Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(A) ધારો કે કોઈ બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,યામક્ષ (abscissa) અને કોટિ (ordinate) સમાન છે,તેથી $x = y$.
જો $x = y > 0$ હોય,તો બિંદુ $(x, x)$ એ $I$ ચરણમાં આવેલું છે.
જો $x = y < 0$ હોય,તો બિંદુ $(x, x)$ એ $III$ ચરણમાં આવેલું છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ને બાદ કરતાં,આ બિંદુઓ $I$ અને $III$ ચરણમાં આવેલા છે.

(B) આલેખપત્ર (Cartesian plane) માં ચરણો માટેની ચિહ્ન પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:
- પ્રથમ ચરણ: $(+, +)$
- દ્વિતીય ચરણ: $(-, +)$
- તૃતીય ચરણ: $(-, -)$
- ચતુર્થ ચરણ: $(+, -)$
બિંદુ $(-3, 5)$ માટે,યામ $x = -3$ (ઋણ) છે અને યામ $y = 5$ (ધન) છે.
આમ,બિંદુનો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન હોવાથી,તે દ્વિતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(C) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,યામ પદ્ધતિને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x$ અને $y$ બંને યામ ધન $(+,+)$ હોય છે.
બીજા ચરણમાં,$x$-યામ (abscissa) ઋણ અને $y$-યામ (ordinate) ધન $(-,+)$ હોય છે.
ત્રીજા ચરણમાં,બંને યામ ઋણ $(-,-)$ હોય છે.
ચોથા ચરણમાં,$x$-યામ ધન અને $y$-યામ ઋણ $(+,-)$ હોય છે.
તેથી,બીજા ચરણમાં આવેલા બિંદુ માટે ચિહ્નો $(-,+)$ હોય છે.

(D) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
જો $x$-યામ $0$ હોય,તો તે બિંદુ $y$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે.
જો $y$-યામ $0$ હોય,તો તે બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે.
બિંદુ $(0, -7)$ માટે,$x$-યામ $0$ છે,તેથી તે $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(A) કાર્તેઝીય યામ પદ્ધતિમાં,જો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નો $y$-યામ $0$ હોય,તો તે બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(-10, 0)$ છે,જેમાં $y$-યામ $0$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ પર છે.
વળી,$x$-યામ $-10$ છે (જે $0$ કરતા નાનો છે),તેથી આ બિંદુ $x$-અક્ષની ઋણ દિશા પર આવેલું છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુને $(x, 0)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
બિંદુ $(x, y)$ ના પ્રથમ યામને 'અબ્સિસા' (abscissa) અથવા $x$-યામ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,અબ્સિસા કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુને $(x, 0)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રથમ યામ $x$ ને 'અબ્સિસા' (abscissa) કહેવામાં આવે છે અને બીજા યામ $0$ ને 'યામ' (ordinate) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓનો યામ $0$ હોય છે.

(D) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,બે અક્ષો ($x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ) એક ચોક્કસ બિંદુએ છેદે છે. આ છેદબિંદુને ઉગમબિંદુ (origin) કહેવામાં આવે છે,અને તેના યામ $(0, 0)$ છે.

(A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,યામ પદ્ધતિને $x$ અને $y$ યામના ચિહ્નોના આધારે ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$1$. $I$ ચરણ: $x$ અને $y$ બંને ધન $(+, +)$ હોય છે.
$2$. $II$ ચરણ: $x$ ઋણ અને $y$ ધન $(-, +)$ હોય છે.
$3$. $III$ ચરણ: $x$ અને $y$ બંને ઋણ $(-, -)$ હોય છે.
$4$. $IV$ ચરણ: $x$ ધન અને $y$ ઋણ $(+, -)$ હોય છે.
તેથી,જે બિંદુના બંને યામ ઋણ હોય તે $III$ ચરણમાં આવેલું હશે.

(B) આલેખપત્ર (Cartesian plane) પર,જો $x > 0$ અને $y < 0$ હોય તો બિંદુ $(x, y)$ એ $IV$ ચરણમાં આવેલું હોય છે. જો $x < 0$ અને $y < 0$ હોય તો બિંદુ $(x, y)$ એ $III$ ચરણમાં આવેલું હોય છે.
આપેલા બિંદુઓ માટે:
$1$. $(1, -1)$: $x > 0, y < 0$,તેથી તે $IV$ ચરણમાં છે.
$2$. $(2, -2)$: $x > 0, y < 0$,તેથી તે $IV$ ચરણમાં છે.
$3$. $(4, -5)$: $x > 0, y < 0$,તેથી તે $IV$ ચરણમાં છે.
$4$. $(-3, -4)$: $x < 0, y < 0$,તેથી તે $III$ ચરણમાં છે.
આમ,બિંદુઓ અલગ-અલગ ચરણો ($IV$ અને $III$) માં આવેલા હોવાથી,તેઓ એક જ ચરણમાં આવેલા નથી.

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,એક બિંદુને $(x, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો કોઈ બિંદુનો $y$-યામ (કોટિ) $0$ હોય,તો તે બિંદુ $(x, 0)$ સ્વરૂપનું હોય છે.
જે બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય તે હંમેશા $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે,કારણ કે તેનું ઉગમબિંદુથી કોઈ ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર હોતું નથી.

(D) યામ સમતલમાં,ચરણો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$I$ ચરણ: $(+, +)$
$II$ ચરણ: $(-, +)$
$III$ ચરણ: $(-, -)$
$IV$ ચરણ: $(+, -)$
બિંદુ $(-5, 2)$ માટે,$x$-યામ ઋણ છે અને $y$-યામ ધન છે,તેથી તે $II$ ચરણમાં આવેલું છે.
બિંદુ $(2, -5)$ માટે,$x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ છે,તેથી તે $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.
આમ,બિંદુઓ $(-5, 2)$ અને $(2, -5)$ અનુક્રમે $II$ અને $IV$ ચરણમાં આવેલા છે.

(A) બિંદુ $P(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર $|y|$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે લંબ અંતર $5$ એકમ છે,તેથી $|y| = 5$,જેનો અર્થ છે કે $y = 5$ અથવા $y = -5$.
બિંદુ $P$ માંથી $x$-અક્ષ પરના લંબનો લંબપાદ $(x, 0)$ છે.
લંબપાદ $x$-અક્ષની ઋણ દિશામાં હોવાથી,$x$-યામ ઋણ હોવો જોઈએ (એટલે કે $x < 0$).
જોકે,પ્રશ્નમાં બિંદુ $P$ ના $y$-યામના શક્ય મૂલ્યો પૂછવામાં આવ્યા છે.
તેથી,$y$ ની કિંમત $5$ અથવા $-5$ હોઈ શકે છે,એટલે કે બિંદુ $P$ એ $(x, 5)$ અથવા $(x, -5)$ હોઈ શકે છે જ્યાં $x < 0$.

(B) શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0), A(3,0), B(3,4)$ અને $C(0,4)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$OA = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ એકમ.
$AB = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2} = 4$ એકમ.
$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3$ એકમ.
$CO = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-4)^2} = 4$ એકમ.
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($OA = BC = 3$ એકમ અને $AB = CO = 4$ એકમ) અને પાસપાસેની બાજુઓ એકબીજાને લંબ છે (કારણ કે તે અક્ષો પર આવેલી છે),તેથી આકૃતિ $OABC$ એક લંબચોરસ છે.

(C) આલેખની પદ્ધતિમાં,ચોથું ચરણ એવા બિંદુઓ $(x, y)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યાં $x$-યામ ધન $(x > 0)$ હોય અને $y$-યામ ઋણ $(y < 0)$ હોય.
ચાલો આપેલા બિંદુઓની ચકાસણી કરીએ:
$P(-1, 1)$: $x$ ઋણ છે,$y$ ધન છે (બીજું ચરણ).
$Q(3, -4)$: $x$ ધન છે,$y$ ઋણ છે (ચોથું ચરણ).
$R(1, -1)$: $x$ ધન છે,$y$ ઋણ છે (ચોથું ચરણ).
$S(-2, -3)$: $x$ ઋણ છે,$y$ ઋણ છે (ત્રીજું ચરણ).
$T(-4, 4)$: $x$ ઋણ છે,$y$ ધન છે (બીજું ચરણ).
તેથી,ચોથા ચરણમાં આવેલા બિંદુઓ $Q$ અને $R$ છે.

(A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ માટે તેનો $x$-યામ એ તેનો કોટિ (abscissa) કહેવાય છે.
બિંદુ $P(-2, 3)$ માટે,કોટિ $-2$ છે.
બિંદુ $Q(-3, 5)$ માટે,કોટિ $-3$ છે.
તેથી,($P$ નો કોટિ) $-$ ($Q$ નો કોટિ) $= -2 - (-3)$.
$= -2 + 3 = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય,તો તેનો $y$-યામ (કોટિ) $0$ હોય છે.
આપેલા બિંદુઓ $P(5,1), Q(8,0), R(0,4), S(0,5)$ અને $O(0,0)$ છે.
દરેક બિંદુના $y$-યામ તપાસતા:
- $P(5,1)$ માટે,$y = 1 \neq 0$.
- $Q(8,0)$ માટે,$y = 0$.
- $R(0,4)$ માટે,$y = 4 \neq 0$.
- $S(0,5)$ માટે,$y = 5 \neq 0$.
- $O(0,0)$ માટે,$y = 0$.
આમ,બિંદુઓ $Q(8,0)$ અને $O(0,0)$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલા છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,એબ્સિસિસા એ બિંદુનો $x$-યામ છે. $x$-યામ $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ ધન હોય છે. આ વિસ્તાર $I$ ચરણ (જ્યાં $x$ અને $y$ બંને ધન હોય છે) અને $IV$ ચરણ (જ્યાં $x$ ધન અને $y$ ઋણ હોય છે) ને અનુરૂપ છે. તેથી,એબ્સિસિસા $I$ અને $IV$ ચરણમાં ધન હોય છે.

(C) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,વિવિધ ચરણોમાં યામ $(x, y)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$I$ ચરણ: $(+, +)$ (બંને ચિહ્નો સમાન છે)
$II$ ચરણ: $(-, +)$ (ચિહ્નો અલગ છે)
$III$ ચરણ: $(-, -)$ (બંને ચિહ્નો સમાન છે)
$IV$ ચરણ: $(+, -)$ (ચિહ્નો અલગ છે)
તેથી,જે બિંદુઓના યામ ($x$-યામ) અને કોટિ ($y$-યામ) ના ચિહ્નો અલગ-અલગ હોય તે માત્ર $II$ અને $IV$ ચરણમાં આવેલા હોય છે.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે કાર્તેઝિયન સમતલ પર તેનું સ્થાન જોઈએ.
$1$. $x$-યામ એ $y$-અક્ષથી બિંદુનું લંબ અંતર છે. આકૃતિમાં જોતા,બિંદુ $P$ એ $y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ $2$ એકમ અંતરે છે,તેથી $x$-યામ $-2$ છે.
$2$. $y$-યામ એ $x$-અક્ષથી બિંદુનું લંબ અંતર છે. આકૃતિમાં જોતા,બિંદુ $P$ એ $x$-અક્ષની ઉપર $4$ એકમ અંતરે છે,તેથી $y$-યામ $4$ છે.
$3$. તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $(-2, 4)$ છે.

(A) $(-5, 3)$ યામ ધરાવતું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે એવું બિંદુ શોધીએ છીએ જે $x$-અક્ષ પર $-5$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $3$ એકમ અંતરે હોય.
આલેખ પર જોતા:
$1$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી શરૂઆત કરો.
$2$. $x$-અક્ષ પર ડાબી બાજુ $5$ એકમ ખસો જેથી $x = -5$ મળે.
$3$. ત્યાંથી,$y$-અક્ષ પર ઉપરની તરફ $3$ એકમ ખસો જેથી $y = 3$ મળે.
આ યામ પર આવેલું બિંદુ $L$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ (abscissa) $0$ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે બિંદુનો $y$-યામ (ordinate) $4$ છે.
તેથી,તે બિંદુના યામ $(0,4)$ થશે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો $y$-યામ (કોટિ) હંમેશા $0$ હોય છે.
ચાલો આપેલા બિંદુઓની ચકાસણી કરીએ:
$P(0,3)$: $y$-યામ $3 \neq 0$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ પર નથી.
$Q(1,0)$: $y$-યામ $0$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ પર છે.
$R(0,-1)$: $y$-યામ $-1 \neq 0$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ પર નથી.
$S(-5,0)$: $y$-યામ $0$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ પર છે.
$T(1,2)$: $y$-યામ $2 \neq 0$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ પર નથી.
આમ,$x$-અક્ષ પર ન આવેલા બિંદુઓ $P, R$ અને $T$ છે.

(D) $y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ (abscissa) હંમેશા $0$ હોય છે.
$y$-અક્ષની ઋણ દિશા એ $0$ થી નાની કિંમતો દર્શાવે છે.
આ બિંદુ $y$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $5$ એકમના અંતરે હોવાથી,તેનો $y$-યામ (ordinate) $-5$ થશે.
તેથી,બિંદુના યામ $(0, -5)$ છે.

(A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામ (ભુજ) ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
બિંદુ $P(3, 4)$ માટે,$x$-યામ $3$ છે.
તેથી,$y$-અક્ષથી લંબ અંતર $|3| = 3$ એકમ થાય.

(A) $(i)$ સાચું. $y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ $0$ હોય છે. આપેલ બિંદુ $(0, -2)$ હોવાથી,તે $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.
$(ii)$ ખોટું. કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y$-યામ (કોટિ) ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે. બિંદુ $(4, 3)$ માટે,તેનો $y$-યામ $3$ છે. તેથી,$x$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર $3$ છે,$4$ નથી.

(N/A) $(i)$ બિંદુ $(3,0)$ નો x-યામ $3$ છે અને y-યામ $0$ છે. જો કોઈ બિંદુનો y-યામ શૂન્ય હોય,તો તે બિંદુ x-અક્ષ પર આવેલું હોય છે,કોઈ ચરણમાં નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.
$(ii)$ બિંદુ $(1,-1)$ નો x-યામ ધન અને y-યામ ઋણ હોવાથી,તે $IV$ ચરણમાં આવેલું છે. બિંદુ $(-1,1)$ નો x-યામ ઋણ અને y-યામ ધન હોવાથી,તે $II$ ચરણમાં આવેલું છે.
આમ,તેઓ અલગ-અલગ ચરણમાં આવેલા હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) $(i)$ ખોટું. આપણે જાણીએ છીએ કે બિંદુના યામમાં,અક્ષાંશ ($x$-યામ) પહેલા લખવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ યામ ($y$-યામ) લખવામાં આવે છે. તેથી,બિંદુના યામ $(1, -\frac{1}{2})$ થાય,$(-\frac{1}{2}, 1)$ નહીં.
$(ii)$ ખોટું. $y$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો અક્ષાંશ $0$ હોય છે અને તે $(0, y)$ સ્વરૂપમાં હોય છે. બિંદુ $x$-અક્ષથી $2$ એકમ અંતરે હોવાથી,તેના યામ $(0, 2)$ અથવા $(0, -2)$ હોવા જોઈએ,$(2, 0)$ નહીં.

(TRUE) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,$II$ ચરણ એવા બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યાં $x$-યામ (ભુજ) ઋણ હોય અને $y$-યામ (કોટિ) ધન હોય.
બિંદુ $(-1, 7)$ માટે,$x$-યામ $-1$ છે (જે $< 0$ છે) અને $y$-યામ $7$ છે (જે $> 0$ છે).
ચિહ્નો $(-, +)$ હોવાથી,બિંદુ $(-1, 7)$ એ $II$ ચરણમાં આવેલું છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(N/A) $1$. બિંદુ $P(-6, 2)$ એ બીજા ચરણમાં આવેલું છે જ્યાં $x$-યામ $-6$ છે અને $y$-યામ $2$ છે.
$2$. $P$ માંથી $x$-અક્ષ પર લંબ $PM$ દોરવામાં આવે છે. $M$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ છે. $x$-યામ $P$ જેટલો જ રહે છે,જે $-6$ છે. તેથી,$M$ ના યામ $(-6, 0)$ છે.
$3$. $P$ માંથી $y$-અક્ષ પર લંબ $PN$ દોરવામાં આવે છે. $N$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ છે. $y$-યામ $P$ જેટલો જ રહે છે,જે $2$ છે. તેથી,$N$ ના યામ $(0, 2)$ છે.

(N/A) $(i)$ બિંદુના યામ શોધવા માટે,આપણે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાન જોઈએ છીએ.
- બિંદુ $B$ માટે,$x$-યામ $-5$ છે અને $y$-યામ $2$ છે. તેથી,$B = (-5, 2)$.
- બિંદુ $C$ માટે,$x$-યામ $-2$ છે અને $y$-યામ $-3$ છે. તેથી,$C = (-2, -3)$.
- બિંદુ $E$ માટે,$x$-યામ $3$ છે અને $y$-યામ $-1$ છે. તેથી,$E = (3, -1)$.
$(ii)$ યામ $(0, -2)$ નો અર્થ છે કે $x = 0$ અને $y = -2$. આલેખ જોતા,આ બિંદુ $Y$-અક્ષ પર $-2$ પર આવેલું છે,જે બિંદુ $F$ છે.
$(iii)$ $x$-યામ (abscissa) એ બિંદુનો $x$-નિર્દેશાંક છે. બિંદુ $H$ ના યામ $(1, 4)$ છે. તેથી,તેનો $x$-યામ $1$ છે.
$(iv)$ $y$-યામ (ordinate) એ બિંદુનો $y$-નિર્દેશાંક છે. બિંદુ $D$ ના યામ $(4, 0)$ છે. તેથી,તેનો $y$-યામ $0$ છે.

(N/A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $Y$-અક્ષથી તેનું અંતર (x-યામ) અને $X$-અક્ષથી તેનું અંતર (y-યામ) નક્કી કરીએ છીએ.
- બિંદુ $P$ માટે: x-યામ $1$ છે અને y-યામ $1$ છે. તેથી,$P = (1, 1)$.
- બિંદુ $Q$ માટે: x-યામ $-3$ છે અને y-યામ $0$ છે (કારણ કે તે $X$-અક્ષ પર આવેલું છે). તેથી,$Q = (-3, 0)$.
- બિંદુ $R$ માટે: x-યામ $-2$ છે અને y-યામ $-3$ છે. તેથી,$R = (-2, -3)$.
- બિંદુ $S$ માટે: x-યામ $2$ છે અને y-યામ $1$ છે. તેથી,$S = (2, 1)$.
- બિંદુ $T$ માટે: x-યામ $4$ છે અને y-યામ $-2$ છે. તેથી,$T = (4, -2)$.
- બિંદુ $O$ માટે: આ ઉગમબિંદુ છે,જ્યાં બંને અક્ષો એકબીજાને છેદે છે. તેથી,$O = (0, 0)$.

(N/A) $1$. આલેખ પેપર પર યામ અક્ષો $X'OX$ અને $Y'OY$ દોરો.
$2$. બિંદુઓ $P(-3, 2)$,$Q(-7, -3)$,$R(6, -3)$,અને $S(2, 2)$ ને તેમના અનુરૂપ $x$ અને $y$ યામો શોધીને આલેખ પર દર્શાવો.
$3$. બિંદુઓને $P$ થી $Q$,$Q$ થી $R$,$R$ થી $S$,અને $S$ થી $P$ ના ક્રમમાં જોડો.
$4$. બનતી આકૃતિનું અવલોકન કરો. બાજુ $PS$ એ બાજુ $QR$ ને સમાંતર છે કારણ કે બંને આડી રેખાઓ પર આવેલા છે (અનુક્રમે $y=2$ અને $y=-3$),પરંતુ તેમની લંબાઈ અલગ છે ($PS = 5$ એકમ,$QR = 13$ એકમ).
$5$. કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર છે અને બીજી જોડ સમાંતર નથી,તેથી મળતી આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ (Trapezium) છે.

(N/A) આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $(x, y)$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. યામ અક્ષો $X'OX$ અને $Y'OY$ દોરો.
$2$. દરેક બિંદુ $(x, y)$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી શરૂઆત કરો.
$3$. $X$-અક્ષ પર $x$ એકમ અંતર કાપો (જો $x > 0$ હોય તો જમણી બાજુ,જો $x < 0$ હોય તો ડાબી બાજુ).
$4$. તે સ્થાનથી,$Y$-અક્ષને સમાંતર $y$ એકમ અંતર કાપો (જો $y > 0$ હોય તો ઉપરની તરફ,જો $y < 0$ હોય તો નીચેની તરફ).
બિંદુઓ નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
- $(2, 4)$: $2$ એકમ જમણી તરફ અને $4$ એકમ ઉપર.
- $(4, 2)$: $4$ એકમ જમણી તરફ અને $2$ એકમ ઉપર.
- $(-3, 0)$: $3$ એકમ ડાબી તરફ અને $0$ એકમ ઉપર/નીચે ($X$-અક્ષ પર આવેલું છે).
- $(-2, 5)$: $2$ એકમ ડાબી તરફ અને $5$ એકમ ઉપર.
- $(3, -3)$: $3$ એકમ જમણી તરફ અને $3$ એકમ નીચે.
- $(0, 0)$: ઉગમબિંદુ.

(N/A) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(1,3)$,$B(-1,-1)$,અને $C(-2,-3)$ નું આલેખન કરો.
$2$. અવલોકન કરો કે ત્રણેય બિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
$3$. બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોવાથી,તેઓ સમરેખ છે.

(N/A) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(2, -3)$,અને $C(-1, -2)$ ને આલેખિત કરો.
$2$. આલેખ પર આ બિંદુઓના સ્થાનનું અવલોકન કરો.
$3$. જો બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય,તો તેમને સમરેખ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.
$4$. આ બિંદુઓને જોડતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તેઓ એક સીધી રેખા બનાવતા નથી.
$5$. તેથી,આપેલા બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(N/A) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(0,0)$,$B(2,2)$,અને $C(5,5)$ ને આલેખો.
$2$. અવલોકન કરો કે ત્રણેય બિંદુઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
$3$. બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોવાથી,તેઓ સમરેખ છે.

(N/A) $(i)$ બિંદુ $(-3, 5)$ માં,ભુજ ($x$-યામ) $-3$ (ઋણ) છે અને કોટિ ($y$-યામ) $5$ (ધન) છે. જે બિંદુનો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન હોય,તે દ્વિતીય ચરણમાં આવે છે.
$(ii)$ બિંદુ $(-5, -3)$ માં,ભુજ ($x$-યામ) $-5$ (ઋણ) છે અને કોટિ ($y$-યામ) $-3$ (ઋણ) છે. જે બિંદુના $x$-યામ અને $y$-યામ બંને ઋણ હોય,તે તૃતીય ચરણમાં આવે છે.

(A) $(i)$ બિંદુ $(-5, 3)$ માટે,અબ્સિસા ($x$-યામ) $-5$ (ઋણ) છે અને ઓર્ડિનેટ ($y$-યામ) $3$ (ધન) છે. જે બિંદુનો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન હોય તે દ્વિતીય ચરણમાં આવે છે.
$(ii)$ બિંદુ $(3, 5)$ માટે,અબ્સિસા ($x$-યામ) $3$ (ધન) છે અને ઓર્ડિનેટ ($y$-યામ) $5$ (ધન) છે. જે બિંદુના $x$-યામ અને $y$-યામ બંને ધન હોય તે પ્રથમ ચરણમાં આવે છે.

(N/A) $(i)$ સ્પષ્ટ છે કે,બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $3$ એકમ છે અને $x$-અક્ષથી અંતર $2$ એકમ છે. $P$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું હોવાથી,તેના યામ $(3, 2)$ છે.
બિંદુ $R$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે,અને તેનું $y$-અક્ષથી અંતર $3$ એકમ અને $x$-અક્ષથી અંતર $0$ એકમ છે. તેથી,તેના યામ $(3, 0)$ છે.
સ્પષ્ટ છે કે,બિંદુ $Q$ ચોથા ચરણમાં આવેલું છે. $Q$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $3$ એકમ છે અને $x$-અક્ષથી અંતર $1$ એકમ છે. તેથી,$Q$ ના યામ $(3, -1)$ છે.
$(ii)$ આપેલી આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બિંદુઓ $L$ અને $M$ એક જ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ પર આવેલા છે. તેથી,બિંદુ $L$ અને $M$ બંનેનો એબ્સિસા ($x$-યામ) $3$ છે.
આમ,બિંદુઓ $L$ અને $M$ ના એબ્સિસા વચ્ચેનો તફાવત $3 - 3 = 0$ છે.

(N/A) $(i) \, (-3, 5)$ એ $II$ ચરણમાં આવેલું છે કારણ કે $x < 0$ અને $y > 0$ છે.
$(ii) \, (4, -1)$ એ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે કારણ કે $x > 0$ અને $y < 0$ છે.
$(iii) \, (2, 0)$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે કારણ કે $y$-યામ $0$ છે.
$(iv) \, (2, 2)$ એ $I$ ચરણમાં આવેલું છે કારણ કે $x > 0$ અને $y > 0$ છે.
$(v) \, (-3, -6)$ એ $III$ ચરણમાં આવેલું છે કારણ કે $x < 0$ અને $y < 0$ છે.

(C, D, E, G) આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ બિંદુ $y$-અક્ષ પર આવેલું હોય,તો તેનો $x$-યામ (abscissa) $0$ હોવો જોઈએ. તેથી,આવા બિંદુના યામ $(0, y)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલા બિંદુઓની ચકાસણી કરતા:
$A(1,1)$: $x=1 \neq 0$
$B(1,0)$: $x=1 \neq 0$
$C(0,1)$: $x=0$ ($y$-અક્ષ પર છે)
$D(0,0)$: $x=0$ ($y$-અક્ષ પર છે)
$E(0,-1)$: $x=0$ ($y$-અક્ષ પર છે)
$F(-1,0)$: $x=-1 \neq 0$
$G(0,5)$: $x=0$ ($y$-અક્ષ પર છે)
$H(-7,0)$: $x=-7 \neq 0$
$I(3,3)$: $x=3 \neq 0$
આમ,$y$-અક્ષ પર આવેલા બિંદુઓ $C(0,1), D(0,0), E(0,-1)$ અને $G(0,5)$ છે.

(N/A) બિંદુઓને આલેખવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ યામને ક્રમયુક્ત જોડી $(x, y)$ તરીકે ઓળખીએ છીએ:
$1$. $(1.25, -0.5)$
$2$. $(0.25, 1)$
$3$. $(1.5, 1.5)$
$4$. $(-1.75, -0.25)$
આલેખવાની રીત:
- કાર્તેઝિયન સમતલ દોરો જેમાં $X'OX$ અને $Y'OY$ યામ અક્ષો છે.
- બંને અક્ષો પર $1 \ cm = 0.25 \ \text{એકમ}$ નું પ્રમાણમાપ નક્કી કરો.
- દરેક બિંદુને $X$-અક્ષ પર $x$ એકમ અને $Y$-અક્ષ પર $y$ એકમ ખસીને શોધો.
- આલેખેલા બિંદુઓ નીચે મુજબ છે.

(A) $x$-અક્ષ પરના બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય છે. $y$-અક્ષથી તેનું અંતર $7$ એકમ હોવાથી,તેનો $x$-યામ $7$ છે. તેથી,તેના યામ $(7, 0)$ છે.
$y$-અક્ષ પરના બિંદુનો $x$-યામ $0$ હોય છે. $x$-અક્ષથી તેનું અંતર $-7$ એકમ આપેલું છે. યામ ભૂમિતિમાં,$x$-અક્ષથી અંતર એ $y$-યામ દર્શાવે છે. તેથી,$y$-યામ $-7$ છે. આમ,તેના યામ $(0, -7)$ છે.

(N/A) $(i)$ જે બિંદુ $x$ અને $y$ બંને અક્ષ પર આવેલું હોય તે ઉગમબિંદુ છે,જેના યામ $(0,0)$ છે.
$(ii)$ $y$-અક્ષ પર આવેલા બિંદુનો ભુજ (abscissa) $0$ હોય છે. અહીં કોટિ $-4$ આપેલો હોવાથી,બિંદુના યામ $(0,-4)$ થશે.
$(iii)$ $x$-અક્ષ પર આવેલા બિંદુનો કોટિ (ordinate) $0$ હોય છે. અહીં ભુજ $5$ આપેલો હોવાથી,બિંદુના યામ $(5,0)$ થશે.

(A) આલેખપત્ર પર બિંદુઓ દર્શાવવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ,$X'OX$ (x-અક્ષ) અને $Y'OY$ (y-અક્ષ) દોરો,જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર છેદે છે.
$2$. પ્રમાણ માપ પસંદ કરો: બંને અક્ષો પર $0.5 \ cm = 1 \ unit$.
$3$. દરેક બિંદુને તેના યામ $(x, y)$ મુજબ દર્શાવો:
- $A(1, 3)$ માટે,y-અક્ષની જમણી બાજુ $1 \ unit$ અને x-અક્ષની ઉપર $3 \ unit$ ખસો.
- $B(-3, -1)$ માટે,y-અક્ષની ડાબી બાજુ $3 \ unit$ અને x-અક્ષની નીચે $1 \ unit$ ખસો.
- $C(1, -4)$ માટે,y-અક્ષની જમણી બાજુ $1 \ unit$ અને x-અક્ષની નીચે $4 \ unit$ ખસો.
- $D(-2, 3)$ માટે,y-અક્ષની ડાબી બાજુ $2 \ unit$ અને x-અક્ષની ઉપર $3 \ unit$ ખસો.
- $E(0, -8)$ માટે,y-અક્ષ પર જ રહો અને x-અક્ષની નીચે $8 \ unit$ ખસો.
- $F(1, 0)$ માટે,y-અક્ષની જમણી બાજુ $1 \ unit$ ખસો અને x-અક્ષ પર જ રહો.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસના ત્રણ શિરોબિંદુઓ $A(3,2)$,$B(-4,2)$ અને $C(-4,5)$ છે (આકૃતિ જુઓ).
આપણે ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ શોધવાના છે જેથી $ABCD$ એક લંબચોરસ બને.
લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,$D$ નો $x$-યામ એ $A$ ના $x$-યામ જેટલો એટલે કે $3$ હોવો જોઈએ.
તે જ રીતે,$D$ નો $y$-યામ એ $C$ ના $y$-યામ જેટલો એટલે કે $5$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(3,5)$ છે.

(C) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(5,3)$,$B(-2,3)$ અને $D(5,-4)$ ને આલેખો.
$2$. બિંદુઓ $AB$ અને $AD$ ને જોડો. $ABCD$ એક ચોરસ હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે અને દરેક અંતઃકોણ $90^{\circ}$ નો છે.
$3$. બાજુ $AB$ સમક્ષિતિજ ($x$-અક્ષને સમાંતર) છે,જેની લંબાઈ $|5 - (-2)| = 7$ એકમ છે. બાજુ $AD$ શિરોલંબ ($y$-અક્ષને સમાંતર) છે,જેની લંબાઈ $|3 - (-4)| = 7$ એકમ છે.
$4$. ચોરસ પૂર્ણ કરવા માટે,શિરોબિંદુ $C$ નો $x$-યામ $B$ જેવો (એટલે કે $-2$) અને $y$-યામ $D$ જેવો (એટલે કે $-4$) હોવો જોઈએ.
$5$. તેથી,શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(-2,-4)$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $5$ અને $3$ એકમ છે.
એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
લાંબી બાજુ (લંબાઈ $= 5$) $x$-અક્ષ પર આવેલી છે.
જેহেতু એક શિરોબિંદુ ત્રીજા ચરણમાં આવેલું છે,તેથી લંબચોરસ ઋણ $x$-અક્ષ અને ઋણ $y$-અક્ષ તરફ વિસ્તરેલો હોવો જોઈએ.
તેથી,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉગમબિંદુ: $(0,0)$
$2$. ઋણ $x$-અક્ષ પર $5$ એકમ અંતરે: $(-5,0)$
$3$. $(-5,0)$ થી $3$ એકમ નીચે ત્રીજા ચરણમાં: $(-5,-3)$
$4$. ઉગમબિંદુથી $y$-અક્ષ પર $3$ એકમ નીચે: $(0,-3)$
આમ,શિરોબિંદુઓના યામ $(0,0), (-5,0), (-5,-3),$ અને $(0,-3)$ છે.

(D) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $P(1, 0)$,$Q(4, 0)$ અને $S(1, 3)$ ને દર્શાવો.
$2$. ચોરસ $PQRS$ માં,બાજુ $PQ$ ની લંબાઈ $(1, 0)$ અને $(4, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4 - 1| = 3$ એકમ છે.
$3$. તેવી જ રીતે,બાજુ $PS$ ની લંબાઈ $(1, 0)$ અને $(1, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|3 - 0| = 3$ એકમ છે.
$4$. કારણ કે $PQ = PS = 3$ એકમ છે અને બાજુઓ પરસ્પર લંબ છે,તેથી બિંદુ $R$ ચોરસ પૂર્ણ કરશે.
$5$. $R$ નો $x$-યામ એ $Q$ ના $x$-યામ જેટલો એટલે કે $4$ હોવો જોઈએ.
$6$. $R$ નો $y$-યામ એ $S$ ના $y$-યામ જેટલો એટલે કે $3$ હોવો જોઈએ.
$7$. તેથી,બિંદુ $R$ ના યામ $(4, 3)$ છે.