Magnetization, Magnetic Induction Susceptibility Questions in Gujarati

(A) સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_{r}$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\chi = \mu_{r} - 1$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે નિરપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu$ એ સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_{r}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે: $\mu = \mu_0 \mu_{r}$.
આના પરથી,આપણે સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટીને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_0}$.
$\mu_{r}$ ની આ કિંમતને સસેપ્ટિબિલિટીના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\chi = \frac{\mu}{\mu_0} - 1$.

(A) હવા ધરાવતા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 n I$ છે.
જ્યારે કોરને $\mu_r$ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફાર $\Delta B = B - B_0 = \mu_0 (\mu_r - 1) n I$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 \% = (\mu_r - 1) \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = \mu_r - 1$ હોવાથી,ટકાવારી વધારો $\chi \times 100 \%$ થાય.
આપેલ છે કે $\chi_{mg} = 1.2 \times 10^{-5}$,તેથી ટકાવારી વધારો $(1.2 \times 10^{-5}) \times 100 \% = 1.2 \times 10^{-3} \%$ છે.

(B) ચુંબકીય પદાર્થની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $B = \mu_0(H + I)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I$ એ મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા છે અને $H$ એ મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્ર છે.
ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ ને મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા અને મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્રના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\chi_m = I / H$,જેનો અર્થ છે $I = \chi_m H$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $I = \chi_m H$ મૂકતા,આપણને $B = \mu_0(H + \chi_m H) = \mu_0 H(1 + \chi_m)$ મળે છે.
કારણ કે $B = \mu H = \mu_0 \mu_r H$,તેથી $\mu_r = 1 + \chi_m$ થાય છે.
આ સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ માં $B = \mu_0(H + \chi_m)$ આપેલ છે,જે પરિમાણની દ્રષ્ટિએ અને ભૌતિક રીતે ખોટું છે કારણ કે $\chi_m$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે અને તેને સીધી રીતે $H$ (જેનો એકમ $A/m$ છે) માં ઉમેરી શકાતી નથી. તેથી,માત્ર $(b)$ ખોટું છે.

(B) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = M/V$.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^2$,દળ $m = 1 \ gm = 10^{-3} \ kg$,અને ઘનતા $\rho = 5 \ gm/cm^3 = 5000 \ kg/m^3$.
સૌ પ્રથમ,કદ $V$ ની ગણતરી કરો: $V = m / \rho = 10^{-3} \ kg / 5000 \ kg/m^3 = 0.2 \times 10^{-6} \ m^3 = 2 \times 10^{-7} \ m^3$.
હવે,મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા શોધો: $I = M / V = (6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^2) / (2 \times 10^{-7} \ m^3) = 3 \ A/m$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$,ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu = \mu_0 \mu_r$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ છે અને $\mu_r$ એ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે,તેથી $B = \mu_0 \mu_r H$ થાય.
$\mu_r$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\mu_r = \frac{B}{\mu_0 H}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu_r = \frac{1.6}{(4\pi \times 10^{-7}) \times 1000}$.
$\mu_r = \frac{1.6}{4 \times 3.14159 \times 10^{-4}} \approx \frac{1.6}{12.566 \times 10^{-4}} \approx 0.1273 \times 10^4 \approx 1.273 \times 10^3$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $\mu_r \approx 1.3 \times 10^3$ મળે છે.

(A) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\chi \propto \frac{1}{T}$.
આપેલ છે:
તાપમાન $T_1 = -123^{\circ} C = -123 + 273 = 150 \ K$.
સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_1 = 0.0060$.
તાપમાન $T_2 = -173^{\circ} C = -173 + 273 = 100 \ K$.
સંબંધ $\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.0060 \times 150 = \chi_2 \times 100$.
$\chi_2 = \frac{0.0060 \times 150}{100} = 0.0060 \times 1.5 = 0.0090$.
તેથી,$-173^{\circ} C$ તાપમાને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $0.0090$ થશે.

(C) આપેલ છે: $n = 500 \ turns/m$,$I = 3 \ A$,$\mu_r = 5001$.
સૌ પ્રથમ,સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ શોધો:
$H = nI = 500 \times 3 = 1500 \ A/m$.
ત્યારબાદ,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ શોધો:
$\chi_m = \mu_r - 1 = 5001 - 1 = 5000$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$M = \chi_m H$.
કિંમતો મૂકતા:
$M = 5000 \times 1500 = 7.5 \times 10^6 \ Am^{-1}$.

(D) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $M$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$M = \frac{m_{net}}{V}$
આપેલ દળ $m = 5 \ g$ અને ઘનતા $\rho = 5 \ g/cm^{3}$ છે.
કદ $V = \frac{m}{\rho} = \frac{5 \ g}{5 \ g/cm^{3}} = 1 \ cm^{3}$.
કદને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરતા: $1 \ cm^{3} = 10^{-6} \ m^{3}$.
આપેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_{net} = 6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}$ છે.
$M = \frac{6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}}{10^{-6} \ m^{3}} = 6 \times 10^{-1} \ A/m = 0.6 \ A/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) નમૂનાનું કદ $V$ એ દળ અને ઘનતાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
કદને $SI$ એકમો $(m^3)$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $M = \frac{m_{net}}{V}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ Am}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ Am}^{-1}$.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$H = 5000 \ A/m$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi = 4 \times 10^{-5} \ Wb$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 0.4 \ cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \ m^2 = 4 \times 10^{-5} \ m^2$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \frac{\phi}{A}$ દ્વારા મળે છે.
પરમીએબિલિટી $\mu$ ની વ્યાખ્યા $\mu = \frac{B}{H} = \frac{\phi}{A \cdot H}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{4 \times 10^{-5}}{4 \times 10^{-5} \times 5000} = \frac{1}{5000} = 0.0002 = 2 \times 10^{-4} \ Wb/(A \cdot m)$.

(B) સમઘનનું કદ $V = L^3 = (1 \mu m)^3 = (10^{-6} \ m)^3 = 10^{-18} \ m^3$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{total}$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા અને પ્રતિ પરમાણુ ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણાકાર છે:
$M_{total} = (8 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} \ A \cdot m^2) = 72 \times 10^{-14} \ A \cdot m^2 = 7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $I$ (અથવા $M$) એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$I = \frac{M_{total}}{V} = \frac{7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2}{10^{-18} \ m^3} = 7.2 \times 10^5 \ A/m$.

(D) ચુંબકીય પદાર્થની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પદાર્થના પ્રેરિત મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સરવાળો છે.
ગાણિતિક રીતે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$B = \mu_0(H + M)$
અહીં,$\mu_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,અને $M$ એ મેગ્નેટાઇઝેશન છે.

(C) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi_m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
અહીં આપેલ છે કે લોખંડની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 5499$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu_r = 1 + 5499$
$\mu_r = 5500$
તેથી,લોખંડની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $5500$ છે.

(D) હવા ધરાવતા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ જગ્યાને $\chi$ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે,ત્યારે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi$ થાય છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0 = (1 + \chi) B_0$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\Delta B = B - B_0 = (1 + \chi) B_0 - B_0 = \chi B_0$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \frac{\chi B_0}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ દ્વારા મળે છે.

(B) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = M/V$.
આપેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2.4 \text{ Am}^2$.
સળિયાનું દળ $m = 66 \text{ g} = 0.066 \text{ kg}$.
ઘનતા $\rho = 7700 \text{ kg/m}^3$.
સળિયાનું કદ $V = m / \rho = 0.066 / 7700 \text{ m}^3$.
હવે,મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I = M / V = 2.4 / (0.066 / 7700)$ ગણો.
$I = (2.4 \times 7700) / 0.066$.
$I = 18480 / 0.066 = 280000 \text{ Am}^{-1}$.
$I = 2.8 \times 10^5 \text{ Am}^{-1}$.

(B) પદાર્થની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ બાહ્ય પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ અને પદાર્થના મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_m)$ નો સરવાળો છે.
$B = B_0 + B_m$
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_0 = \mu_0 H$, જ્યાં $H$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા છે.
પદાર્થનું મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા સાથે $M = \chi H$ દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $\chi$ એ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી છે.
મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_m = \mu_0 M = \mu_0 \chi H$ છે.
આ કિંમતોને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \mu_0 H + \mu_0 \chi H$
$B = \mu_0 H(1 + \chi)$
બંને બાજુ $H$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$

(B) નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu$,સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu_r$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\mu = \mu_r \mu_0 = (1 + \chi) \mu_0$
આપેલ છે:
$\chi = 599$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = (1 + 599) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$
$\mu = 600 \times 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2400 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$
આમ,નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$ છે.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય તીવ્રતા $H = 500 \,A/m$, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.4 \,cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \,m^2$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.4 \times 10^{-4}} = 0.6 \,T$.
ચુંબકીય પરમિએબિલિટી $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{B}{H}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{0.6}{500} = 1.2 \times 10^{-3} \,T \cdot m/A$.

(C) પદાર્થની અંદર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ બાહ્ય પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0 = \mu_0 H)$ અને મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_m = \mu_0 M)$ નો સરવાળો છે.
$B = B_0 + B_m = \mu_0 H + \mu_0 M = \mu_0(H + M)$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ સાથે સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ દ્વારા $M = \chi H$ તરીકે સંબંધિત છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \mu_0(H + \chi H) = \mu_0 H(1 + \chi)$.
આને ફરીથી ગોઠવતા ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$.

(B) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $(I)$ ને પદાર્થના એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $I = \frac{M}{V} = \frac{M}{A \times L}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ = $6 \text{ Am}^2$
લંબાઈ $(L)$ = $4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$
ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
ગણતરી:
કદ $(V)$ = $A \times L = (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (4 \times 10^{-2} \text{ m}) = 8 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$I = \frac{6 \text{ Am}^2}{8 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 0.75 \times 10^6 \text{ A/m} = 7.5 \times 10^5 \text{ A/m}$

(D) ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ એ $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
અહીં $n = 400 \ m^{-1}$ અને $I = 0.5 \ A$ આપેલ છે,તેથી $H = 400 \times 0.5 = 200 \ Am^{-1}$ મળે.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu_r = 1 + \chi$ છે,તેથી $\chi = \mu_r - 1$.
અહીં $\mu_r = 400$ આપેલ છે,તેથી $\chi = 400 - 1 = 399$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M$ એ $M = \chi H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$M = 399 \times 200 = 79800 \ Am^{-1}$ મળે.
આ કિંમત આશરે $8 \times 10^4 \ Am^{-1}$ જેટલી છે.

$(A)$ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \frac{\phi}{A}$.
આપેલ છે: $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$ અને $A = 0.3 \,cm^2 = 0.3 \times 10^{-4} \,m^2$.
$B$ ની ગણતરી: $B = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.3 \times 10^{-4}} = 0.8 \,T$.
ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu$ એ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{B}{H}$.
જો $H = 1000 \,A/m$ લેવામાં આવે, તો $\mu = \frac{0.8}{1000} = 8 \times 10^{-4} \,T \cdot m/A$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$ અને $\chi_m = 349$.
નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu$,શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times (1 + 349)$
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times 350$
$\mu = 1400 \pi \times 10^{-7}$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\mu \approx 1400 \times 3.14159 \times 10^{-7}$
$\mu \approx 4398.22 \times 10^{-7} \ H/m$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$\mu \approx 4400 \times 10^{-7} \ H/m$ મળે છે.

(C) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_{r}$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
અહીં આપેલ છે કે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_{r} = 0.85$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા: $0.85 = 1 + \chi$.
તેથી,$\chi = 0.85 - 1 = -0.15$.
આમ,માધ્યમની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $-0.15$ છે.

(A) આપેલ છે,ધાતુની પરમિએબિલિટી $\mu = 0.1256 \ TmA^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ છે.
$\pi = 3.14$ મૂકતા,$\mu_0 = 4 \times 3.14 \times 10^{-7} = 12.56 \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ મળે.
સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu_r$ એ માધ્યમની પરમિએબિલિટી અને શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટીનો ગુણોત્તર છે:
$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = \frac{0.1256}{12.56 \times 10^{-7}}$.
$\mu_r = \frac{12.56 \times 10^{-2}}{12.56 \times 10^{-7}} = 10^{-2} \times 10^7 = 10^5$.
આમ,સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $10^5$ છે.

(C) નિરપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\mu = \mu_r \mu_0$ છે.
અહીં સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 2000$ અને શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = 2000 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$.
$\mu = 8000 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\mu = 8 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 3 \,cm = 3 \times 10^{-2} \,m$, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$, ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 3 \,Am^2$.
મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $I$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કદ $V = L \times A = (3 \times 10^{-2} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 6 \times 10^{-6} \,m^3$.
મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $I = \frac{M}{V} = \frac{3 \,Am^2}{6 \times 10^{-6} \,m^3}$.
$I = 0.5 \times 10^6 \,A/m = 5 \times 10^5 \,A/m$.

(A) મેગ્નેટાઈઝેશન $(M)$ ને પદાર્થના એકમ કદ $(V)$ દીઠ ચોખ્ખી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(m_{net})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $M = \frac{m_{net}}{V}$.
તે દર્શાવે છે કે જ્યારે કોઈ પદાર્થને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તે કેટલા અંશે ચુંબકીય બને છે.

(D) ચુંબકનું કદ $V = \text{લંબાઈ} \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 5 \ cm \times 4 \ cm^{2} = 20 \ cm^{3}$.
$SI$ એકમમાં રૂપાંતર કરતા: $V = 20 \times 10^{-6} \ m^{3} = 2 \times 10^{-5} \ m^{3}$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $M = \frac{m}{V} = \frac{2 \ Am^{2}}{2 \times 10^{-5} \ m^{3}} = 10^{5} \ A/m$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M$,ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ $M = \chi H$ છે.
તેથી,$H = \frac{M}{\chi} = \frac{10^{5}}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{11} \ A/m = 2 \times 10^{10} \ A/m$.

(C) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu_r = 1 + \chi$.
અહીં આપેલ છે કે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 5500$.
તેથી,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = \mu_r - 1$.
કિંમત મૂકતા: $\chi = 5500 - 1 = 5499$.
આમ,લોખંડની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $5499$ છે.

(D) નમૂનાનું કદ $V$ એ દળ અને ઘનતાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
કદને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરતા: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $M = \frac{m}{V}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ A/m}$.

(A) પદાર્થની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ બાહ્ય પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{0} = \mu_{0}H)$ અને મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{m} = \mu_{0}M)$ ના સરવાળા જેટલું હોય છે.
તેથી,$B = \mu_{0}(H + M)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ વચ્ચેનો સંબંધ સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ દ્વારા $M = \chi H$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \mu_{0}(H + \chi H) = \mu_{0}H(1 + \chi)$.
ગુણોત્તર $\frac{B}{H}$ મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{B}{H} = \mu_{0}(1 + \chi)$.

(C) ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu$ એ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\mu = \frac{B}{H}$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ હોવાથી,$B = \frac{\phi}{A}$ મળે.
આ કિંમતને પરમીએબિલિટીના સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\phi}{A \cdot H}$.
આપેલ કિંમતો:
$\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
$A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$H = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$
$\mu$ ની ગણતરી કરતા:
$\mu = \frac{6 \times 10^{-4}}{(3 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^3)} = \frac{6 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-1}} = 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$,
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1 \ A \cdot m^2$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $I$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$I = \frac{M}{V}$
જ્યાં $V$ એ ગજિયા ચુંબકનું કદ છે,$V = a \times l$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times (5 \times 10^{-2} \ m) = 10 \times 10^{-6} \ m^3 = 10^{-5} \ m^3$.
હવે,મેગ્નેટાઈઝેશન $I$ ની ગણતરી કરતા:
$I = \frac{1 \ A \cdot m^2}{10^{-5} \ m^3} = 10^5 \ A/m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ ને એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચુંબકીય તીવ્રતાનું સૂત્ર $H = \frac{nI}{L}$ છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
આંટાની સંખ્યા $(n)$ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,$H$ ના પરિમાણો $\frac{I}{L}$ ના પરિમાણો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નું પરિમાણ $[I^1]$ છે અને લંબાઈ $(L)$ નું પરિમાણ $[L^1]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય તીવ્રતાના પરિમાણો $[L^{-1} M^0 T^0 I^1]$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય પદાર્થની સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ ને પદાર્થની પરમિયેબિલિટી $\mu$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ છે.
વળી,સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu_r = 1 + \chi_m$ છે.
આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{\mu}{\mu_0} = 1 + \chi_m$ મળે છે.
તેથી,પદાર્થની પરમિયેબિલિટી $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ થાય છે.

(A) મેગ્નેટાઈઝેશન $(M)$ એ એકમ કદ દીઠ ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$M = \frac{M_{\text{net}}}{V}$
આપેલ છે:
પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ = $4 \times 10^{14}$
દરેક પરમાણુની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(m)$ = $16 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$
સમઘનની બાજુની લંબાઈ $(a)$ = $2 \mu m = 2 \times 10^{-6} \text{ m}$
સમઘનનું કદ $(V)$ = $a^3 = (2 \times 10^{-6})^3 = 8 \times 10^{-18} \text{ m}^3$
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M_{\text{net}})$ = $N \times m = (4 \times 10^{14}) \times (16 \times 10^{-24}) = 64 \times 10^{-10} \text{ A m}^2$
હવે,મેગ્નેટાઈઝેશનની ગણતરી કરતા:
$M = \frac{64 \times 10^{-10}}{8 \times 10^{-18}}$
$M = 8 \times 10^8 \times 10^{-4} = 8 \times 10^4 \text{ A m}^{-1}$

(B) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $ \chi $ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $ T $ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \chi \propto \frac{1}{T} $.
આનો અર્થ એ છે કે $ \chi T = \text{અચળ} $.
તેથી,$ T_{1} $ અને $ T_{2} $ તાપમાન માટે અનુરૂપ સસેપ્ટિબિલિટી $ \chi_{1} $ અને $ \chi_{2} $ હોય,તો $ \chi_{1} T_{1} = \chi_{2} T_{2} $ થાય.

(A) ડોમેનનું કદ $V$ એ તેની બાજુની લંબાઈના ઘન જેટલું છે: $V = (2 \times 10^{-6} m)^3 = 8 \times 10^{-18} m^3$.
કુલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{\text{net}}$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા અને પ્રતિ પરમાણુ ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણાકાર છે: $M_{\text{net}} = (9 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} A m^2) = 81 \times 10^{-14} A m^2$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $I$ એ એકમ કદ દીઠ કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $I = \frac{M_{\text{net}}}{V} = \frac{81 \times 10^{-14} A m^2}{8 \times 10^{-18} m^3}$.
ગણતરી કરતા: $I = 10.125 \times 10^4 A m^{-1} \approx 10 \times 10^4 A m^{-1}$.

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B$,ચુંબકીય પરમિએબિલિટી $\mu$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu H$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \ H m^{-1}$ અને $B = 1 \ T$.
$\mu$ નું સૂત્ર $B = \mu H$ માં મૂકતા:
$B = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \times H$
$B = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
$B = 1 \ T$ આપેલ હોવાથી:
$1 = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
$0.6 = 12 \times 10^{-4} H$
$H = \frac{0.6}{12 \times 10^{-4}} = \frac{0.6 \times 10^4}{12} = \frac{6000}{12} = 500 \ A m^{-1}$.

(D) ધારો કે પદાર્થની બહાર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B_0$ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થની અંદર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = 4 B_0$ છે.
પદાર્થની અંદરની ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા અને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu_r B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_r$ એ પદાર્થની સાપેક્ષ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $4 B_0 = \mu_r B_0$ મળે છે.
તેથી,$\mu_r = 4$.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = B \cdot A$ છે.
અહીં $B = \mu H$ અને $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ હોવાથી,$\phi = \mu_0(1 + \chi_m) H A$ થાય.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.25 \ cm^2 = 0.25 \times 10^{-4} \ m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = 1000 \ Am^{-1}$.
સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 313$.
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1 + 313) \times 1000 \times (0.25 \times 10^{-4})$
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 314 \times 10^3 \times 0.25 \times 10^{-4}$
$\phi = 4 \pi \times 314 \times 0.25 \times 10^{-8}$
$\phi = 314 \pi \times 10^{-8} \approx 986.45 \times 10^{-8} \approx 9.87 \times 10^{-6} \ Wb$.

(A) મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ નું સૂત્ર $M = \chi H$ છે,જ્યાં $\chi$ એ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\chi = \mu_r - 1$ છે.
આપેલ છે: $n = 900 \ m^{-1}$,$I = 2.5 \ A$,અને $\mu_r = 501$.
આ કિંમતોને $M = nI(\mu_r - 1)$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 900 \times 2.5 \times (501 - 1)$
$M = 2250 \times 500$
$M = 1,125,000 \ A \ m^{-1} = 1.125 \times 10^6 \ A \ m^{-1}$.

(A) સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu_r = 1 + \chi_m$.
અહીં આપેલ છે કે ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 0.6$.
કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $\mu_r = 1 + 0.6 = 1.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ એ પદાર્થની પરમિયેબિલિટી $\mu$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$.
તેથી,$\frac{\mu}{\mu_0} = 1.6$.
$1.6$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
આમ,પદાર્થની પરમિયેબિલિટી અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટીનો ગુણોત્તર $8:5$ છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = B \cdot A$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \pi \times 10^{-5} \ Wb}{2 \times 10^{-5} \ m^2} = 1.2 \pi \ T$.
હવે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્ર $H$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu H$ છે.
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{1.2 \pi \ T}{2400 \ A/m} = 5 \pi \times 10^{-4} \ T \cdot m/A$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ નું સૂત્ર $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ છે.
$\mu_r = \frac{5 \pi \times 10^{-4}}{4 \pi \times 10^{-7}} = 1250$.
કારણ કે $\mu_r = 1 + \chi$,તેથી ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = \mu_r - 1 = 1250 - 1 = 1249$ થાય.

(B) ચુંબકીય પદાર્થથી ભરેલા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0(H + M) = \mu_0 H(1 + \chi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\chi$ એ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 H$ હોવાથી,આપણને $B = B_0(1 + \chi)$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ છે.
અપૂર્ણાંક વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} = \chi$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ છે.
અહીં $\chi = 2 \times 10^{-5}$ આપેલ છે,તેથી ટકાવારી વધારો $(2 \times 10^{-5}) \times 100 = 2 \times 10^{-3} \%$ થાય.

(D) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi_m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
અહીં $\mu_r = 5500$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રને $\chi_m$ માટે ગોઠવતા:
$\chi_m = \mu_r - 1$
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\chi_m = 5500 - 1 = 5499$
આમ,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $5499$ છે.

(D) ચુંબકીય પ્રેરણ $B$,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu H = \mu_r \mu_0 H$ છે.
અહીં,$B = 1 \ Wb \ m^{-2}$ અને $H = 150 \ A \ m^{-1}$ આપેલ છે.
$\mu_r$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\mu_r = \frac{B}{\mu_0 H}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\mu_r = \frac{1}{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 150}$
$\mu_r = \frac{1}{600 \pi \times 10^{-7}}$
$\mu_r = \frac{10^7}{600 \pi} = \frac{10^5}{6 \pi}$.