक्ष $X'OX$ और $Y'OY$ खींचिए।
$2$. प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ से प्रारंभ करें।
$3$. $X$-अक्ष पर $x$ इकाई चलें (यदि $x > 0$ है तो दाईं ओर,यदि $x < 0$ है तो बाईं ओर)।
$4$. उस स्थिति से,$Y$-अक्ष के समानांतर $y$ इकाई चलें (यदि $y > 0$ है तो ऊपर की ओर,यदि $y < 0$ है तो नीचे की ओर)।
बिंदुओं को इस प्रकार आलेखित किया गया है:
- $(2, 4)$: $2$ इकाई दाईं ओर और $4$ इकाई ऊपर।
- $(4, 2)$: $4$ इकाई दाईं ओर और $2$ इकाई ऊपर।
- $(-3, 0)$: $3$ इकाई बाईं ओर और $0$ इकाई ऊपर/नीचे ($X$-अक्ष पर स्थित है)।
- $(-2, 5)$: $2$ इकाई बाईं ओर और $5$ इकाई ऊपर।
- $(3, -3)$: $3$ इकाई दाईं ओर और $3$ इकाई नीचे।
- $(0, 0)$: मूल बिंदु।

(N/A) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(1,3)$,$B(-1,-1)$,और $C(-2,-3)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. अवलोकन कीजिए कि तीनों बिंदु $A$,$B$,और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
$3$. चूँकि बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं,इसलिए वे संरेख हैं।

(N/A) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(1, 1)$,$B(2, -3)$,और $C(-1, -2)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. ग्राफ पर इन बिंदुओं की स्थिति का अवलोकन कीजिए।
$3$. यदि बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं,तो उन्हें संरेख बिंदु कहा जाता है।
$4$. इन बिंदुओं को जोड़ने पर,हम देख सकते हैं कि वे एक सीधी रेखा नहीं बनाते हैं।
$5$. अतः,दिए गए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(N/A) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(0,0)$,$B(2,2)$,और $C(5,5)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. अवलोकन कीजिए कि तीनों बिंदु मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
$3$. चूँकि बिंदु $A, B,$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं,इसलिए वे संरेख हैं।

(N/A) $(i)$ बिंदु $(-3, 5)$ में,भुज ($x$-निर्देशांक) $-3$ (ऋणात्मक) है और कोटि ($y$-निर्देशांक) $5$ (धनात्मक) है। जिन बिंदुओं का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक धनात्मक होता है,वे द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होते हैं।
$(ii)$ बिंदु $(-5, -3)$ में,भुज ($x$-निर्देशांक) $-5$ (ऋणात्मक) है और कोटि ($y$-निर्देशांक) $-3$ (ऋणात्मक) है। जिन बिंदुओं के $x$ और $y$ दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं,वे तृतीय चतुर्थांश में स्थित होते हैं।

(A) $(i)$ बिंदु $(-5, 3)$ के लिए,भुज ($x$-निर्देशांक) $-5$ (ऋणात्मक) है और कोटि ($y$-निर्देशांक) $3$ (धनात्मक) है। जिन बिंदुओं का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक धनात्मक होता है,वे द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होते हैं।
$(ii)$ बिंदु $(3, 5)$ के लिए,भुज ($x$-निर्देशांक) $3$ (धनात्मक) है और कोटि ($y$-निर्देशांक) $5$ (धनात्मक) है। जिन बिंदुओं के $x$ और $y$ दोनों निर्देशांक धनात्मक होते हैं,वे प्रथम चतुर्थांश में स्थित होते हैं।

(N/A) $(i)$ स्पष्ट है कि,बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से दूरी $3$ इकाई है और $x$-अक्ष से दूरी $2$ इकाई है। चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $(3, 2)$ हैं।
बिंदु $R$,$x$-अक्ष पर स्थित है,और इसकी $y$-अक्ष से दूरी $3$ इकाई है तथा $x$-अक्ष से दूरी $0$ इकाई है। अतः,इसके निर्देशांक $(3, 0)$ हैं।
स्पष्ट है कि,बिंदु $Q$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है। $Q$ की $y$-अक्ष से दूरी $3$ इकाई है और $x$-अक्ष से दूरी $1$ इकाई है। अतः,$Q$ के निर्देशांक $(3, -1)$ हैं।
$(ii)$ दी गई आकृति से,हम देख सकते हैं कि बिंदु $L$ और $M$ एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ पर स्थित हैं। इसलिए,बिंदु $L$ और $M$ दोनों का भुज ($x$-निर्देशांक) $3$ है।
अतः,बिंदुओं $L$ और $M$ के भुज के बीच का अंतर $3 - 3 = 0$ है।

(N/A) $(i) \, (-3, 5)$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है क्योंकि $x < 0$ और $y > 0$ है।
$(ii) \, (4, -1)$ चतुर्थ $(IV)$ चतुर्थांश में स्थित है क्योंकि $x > 0$ और $y < 0$ है।
$(iii) \, (2, 0)$ $x$-अक्ष पर स्थित है क्योंकि $y$-निर्देशांक $0$ है।
$(iv) \, (2, 2)$ प्रथम $(I)$ चतुर्थांश में स्थित है क्योंकि $x > 0$ और $y > 0$ है।
$(v) \, (-3, -6)$ तृतीय $(III)$ चतुर्थांश में स्थित है क्योंकि $x < 0$ और $y < 0$ है।

(C, D, E, G) हम जानते हैं कि यदि कोई बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है,तो उसका भुज ($x$-निर्देशांक) $0$ होना चाहिए। अतः,ऐसे बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ के रूप में होते हैं।
दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर:
$A(1,1)$: $x=1 \neq 0$
$B(1,0)$: $x=1 \neq 0$
$C(0,1)$: $x=0$ ($y$-अक्ष पर स्थित है)
$D(0,0)$: $x=0$ ($y$-अक्ष पर स्थित है)
$E(0,-1)$: $x=0$ ($y$-अक्ष पर स्थित है)
$F(-1,0)$: $x=-1 \neq 0$
$G(0,5)$: $x=0$ ($y$-अक्ष पर स्थित है)
$H(-7,0)$: $x=-7 \neq 0$
$I(3,3)$: $x=3 \neq 0$
अतः,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $C(0,1), D(0,0), E(0,-1)$ और $G(0,5)$ हैं।

(N/A) बिंदुओं को आलेखित करने के लिए, हम सबसे पहले निर्देशांकों को क्रमित युग्म $(x, y)$ के रूप में पहचानते हैं:
$1$. $(1.25, -0.5)$
$2$. $(0.25, 1)$
$3$. $(1.5, 1.5)$
$4$. $(-1.75, -0.25)$
आलेखित करने के चरण:
- कार्तीय तल खींचिए जिसमें $X'OX$ और $Y'OY$ निर्देशांक अक्ष हैं।
- दोनों अक्षों पर $1 \ cm = 0.25 \ \text{इकाई}$ का पैमाना निर्धारित कीजिए।
- प्रत्येक बिंदु को $X$-अक्ष पर $x$ इकाई और $Y$-अक्ष पर $y$ इकाई चलकर ज्ञात कीजिए।
- आलेखित किए गए बिंदु नीचे दिए गए ग्राफ में दिखाए गए हैं।

(A) $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है। चूँकि $y$-अक्ष से इसकी दूरी $7$ इकाई है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $7$ है। अतः,इसके निर्देशांक $(7, 0)$ हैं।
$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है। $x$-अक्ष से इसकी दूरी $-7$ इकाई दी गई है। निर्देशांक ज्यामिति में,$x$-अक्ष से दूरी $y$-निर्देशांक को दर्शाती है। इसलिए,$y$-निर्देशांक $-7$ है। अतः,इसके निर्देशांक $(0, -7)$ हैं।

(N/A) $(i)$ वह बिंदु जो $x$ और $y$ दोनों अक्षों पर स्थित होता है,मूलबिंदु (origin) कहलाता है,जिसके निर्देशांक $(0,0)$ होते हैं।
$(ii)$ $y$-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का भुज $0$ होता है। चूँकि कोटि $-4$ दिया गया है,इसलिए बिंदु के निर्देशांक $(0,-4)$ होंगे।
$(iii)$ $x$-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु की कोटि $0$ होती है। चूँकि भुज $5$ दिया गया है,इसलिए बिंदु के निर्देशांक $(5,0)$ होंगे।

(A) ग्राफ पेपर पर बिंदुओं को आलेखित करने के लिए,इन चरणों का पालन करें:
$1$. दो लंबवत रेखाएं,$X'OX$ (x-अक्ष) और $Y'OY$ (y-अक्ष) खींचें,जो मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$2$. पैमाना चुनें: दोनों अक्षों पर $0.5 \ cm = 1 \ unit$।
$3$. प्रत्येक बिंदु को उसके निर्देशांक $(x, y)$ के अनुसार आलेखित करें:
- $A(1, 3)$ के लिए,y-अक्ष के दाईं ओर $1 \ unit$ और x-अक्ष के ऊपर $3 \ unit$ चलें।
- $B(-3, -1)$ के लिए,y-अक्ष के बाईं ओर $3 \ unit$ और x-अक्ष के नीचे $1 \ unit$ चलें।
- $C(1, -4)$ के लिए,y-अक्ष के दाईं ओर $1 \ unit$ और x-अक्ष के नीचे $4 \ unit$ चलें।
- $D(-2, 3)$ के लिए,y-अक्ष के बाईं ओर $2 \ unit$ और x-अक्ष के ऊपर $3 \ unit$ चलें।
- $E(0, -8)$ के लिए,y-अक्ष पर ही रहें और x-अक्ष के नीचे $8 \ unit$ चलें।
- $F(1, 0)$ के लिए,y-अक्ष के दाईं ओर $1 \ unit$ चलें और x-अक्ष पर ही रहें।

(N/A) माना कि आयत के तीन शीर्ष $A(3,2)$,$B(-4,2)$ और $C(-4,5)$ हैं (आकृति देखें)।
हमें चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक ज्ञात करने हैं ताकि $ABCD$ एक आयत बन सके।
चूँकि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर और अक्षों के समांतर होती हैं,इसलिए $D$ का भुज ($x$-निर्देशांक) $A$ के भुज के बराबर,यानी $3$ होना चाहिए।
$D$ की कोटि ($y$-निर्देशांक) $C$ की कोटि के बराबर,यानी $5$ होनी चाहिए।
अतः,चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(3,5)$ हैं।

(C) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(5,3)$,$B(-2,3)$ और $D(5,-4)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. बिंदुओं $AB$ और $AD$ को मिलाइए। चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,इसलिए इसकी सभी भुजाएं समान लंबाई की हैं और प्रत्येक आंतरिक कोण $90^{\circ}$ का है।
$3$. भुजा $AB$ क्षैतिज ($x$-अक्ष के समानांतर) है,जिसकी लंबाई $|5 - (-2)| = 7$ इकाई है। भुजा $AD$ ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समानांतर) है,जिसकी लंबाई $|3 - (-4)| = 7$ इकाई है।
$4$. वर्ग को पूरा करने के लिए,शीर्ष $C$ का $x$-निर्देशांक $B$ के समान (अर्थात $-2$) और $y$-निर्देशांक $D$ के समान (अर्थात $-4$) होना चाहिए।
$5$. अतः,शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(-2,-4)$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $5$ और $3$ इकाई है।
एक शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
लंबी भुजा (लंबाई $= 5$) $x$-अक्ष पर स्थित है।
चूंकि एक शीर्ष तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए आयत को ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष की ओर विस्तारित होना चाहिए।
अतः,शीर्ष इस प्रकार हैं:
$1$. मूल बिंदु: $(0,0)$
$2$. ऋणात्मक $x$-अक्ष पर $5$ इकाई की दूरी पर: $(-5,0)$
$3$. $(-5,0)$ से $3$ इकाई नीचे तीसरे चतुर्थांश में: $(-5,-3)$
$4$. मूल बिंदु से $y$-अक्ष पर $3$ इकाई नीचे: $(0,-3)$
इस प्रकार,शीर्षों के निर्देशांक $(0,0), (-5,0), (-5,-3),$ और $(0,-3)$ हैं।

(D) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $P(1, 0)$,$Q(4, 0)$ और $S(1, 3)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. एक वर्ग $PQRS$ में,भुजा $PQ$ की लंबाई $(1, 0)$ और $(4, 0)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - 1| = 3$ इकाई है।
$3$. इसी प्रकार,भुजा $PS$ की लंबाई $(1, 0)$ और $(1, 3)$ के बीच की दूरी है,जो $|3 - 0| = 3$ इकाई है।
$4$. चूंकि $PQ = PS = 3$ इकाई है और भुजाएँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए बिंदु $R$ वर्ग को पूरा करेगा।
$5$. $R$ का $x$-निर्देशांक $Q$ के $x$-निर्देशांक के बराबर यानी $4$ होना चाहिए।
$6$. $R$ का $y$-निर्देशांक $S$ के $y$-निर्देशांक के बराबर यानी $3$ होना चाहिए।
$7$. अतः,बिंदु $R$ के निर्देशांक $(4, 3)$ हैं।