Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ किसी बिंदु का भुज उसका $x$-निर्देशांक होता है। जिन बिंदुओं का भुज $0$ होता है,वे $y$-अक्ष पर स्थित होते हैं। आकृति से,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $A(0, 3)$,$L(0, -4)$ और मूलबिंदु $O(0, 0)$ हैं।
$(ii)$ किसी बिंदु की कोटि उसका $y$-निर्देशांक होता है। जिन बिंदुओं की कोटि $0$ होती है,वे $x$-अक्ष पर स्थित होते हैं। आकृति से,$x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $I(-2, 0)$,$G(5, 0)$ और मूलबिंदु $O(0, 0)$ हैं।
$(iii)$ किसी बिंदु का भुज उसका $x$-निर्देशांक होता है। हमें वे बिंदु ज्ञात करने हैं जिनका $x$-निर्देशांक $-5$ है। आकृति से,ये बिंदु $D(-5, 1)$ और $H(-5, -3)$ हैं।

(N/A) $A(1, -1)$ और $B(4, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
प्रवणता $m = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$.
बिंदु-प्रवणता रूप का उपयोग करने पर: $y - (-1) = 2(x - 1) \implies y + 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 3$.
$(i)$ $A$ और $B$ के बीच एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $1$ और $4$ के बीच का एक $x$-निर्देशांक चुन सकते हैं। मान लीजिए $x = 2$,तो $y = 2(2) - 3 = 1$। अतः,$M(2, 1)$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित एक बिंदु है।
$(ii)$ रेखाखंड $AB$ के बाहर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $4$ से बड़ा या $1$ से छोटा $x$-निर्देशांक चुन सकते हैं। मान लीजिए $x = 5$,तो $y = 2(5) - 3 = 7$। अतः,$N(5, 7)$ रेखा पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जो रेखाखंड $AB$ के बाहर स्थित है।

(N/A) कार्तीय तल में किसी भी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी (जो $x$-निर्देशांक देती है) और $x$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी (जो $y$-निर्देशांक देती है) निर्धारित करते हैं।

बिंदु	निर्देशांक $(x, y)$
$A$	$(3, 6)$
$B$	$(-4, 0)$
$C$	$(2, -5)$
$D$	$(0, 7)$
$E$	$(-3, 4)$
$F$	$(6, 0)$
$G$	$(-5, -4)$
$H$	$(0, -6)$
$O$	$(0, 0)$

(N/A) किसी भी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $Y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी (जो $x$-निर्देशांक देती है) और $X$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी (जो $y$-निर्देशांक देती है) निर्धारित करते हैं। दिए गए पैमाने $1 \,cm = 5$ इकाई के अनुसार,हम ग्रिड इकाइयों की गणना करते हैं।

बिंदु	निर्देशांक $(x, y)$
$P$	$(10, 15)$
$Q$	$(-15, 0)$
$R$	$(20, -15)$
$S$	$(0, 25)$
$T$	$(-20, 20)$
$U$	$(-20, -25)$
$V$	$(0, -15)$
$W$	$(25, 0)$

(N/A) किसी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी ($x$-निर्देशांक) और $x$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी ($y$-निर्देशांक) निर्धारित करते हैं।

बिंदु	निर्देशांक
$A$	$(2, 5)$
$B$	$(-6, 0)$
$C$	$(-3, 4)$
$D$	$(-8, -8)$
$E$	$(3, -2)$
$F$	$(6, 0)$
$G$	$(0, -5)$
$H$	$(0, 7)$

(N/A) किसी भी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $Y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी ($x$-निर्देशांक देती है) और $X$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी ($y$-निर्देशांक देती है) निर्धारित करते हैं। दिए गए पैमाने $1 \, cm = 10$ इकाई के अनुसार,हम ग्रिड इकाइयों की गणना करते हैं।

बिंदु	निर्देशांक
$P$	$(-50, 40)$
$Q$	$(80, -60)$
$R$	$(0, 40)$
$S$	$(-70, 0)$
$T$	$(-70, -70)$
$U$	$(0, -40)$
$V$	$(80, 0)$
$W$	$(30, 30)$

(N/A)

बिंदु के निर्देशांक	बिंदु की स्थिति
$A(5, 0)$	$x$-अक्ष पर
$B(3, -2)$	$4^{th}$ चतुर्थांश में
$C(-2, 5)$	$2^{nd}$ चतुर्थांश में
$D(0, 4)$	$y$-अक्ष पर
$E(-3, -4)$	$3^{rd}$ चतुर्थांश में
$F(4, 3)$	$1^{st}$ चतुर्थांश में
$G(0, -4)$	$y$-अक्ष पर
$H(-5, 0)$	$x$-अक्ष पर

(N/A) कार्तीय तल में बिंदु $(x, y)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए:
- यदि $x > 0$ और $y > 0$ है,तो यह $I$ चतुर्थांश में है।
- यदि $x < 0$ और $y > 0$ है,तो यह $II$ चतुर्थांश में है।
- यदि $x < 0$ और $y < 0$ है,तो यह $III$ चतुर्थांश में है।
- यदि $x > 0$ और $y < 0$ है,तो यह $IV$ चतुर्थांश में है।
- यदि $x = 0$ है,तो यह $y$-अक्ष पर है।
- यदि $y = 0$ है,तो यह $x$-अक्ष पर है।

बिंदु	बिंदु की स्थिति
$P(-3, -5)$	$III$ चतुर्थांश
$Q(0, 5)$	$y$-अक्ष
$R(3, 4)$	$I$ चतुर्थांश
$S(4, 3)$	$I$ चतुर्थांश
$T(5, 0)$	$x$-अक्ष
$U(-3, 5)$	$II$ चतुर्थांश
$V(5, -3)$	$IV$ चतुर्थांश
$W(0, -3)$	$y$-अक्ष
$X(-3, 0)$	$x$-अक्ष
$Y(3, -5)$	$IV$ चतुर्थांश
$Z(-5, 3)$	$II$ चतुर्थांश

(N/A) कार्तीय तल में किसी बिंदु $(x, y)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए:
- यदि $x > 0, y > 0$ है,तो यह प्रथम चतुर्थांश में है।
- यदि $x < 0, y > 0$ है,तो यह द्वितीय चतुर्थांश में है।
- यदि $x < 0, y < 0$ है,तो यह तृतीय चतुर्थांश में है।
- यदि $x > 0, y < 0$ है,तो यह चतुर्थ चतुर्थांश में है।
- यदि $y = 0$ है,तो यह $x$-अक्ष पर है।
- यदि $x = 0$ है,तो यह $y$-अक्ष पर है।

बिंदु	स्थिति
$A(15, -10)$	चतुर्थ चतुर्थांश
$B(-10, -20)$	तृतीय चतुर्थांश
$C(25, 0)$	$x$-अक्ष
$D(-15, 25)$	द्वितीय चतुर्थांश
$E(-5, 0)$	$x$-अक्ष
$F(0, -15)$	$y$-अक्ष
$G(25, 5)$	प्रथम चतुर्थांश
$H(0, 15)$	$y$-अक्ष

(A) कार्तीय तल में किसी बिंदु $(x, y)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए:
$1$. यदि $x > 0$ और $y > 0$ है,तो बिंदु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
$2$. यदि $x < 0$ और $y > 0$ है,तो बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
$3$. यदि $x < 0$ और $y < 0$ है,तो बिंदु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
$4$. यदि $x > 0$ और $y < 0$ है,तो बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
$5$. यदि $y = 0$ है,तो बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है।
$6$. यदि $x = 0$ है,तो बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है।

बिंदु	स्थिति
$A(10, 40)$	प्रथम चतुर्थांश
$B(-30, 0)$	$x$-अक्ष
$C(50, -40)$	चतुर्थ चतुर्थांश
$D(0, -30)$	$y$-अक्ष
$E(-20, 50)$	द्वितीय चतुर्थांश
$F(0, 60)$	$y$-अक्ष
$G(70, 0)$	$x$-अक्ष
$H(-40, -50)$	तृतीय चतुर्थांश

(B) कार्तीय तल को $(x, y)$ निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर चार चतुर्थांशों में विभाजित किया जाता है:
$1$. प्रथम चतुर्थांश: $x$ और $y$ दोनों धनात्मक $(+, +)$ होते हैं।
$2$. द्वितीय चतुर्थांश: $x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक $(-, +)$ होते हैं।
$3$. तृतीय चतुर्थांश: $x$ और $y$ दोनों ऋणात्मक $(-, -)$ होते हैं।
$4$. चतुर्थ चतुर्थांश: $x$ धनात्मक और $y$ ऋणात्मक $(+, -)$ होते हैं।
बिंदु $(-3, -5)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-3$ (ऋणात्मक) है और $y$-निर्देशांक $-5$ (ऋणात्मक) है। चूँकि दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं,इसलिए यह बिंदु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है। अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष दो लंबवत रेखाएँ होती हैं जो मूलबिंदु नामक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
मूलबिंदु के निर्देशांक $(0,0)$ के रूप में परिभाषित किए जाते हैं।

(B) $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, 0)$ के रूप में होते हैं,जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है।
चूँकि दिया गया बिंदु $(5, -5)$ है,इसका $y$-निर्देशांक $-5$ है,जो $0$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,बिंदु $(5, -5)$ $x$-अक्ष पर स्थित नहीं है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(A) यदि किसी बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ है,तो वह बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित होता है।
दिए गए बिंदु $(0, 7)$ में,$x$-निर्देशांक $0$ है।
इसलिए,बिंदु $(0, 7)$ $y$-अक्ष पर स्थित है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
कार्तीय तल दो परस्पर लंबवत रेखाओं,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष से बनता है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
ये दो अक्ष तल को चार भागों में विभाजित करते हैं,जिन्हें चतुर्थांश (quadrants) कहा जाता है।

(B) यदि दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ समान हैं,तो उनके संगत निर्देशांक बराबर होने चाहिए,अर्थात $x_1 = x_2$ और $y_1 = y_2$।
दिए गए बिंदु $(x+2, 7)$ और $(2x-1, 7)$ हैं।
चूंकि $y$-निर्देशांक पहले से ही समान हैं $(7 = 7)$,हम $x$-निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$x + 2 = 2x - 1$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$2 = x - 1$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$x = 3$
अतः,$x$ का मान $3$ है।

(C) रेखाखंड बिंदुओं $P(5,3)$ और $Q(5,-8)$ को जोड़ता है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $x$-निर्देशांक $5$ के बराबर हैं,इसलिए यह रेखा $x = 5$ समीकरण द्वारा निरूपित एक ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 5$,$y$-अक्ष के समानांतर होती है और $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ $y = 0$ होता है।
अतः,यह रेखा $x$-अक्ष को $(5,0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।

(D) दिया गया है कि $a=5, b=7, c=6$ और $d=10.$
इन मानों को बिंदु $(a-b, c-d)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = a - b = 5 - 7 = -2$
$y = c - d = 6 - 10 = -4$
अतः बिंदु $(-2, -4)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए यह बिंदु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

(A) दिया गया है कि $a=2, b=-3, c=-2, d=-5$ है।
सबसे पहले,बिंदु $(ab, cd)$ के निर्देशांकों की गणना करें:
$x = a \times b = 2 \times (-3) = -6$
$y = c \times d = (-2) \times (-5) = 10$
बिंदु $(-6, 10)$ प्राप्त होता है।
कार्तीय तल में,जिस बिंदु का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक धनात्मक होता है,वह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होता है।
अतः,बिंदु $(-6, 10)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(B) दोनों बिंदुओं के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (5, -3)$ और $(x_2, y_2) = (-5, -3)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान हैं $(y_1 = y_2 = -3)$,इसलिए इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड एक क्षैतिज रेखा है।
एक क्षैतिज रेखा हमेशा $x$-अक्ष के समांतर होती है।
अतः,$(5, -3)$ और $(-5, -3)$ को मिलाने वाली रेखा $x$-अक्ष के समांतर है।

(A) चूंकि बिंदु $(2x - 3, y + 3)$ और $(x + 7, 2y - 2)$ समान हैं,इसलिए उनके संगत निर्देशांक बराबर होने चाहिए।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2x - 3 = x + 7$
$2x - x = 7 + 3$
$x = 10$
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $y + 3 = 2y - 2$
$3 + 2 = 2y - y$
$y = 5$
अतः,$x$ और $y$ के मान क्रमशः $10$ और $5$ हैं।

(D) बिंदुओं $A(3, -8)$ और $B(3, 5)$ का $x$-निर्देशांक समान है,जो कि $3$ है।
इसका अर्थ है कि इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसका समीकरण $x = 3$ है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$,$y$-अक्ष के समानांतर होती है और $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ $y$-निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 0)$ है।

(A) दिए गए मान $a=5, b=7, c=3, d=-5$ हैं।
इन मानों को निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{a}{b} = \frac{5}{7}$
$y = \frac{c}{d} = \frac{3}{-5} = -0.6$
चूंकि $x$-निर्देशांक धनात्मक $(>0)$ है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक $( < 0)$ है,इसलिए बिंदु $(\frac{5}{7}, -0.6)$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है।

(B) निर्देशांक तल में दो बिंदुओं $(a, b)$ और $(b, a)$ के एक ही बिंदु होने के लिए,उनके संगत निर्देशांक समान होने चाहिए।
इसका अर्थ है $a = b$ और $b = a$।
दोनों शर्तें एक ही आवश्यकता की ओर ले जाती हैं: $a = b$।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,हम जांचते हैं कि कौन सा युग्म $a = b$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $A$: $2 \neq -2$
विकल्प $B$: $-2 = -2$ (यह शर्त को संतुष्ट करता है)
विकल्प $C$: $-2 \neq 2$
विकल्प $D$: $2 \neq \frac{1}{2}$
अतः,केवल $a = -2$ और $b = -2$ ही संभव है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $(5, -3)$ और $(5, 8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 5, y_1 = -3$ और $x_2 = 5, y_2 = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(5 - 5)^2 + (8 - (-3))^2}$
$d = \sqrt{(0)^2 + (8 + 3)^2}$
$d = \sqrt{0 + (11)^2}$
$d = \sqrt{121} = 11$।
चूंकि $x$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए दूरी केवल $y$-निर्देशांकों के अंतर का निरपेक्ष मान है: $|8 - (-3)| = |8 + 3| = 11$।

(D) कार्तीय तल में,किसी बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ के रूप में दर्शाए जाते हैं।
प्रथम चतुर्थांश के लिए,$x > 0$ और $y > 0$ दोनों होते हैं।
द्वितीय चतुर्थांश के लिए,$x < 0$ और $y > 0$ होते हैं।
तृतीय चतुर्थांश के लिए,$x < 0$ और $y < 0$ दोनों होते हैं।
चतुर्थ चतुर्थांश के लिए,$x > 0$ और $y < 0$ होते हैं।
दिए गए बिंदु $(2.8, 4.9)$ के लिए,हम देखते हैं कि $x = 2.8$ (जो $> 0$ है) और $y = 4.9$ (जो $> 0$ है)।
चूँकि दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं,इसलिए बिंदु $(2.8, 4.9)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(A) चूंकि दोनों निर्देशांक एक ही बिंदु को दर्शाते हैं,इसलिए हम $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक को अलग-अलग बराबर करते हैं।
$1$. $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2a + 5 = a + 11$
$2a - a = 11 - 5$
$a = 6$
$2$. $y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3b + 2 = b + 14$
$3b - b = 14 - 2$
$2b = 12$
$b = 6$
अतः,$a$ और $b$ के मान क्रमशः $6$ और $6$ हैं।

(B) दिया गया है कि $a=5$ और $b=7$ है।
इन मानों को निर्देशांक $(a-b, b-a)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x$-निर्देशांक $= a - b = 5 - 7 = -2$.
$y$-निर्देशांक $= b - a = 7 - 5 = 2$.
अतः बिंदु $(-2, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-निर्देशांक ऋणात्मक है और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,इसलिए बिंदु $(-2, 2)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(C) मूलबिंदु $(0, 0)$ से किसी बिंदु $(x, y)$ की दूरी का सूत्र $\sqrt{x^2 + y^2}$ होता है।
यहाँ,बिंदु $(7, 0)$ दिया गया है,इसलिए $x = 7$ और $y = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
दूरी $= \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,बिंदु $(7, 0)$ की मूलबिंदु से दूरी $7$ है।

(D) मूलबिंदु $(0, 0)$ से किसी बिंदु $(x, y)$ की दूरी ज्ञात करने का सूत्र $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(0, -6)$ के निर्देशांकों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{0^2 + (-6)^2}$
$d = \sqrt{0 + 36}$
$d = \sqrt{36}$
$d = 6$
अतः,दूरी $6$ इकाई है।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,तल को $x$-अक्ष और $y$-अक्ष द्वारा चार चतुर्थांशों में विभाजित किया जाता है।
- $I$ चतुर्थांश में,दोनों निर्देशांक धनात्मक $(+, +)$ होते हैं।
- $II$ चतुर्थांश में,$x$-निर्देशांक ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक धनात्मक $(-, +)$ होते हैं।
- $III$ चतुर्थांश में,दोनों निर्देशांक ऋणात्मक $(-, -)$ होते हैं।
- $IV$ चतुर्थांश में,$x$-निर्देशांक धनात्मक और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक $(+, -)$ होते हैं।
अतः,वह बिंदु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं,वह $III$ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3, 2)$ हैं और बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(3, -5)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं के लिए $x$-निर्देशांक $3$ है,इसलिए इन बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसे समीकरण $x = 3$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x$-अक्ष को $(3, 0)$ बिंदु पर काटती है।
अतः,यह रेखा $x$-अक्ष को काटती है।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $X(3, 5)$ और $Y(-4, 5)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान हैं $(y = 5)$,इसलिए रेखाखंड $XY$ एक क्षैतिज रेखा है।
एक क्षैतिज रेखा हमेशा $x$-अक्ष के समांतर होती है।
अतः,$X$ और $Y$ को मिलाने वाली रेखा $x$-अक्ष के समांतर है।

(D) कार्तीय तल (Cartesian plane) में,चतुर्थांशों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$1$. प्रथम चतुर्थांश: $x > 0, y > 0$
$2$. द्वितीय चतुर्थांश: $x < 0, y > 0$
$3$. तृतीय चतुर्थांश: $x < 0, y < 0$
$4$. चतुर्थ चतुर्थांश: $x > 0, y < 0$
चूंकि दिए गए बिंदु का $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) $x$-अक्ष और $y$-अक्ष जहाँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं,उस बिंदु को मूलबिंदु कहा जाता है। इसके निर्देशांक $(0, 0)$ होते हैं।

(A) $x$-अक्ष वह क्षैतिज रेखा है जहाँ $y$-निर्देशांक हमेशा $0$ होता है।
चूँकि बिंदु $y$-अक्ष के दाईं ओर स्थित है,इसलिए $x$-निर्देशांक धनात्मक है।
मूल बिंदु से दूरी $5$ इकाई दी गई है,इसलिए $x$-निर्देशांक $5$ होगा।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(5, 0)$ हैं।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,मूलबिंदु वह बिंदु है जहाँ $x$-अक्ष और $y$-अक्ष एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। परिभाषा के अनुसार,मूलबिंदु के निर्देशांक $(0, 0)$ होते हैं।

(B) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,क्षैतिज रेखा को $x$-अक्ष के रूप में जाना जाता है और मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को $y$-अक्ष कहा जाता है। अतः,सही उत्तर $y$-अक्ष है।

(C) कार्तीय तल में,अक्ष $XOX'$ और $YOY'$ तल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करते हैं।
- प्रथम चतुर्थांश धनात्मक $X$-अक्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के बीच के क्षेत्र द्वारा बनता है।
- द्वितीय चतुर्थांश ऋणात्मक $X$-अक्ष $(OX')$ और धनात्मक $Y$-अक्ष $(OY)$ के बीच के क्षेत्र द्वारा बनता है।
- तृतीय चतुर्थांश ऋणात्मक $X$-अक्ष $(OX')$ और ऋणात्मक $Y$-अक्ष $(OY')$ के बीच के क्षेत्र द्वारा बनता है।
- चतुर्थ चतुर्थांश धनात्मक $X$-अक्ष $(OX)$ और ऋणात्मक $Y$-अक्ष $(OY')$ के बीच के क्षेत्र द्वारा बनता है।
अतः,$\angle X'OY'$ का आंतरिक भाग तृतीय चतुर्थांश के अनुरूप है।

(B) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,चतुर्थांशों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$I$ चतुर्थांश: $(+, +)$
$II$ चतुर्थांश: $(-, +)$
$III$ चतुर्थांश: $(-, -)$
$IV$ चतुर्थांश: $(+, -)$
दिए गए बिंदु $\left(-\frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)$ में,$x$-निर्देशांक ऋणात्मक है और $y$-निर्देशांक धनात्मक है।
अतः,यह बिंदु $II$ चतुर्थांश में स्थित है।

(C) कार्तीय तल में,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करते हैं। $X^{\prime}OX$ रेखा $X$-अक्ष को दर्शाती है,जहाँ $OX$ धनात्मक $X$-अक्ष है और $OX^{\prime}$ ऋणात्मक $X$-अक्ष है। इसी प्रकार,$YOY^{\prime}$ $Y$-अक्ष को दर्शाता है,जहाँ $OY$ धनात्मक $Y$-अक्ष है और $OY^{\prime}$ ऋणात्मक $Y$-अक्ष है। तृतीय चतुर्थांश ऋणात्मक $X$-अक्ष $(OX^{\prime})$ और ऋणात्मक $Y$-अक्ष $(OY^{\prime})$ से घिरा होता है। इसलिए,$\angle X^{\prime}OY^{\prime}$ का आंतरिक भाग तृतीय चतुर्थांश को दर्शाता है।

(A) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु की मूल बिंदु से क्षैतिज दूरी $0$ होती है। इसलिए,$y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $x$-निर्देशांक (जिसे भुज भी कहा जाता है) हमेशा $0$ होता है। $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ के रूप में दर्शाए जाते हैं।

(B) कार्तीय तल में,यदि किसी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक विपरीत चिन्हों वाले हैं,तो इसका अर्थ है कि एक निर्देशांक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है।
स्थिति $1$: $x > 0$ और $y < 0$। यह चतुर्थ चतुर्थांश के अंतर्गत आता है।
स्थिति $2$: $x < 0$ और $y > 0$। यह द्वितीय चतुर्थांश के अंतर्गत आता है।
अतः,विपरीत चिन्हों वाले निर्देशांकों वाला बिंदु या तो द्वितीय चतुर्थांश में या चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होता है।

(A) दिए गए दो बिंदुओं के निर्देशांक $(8, 8)$ और $(-8, 8)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं के लिए $y$-निर्देशांक समान है $(y = 8)$,इसलिए इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा एक क्षैतिज रेखा है।
एक क्षैतिज रेखा हमेशा $x$-अक्ष के समांतर होती है।
अतः,यह रेखा $x$-अक्ष के समांतर है।

(D) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष समतल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करते हैं।
- प्रथम चतुर्थांश किरण $OX$ और किरण $OY$ द्वारा घिरा होता है।
- द्वितीय चतुर्थांश किरण $OX'$ और किरण $OY$ द्वारा घिरा होता है।
- तृतीय चतुर्थांश किरण $OX'$ और किरण $OY'$ द्वारा घिरा होता है।
- चतुर्थ चतुर्थांश किरण $OX$ और किरण $OY'$ द्वारा घिरा होता है।
अतः,किरण $OY'$ और किरण $OX$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र चतुर्थ चतुर्थांश है।

(D) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,निर्देशांक अक्षों में $x$-अक्ष और $y$-अक्ष शामिल होते हैं।
ये दोनों अक्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।
परिभाषा के अनुसार,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष एक-दूसरे पर लंबवत होते हैं।
इसलिए,निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेदन से बनने वाले कोण का माप $90^{\circ}$ है।

(B) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,किरण $OX$ धनात्मक $x$-अक्ष को दर्शाती है,जहाँ $x > 0$ होता है। किरण $OX^{\prime}$ ऋणात्मक $x$-अक्ष को दर्शाती है,जहाँ $x < 0$ होता है। चूँकि बिंदु $(a, 0)$ किरण $OX^{\prime}$ पर स्थित है,इसलिए $x$-निर्देशांक $a$ एक ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए।

(A) यदि किसी बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ है,तो वह बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित होता है।
दिए गए बिंदु $\left(7 \frac{3}{4}, 0\right)$ में,$y$-निर्देशांक $0$ है।
अतः,यह बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है।

(B) कार्तीय तल (Cartesian plane) में चतुर्थांशों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$1$. प्रथम चतुर्थांश: $x > 0, y > 0$
$2$. द्वितीय चतुर्थांश: $x < 0, y > 0$
$3$. तृतीय चतुर्थांश: $x < 0, y < 0$
$4$. चतुर्थ चतुर्थांश: $x > 0, y < 0$
चूंकि दिए गए बिंदु का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक है और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,इसलिए यह बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(C) दिए गए मान $a=5, b=3, c=-8, d=-5$ हैं।
हमें बिंदु $(a+c, b+d)$ के निर्देशांक ज्ञात करने हैं।
सबसे पहले,$x$-निर्देशांक की गणना करें: $a+c = 5 + (-8) = -3$.
इसके बाद,$y$-निर्देशांक की गणना करें: $b+d = 3 + (-5) = -2$.
अतः बिंदु $(-3, -2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए यह बिंदु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।