Properties of Alpha, Beta and Gamma Rays and Decay Process Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ઉત્સર્જિત $ \alpha $-કણોની સંખ્યા $ x $ છે અને $ \beta $-કણોની સંખ્યા $ y $ છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $ { }_{90} Th^{232} \rightarrow { }_{82} Pb^{208} + x({ }_{2} He^{4}) + y({ }_{-1} e^{0}) $.
દળ ક્રમાંકને સરખાવતા: $ 232 = 208 + 4x \implies 4x = 24 \implies x = 6 $.
પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા: $ 90 = 82 + 2x - y $.
$ x = 6 $ મૂકતા: $ 90 = 82 + 2(6) - y \implies 90 = 82 + 12 - y \implies 90 = 94 - y \implies y = 4 $.
આમ,$ 6 $ $ \alpha $-કણો અને $ 4 $ $ \beta $-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(D) ધારો કે $X$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z_X$ અને દળ ક્રમાંક $A_X$ છે.
પ્રથમ તબક્કામાં,$X \rightarrow Y + 4e$. જો આપણે $4$ આલ્ફા કણોનું ઉત્સર્જન ગણીએ,તો પરમાણુ ક્રમાંકમાં $4 \times 2 = 8$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંકમાં $4 \times 4 = 16$ નો ઘટાડો થાય છે.
બીજા તબક્કામાં,$Y \rightarrow Z + 2e^{-}$. $2$ બીટા કણોના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો વધારો થાય છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં કુલ ફેરફાર: $\Delta Z = -8 + 2 = -6$.
જો પ્રશ્ન મુજબ $X$ અને $Z$ આઈસોટોપ હોય,તો તેમનો પરમાણુ ક્રમાંક સમાન હોવો જોઈએ. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$X$ અને $Z$ આઈસોટોપ છે તે સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે ડોટર ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ઝડપ $v^{\prime}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તેથી,તંત્રનું અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $\alpha$-કણનું દળ $4$ એકમ છે અને ડોટર ન્યુક્લિયસનું દળ $(A-4)$ એકમ છે.
$0 = (A-4) v^{\prime} + 4 v$
$(A-4) v^{\prime} = -4 v$
$v^{\prime} = -\frac{4 v}{A-4}$
રિકોઈલ ઝડપનું મૂલ્ય $\frac{4 v}{A-4}$ છે.

(A) જ્યારે ન્યુક્લિયસ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામે છે,ત્યારે $\alpha$-કણ $(^4_2 He)$ ના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે.
$\beta$-કણ $(^0_{-1} e)$ ના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
ગામા $(\gamma)$ ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આપેલ છે: $n_{\alpha} = 4$,$n_{\beta} = 3$,$n_{\gamma} = 8$.
અંતિમ પરમાણુ ક્રમાંક $Z' = Z - 2(n_{\alpha}) + 1(n_{\beta}) = Z - 2(4) + 3 = Z - 8 + 3 = Z - 5$.
અંતિમ દળ ક્રમાંક $A' = A - 4(n_{\alpha}) + 0(n_{\beta}) = A - 4(4) = A - 16$.
તેથી,પરિણામી ન્યુક્લિયસનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z-5$ અને દળ ક્રમાંક $A-16$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવિટીનો એકમ,ક્યુરી $(Ci)$,$1 \ g$ રેડિયમ-$226$ ની એક્ટિવિટી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1$ ક્યુરી એ $3.7 \times 10^{10}$ વિભંજન પ્રતિ સેકન્ડ બરાબર છે.
આ મૂલ્ય તેના ક્ષય નીપજો સાથે સંતુલનમાં રહેલા $1$ ગ્રામ રેડિયમ-$226$ ની એક્ટિવિટી પર આધારિત છે.

(D) $\beta^{-}$-કણ એ એક ઇલેક્ટ્રોન છે. $\beta^{-}$-કણના ઉત્સર્જનમાં ન્યુટ્રોનનું પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu})$ નામના ત્રીજા કણમાં રૂપાંતર થાય છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
${ }_{0} n^{1} \rightarrow { }_{1} p^{1} + { }_{-1} e^{0} + \bar{\nu}$

(D) $\beta$-ઉત્સર્જન રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસમાંથી થાય છે. $\beta^{-}$-ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિ-ન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1} e^{0}+\overline{v}$
ઉદાહરણ તરીકે: ${ }_{15}^{32} P \longrightarrow{ }_{16}^{32} S+{ }_{-1} e^{0}+\overline{v}$
$\beta^{+}$-ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલો એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોન,પોઝિટ્રોન અને ન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z-1}^{A} Y+{ }_{+1} e^{0}+v$
ઉદાહરણ તરીકે: ${ }_{11}^{22} Na \longrightarrow{ }_{10}^{22} Ne+{ }_{+1} e^{0}+v$
આમ,આ ઉત્સર્જન ઇલેક્ટ્રોન કક્ષામાંથી નહીં પરંતુ ન્યુક્લિયસમાંથી થાય છે.

(B) કોઈપણ રેડિયોએક્ટિવ તત્વ તેના પોતાના આઈસોટોપમાં ફેરવાય તે માટે પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સમાન રહેવો જોઈએ,જ્યારે પરમાણુ દળાંક $(A)$ બદલાય છે.
$\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળાંક $4$ જેટલો ઘટે છે $(_{2}He^{4})$.
$\beta$-કણના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(_{-1}\beta^{0})$.
$3$ વિઘટન પછી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ અચળ રાખવા માટે,આપણે ફેરફારને સંતુલિત કરવો પડે: $\Delta Z = (n_{\alpha} \times -2) + (n_{\beta} \times 1) = 0$.
અહીં $n_{\alpha} + n_{\beta} = 3$ આપેલ છે,જો $n_{\alpha} = 1$ લઈએ તો $(-2) + (2) = 0$ થાય છે.
તેથી,$1$ $\alpha$-કણ અને $2$ $\beta$-કણોનું ઉત્સર્જન સમાન પરમાણુ ક્રમાંક જાળવી રાખે છે,જે આઈસોટોપ બનાવે છે.

(B) ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ $ _{Z}^{A}X $ છે.
જ્યારે $ \alpha $-કણ $( _{2}^{4}He )$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે દળ ક્રમાંક $ 4 $ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $ 2 $ જેટલો ઘટે છે. નવું ન્યુક્લિયસ $ _{Z-2}^{A-4}Y $ બને છે.
જ્યારે $ \beta $-કણ $( _{-1}^{0}e )$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $ 1 $ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
જો આપણે એક $ \alpha $ અને બે $ \beta $ કણોનું ઉત્સર્જન કરીએ:
$1$. $ \alpha $ ઉત્સર્જન પછી: $ _{Z-2}^{A-4}Y $
$2$. પ્રથમ $ \beta $ ઉત્સર્જન પછી: $ _{Z-1}^{A-4}Y' $
$3$. બીજા $ \beta $ ઉત્સર્જન પછી: $ _{Z}^{A-4}Y'' $
અહીં પરમાણુ ક્રમાંક $ Z $ મૂળ ન્યુક્લિયસ જેટલો જ હોવાથી,તે મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઈસોટોપ છે.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા ત્યારે જ શક્ય બને છે જો તે વિદ્યુતભાર (પરમાણુ ક્રમાંક) અને દળ સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમોનું પાલન કરે.
વિકલ્પ $C$ માટે: ${ }_{93} Np^{239} \longrightarrow{ }_{94} Pu^{239}+\beta^{-}+\bar{\nu}$.
વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ: $93 = 94 + (-1) + 0 = 93$. આ સંતોષાય છે.
દળ સંખ્યાનું સંરક્ષણ: $239 = 239 + 0 + 0 = 239$. આ સંતોષાય છે.
આ પ્રક્રિયા નેપ્ચ્યુનિયમ-$239$ નું પ્લુટોનિયમ-$239$ માં $\beta^{-}$-ક્ષય દર્શાવે છે,જે ભૌતિક રીતે શક્ય પ્રક્રિયા છે.

(C) આપેલ પરમાણુ પ્રક્રિયા છે: ${ }_6^{11} C \rightarrow{ }_5^{11} B + \beta^+ + X$ ...$(i)$
$\beta^+$ ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન) માં,ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલો પ્રોટોન ન્યુટ્રોન,પોઝિટ્રોન અને ન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $p \rightarrow n + \beta^+ + \nu$.
લેપ્ટોન નંબરના સંરક્ષણ માટે પોઝિટ્રોન સાથે ન્યુટ્રિનો $(\nu)$ નું ઉત્સર્જન જરૂરી છે જેથી લેપ્ટોન નંબર સંતુલિત રહે.
તેથી,${ }_6^{11} C$ ના ક્ષયમાં,કણ $X$ એ ન્યુટ્રિનો $(\nu)$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયામાં,કુલ દળ ક્રમાંક અને કુલ પરમાણુ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ નીપજ ${ }_{Z}^{A} \text{Pb}$ છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{90}^{232} \text{Th} \rightarrow { }_{Z}^{A} \text{Pb} + 6({ }_{2}^{4} \text{He}) + 4({ }_{-1}^{0} \text{e})$.
દળ ક્રમાંક $(A)$ માટે:
$232 = A + 6(4) + 4(0)$
$232 = A + 24$
$A = 232 - 24 = 208$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ માટે:
$90 = Z + 6(2) + 4(-1)$
$90 = Z + 12 - 4$
$90 = Z + 8$
$Z = 90 - 8 = 82$.
આમ,દળ ક્રમાંક $208$ છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $82$ છે.

(D) આપેલ પ્રક્રિયા $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}$ છે.
આ $\beta^{-}$ ક્ષય પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,જેમાં એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\beta^{-}$ ક્ષયમાં,લેપ્ટોન સંખ્યાના સંરક્ષણ માટે પ્રક્રિયામાં ઉત્પન્ન થયેલા ઇલેક્ટ્રોન (લેપ્ટોન સંખ્યા $+1$) ને સંતુલિત કરવા માટે એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu})$ નું ઉત્સર્જન જરૂરી છે.
તેથી,$x$ એ એન્ટિન્યુટ્રિનો દર્શાવે છે.

(C) આઈસોટોપ્સ (સમસ્થાનિકો) એવા પરમાણુઓ છે જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સમાન હોય છે પરંતુ દળ ક્રમાંક $(A)$ અલગ હોય છે.
ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z}^{A} X$ છે.
એક $\alpha$ કણ $({ }_{2}^{4} He)$ ના ઉત્સર્જન પછી,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે:
${ }_{Z}^{A} X \rightarrow { }_{Z-2}^{A-4} Y + { }_{2}^{4} He$.
મૂળ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ પર પાછા આવવા માટે,આપણે પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો વધારો કરવો જરૂરી છે. આ બે $\beta^-$ કણો $({ }_{-1}^{0} e)$ ના ઉત્સર્જન દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે:
${ }_{Z-2}^{A-4} Y + 2({ }_{-1}^{0} e) \rightarrow { }_{Z}^{A-4} Y$.
આમ,એક $\alpha$ કણ અને બે $\beta$ કણોનું ઉત્સર્જન મૂળ ન્યુક્લિયસનું આઈસોટોપ બનાવે છે,જેમાં દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે.

(B) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${ }_{92}^{238} U$ છે અને અંતિમ ન્યુક્લિયસ ${ }_{82}^{206} Pb$ છે.
ધારો કે $n_{\alpha}$ એ $\alpha$-કણોની સંખ્યા છે અને $n_{\beta}$ એ $\beta$-કણોની સંખ્યા છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $238 - 206 = 32$ છે.
દરેક $\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha} = \frac{32}{4} = 8$ થશે.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $92 - 82 = 10$ છે.
$8$ $\alpha$-કણોના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $8 \times 2 = 16$ જેટલો ઘટશે.
ધારો કે $n_{\beta}$ એ $\beta$-કણોની સંખ્યા છે. દરેક $\beta$-કણ પરમાણુ ક્રમાંકમાં $1$ નો વધારો કરે છે.
તેથી,$92 - (8 \times 2) + n_{\beta} = 82$.
$92 - 16 + n_{\beta} = 82$.
$76 + n_{\beta} = 82$.
$n_{\beta} = 82 - 76 = 6$.
આમ,$\alpha$-કણોની સંખ્યા $8$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $6$ છે.

(A) હેનરી બેકવેરલે કુદરતી કિરણોત્સર્ગની શોધ કરી હતી અને તેઓ ફ્રાન્સના હતા. આ વિધાન સાચું છે.
માર્કોનીએ વાયરલેસ ટેલિગ્રાફીની શોધ કરી હતી અને તેઓ ઇટાલીના હતા,અમેરિકાના નહીં.
આઇઝેક ન્યૂટને ગતિના નિયમોની શોધ કરી હતી અને તેઓ ઇંગ્લેન્ડના હતા,અમેરિકાના નહીં.
આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન જર્મનીના હતા (પાછળથી યુએસએના નાગરિક બન્યા),અને તેમણે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર સમજાવી હતી,ઈંગ્લેન્ડના નહીં.

(A) મુક્ત ન્યુટ્રોન અસ્થાયી હોય છે અને તે સ્વયંભૂ રીતે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોન એન્ટી-ન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામે છે.
ક્ષયનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$
આ પ્રક્રિયાને બીટા-માઇનસ $(\beta^{-})$ ક્ષય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે વિદ્યુતભાર,બેરિયોન સંખ્યા અને લેપ્ટોન સંખ્યાનું સંરક્ષણ કરે છે.

(B) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z}^{A} X$ છે.
પ્રથમ $\alpha$-ક્ષય પછી,ન્યુક્લિયસ $P$ બને છે: ${ }_{Z-2}^{A-4} P$.
$P$ ના $\beta$-ક્ષય પછી,ન્યુક્લિયસ $Q$ બને છે: ${ }_{Z-2+1}^{A-4} Q = { }_{Z-1}^{A-4} Q$.
$Q$ ના બીજા $\alpha$-ક્ષય પછી,ન્યુક્લિયસ $R$ બને છે: ${ }_{Z-1-2}^{A-4-4} R = { }_{Z-3}^{A-8} R$.
ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z'}^{A'} R$ માં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A' - Z'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસ $R$ માટે,$A' = A-8$ અને $Z' = Z-3$.
તેથી,$N = (A-8) - (Z-3) = A - 8 - Z + 3 = A - Z - 5$.

(B) એક $\alpha$-કણ $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોનનો બનેલો હોય છે,જે હિલિયમ પરમાણુના ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4}He^{2+})$ સમાન છે.
તેમાં તેના બે કક્ષીય ઇલેક્ટ્રોનનો અભાવ હોવાથી,તેને દ્વિ-આયનીકૃત હિલિયમ પરમાણુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) $\beta^{-}$ ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદરનો ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન ($\beta^{-}$ કણ) અને એન્ટી-ન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu}_{e})$ માં ક્ષય પામે છે.
આ સમીકરણ આ મુજબ છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$.
અહીં,'$x$' કણ એન્ટી-ન્યુટ્રિનો દર્શાવે છે.
આ પ્રક્રિયા લેપ્ટોન સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોનની લેપ્ટોન સંખ્યા $+1$ છે અને એન્ટી-ન્યુટ્રિનોની લેપ્ટોન સંખ્યા $-1$ છે,જેથી કુલ લેપ્ટોન સંખ્યા $0$ રહે છે,જે ન્યુટ્રોન માટે હતી.

(A) ધારો કે ન્યુક્લિયસ $P$ ને $_{Z}^{A}P$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આલ્ફા કણને $_{2}^{4}\alpha$ તરીકે અને $\beta^{-}$ કણને (ઇલેક્ટ્રોન) $_{-1}^{0}e$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા છે: $_{Z}^{A}P \rightarrow _{Z'}^{A'}Q + 1(_{2}^{4}\alpha) + 2(_{-1}^{0}e)$.
દળ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ: $A = A' + 4 + 2(0) \Rightarrow A' = A - 4$.
પરમાણુ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ: $Z = Z' + 2 + 2(-1) \Rightarrow Z = Z' + 2 - 2 \Rightarrow Z = Z'$.
જેથી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સમાન રહે છે $(Z = Z')$,ન્યુક્લિયસ $P$ અને $Q$ માં પ્રોટોનની સંખ્યા સમાન છે.
સમાન પરમાણુ ક્રમાંક પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસને આઈસોટોપ્સ (સમસ્થાનિકો) કહેવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n$ છે અને $\beta^{-}$-કણોની સંખ્યા $m$ છે.
$\alpha$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
$\beta^{-}$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર: $232 - 208 = 4n + 0m = 24$.
તેથી,$n = 24 / 4 = 6$.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર: $90 - 82 = 2n - m$.
$n = 6$ મૂકતા: $8 = 2(6) - m$,જે આપે છે $8 = 12 - m$.
તેથી,$m = 12 - 8 = 4$.
આમ,$6$ $\alpha$-કણો અને $4$ $\beta^{-}$-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(A) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha}$ છે અને ઉત્સર્જિત $\beta^{-}$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta}$ છે.
દળ ક્રમાંક માટે: $238 = 214 + 4n_{\alpha} \implies 4n_{\alpha} = 24 \implies n_{\alpha} = 6$.
પરમાણુ ક્રમાંક માટે: $92 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 6$ મૂકતા: $92 = 82 + 2(6) - n_{\beta} \implies 92 = 82 + 12 - n_{\beta} \implies 92 = 94 - n_{\beta} \implies n_{\beta} = 2$.
આમ,$\alpha$-કણોની સંખ્યા $6$ છે અને $\beta^{-}$-કણોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસનો $\beta$-ક્ષય નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1}^{0} e + \bar{\nu}$
આ પ્રક્રિયામાં,દળ ક્રમાંક $A$ અચળ રહે છે,જ્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસ $X$ અને પુત્રી ન્યુક્લિયસ $Y$ બંને માટે દળ ક્રમાંક $A$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમભારીકો (isobars) છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $\alpha$-ક્ષયની પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $X \rightarrow Y + \alpha$ .
અહીં,$X$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસ છે,$Y$ એ પુત્રી ન્યુક્લિયસ છે,અને $\alpha$ એ $\alpha$-કણ $(_{2}He^{4})$ છે.
પ્રક્રિયામાં દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ પ્રારંભિક દળ અને અંતિમ દળ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta m = m_x - (m_y + m_a) = m_x - m_y - m_a$ .
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,મુક્ત થતી ઊર્જા (જે નીપજોની કુલ ગતિઊર્જા તરીકે મળે છે) $Q = \Delta m c^2$ છે.
તેથી,મેળવેલી કુલ ગતિઊર્જા $Q = (m_x - m_y - m_a) c^2$ થશે.

(D) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha}$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta}$ છે.
ક્ષય ${}^{238}_{92}U \longrightarrow {}^{206}_{82}Pb + n_{\alpha}({}^{4}_{2}He) + n_{\beta}({}^{0}_{-1}e)$ માટે:
દળ ક્રમાંકને સરખાવતા: $238 = 206 + 4n_{\alpha} \implies 4n_{\alpha} = 32 \implies n_{\alpha} = 8$.
પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા: $92 = 82 + 2n_{\alpha} - n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 8$ મૂકતા: $92 = 82 + 2(8) - n_{\beta} \implies 92 = 82 + 16 - n_{\beta} \implies 92 = 98 - n_{\beta} \implies n_{\beta} = 6$.
આમ,$8$ $\alpha$-કણો અને $6$ $\beta$-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(D) પરમાણુ ક્ષયની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${ }_{94}^{239} Pu \rightarrow { }_{92}^{235} U + { }_{Z}^{A} X$.
દળ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $239 = 235 + A \Rightarrow A = 4$.
પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $94 = 92 + Z \Rightarrow Z = 2$.
$4$ દળ ક્રમાંક અને $2$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો કણ એ આલ્ફા કણ $({ }_{2}^{4} He)$ છે.
તેથી,આ ક્ષય દરમિયાન આલ્ફા કણ ઉત્સર્જિત થાય છે.

(A) મુક્ત ન્યુટ્રોન અસ્થાયી હોય છે અને તે સ્વયંભૂ રીતે પ્રોટોન, ઇલેક્ટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોન એન્ટી-ન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામે છે. આ ક્ષય પ્રક્રિયાને નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$. આ પ્રક્રિયાને બીટા-માઈનસ $(\beta^{-})$ ક્ષય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) ન્યુક્લિયર ફિઝિક્સમાં,$\beta$-ક્ષય એ એક પ્રકારનો રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય છે જેમાં પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાંથી બીટા કણ (ઝડપી ઊર્જાવાન ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોન) ઉત્સર્જિત થાય છે,જે મૂળ ન્યુક્લાઇડને તે ન્યુક્લાઇડના આઇસોબારમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
બીટા ક્ષય એ વીક ન્યુક્લિયર ફોર્સ (weak nuclear force) દ્વારા સંચાલિત એક મૂળભૂત પ્રક્રિયા છે,જે ન્યુક્લિયોન્સની અંદર ક્વાર્ક્સના રૂપાંતરણ (દા.ત.,ડાઉન ક્વાર્કનું અપ ક્વાર્કમાં રૂપાંતર) માટે જવાબદાર છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_Z X^A$ છે.
$1$. $\alpha$-ક્ષય દળ ક્રમાંકમાં $4$ નો ઘટાડો અને પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો ઘટાડો કરે છે.
$2$. $\beta$-ક્ષય પરમાણુ ક્રમાંકમાં $1$ નો વધારો કરે છે અને દળ ક્રમાંક અપરિવર્તિત રહે છે.
$3$. $\gamma$-ક્ષય દળ ક્રમાંક કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર કરતું નથી.
આપેલ ક્ષય શ્રેણી:
$X(Z, A) \xrightarrow{\alpha} X_1(Z-2, A-4) \xrightarrow{\beta} X_2(Z-1, A-4) \xrightarrow{\alpha} X_3(Z-3, A-8) \xrightarrow{\gamma} X_4(Z-3, A-8)$
$X_4$ માટે પરમાણુ ક્રમાંક $69$ અને દળ ક્રમાંક $172$ આપેલ છે:
$Z - 3 = 69 \implies Z = 72$
$A - 8 = 172 \implies A = 180$
આમ,$X$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $72$ અને દળ ક્રમાંક $180$ છે.

(C) બીટા-માઈનસ ક્ષય માટેની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $_{Z}X^{A} \rightarrow _{Z+1}Y^{A} + _{-1}e^{0} + \bar{\nu} + Q$.
પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય એ મુક્ત થતી ઉર્જા છે,જે દળ ક્ષતિને $c^{2}$ વડે ગુણવાથી મળે છે.
ન્યુક્લિયસ $X$ નું પરમાણ્વીય દળ $M_{x}$ તેના ન્યુક્લિયર દળ $m_{x}$ સાથે $M_{x} = m_{x} + Zm_{e}$ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$m_{x} = M_{x} - Zm_{e}$.
ન્યુક્લિયસ $Y$ નું પરમાણ્વીય દળ $M_{y}$ તેના ન્યુક્લિયર દળ $m_{y}$ સાથે $M_{y} = m_{y} + (Z+1)m_{e}$ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$m_{y} = M_{y} - (Z+1)m_{e}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ $Q = (m_{x} - m_{y} - m_{e})c^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયર દળ માટેના પદો મૂકતા:
$Q = [(M_{x} - Zm_{e}) - (M_{y} - (Z+1)m_{e}) - m_{e}]c^{2}$
$Q = [M_{x} - Zm_{e} - M_{y} + Zm_{e} + m_{e} - m_{e}]c^{2}$
$Q = (M_{x} - M_{y})c^{2}$.
તેથી,ઉત્સર્જિત બીટા કણની મહત્તમ ઉર્જા $(M_{x} - M_{y})c^{2}$ છે.

(B) $\alpha$ ક્ષયમાં,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે. $\beta^-$ ક્ષયમાં,$Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે અને $A$ અચળ રહે છે. $\beta^+$ ક્ષયમાં,$Z$ માં $1$ નો ઘટાડો થાય છે અને $A$ અચળ રહે છે.
આઇસોટોપ સમાન પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવે છે પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવે છે. કારણ કે $\alpha$ ક્ષય $Z$ ને બદલે છે અને $\beta$ ક્ષય પણ $Z$ ને બદલે છે,તેથી આ બંને પ્રક્રિયાઓમાંથી કોઈ પણ મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન કરી શકતી નથી. આમ,સાચો જવાબ એ છે કે મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન થઈ શકતો નથી.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે કારણ કે ન્યુક્લિયસ શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ છે,જે દળ-સંખ્યા $A$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી,$M = kA$.
$\alpha$-કણનું દળ $4$ (પરમાણ્વીય દળ એકમમાં) છે અને ડોટર ન્યુક્લિયસનું દળ $(A-4)$ છે.
ધારો કે ડોટર ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ઝડપ $V_r$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}$
$0 = m_{\alpha} v + m_{\text{daughter}} V_r$
$0 = 4v + (A-4) V_r$
$V_r = -\frac{4v}{A-4}$
રિકોઈલ ઝડપનું મૂલ્ય $\frac{4v}{A-4}$ છે.

(C) $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_{\alpha} = \frac{A-4}{A} Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક છે.
પદાર્થ $A$ માટે,જેનો દળ-ક્રમાંક $A_1 = 200$ છે,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_A = \frac{200-4}{200} Q = \frac{196}{200} Q$ થાય.
પદાર્થ $B$ માટે,જેનો દળ-ક્રમાંક $A_2 = 212$ છે,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_B = \frac{212-4}{212} Q = \frac{208}{212} Q$ થાય.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{196}{200} \times \frac{212}{208}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{196 \times 212}{200 \times 208} = \frac{41552}{41600}$.
અંશ અને છેદને $16$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2597}{2600}$ મળે છે.