Mix Examples-Wave Optics Questions in Hindi

(D) सर्जरी में लेजर बीम का उपयोग करने का मुख्य कारण इसकी एक अत्यंत छोटे और तीव्र बिंदु पर केंद्रित होने की क्षमता है। यह आसपास के क्षेत्रों को न्यूनतम नुकसान पहुँचाते हुए जैविक ऊतकों को सटीक रूप से काटने या हटाने की अनुमति देता है। हालाँकि लेजर मोनोक्रोमैटिक,सुसंगत और दिशात्मक भी होते हैं,लेकिन सर्जिकल अनुप्रयोगों के लिए इन्हें तीव्रता से केंद्रित करने की क्षमता सबसे महत्वपूर्ण है।

(D) निर्वात या हवा में,प्रकाश की गति उसकी तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति से स्वतंत्र होती है।
चूंकि हवा का अपवर्तनांक सभी दृश्य तरंगदैर्ध्य के लिए लगभग $1$ होता है,इसलिए प्रकाश के सभी रंग समान गति से यात्रा करते हैं,जो लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ है।
इसलिए,हवा दृश्य प्रकाश के लिए एक गैर-परिक्षेपी (non-dispersive) माध्यम है।

(A) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली काली अवशोषण रेखाओं का एक समूह हैं।
ये रेखाएं सूर्य के वायुमंडल (प्रकाशमंडल और वर्णमंडल) में मौजूद ठंडी गैसों द्वारा प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अवशोषण के कारण उत्पन्न होती हैं,जब सूर्य के गर्म आंतरिक भाग से आने वाला निरंतर विकिरण उनसे होकर गुजरता है।
इसलिए,सही उत्तर सौर स्पेक्ट्रम है।

(C) किरचॉफ के विकिरण नियम के अनुसार,कोई पदार्थ अपनी अन-उत्तेजित (मूल) अवस्था में उन्हीं तरंगदैर्ध्यों का अवशोषण करता है जिन्हें वह उत्तेजित अवस्था में उत्सर्जित करता है।
चूंकि सोडियम लैंप सोडियम की विशिष्ट डबलट रेखाओं ($5890 \ \mathring{A}$ और $5896 \ \mathring{A}$) का उत्सर्जन करता है,इसलिए ठंडी सोडियम वाष्प आपतित प्रकाश से इन विशिष्ट तरंगदैर्ध्यों को अवशोषित कर लेगी।
परिणामस्वरूप,ये दो रेखाएं पारगमित स्पेक्ट्रम से गायब हो जाएंगी,जिससे सोडियम लैंप के निरंतर स्पेक्ट्रम में इन स्थानों पर काली रेखाएं दिखाई देंगी।
अतः,पारगमित प्रकाश में सोडियम डबलट रेखाओं का अवशोषण होता है।

(A) जब अलग-अलग रंगों वाली डिस्क को उच्च वेग से घुमाया जाता है,तो दृष्टि के स्थायित्व (persistence of vision) के कारण मानव आँख अलग-अलग रंगों को नहीं देख पाती है। रंग आपस में मिलकर एक परिणामी रंग बनाते हैं।
रंग मिश्रण के संदर्भ में (पिगमेंट मिश्रण),पीला और नीला प्राथमिक रंगद्रव्य हैं जो मिलकर हरा रंग बनाते हैं।
इसलिए,डिस्क $Green$ (हरे) रंग की दिखाई देगी।

(A) लाल कांच एक रंग फिल्टर के रूप में कार्य करता है जो केवल लाल प्रकाश को ही गुजरने देता है जबकि अन्य तरंगदैर्ध्य को अवशोषित कर लेता है।
दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लगभग इस प्रकार है: बैंगनी $(4000-4500 \ \mathring{A})$,नीला $(4500-5000 \ \mathring{A})$,हरा $(5000-5700 \ \mathring{A})$,पीला $(5700-5900 \ \mathring{A})$,नारंगी $(5900-6200 \ \mathring{A})$,और लाल $(6200-7500 \ \mathring{A})$।
दी गई तरंगदैर्ध्यों में से,$4700 \ \mathring{A}$ नीले प्रकाश के लिए है,$5400 \ \mathring{A}$ हरे प्रकाश के लिए है,और $6500 \ \mathring{A}$ लाल प्रकाश के लिए है।
चूंकि प्रकाश लाल कांच से होकर गुजरता है,इसलिए केवल लाल तरंगदैर्ध्य $(6500 \ \mathring{A})$ ही संचारित होगी और स्पेक्ट्रम में दिखाई देगी।

(C) जब एक सफेद पर्दे को हरे और लाल प्रकाश से एक साथ प्रकाशित किया जाता है,तो प्रकाश की किरणें एडिटिव कलर मिक्सिंग (additive color mixing) से गुजरती हैं। एडिटिव कलर थ्योरी के सिद्धांतों के अनुसार,हरे और लाल प्रकाश का संयोजन पीला प्रकाश उत्पन्न करता है। इसलिए,पर्दा देखने वाले को पीला दिखाई देता है।

(C) सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली काली रेखाएँ,जिन्हें फ्रौनहोफर रेखाएँ कहा जाता है,सूर्य के वायुमंडल की बाहरी परतों (फोटोस्फीयर और क्रोमोस्फीयर) में मौजूद ठंडी गैसों द्वारा प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अवशोषण के कारण होती हैं। जब सूर्य के गर्म आंतरिक भाग से उत्सर्जित निरंतर स्पेक्ट्रम इन ठंडी बाहरी परतों से होकर गुजरता है,तो इन परतों में मौजूद परमाणु और आयन अपने इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों के अनुरूप विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित कर लेते हैं,जिसके परिणामस्वरूप काली रेखाएँ दिखाई देती हैं।

(A) पूर्ण सूर्य ग्रहण के दौरान,चंद्रमा द्वारा सूर्य का चमकीला प्रकाशमंडल (photosphere) ढक जाता है।
प्रेक्षक तक पहुँचने वाला प्रकाश मुख्य रूप से क्रोमोस्फीयर (chromosphere) से आता है,जो सूर्य के चारों ओर गैस की एक पतली परत है।
किरचॉफ के विकिरण नियम के अनुसार,क्रोमोस्फीयर उन सटीक तरंग दैर्ध्य पर चमकीली उत्सर्जन रेखाओं का उत्सर्जन करता है जहाँ सौर स्पेक्ट्रम में आमतौर पर फ्रौनहोफर (अंधेरी) रेखाएं देखी जाती हैं।
जब ये चमकीली उत्सर्जन रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम की अंधेरी अवशोषण रेखाओं को भर देती हैं,तो परिणामी स्पेक्ट्रम एक सतत (continuous) स्पेक्ट्रम के रूप में दिखाई देता है।

(A) एक बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर प्रदीप्ति $E$ का सूत्र $E = \frac{I}{r^2}$ होता है।
यहाँ $E = 25\, lux$ और $r = 2\, m$ दिया गया है,इसलिए प्रकाश तीव्रता $I$ का मान होगा:
$I = E \times r^2 = 25 \times (2)^2 = 25 \times 4 = 100\, candela$.
बिंदु स्रोत द्वारा उत्सर्जित कुल प्रकाश फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = 4\pi I$ होता है।
$I$ का मान रखने पर:
$\phi = 4 \times 3.14159 \times 100 = 1256.6\, lumen$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1256\, lumen$ है।

(B) ल्यूमिनस इंटेंसिटी $(I)$ को प्रकाश स्रोत द्वारा किसी दी गई दिशा में प्रति इकाई ठोस कोण $(\Omega)$ उत्सर्जित ल्यूमिनस फ्लक्स $(\Phi)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{\Phi}{\Omega}$
जहाँ:
$I$ = ल्यूमिनस इंटेंसिटी (कैंडेला, $cd$ में मापी जाती है)
$\Phi$ = ल्यूमिनस फ्लक्स (ल्यूमेंस, $lm$ में मापा जाता है)
$\Omega$ = ठोस कोण (स्टेरेडियन, $sr$ में मापा जाता है)
अतः, सही परिभाषा यह है कि स्रोत द्वारा प्रति इकाई ठोस कोण उत्सर्जित ल्यूमिनस फ्लक्स।

(C) प्रिंट विकसित करने के लिए,एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा की आवश्यकता होती है। फोटो प्रिंट पर पड़ने वाली कुल प्रकाश ऊर्जा प्रकाश की तीव्रता और समय के गुणनफल के समानुपाती होती है।
तीव्रता $I \propto \frac{1}{r^2}$,जहाँ $r$ स्रोत से दूरी है।
अतः,ऊर्जा $E = I \cdot A \cdot t = k \cdot \frac{1}{r^2} \cdot t$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि प्रिंट के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थिर है,हमारे पास $\frac{t_1}{r_1^2} = \frac{t_2}{r_2^2}$ है।
दिया गया है: $t_1 = 5\, sec$,$r_1 = 0.25\, m$,$r_2 = 40\, cm = 0.40\, m$.
मान रखने पर: $t_2 = t_1 \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
$t_2 = 5 \times \left( \frac{0.40}{0.25} \right)^2 = 5 \times (1.6)^2$.
$t_2 = 5 \times 2.56 = 12.8\, sec$.

(D) ल्यूमिनस फ्लक्स $\phi$ को सूत्र $\phi = \frac{P}{P_0} \times V(\lambda) \times K$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ रेडियंट फ्लक्स है,$V(\lambda)$ सापेक्ष चमक है,और $K$ संदर्भ तरंगदैर्ध्य $(5550 \ \mathring{A})$ के लिए ल्यूमिनस दक्षता है।
दिया गया है:
रेडियंट फ्लक्स $P = 3 \ W$
सापेक्ष चमक $V(6000 \ \mathring{A}) = 0.685$
ल्यूमिनस दक्षता $K = \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} \ lm/W$
ल्यूमिनस फ्लक्स की गणना:
$\phi = \frac{3 \ W}{1.5 \times 10^{-3} \ W/lm} \times 0.685$
$\phi = 2000 \times 0.685 \ lm$
$\phi = 1370 \ lm = 1.37 \times 10^3 \ lm$.

(C) प्रदीप्ति $(E)$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल में प्रकाश फ्लक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $E = \frac{\Phi}{A} \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल के अभिलंब और आपतित प्रकाश की दिशा के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,क्षेत्रफल आपतित प्रकाश के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल का अभिलंब प्रकाश किरणों के समानांतर है,जिसका अर्थ है $\theta = 0^o$ और $\cos 0^o = 1$ है।
जब क्षेत्रफल को आपतित प्रकाश की अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो आपतित प्रकाश किरणों के सापेक्ष अभिलंब सदिश का अभिविन्यास अपरिवर्तित रहता है।
चूंकि $\theta$ का मान $0^o$ ही रहता है,इसलिए $\cos \theta$ का मान $1$ ही रहता है।
अतः,प्रदीप्ति में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(D) चमक की अनुभूति ल्यूमिनस फ्लक्स के समानुपाती होती है।
ल्यूमिनस फ्लक्स,रेडियंट फ्लक्स और सापेक्ष चमक के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$555 \,nm$ पर सापेक्ष चमक $1.0$ (अधिकतम संवेदनशीलता) होती है।
माना $P_1 = 120 \,W$,$\lambda_1 = 555 \,nm$ पर रेडियंट फ्लक्स है और $L_1 = 1.0$ इसकी सापेक्ष चमक है।
माना $P_2$,$\lambda_2 = 600 \,nm$ पर रेडियंट फ्लक्स है और $L_2 = 0.6$ इसकी सापेक्ष चमक है।
समान चमक की अनुभूति के लिए,ल्यूमिनस फ्लक्स समान होना चाहिए:
$P_1 \times L_1 = P_2 \times L_2$
$120 \times 1.0 = P_2 \times 0.6$
$P_2 = \frac{120}{0.6} = 200 \,W$.

(A) आइजैक न्यूटन द्वारा प्रस्तावित प्रकाश का कणिका सिद्धांत यह बताता है कि प्रकाश 'कॉर्पसल्स' नामक छोटे कणों से बना है।
यह सिद्धांत प्रकाश के सरल रेखीय संचरण,परावर्तन और अपवर्तन को सफलतापूर्वक समझाता है।
हालाँकि,यह व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी तरंग घटनाओं को समझाने में विफल रहता है,जिन्हें प्रकाश के तरंग सिद्धांत द्वारा समझाया जाता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से,अपवर्तन वह घटना है जिसे कणिका सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकता है।

(A) प्रकाश की तरंग प्रकृति की पुष्टि व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवीकरण जैसी घटनाओं द्वारा होती है,जिन्हें प्रकाश के कणिका सिद्धांत (corpuscular theory) द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।
परावर्तन और अपवर्तन की घटनाओं को तरंग सिद्धांत (हाइगेन्स का सिद्धांत) और कणिका सिद्धांत (न्यूटन का कणिका सिद्धांत) दोनों द्वारा समझाया जा सकता है।
इसलिए,परावर्तन प्रकाश की तरंग प्रकृति के लिए विशेष प्रमाण प्रदान नहीं करता है।

(D) . लेजर किरणें अत्यधिक दिशात्मक होती हैं और उनमें उच्च स्तर की समानांतरता होती है। इस कारण से,वे लंबी दूरी तक भी बिना फैले एक बहुत ही संकीर्ण पुंज के रूप में बनी रहती हैं। यद्यपि एकवर्णीयता और सुसंगतता लेजर के मौलिक गुण हैं,लेकिन उनकी उच्च स्तर की समानांतरता ही उन्हें सटीक लंबी दूरी के मापन के लिए उपयोग करने योग्य बनाती है।

(A) ज़ोन प्लेट विवर्तन (diffraction) के सिद्धांत पर कार्य करती है और इसके कई फोकस होते हैं,जिन्हें सूत्र $f_p = \frac{r_n^2}{(2p - 1)\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $p = 1, 2, 3, \dots$ और $r_n$ $n$-वें ज़ोन की त्रिज्या है।
इसके विपरीत,एक सामान्य उत्तल लेंस अपवर्तन (refraction) के सिद्धांत पर कार्य करता है और समानांतर आपतित किरणों के लिए इसका सामान्यतः एक ही मुख्य फोकस होता है।

(D) ज़ोन प्लेट के लिए $p$ वें ज़ोन की फोकस दूरी का सूत्र: $f_p = \frac{r_p^2}{p\lambda}$ है।
प्रथम हाफ-पीरियड ज़ोन $(p=1)$ के लिए,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{f_1 \lambda}$ होती है।
दिया गया है: $f_1 = 60\,cm = 0.6\,m$ और $\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\,m = 6 \times 10^{-7}\,m$.
मान रखने पर:
$r_1 = \sqrt{0.6 \times 6 \times 10^{-7}} = \sqrt{3.6 \times 10^{-7}} = \sqrt{36 \times 10^{-8}} = 6 \times 10^{-4}\,m$.

(A) ज़ोन प्लेट के लिए $n$ वें ज़ोन की फोकस दूरी का सूत्र $f_n = \frac{r_n^2}{n\lambda}$ है।
केंद्रीय ज़ोन $(n=1)$ के लिए,फोकस दूरी $f_1 = \frac{r_1^2}{\lambda}$ होती है।
दिया गया है: $r_1 = 2.3\,mm = 2.3 \times 10^{-3}\,m$ और $\lambda = 5893\,\mathring{A} = 5893 \times 10^{-10}\,m$.
मान रखने पर: $f_1 = \frac{(2.3 \times 10^{-3})^2}{5893 \times 10^{-10}} = \frac{5.29 \times 10^{-6}}{5.893 \times 10^{-7}} \approx 8.976\,m \approx 9\,m$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -6\,m$ और $f = 9\,m$:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{9} - \frac{1}{6} = \frac{2-3}{18} = -\frac{1}{18}$.
यह एक आभासी प्रतिबिंब को दर्शाता है। हालाँकि,ज़ोन प्लेट के संदर्भ में,जब स्रोत अनंत पर होता है तो प्राथमिक फोकस दूरी $f_1$ को ही प्रतिबिंब दूरी माना जाता है। विकल्पों और इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों को देखते हुए,सही उत्तर $9\,m$ है।

(D) माना प्रत्येक स्रोत की तीव्रता $I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कुल कलांतर है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 20 \, m$,दूरी $d = 5.0 \, m$,और प्रारंभिक कलांतर $\Delta\phi_{initial} = 90^{\circ} = \pi/2$ ($P, Q$ से आगे है)।
पथ अंतर $\Delta x = d \sin(\theta)$। पथ के कारण कलांतर $\Delta\phi_{path} = (2\pi/\lambda) \Delta x$।
बिंदु $A$ पर: $\theta = 90^{\circ}$,$\Delta x = d = 5 \, m$. $\Delta\phi_{path} = (2\pi/20) \times 5 = \pi/2$. चूंकि $P$ आगे है,$\phi_A = \Delta\phi_{initial} - \Delta\phi_{path} = \pi/2 - \pi/2 = 0$. तीव्रता $I_A = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
बिंदु $B$ पर: $\theta = 0^{\circ}$,$\Delta x = 0$. $\phi_B = \Delta\phi_{initial} = \pi/2$. तीव्रता $I_B = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 2I_0$.
बिंदु $C$ पर: $\theta = -90^{\circ}$,$\Delta x = -5 \, m$. $\Delta\phi_{path} = -\pi/2$. $\phi_C = \pi/2 - (-\pi/2) = \pi$. तीव्रता $I_C = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$.
अतः,अनुपात $I_A : I_B : I_C = 4I_0 : 2I_0 : 0 = 2 : 1 : 0$ है।

(B) वह क्षेत्रफल $A$ जिस पर लेज़र बीम केंद्रित है, उसकी तरंगदैर्ध्य के वर्ग $\lambda^2$ के बराबर है।
दिया गया है, $\lambda = 632.8 \, nm = 6.328 \times 10^{-7} \, m$.
क्षेत्रफल $A = \lambda^2 = (6.328 \times 10^{-7})^2 \approx 4.0 \times 10^{-13} \, m^2$.
लेज़र की शक्ति $P = 1 \, mW = 10^{-3} \, W$ है।
तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{P}{A}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{10^{-3} \, W}{4.0 \times 10^{-13} \, m^2} = 0.25 \times 10^{10} \, W/m^2 = 2.5 \times 10^9 \, W/m^2$.

(D) लेजर प्रकाश अत्यधिक एकवर्णी,सुसंबद्ध और दिशात्मक होता है,जो इसे एक बहुत छोटे और तीव्र बिंदु पर केंद्रित करने की अनुमति देता है। तीव्रता से केंद्रित होने का यह गुण सर्जरी में ऊतकों को उच्च सटीकता के साथ काटने या जलाने (cauterize) के लिए अत्यंत आवश्यक है।

(D) माना आपतित प्रकाश की तीव्रता $I$ है।
बिंदु $A$ पर,पहली परावर्तित किरण $AB$ की तीव्रता $I_1 = 25\% \text{ of } I = \frac{I}{4}$ है।
अपवर्तित किरण स्लैब में प्रवेश करती है,बिंदु $C$ (निचली सतह) पर परावर्तित होती है और फिर बिंदु $A'$ (ऊपरी सतह) पर पहुँचती है।
बिंदु $C$ पर,आपतित प्रकाश का $25\%$ परावर्तित होता है। $C$ पर पहुँचने वाले प्रकाश की तीव्रता $I - I_1 = \frac{3I}{4}$ है।
$C$ पर परावर्तित तीव्रता $= 25\% \text{ of } \frac{3I}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{3I}{4} = \frac{3I}{16}$ है।
बिंदु $A'$ पर,यह प्रकाश आंशिक रूप से अपवर्तित होकर किरण $A'B'$ बनाता है। चूँकि $A'$ पर $25\%$ परावर्तन होता है,इसलिए $75\%$ अपवर्तित होता है।
तीव्रता $I_2 = 75\% \text{ of } \frac{3I}{16} = \frac{3}{4} \times \frac{3I}{16} = \frac{9I}{64}$ है।
अब,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{(\sqrt{\frac{I}{4}} + \sqrt{\frac{9I}{64}})^2}{(\sqrt{\frac{I}{4}} - \sqrt{\frac{9I}{64}})^2} = \frac{(\frac{1}{2} + \frac{3}{8})^2}{(\frac{1}{2} - \frac{3}{8})^2} = \frac{(\frac{4+3}{8})^2}{(\frac{4-3}{8})^2} = \frac{(\frac{7}{8})^2}{(\frac{1}{8})^2} = \frac{49}{1}$.

(C) बिंदु $O$ पर पथ अंतर $\Delta x = |S_1O - S_2O| = d$ है।
$O$ पर संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,$d = n\lambda$ जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$O$ पर विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए,$d = (n + 1/2)\lambda$ जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
कथन $(1)$: यदि $d = 3.5\lambda$ है,तो यह निम्निष्ठ की शर्त में $n=3$ के अनुरूप है,इसलिए $O$ पर निम्निष्ठ होगा। सही है।
कथन $(3)$: यदि $d = 7\lambda$ है,तो यह उच्चिष्ठ की शर्त में $n=7$ के अनुरूप है,इसलिए $O$ पर उच्चिष्ठ होगा। सही है।
कथन $(2)$: पर्दे पर निम्निष्ठों की संख्या पथ अंतर की सीमा $[-d, d]$ द्वारा निर्धारित होती है। निम्निष्ठ के लिए शर्त $\Delta x = (n + 1/2)\lambda$ है। $d = 4.3\lambda$ के लिए,$\Delta x$ के संभावित मान $\pm 0.5\lambda, \pm 1.5\lambda, \pm 2.5\lambda, \pm 3.5\lambda$ हैं। यह $O$ के प्रत्येक तरफ $4$ निम्निष्ठ देता है,कुल $8$ निम्निष्ठ। सही है।
कथन $(4)$: यदि $d = \lambda$ है,तो $O$ पर पथ अंतर $\lambda$ (उच्चिष्ठ) है। जैसे-जैसे हम $y$-अक्ष पर आगे बढ़ते हैं,पथ अंतर $\lambda$ से घटकर $0$ हो जाता है। पर्दे पर अन्य कोई बिंदु नहीं हैं जहाँ पथ अंतर $\lambda$ या $0$ हो सके ($O$ और अनंत पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर)। अतः,केवल $O$ पर एक ही उच्चिष्ठ मौजूद है। सही है।
सभी कथन सही हैं।

(A) दो स्रोतों के बीच की दूरी $d = 2a - (-a) = 3a$ है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ $x$-अक्ष के साथ कोण है।
अधिकतम संभव पथ अंतर $x$-अक्ष पर बिंदुओं पर होता है,जहाँ $\Delta x = \pm d = \pm 3a$ है।
दिया गया है $\lambda = a/5$,तरंगदैर्ध्य के संदर्भ में अधिकतम पथ अंतर $\Delta x_{max} = 3a / (a/5) = 15\lambda$ है।
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथ अंतर $n\lambda$ होना चाहिए,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
धनात्मक $x$-अक्ष पर ($P$ पर),$\Delta x = +15\lambda$ $(n = 15)$।
ऋणात्मक $x$-अक्ष पर ($Q$ पर),$\Delta x = -15\lambda$ $(n = -15)$।
जैसे-जैसे डिटेक्टर एक पूर्ण वृत्त में घूमता है,पथ अंतर $+15\lambda$ से $-15\lambda$ तक और वापस $+15\lambda$ तक बदलता है।
उच्चिष्ठ के लिए $n$ के मान $n = \pm 15, \pm 14, \dots, \pm 1, 0$ हैं।
$1$ से $14$ तक $n$ के प्रत्येक मान के लिए,वृत्त पर दो बिंदु होते हैं (एक ऊपरी अर्धवृत्त में और एक निचले अर्धवृत्त में)। यह $14 \times 2 = 28$ उच्चिष्ठ देता है।
$n = -1$ से $-14$ के लिए,$14 \times 2 = 28$ उच्चिष्ठ भी होते हैं।
$n = 0$ के लिए,दो बिंदु होते हैं (जहाँ $\Delta x = 0$,यानी $y$-अक्ष)।
$n = 15$ और $n = -15$ के लिए,प्रत्येक का केवल एक बिंदु होता है (ध्रुव $P$ और $Q$)।
उच्चिष्ठों की कुल संख्या $= 28 + 28 + 2 + 1 + 1 = 60$।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर प्रत्येक स्लिट से विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0$ है। तीव्रता $I = E_0^2$ है।
चूंकि स्लिट्स $S$ से समान दूरी पर हैं,इसलिए $S_1, S_2, S_3$ पर पहुँचने वाली तरंगें समान कला में हैं।
$P$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $E = E_0 + E_0 e^{i\phi_1} + E_0 e^{i\phi_2}$ है,जहाँ $\phi_1$ और $\phi_2$ तरंग $S_1$ के सापेक्ष कलांतर हैं।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$।
$S_1$ और $S_2$ के लिए: $\Delta x_1 = S_1P - S_2P = \lambda / 6$,इसलिए $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$।
$S_1$ और $S_3$ के लिए: $\Delta x_2 = S_1P - S_3P = 2\lambda / 3$,इसलिए $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{2\lambda}{3} = \frac{4\pi}{3}$।
परिणामी आयाम $E = E_0 (1 + e^{i\pi/3} + e^{i4\pi/3})$ है।
$E = E_0 (1 + (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) + (\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}))$।
$E = E_0 (1 + (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})) = E_0 (1 + 0 + 0) = E_0$।
परिणामी तीव्रता $I_{res} = |E|^2 = E_0^2 = I$।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए बड़ी तरंग दैर्ध्य के परिणामस्वरूप फ्रिंज की चौड़ाई अधिक होती है। अतः,कथन $A$ सही है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति पर,पथ अंतर $\Delta x = 0$ होता है। यह स्थिति उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र है,जिसका अर्थ है कि सभी तरंग दैर्ध्य अपने केंद्रीय उच्चिष्ठ को एक ही बिंदु पर बनाएंगी। अतः,कथन $B$ सही है।
$n$-वें उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। पहले उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,$y_1 = \frac{\lambda D}{d}$ होता है। चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_V)$ लाल प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_R)$ से कम होती है,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए पहला उच्चिष्ठ अन्य रंगों की तुलना में केंद्रीय उच्चिष्ठ के अधिक निकट बनेगा। अतः,कथन $C$ सही है।
चूंकि कथन $A$,$B$ और $C$ तीनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
$1$. चूँकि $\beta \propto D$,फ्रिंज चौड़ाई $D$ के सीधे अनुपात में बदलती है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2$. कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta$ को $\theta = \frac{\beta}{D} = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\theta$ केवल $\lambda$ और $d$ पर निर्भर करता है,इसलिए $D$ को बदलने पर यह नहीं बदलता है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$3$. केंद्रीय उच्चिष्ठ उस बिंदु पर होता है जहाँ पथ अंतर शून्य होता है। यह बिंदु दोनों स्लिटों से समान दूरी पर होता है,जो स्क्रीन पर बिंदु $O$ है। $D$ को बदलने से यह बिंदु स्थानांतरित नहीं होता है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
चूँकि सभी कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(C) सही मिलान इस प्रकार है:
$(i)$ इंद्रधनुष का निर्माण पानी की बूंदों द्वारा सूर्य के प्रकाश के विक्षेपण के कारण होता है: $(d)$।
$(ii)$ खतरे के संकेतों का लाल रंग लाल प्रकाश के सबसे कम प्रकीर्णन के कारण होता है: $(b)$।
$(iii)$ तेल की पतली परत और साबुन के बुलबुलों के विभिन्न रंग पतली फिल्म के व्यतिकरण के कारण होते हैं: $(e)$।
$(iv)$ लेंस द्वारा निर्मित रंगीन चित्र वर्ण विपथन (क्रोमैटिक एबरेशन) के कारण होते हैं: $(c)$।
$(v)$ बादलों के विभिन्न रंग बड़े कणों द्वारा प्रकाश के प्रकीर्णन के कारण होते हैं: $(b)$।
अतः,सही क्रम $i-(d), ii-(b), iii-(e), iv-(c), v-(b)$ है।

(B) एक हरी पत्ती में ऐसे रंगद्रव्य होते हैं जो हरे प्रकाश को परावर्तित करते हैं और दृश्य स्पेक्ट्रम में अन्य तरंगदैर्ध्य को अवशोषित करते हैं।
जब सफेद प्रकाश एक हरी पत्ती पर पड़ता है,तो यह हरे घटक को परावर्तित करती है,जिससे पत्ती हरी दिखाई देती है।
हरे प्रकाश की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $0.495 \,\mu m$ से $0.570 \,\mu m$ के बीच होती है।
आपतित लेजर प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $0.6328 \,\mu m$ है,जो स्पेक्ट्रम के लाल क्षेत्र के अनुरूप है।
चूंकि पत्ती इस तरंगदैर्ध्य को परावर्तित नहीं करती है,इसलिए यह आपतित लेजर प्रकाश को अवशोषित कर लेती है।
चूंकि कोई भी प्रकाश परावर्तित होकर वापस नहीं आता है,इसलिए पत्ती काली दिखाई देती है।

(A) एक हरा फूल केवल हरे प्रकाश को परावर्तित करता है और प्रकाश की अन्य सभी तरंग दैर्ध्य को अवशोषित कर लेता है।
लाल कांच एक फिल्टर के रूप में कार्य करता है जो केवल लाल प्रकाश को संचारित करता है और अन्य सभी रंगों को अवशोषित या परावर्तित कर देता है।
जब प्रकाश लाल कांच से होकर गुजरता है,तो केवल लाल प्रकाश ही हरे फूल तक पहुँचता है।
चूंकि हरा फूल लाल प्रकाश को अवशोषित कर लेता है और केवल हरे प्रकाश को परावर्तित करता है (जो आपतित प्रकाश में अनुपस्थित है),इसलिए यह प्रेक्षक की आँख तक लगभग कोई प्रकाश परावर्तित नहीं करता है।
इसलिए,लाल कांच से देखने पर फूल गहरा या काला दिखाई देता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(A) न्यूटन का कॉर्पस्कुलर सिद्धांत बताता है कि प्रकाश कॉर्पस्कल्स नामक छोटे कणों से बना है।
इस सिद्धांत के अनुसार,जैसे ही प्रकाश सघन माध्यम में प्रवेश करता है,उसका वेग बढ़ जाता है क्योंकि कण माध्यम द्वारा आकर्षित होते हैं।
हालाँकि,प्रयोगात्मक साक्ष्य बताते हैं कि विरल माध्यम की तुलना में सघन माध्यम में प्रकाश का वेग कम होता है।
इसलिए,कॉर्पस्कुलर सिद्धांत विभिन्न माध्यमों में प्रकाश के देखे गए वेग को समझाने में विफल रहता है।
चूंकि कारण सही ढंग से बताता है कि सिद्धांत विफल क्यों होता है,इसलिए दोनों कथन सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) निर्वात में,सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें (प्रकाश के विभिन्न रंगों सहित) समान गति से यात्रा करती हैं,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$। अतः,कथन गलत है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अपवर्तनांक है। चूंकि $n$ माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है,इसलिए गति $v$ भी तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है। अतः,कारण सही है।

(A) एक हरा फूल दृश्य स्पेक्ट्रम के हरे क्षेत्र में प्रकाश को परावर्तित करता है और अन्य तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करता है।
जब यह परावर्तित हरा प्रकाश लाल कांच पर आपतित होता है,तो लाल कांच एक फिल्टर के रूप में कार्य करता है जो केवल लाल प्रकाश को संचारित करता है और हरे रंग सहित अन्य सभी तरंग दैर्ध्य को अवशोषित कर लेता है।
चूंकि हरा प्रकाश लाल कांच द्वारा अवशोषित हो जाता है,इसलिए फूल से कोई भी प्रकाश प्रेक्षक की आंख तक नहीं पहुंचता है।
इसलिए,लाल कांच से देखने पर फूल गहरा दिखाई देता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(A) दृश्य स्पेक्ट्रम में बैंगनी से लाल रंग तक के रंग शामिल होते हैं।
विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अनुसार, जैसे-जैसे हम बैंगनी से लाल रंग की ओर बढ़ते हैं, तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बढ़ती जाती है।
इसलिए, लाल रंग के प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक, लगभग $700 \ nm$ होती है, जबकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे कम, लगभग $400 \ nm$ होती है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) तरंग भौतिकी का अध्ययन इतिहास में कई वैज्ञानिकों द्वारा आगे बढ़ाया गया है।
$1$. $Isaac$ $Newton$ ने प्रकाश का कणिका सिद्धांत (corpuscular theory) प्रस्तावित किया,जिसने तरंग-कण द्वैतता को समझने के लिए प्रारंभिक आधार तैयार किया।
$2$. $Christian$ $Huygens$ ने प्रकाश का तरंग सिद्धांत प्रस्तावित किया,जिसमें तरंग मोर्चों (wave fronts) का उपयोग करके परावर्तन और अपवर्तन जैसी घटनाओं की व्याख्या की गई।
$3$. $Thomas$ $Young$ ने प्रसिद्ध डबल-स्लिट प्रयोग किया,जिसने व्यतिकरण पैटर्न (interference patterns) के माध्यम से प्रकाश की तरंग प्रकृति के लिए निर्णायक प्रमाण प्रदान किए।
अतः,सूचीबद्ध सभी वैज्ञानिकों ने तरंग भौतिकी के अध्ययन में महत्वपूर्ण योगदान दिया है।

(N/A) कम ऊंचाई पर उड़ने वाले विमान द्वारा भेजे गए कमजोर रडार सिग्नल एंटीना द्वारा प्राप्त $TV$ सिग्नल के साथ हस्तक्षेप कर सकते हैं। परिणामस्वरूप,$TV$ सिग्नल विकृत हो सकते हैं। इसलिए,जब कोई कम ऊंचाई पर उड़ने वाला विमान ऊपर से गुजरता है,तो हम कभी-कभी अपने $TV$ स्क्रीन पर चित्र में थोड़ी हलचल देखते हैं।
$(b)$ तरंग विस्थापन के रैखिक अध्यारोपण का सिद्धांत तीव्रता वितरण और व्यतिकरण पैटर्न को समझने के लिए आवश्यक है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अध्यारोपण तरंग गति को नियंत्रित करने वाले अवकल समीकरण (differential equation) की रैखिक प्रकृति से प्राप्त होता है। यदि $y_{1}$ और $y_{2}$ द्वितीय-क्रम के तरंग समीकरण के समाधान हैं,तो $y_{1}$ और $y_{2}$ का कोई भी रैखिक संयोजन भी तरंग समीकरण का समाधान होगा।

(A) बल्ब जैसे बिंदु स्रोत से आने वाले प्रकाश की तीव्रता $(I)$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{r^2}$। यदि दूरी $(r)$ दोगुनी हो जाती है,तो तीव्रता अपने मूल मान की $\frac{1}{4}$ हो जाती है।
इसके विपरीत,एक $LASER$ किरण स्थिर तीव्रता बनाए रखती है क्योंकि यह अत्यधिक संरेखित (highly collimated) होती है। इसके लिए जिम्मेदार ज्यामितीय विशेषता इसका कम विचलन (low divergence) है।
$LASER$ प्रकाश की मुख्य विशेषताएं जो इस व्यवहार में योगदान करती हैं:
$(i)$ अत्यधिक संरेखित (कम विचलन)
$(ii)$ एकवर्णी (Monochromatic)
$(iii)$ सुसंगत (Coherent)
$(iv)$ एकदिशीय (Unidirectional)
ये गुण बल्ब द्वारा उत्सर्जित प्रकाश में अनुपस्थित होते हैं,जो गोलाकार रूप में फैलता है।

(N/A) दृश्य प्रकाश के स्पेक्ट्रम में,तरंगदैर्घ्य की सीमा लगभग $380 \ nm$ से $750 \ nm$ तक होती है।
$VIBGYOR$ क्रम के अनुसार:
$1$. सबसे कम तरंगदैर्घ्य वाला रंग बैंगनी (Violet) है,जो लगभग $380 \ nm$ से $450 \ nm$ के बीच होता है।
$2$. सबसे अधिक तरंगदैर्घ्य वाला रंग लाल (Red) है,जो लगभग $620 \ nm$ से $750 \ nm$ के बीच होता है।

(A) सोडियम लैंप द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य (विशेष रूप से $D$-लाइन्स) लगभग $\lambda = 589.3 \ nm = 589.3 \times 10^{-9} \ m$ होती है।
संबंध $c = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है:
$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{589.3 \times 10^{-9} \ m} \approx 5.09 \times 10^{14} \ Hz$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(N/A)

व्यतिकरण प्रतिरूप	विवर्तन प्रतिरूप
$(1)$ यह विभिन्न कला-संबद्ध स्रोतों से आने वाली तरंगों के अध्यारोपण के कारण प्राप्त होता है। अतः,यह विभिन्न तरंगाग्रों के अध्यारोपण के कारण उत्पन्न प्रभाव है।	$(1)$ यह एक ही तरंगाग्र के विभिन्न भागों से उत्पन्न तरंगों के अध्यारोपण के कारण प्राप्त होता है।
$(2)$ दीप्त और अदीप्त व्यतिकरण फ्रिंज समान चौड़ाई की होती हैं।	$(2)$ विवर्तन फ्रिंज समान चौड़ाई की नहीं होती हैं। केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई सबसे अधिक होती है,जबकि उच्च कोटि के विवर्तन के लिए उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की चौड़ाई घटती जाती है।
$(3)$ सभी दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता समान होती है।	$(3)$ केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता सबसे अधिक होती है और उच्च कोटि के विवर्तन उच्चिष्ठों के साथ यह घटती जाती है।
$(4)$ अदीप्त व्यतिकरण फ्रिंज पूर्णतः अंधेरे होते हैं।	$(4)$ न्यूनतम तीव्रता वाले क्षेत्र पूर्णतः अंधेरे नहीं हो सकते हैं।

(N/A) $(1)$ दोनों में बनने वाला पैटर्न तरंगों के अध्यारोपण के कारण होता है।
- व्यतिकरण पैटर्न दो संकीर्ण स्लिटों से निकलने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से प्राप्त होता है। विवर्तन पैटर्न एक ही स्लिट पर प्रत्येक बिंदु से निकलने वाली तरंगों के एक निरंतर परिवार का अध्यारोपण है।
$(2)$ व्यतिकरण पैटर्न में समान दूरी पर स्थित चमकीली और काली पट्टियाँ होती हैं। विवर्तन पैटर्न में एक केंद्रीय चमकीला उच्चिष्ठ (maximum) होता है जो अन्य उच्चिष्ठों की तुलना में दोगुना चौड़ा होता है। केंद्र से दूर जाने पर क्रमिक उच्चिष्ठों की तीव्रता कम होती जाती है।
$(3)$ $a$ चौड़ाई वाली स्लिट के लिए,विवर्तन पैटर्न का प्रथम कोटि का निम्निष्ठ (minimum) $\theta = \frac{\lambda}{a}$ कोण पर प्राप्त होता है। व्यतिकरण में,$d$ दूरी से अलग दो स्लिटों के लिए प्रथम कोटि का उच्चिष्ठ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ पर होता है।
$(4)$ व्यतिकरण और विवर्तन दोनों में,प्रकाश ऊर्जा का पुनर्वितरण होता है। यदि यह एक क्षेत्र में कम होकर काली फ्रिंज बनाती है,तो यह दूसरे क्षेत्र में बढ़कर चमकीली फ्रिंज बनाती है। ऊर्जा का कोई लाभ या हानि नहीं होती है,जो ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुरूप है।

(A) जब कोई तरंग सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाती है:
$1$. तरंग की चाल बढ़ जाती है क्योंकि विरल माध्यम का अपवर्तनांक कम होता है और तरंग को कम प्रतिरोध का सामना करना पड़ता है ($v = f \lambda$,और चूंकि आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ने पर चाल $v$ बढ़ जाती है)।
$2$. तरंग का आयाम घट जाता है क्योंकि तरंग ऊर्जा का एक हिस्सा दोनों माध्यमों के अंतरापृष्ठ (interface) से वापस परावर्तित हो जाता है।
अतः,सही मिलान है: $(a-i), (b-ii)$।

(A) निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ सभी रंगों के लिए स्थिर होती है। गति, आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $c = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि लाल प्रकाश और नीले प्रकाश के तरंगदैर्घ्य अलग-अलग $(\lambda_{red} > \lambda_{blue})$ होते हैं, इसलिए समान गति $c$ बनाए रखने के लिए उनकी आवृत्तियाँ भी अलग-अलग $(f_{red} < f_{blue})$ होनी चाहिए। अतः, वे आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य दोनों में भिन्न होते हैं।

(A) मान लीजिए स्तंभों की मोटाई $t$ है। निर्वात में तरंगों की संख्या $N_v = t / \lambda$ है और हवा में तरंगों की संख्या $N_a = t / \lambda_a$ है,जहाँ $\lambda_a = \lambda / \mu_{air}$ है।
दिया गया है कि तरंगों की संख्या में अंतर $1$ है,इसलिए $N_v - N_a = 1$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $t / \lambda - t / (\lambda / \mu_{air}) = 1$.
$t / \lambda - (t \cdot \mu_{air}) / \lambda = 1$.
$(t / \lambda) (1 - \mu_{air}) = 1$.
चूंकि $\mu_{air} = 1.0003$,अंतर का परिमाण $(t / \lambda) (\mu_{air} - 1) = 1$ है।
$t = \lambda / (\mu_{air} - 1) = 6000 \times 10^{-10} \, m / (1.0003 - 1) = 6000 \times 10^{-10} / 0.0003$.
$t = 6000 \times 10^{-10} / (3 \times 10^{-4}) = 2000 \times 10^{-6} \, m = 2 \times 10^{-3} \, m = 2 \, mm$.

(B) दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 638 \,nm$
मॉड्युलेशन आवृत्ति $f = 1 \,GHz = 1 \times 10^{9} \,Hz$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \,m/s$
पल्स की लंबाई (या एक पल्स का स्थानिक विस्तार) मॉड्युलेशन आवृत्ति के एक आवर्तकाल में प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी से निर्धारित होती है।
दो डिटेक्टरों के बीच की दूरी $D$ ताकि वे एक ही पल्स को एक साथ देख सकें,मॉड्युलेशन की तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है,जो इस प्रकार है:
$D = \frac{c}{f}$
मान रखने पर:
$D = \frac{3 \times 10^{8} \,m/s}{1 \times 10^{9} \,Hz} = 0.3 \,m$
$D = 30 \,cm$
अतः,दो डिटेक्टरों को एक-दूसरे से अधिकतम $30 \,cm$ की दूरी पर रखा जा सकता है।

(B) गाजर सफेद प्रकाश में नारंगी दिखाई देता है क्योंकि यह दृश्य स्पेक्ट्रम के नारंगी हिस्से को परावर्तित करता है और शेष भाग को अवशोषित कर लेता है।
दृश्य स्पेक्ट्रम लगभग $400 \,nm$ से $750 \,nm$ तक होता है।
$1$. $\beta$-कैरोटीन अणु द्वारा अवशोषित तरंगदैर्ध्य मुख्य रूप से स्पेक्ट्रम के नीले और हरे क्षेत्रों में होती है,जो लगभग $550 \,nm$ से कम होती है।
$2$. परावर्तित तरंगदैर्ध्य (जो गाजर को नारंगी रंग प्रदान करती है) पीले,नारंगी और लाल क्षेत्रों में होती है,जो $550 \,nm$ से अधिक होती है।
अतः,$\beta$-कैरोटीन अणु $550 \,nm$ से कम तरंगदैर्ध्य के प्रकाश को अवशोषित करता है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
विभिन्न रंगों की प्रकाश तरंगें अपनी अलग-अलग तरंगदैर्ध्य और आवृत्तियों द्वारा पहचानी जाती हैं।
नीले प्रकाश की तुलना में लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अधिक और आवृत्ति कम होती है।
चूंकि निर्वात में प्रकाश की गति सभी रंगों के लिए समान $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ होती है,इसलिए लाल और नीले प्रकाश के बीच का अंतर उनकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य में होता है,न कि उनकी गति,तीव्रता या आयाम में।