Textbook - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए कि लैंप मेज पर रखा है। दो आसन्न किनारों,$DC$ और $AD$ को चुनिए।
लैंप की स्थिति से किनारों $DC$ और $AD$ पर लंब डालिए और इन लंबों की लंबाई मापिए।
मान लीजिए कि इन लंबों की लंबाई क्रमशः $30\, cm$ और $20\, cm$ है।
अब,बाईं ओर के किनारे $(AD)$ से लैंप की स्थिति $20\, cm$ है और निचले किनारे $(DC)$ से $30\, cm$ है।
इसे $(20, 30)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $20$ किनारे $AD$ से लैंप की लंबवत दूरी को दर्शाता है और $30$ किनारे $DC$ से लैंप की लंबवत दूरी को दर्शाता है।

(A) दी गई पद्धति के अनुसार,पहली संख्या उत्तर-दक्षिण दिशा में जाने वाली सड़क को दर्शाती है,और दूसरी संख्या पूर्व-पश्चिम दिशा में जाने वाली सड़क को दर्शाती है।
$(i)$ क्रॉस-स्ट्रीट $(4, 3)$ का निर्माण $4^{th}$ उत्तर-दक्षिण सड़क और $3^{rd}$ पूर्व-पश्चिम सड़क के प्रतिच्छेदन से होता है। चूंकि ऐसा केवल एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए केवल $1$ ही क्रॉस-स्ट्रीट है जिसे $(4, 3)$ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
$(ii)$ क्रॉस-स्ट्रीट $(3, 4)$ का निर्माण $3^{rd}$ उत्तर-दक्षिण सड़क और $4^{th}$ पूर्व-पश्चिम सड़क के प्रतिच्छेदन से होता है। इसी प्रकार,केवल $1$ ही क्रॉस-स्ट्रीट है जिसे $(3, 4)$ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

(N/A) $(i)$ चूंकि बिंदु $B$ की $y$-अक्ष से दूरी $4$ इकाई है,इसलिए बिंदु $B$ का $x$-निर्देशांक या भुज $4$ है। बिंदु $B$ की $x$-अक्ष से दूरी $3$ इकाई है; इसलिए,बिंदु $B$ का $y$-निर्देशांक,यानी कोटि $3$ है। अतः,बिंदु $B$ के निर्देशांक $(4, 3)$ हैं।
ऊपर $(i)$ के अनुसार:
$(ii)$ बिंदु $M$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $-3$ और $4$ हैं। अतः,बिंदु $M$ के निर्देशांक $(-3, 4)$ हैं।
$(iii)$ बिंदु $L$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $-5$ और $-4$ हैं। अतः,बिंदु $L$ के निर्देशांक $(-5, -4)$ हैं।
$(iv)$ बिंदु $S$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $3$ और $-4$ हैं। अतः,बिंदु $S$ के निर्देशांक $(3, -4)$ हैं।

(N/A) आप देख सकते हैं कि:
$(i)$ बिंदु $A$,$y$-अक्ष से $+4$ इकाई की दूरी पर है और $x$-अक्ष से $0$ दूरी पर है। इसलिए,$A$ का $x$-निर्देशांक $4$ है और $y$-निर्देशांक $0$ है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(4, 0)$ हैं।
(ii) बिंदु $B$,मूल बिंदु से $3$ इकाई की दूरी पर $y$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए,$x$-निर्देशांक $0$ है और $y$-निर्देशांक $3$ है। अतः,$B$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
(iii) बिंदु $C$,मूल बिंदु से बाईं ओर $5$ इकाई की दूरी पर $x$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए,$x$-निर्देशांक $-5$ है और $y$-निर्देशांक $0$ है। अतः,$C$ के निर्देशांक $(-5, 0)$ हैं।
(iv) बिंदु $D$,मूल बिंदु से नीचे $4$ इकाई की दूरी पर $y$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए,$x$-निर्देशांक $0$ है और $y$-निर्देशांक $-4$ है। अतः,$D$ के निर्देशांक $(0, -4)$ हैं।
$(v)$ बिंदु $E$,मूल बिंदु से $\frac{2}{3}$ इकाई की दूरी पर $x$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए,$x$-निर्देशांक $\frac{2}{3}$ है और $y$-निर्देशांक $0$ है। अतः,$E$ के निर्देशांक $(\frac{2}{3}, 0)$ हैं।

(N/A) $(i)$ क्षैतिज रेखा का नाम $x$-अक्ष है और ऊर्ध्वाधर रेखा का नाम $y$-अक्ष है।
$(ii)$ इन दो रेखाओं द्वारा बने तल के प्रत्येक भाग को चतुर्थांश (quadrant) कहा जाता है।
$(iii)$ वह बिंदु जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,उसे मूल बिंदु (origin) कहा जाता है।

(N/A) $(i)$ बिंदु $B$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $-5$ और $2$ हैं। अतः,बिंदु $B$ के निर्देशांक $(-5, 2)$ हैं।
$(ii)$ बिंदु $C$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $5$ और $-5$ हैं। अतः,बिंदु $C$ के निर्देशांक $(5, -5)$ हैं।
$(iii)$ वह बिंदु जिसका $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $-3$ और $-5$ हैं,बिंदु $E$ है।
$(iv)$ वह बिंदु जिसका $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $2$ और $-4$ हैं,बिंदु $G$ है।
$(v)$ बिंदु $D$ का $x$-निर्देशांक $6$ है। अतः,बिंदु $D$ का भुज $6$ है।
$(vi)$ बिंदु $H$ का $y$-निर्देशांक $-3$ है। अतः,बिंदु $H$ की कोटि $-3$ है।
$(vii)$ बिंदु $L$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $0$ और $5$ हैं। अतः,बिंदु $L$ के निर्देशांक $(0, 5)$ हैं।
$(viii)$ बिंदु $M$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $-3$ और $0$ हैं। अतः,बिंदु $M$ के निर्देशांक $(-3, 0)$ हैं।

(N/A) कार्तीय तल में बिंदुओं को आलेखित करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. ग्राफ पेपर पर $x$-अक्ष और $y$-अक्ष खींचिए,जो मूलबिंदु $O(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. एक उपयुक्त पैमाना चुनिए,उदाहरण के लिए,$1 \text{ cm} = 1 \text{ इकाई}$.
$3$. प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ के लिए,मूलबिंदु $O$ से शुरू करें। $x$-अक्ष पर $x$ इकाई चलें (यदि $x > 0$ है तो दाईं ओर,यदि $x < 0$ है तो बाईं ओर) और फिर $y$-अक्ष के समानांतर $y$ इकाई चलें (यदि $y > 0$ है तो ऊपर की ओर,यदि $y < 0$ है तो नीचे की ओर)।
$4$. दिए गए बिंदुओं की स्थिति इस प्रकार है:
- $(5, 0)$: $x$-अक्ष पर,मूलबिंदु से $5$ इकाई दाईं ओर।
- $(0, 5)$: $y$-अक्ष पर,मूलबिंदु से $5$ इकाई ऊपर।
- $(2, 5)$: $2$ इकाई दाईं ओर और $5$ इकाई ऊपर।
- $(5, 2)$: $5$ इकाई दाईं ओर और $2$ इकाई ऊपर।
- $(-3, 5)$: $3$ इकाई बाईं ओर और $5$ इकाई ऊपर।
- $(-3, -5)$: $3$ इकाई बाईं ओर और $5$ इकाई नीचे।
- $(5, -3)$: $5$ इकाई दाईं ओर और $3$ इकाई नीचे।
- $(6, 1)$: $6$ इकाई दाईं ओर और $1$ इकाई ऊपर।

(N/A) सारणी में दिए गए संख्याओं के युग्मों को बिंदुओं $(-3, 7)$,$(0, -3.5)$,$(-1, -3)$,$(4, 4)$ और $(2, -3)$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है।
इन बिंदुओं को आलेखित करने के लिए:
$1$. $(-3, 7)$ के लिए,मूल बिंदु से प्रारंभ करके $X$-अक्ष पर बाईं ओर $3$ मात्रक चलिए और फिर $Y$-अक्ष के समांतर ऊपर की ओर $7$ मात्रक चलिए।
$2$. $(0, -3.5)$ के लिए,मूल बिंदु से प्रारंभ करके $X$-अक्ष पर $0$ मात्रक चलिए और फिर $Y$-अक्ष पर नीचे की ओर $3.5$ मात्रक चलिए।
$3$. $(-1, -3)$ के लिए,मूल बिंदु से प्रारंभ करके $X$-अक्ष पर बाईं ओर $1$ मात्रक चलिए और फिर $Y$-अक्ष के समांतर नीचे की ओर $3$ मात्रक चलिए।
$4$. $(4, 4)$ के लिए,मूल बिंदु से प्रारंभ करके $X$-अक्ष पर दाईं ओर $4$ मात्रक चलिए और फिर $Y$-अक्ष के समांतर ऊपर की ओर $4$ मात्रक चलिए।
$5$. $(2, -3)$ के लिए,मूल बिंदु से प्रारंभ करके $X$-अक्ष पर दाईं ओर $2$ मात्रक चलिए और फिर $Y$-अक्ष के समांतर नीचे की ओर $3$ मात्रक चलिए।
इन बिंदुओं की स्थिति आकृति में दर्शाई गई है।

(N/A) बिंदु $(-2, 4)$ के लिए,भुज ($x$-निर्देशांक) ऋणात्मक है और कोटि ($y$-निर्देशांक) धनात्मक है। चूँकि $(-, +)$ द्वितीय चतुर्थांश में आता है,इसलिए $(-2, 4)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
बिंदु $(3, -1)$ के लिए,भुज धनात्मक है और कोटि ऋणात्मक है। चूँकि $(+, -)$ चतुर्थ चतुर्थांश में आता है,इसलिए $(3, -1)$ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
बिंदु $(-1, 0)$ के लिए,कोटि $0$ है। जिस बिंदु की कोटि $0$ होती है,वह $x$-अक्ष पर स्थित होता है। चूँकि भुज ऋणात्मक है,इसलिए $(-1, 0)$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है।
बिंदु $(1, 2)$ के लिए,भुज और कोटि दोनों धनात्मक हैं। चूँकि $(+, +)$ प्रथम चतुर्थांश में आता है,इसलिए $(1, 2)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
बिंदु $(-3, -5)$ के लिए,भुज और कोटि दोनों ऋणात्मक हैं। चूँकि $(-, -)$ तृतीय चतुर्थांश में आता है,इसलिए $(-3, -5)$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
इन बिंदुओं को कार्तीय तल पर चित्र में दिखाए अनुसार आलेखित किया गया है: $A(-2, 4)$,$B(3, -1)$,$C(-1, 0)$,$D(1, 2)$ और $E(-3, -5)$।

(N/A) दिए गए बिंदु $A(-2, 8), B(-1, 7), C(0, -1.25), D(1, 3)$ और $E(3, -1)$ हैं। इन बिंदुओं को आलेखित करने के लिए:
$(i)$ हम $X'OX$ और $YOY'$ को अक्षों के रूप में खींचते हैं।
$(ii)$ हम अक्षों पर दूरी के उपयुक्त मात्रक चुनते हैं।
$(iii)$ $A(-2, 8)$ को आलेखित करने के लिए,हम मूल बिंदु $O$ से शुरू करते हैं,$x$-अक्ष पर बाईं ओर $2$ मात्रक और $y$-अक्ष पर ऊपर की ओर $8$ मात्रक चलते हैं।
$(iv)$ $B(-1, 7)$ को आलेखित करने के लिए,हम मूल बिंदु $O$ से शुरू करते हैं,$x$-अक्ष पर बाईं ओर $1$ मात्रक और $y$-अक्ष पर ऊपर की ओर $7$ मात्रक चलते हैं।
$(v)$ $C(0, -1.25)$ को आलेखित करने के लिए,हम मूल बिंदु $O$ से शुरू करते हैं,$x$-अक्ष पर $0$ मात्रक और $y$-अक्ष पर नीचे की ओर $1.25$ मात्रक चलते हैं।
$(vi)$ $D(1, 3)$ को आलेखित करने के लिए,हम मूल बिंदु $O$ से शुरू करते हैं,$x$-अक्ष पर दाईं ओर $1$ मात्रक और $y$-अक्ष पर ऊपर की ओर $3$ मात्रक चलते हैं।
$(vii)$ $E(3, -1)$ को आलेखित करने के लिए,हम मूल बिंदु $O$ से शुरू करते हैं,$x$-अक्ष पर दाईं ओर $3$ मात्रक और $y$-अक्ष पर नीचे की ओर $1$ मात्रक चलते हैं।