X-Rays Questions in Hindi

(B) $X$-रे की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$।
मान रखने पर: $h = 6.62 \times 10^{-34} \text{ J-s}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$, और $V = 25,000 \text{ V}$।
$\lambda_{\min} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 25,000}$।
$\lambda_{\min} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{40,000 \times 10^{-19}} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{4 \times 10^{-15}} = 4.965 \times 10^{-11} \text{ m}$।
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $4.965 \times 10^{-11} \text{ m} = 0.4965 \times 10^{-10} \text{ m} \approx 0.50 \mathring{A}$।

(C) $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$।
$h$,$c$,और $e$ के मान रखने पर,हमें संबंध प्राप्त होता है: $\lambda_{\min} (\mathring{A} \text{ में}) = \frac{12400}{V (\text{वोल्ट में})}$।
यहाँ $\lambda_{\min} = 0.1 \mathring{A}$ दिया गया है।
अतः,$0.1 = \frac{12400}{V}$।
$V = \frac{12400}{0.1} = 124000 \text{ V}$।
किलोवोल्ट $(kV)$ में बदलने पर,$V = 124 \text{ kV}$ प्राप्त होता है।

(A) मोजले का नियम बताता है कि अभिलाक्षणिक $X$-किरणों की आवृत्ति का वर्गमूल लक्ष्य तत्व के परमाणु क्रमांक $(Z)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\sqrt{f} = a(Z - b)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $f = a^2(Z - b)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2$ भी एक स्थिरांक है,इसलिए इस नियम को $f = a(Z - b)^2$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) $X-$किरणों की भेदन क्षमता सीधे उनकी ऊर्जा से संबंधित होती है।
संबंध $E = eV$ के अनुसार,जहाँ $V$ त्वरित विभवांतर है,जैसे-जैसे विभवांतर बढ़ता है,$X-$किरण फोटॉन की ऊर्जा बढ़ती है।
चूंकि उच्च ऊर्जा वाले फोटॉन की तरंगदैर्ध्य कम और आवृत्ति अधिक होती है,इसलिए उनकी भेदन क्षमता अधिक होती है।
अतः,भेदन क्षमता अनुप्रयुक्त विभवांतर पर निर्भर करती है।

(D) अभिलक्षणिक $X-$ किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब एक उच्च-ऊर्जा वाला आपतित इलेक्ट्रॉन लक्ष्य परमाणु के आंतरिक कोश (जैसे $K$ कोश) से एक इलेक्ट्रॉन को बाहर निकाल देता है।
इससे आंतरिक कोश में एक रिक्ति (vacancy) बन जाती है,जिससे परमाणु अस्थिर हो जाता है।
इसके बाद,एक उच्च ऊर्जा स्तर (जैसे $L$ कोश) से एक इलेक्ट्रॉन इस रिक्ति को भरने के लिए नीचे आता है।
इन दो कोशों के बीच का ऊर्जा अंतर एक फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होता है,जो अभिलक्षणिक $X-$ किरण बनाता है।
अतः,फोटॉन की ऊर्जा लक्ष्य परमाणु के भीतर होने वाले इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण से प्राप्त होती है।

(B) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = 30 \times 10^3 \ V$
$\lambda_{\min} = \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (30 \times 10^3)}$
$\lambda_{\min} = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{48 \times 10^{-16}} = 0.4125 \times 10^{-10} \ m = 0.4125 \ \mathring{A}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $0.4 \ \mathring{A}$ है।

(D) सबसे अधिक ऊर्जा वाली $X$-किरण न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ के अनुरूप होती है,जो तब उत्पन्न होती है जब इलेक्ट्रॉन की पूरी गतिज ऊर्जा एक फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है।
डुआन-हंट नियम का उपयोग करते हुए,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का सूत्र है:
$\lambda_{\min} = \frac{hc}{E} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{E \text{ (eV में)}}$
यहाँ ऊर्जा $E = 100 \text{ keV} = 100,000 \text{ eV}$ दी गई है।
मान रखने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{12400}{100000} \mathring{A} = 0.124 \mathring{A}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $X$-ray की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{V \text{ (वोल्ट में)}}$।
दिया गया विभवांतर $V = 50000 \ V$ है।
मान रखने पर: $\lambda_{\min} = \frac{12400}{50000} \ \mathring{A} = 0.248 \ \mathring{A} \approx 0.0248 \ nm$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.025 \ nm$ है।

(C) कठोर (hard) $X$-किरणों को मृदु (soft) $X$-किरणों की तुलना में उच्च ऊर्जा और कम तरंगदैर्ध्य वाली $X$-किरणों के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए उच्च ऊर्जा $E$ का अर्थ है कि आवृत्ति $\nu$ अधिक है और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कम है।
अतः,कठोर $X$-किरणों के लिए,आवृत्ति अधिक होती है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(A) कैथोड किरणें उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनों से बनी होती हैं। जब ये उच्च-ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन उच्च गलनांक वाली धातु की सतह (जैसे टंगस्टन या मोलिब्डेनम) से टकराते हैं,तो वे धातु के नाभिक के प्रबल विद्युत क्षेत्र के कारण अचानक धीमे हो जाते हैं। इस तीव्र मंदन के कारण उच्च-ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरणों का उत्सर्जन होता है,जिन्हें $X$-किरणें कहा जाता है। यह $X$-रे ट्यूब के संचालन का मूल सिद्धांत है।

(A) $X-$किरणों की भेदन क्षमता उनकी ऊर्जा (आवृत्ति) के सीधे आनुपातिक होती है।
जब एनोड और कैथोड के बीच विभवांतर बढ़ाया जाता है,तो लक्ष्य (target) से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
यह उच्च गतिज ऊर्जा अधिक ऊर्जा और कम तरंग दैर्ध्य वाली $X-$किरणों के उत्पादन का कारण बनती है,जिनमें अधिक भेदन क्षमता होती है।
इसलिए,एनोड और कैथोड के बीच विभवांतर बढ़ाने से $X-$किरणों की भेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(A) अभिलक्षणिक $X$-किरण स्पेक्ट्रम में,$K$-श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप होती है जहाँ अंतिम अवस्था $K$-कोश $(n = 1)$ होती है।
$K_{\alpha}$ रेखा विशेष रूप से निकटतम कोश,जो कि $L$-कोश $(n = 2)$ है,से $K$-कोश $(n = 1)$ में होने वाले संक्रमण को संदर्भित करती है।
अतः,संक्रमण $n = 2$ से $n = 1$ है।

(B) निरंतर $X$-रे स्पेक्ट्रम लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों के मंदन के कारण उत्पन्न होता है। उत्सर्जित फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है,जो $E_{\max} = eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन अपनी कुल गतिज ऊर्जा से कम कोई भी ऊर्जा खो सकते हैं,इसलिए $\lambda_{\min}$ से अधिक तरंगदैर्ध्य वाले सभी फोटॉन उत्सर्जित होते हैं।
इसलिए,निरंतर $X$-रे स्पेक्ट्रम के लिए तरंगदैर्ध्य की सीमा $\lambda_{\min}$ से $\infty$ तक है।

(B) $X-$किरणों की तरंगदैर्ध्य का परास सामान्यतः $0.1 \mathring A$ से $100 \mathring A$ के बीच होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$2 \mathring A$ इस परास के अंतर्गत आता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि $h$ और $c$ नियतांक हैं,ऊर्जा तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
मान लीजिए $E_1$,$\lambda_1 = 1 \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य वाले $X$-रे फोटॉन की ऊर्जा है और $E_2$,$\lambda_2 = 5000 \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य वाले दृश्य प्रकाश के फोटॉन की ऊर्जा है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{5000 \mathring{A}}{1 \mathring{A}} = 5000$.
अतः,अनुपात $5000 : 1$ है।

(B) मोजले का नियम बताता है कि एक विशिष्ट $X$-किरण स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $\nu$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया जाता है: $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$.
यहाँ,$Z$ तत्व की परमाणु संख्या है,और $a$ तथा $b$ स्थिरांक हैं जो स्पेक्ट्रल रेखा के प्रकार (जैसे $K$,$L$,आदि) पर निर्भर करते हैं।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\nu = a^2(Z - b)^2$.
चूंकि $b$ एक स्क्रीनिंग स्थिरांक है और उच्च $Z$ वाले तत्वों के लिए यह $Z$ की तुलना में छोटा होता है,इसलिए आवृत्ति $\nu$ परमाणु संख्या के वर्ग $(Z^2)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,आवृत्ति तत्व की परमाणु संख्या के वर्ग के रूप में परिवर्तित होती है।

(A) क्रिस्टलों का संरचनात्मक विश्लेषण विवर्तन की घटना पर निर्भर करता है। विवर्तन होने के लिए, आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल जालक में प्रकीर्णन केंद्रों (परमाणुओं) के बीच की दूरी के तुलनीय होनी चाहिए। क्रिस्टलों में अंतर-परमाणु दूरी आमतौर पर $0.1 \, nm$ से $0.5 \, nm$ ($1 \, \text{AA}$ से $5 \, \text{AA}$) की सीमा में होती है। $X-$ किरणों की तरंगदैर्ध्य इसी सीमा में होती है, जो उन्हें $X-$ रे विवर्तन $(XRD)$ के माध्यम से क्रिस्टलों की परमाणु संरचना की जांच करने के लिए आदर्श बनाती है। इसलिए, विकल्प $A$ सही है।

(B) $X$-किरणें और $\gamma$-किरणें दोनों विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं।
इनके मूल में मूलभूत अंतर होता है।
$X$-किरणें परमाणु के आंतरिक कोशों में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के कारण उत्पन्न होती हैं।
$\gamma$-किरणें परमाणु के नाभिक के भीतर होने वाले नाभिकीय संक्रमण के कारण उत्पन्न होती हैं।
इसलिए,आवश्यक अंतर यह है कि $\gamma$-किरणें नाभिक से निकलती हैं जबकि $X$-किरणें परमाणु के बाहरी हिस्से से निकलती हैं।

(D) $V$ वोल्ट के विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = eV$ द्वारा दी जाती है।
जब यह इलेक्ट्रॉन लक्ष्य (target) से टकराता है,तो यह $X$-किरणें उत्पन्न करता है। उत्सर्जित $X$-किरण फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की कुल गतिज ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो $E_{max} = h\nu_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$,$c$,और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\lambda_{min} \propto \frac{1}{V}$।

(D) $X-$किरणों की कठोरता उनकी भेदन क्षमता (penetrating power) को संदर्भित करती है,जो सीधे उनकी ऊर्जा से संबंधित है।
डुआन-हंट के नियम के अनुसार,उत्पन्न $X-$किरणों की अधिकतम आवृत्ति $f_{max}$ को $hf_{max} = eV$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ प्राथमिक आवेश है और $V$ कैथोड और टारगेट के बीच त्वरित विभवांतर है।
चूंकि $E = hf$,उच्च विभवांतर $V$ के परिणामस्वरूप उच्च ऊर्जा वाली $X-$किरणें उत्पन्न होती हैं,जिन्हें 'हार्ड' $X-$किरणें कहा जाता है।
इसलिए,कैथोड और टारगेट के बीच का विभवांतर $X-$किरणों की कठोरता को निर्धारित करता है।

(D) $X-$किरणों की तीव्रता प्रति इकाई समय में एनोड से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है। जब एनोड से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ती है,तो उत्पन्न होने वाले $X-$किरण फोटॉनों की संख्या भी बढ़ जाती है,जिससे $X-$किरणों की तीव्रता में वृद्धि होती है। आवृत्ति,तरंगदैर्ध्य और भेदन क्षमता जैसे अन्य पैरामीटर ट्यूब पर लागू त्वरक वोल्टेज (विभवांतर) पर निर्भर करते हैं,न कि इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर।

(A) उत्सर्जित $X$-rays की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$।
यहाँ $h = 6.625 \times 10^{-34} \text{ J-s}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$, और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ का मान रखने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{12400}{V} \text{ Å}$ (जहाँ $V$ वोल्ट में है)।
दिया गया है कि $\lambda_{\min} = 1 \text{ Å}$, इसलिए $1 = \frac{12400}{V}$।
अतः, $V = 12400 \text{ V} = 12.4 \text{ kV}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सबसे निकटतम मान $12.42 \text{ kV}$ है।

(C) विवर्तन की घटना होने के लिए,आपतित तरंग की तरंगदैर्ध्य ग्रेटिंग की रेखाओं के बीच की दूरी के तुलनीय होनी चाहिए।
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी होती है (आमतौर पर $0.01 \ nm$ से $10 \ nm$)।
एक सामान्य ऑप्टिकल ग्रेटिंग में रेखाओं के बीच की दूरी $10^3 \ nm$ से $10^4 \ nm$ के क्रम की होती है।
चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य ग्रेटिंग की दूरी से बहुत छोटी होती है,इसलिए उन्हें सामान्य ग्रेटिंग द्वारा विवर्तित नहीं किया जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) कथन $A$ सत्य है: अभिलक्षणिक $X-$किरण स्पेक्ट्रम लक्ष्य परमाणुओं के ऊर्जा स्तरों के बीच इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के कारण उत्पन्न होता है। चूंकि ये ऊर्जा स्तर $(E_K, E_L, \dots)$ तत्व की परमाणु संख्या $(Z)$ के लिए विशिष्ट होते हैं,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{E_K - E_L}$ लक्ष्य पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है।
कथन $B$ सत्य है: सतत $X-$किरण स्पेक्ट्रम की लघु तरंगदैर्ध्य सीमा (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ त्वरित विभवांतर है। अतः,$\lambda_{min} \propto \frac{1}{V}$,जिसका अर्थ है कि यह $X-$किरण ट्यूब पर लागू विभवांतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,दोनों कथन सत्य हैं।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$\lambda = 1.65 \mathring{A} = 1.65 \times 10^{-10} \ m$
मान रखने पर:
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.65 \times 10^{-10}} \ J$
$E = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{1.65 \times 10^{-10}} \ J = 12 \times 10^{-16} \ J$
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E(eV) = \frac{12 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} = 7.5 \times 10^3 \ eV = 7.5 \ keV$.
वैकल्पिक रूप से,$E(eV) = \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$E = \frac{12400}{1.65} \approx 7515 \ eV \approx 7.5 \ keV$ प्राप्त होता है।

(B) ब्रैग का नियम किसी क्रिस्टल के परमाणु तलों द्वारा प्रकीर्णित $X$-किरणों के संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) के लिए शर्त का वर्णन करता है।
जब एक $X$-किरण पुंज परमाणु तलों के साथ $\theta$ कोण पर एक क्रिस्टल पर आपतित होता है,तो $d$ दूरी द्वारा अलग किए गए क्रमिक तलों से परावर्तित किरणों के बीच का पथ अंतर $2d \sin \theta$ होता है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,यह पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
अतः,शर्त $2d \sin \theta = n\lambda$ है,जहाँ $n$ परावर्तन के क्रम को दर्शाने वाला एक पूर्णांक है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न $X-$किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400 \ \mathring{A} \cdot V}{V \text{ (वोल्ट में)}}$।
यहाँ $V = 40 \ kV = 40,000 \ V$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\lambda_{\min} = \frac{12400}{40000} \ \mathring{A} = 0.31 \ \mathring{A}$।
मीटर में बदलने पर: $0.31 \times 10^{-10} \ m = 3.1 \times 10^{-11} \ m$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम मान $3.09 \times 10^{-11} \ m$ है।

(D) $X$-रे ट्यूब में उपयोग की जाने वाली लक्ष्य सामग्री में दो मुख्य विशेषताएं होनी चाहिए:
$1$. $X$-किरण उत्पादन की दक्षता बढ़ाने के लिए उच्च परमाणु क्रमांक $(Z)$।
$2$. उच्च-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों की बमबारी से उत्पन्न तीव्र गर्मी को सहन करने के लिए उच्च गलनांक।
$\text{टंगस्टन}$ $(W)$ का परमाणु क्रमांक उच्च $(Z = 74)$ होता है और इसका गलनांक बहुत अधिक $(3422 ^\circ C)$ होता है, जो इसे लक्ष्य सामग्री के लिए आदर्श विकल्प बनाता है।

(A) $X-$किरणों की तीव्रता लक्ष्य (target) से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर सीधे निर्भर करती है।
जब उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉन लक्ष्य से टकराते हैं,तो वे $X-$किरण फोटॉन उत्पन्न करते हैं।
इसलिए,इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ाने से उत्पन्न $X-$किरण फोटॉनों की संख्या बढ़ जाती है,जो उच्च तीव्रता के अनुरूप है।

(B) बमबारी करने वाले इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा $E$ उत्पन्न $X$-किरण फोटॉनों की अधिकतम ऊर्जा के बराबर होती है,जो न्यूनतम तरंग दैर्ध्य $\lambda_{min}$ के अनुरूप होती है।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \; J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \; m/s$,और $\lambda_{min} = 1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \; m$ है।
इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ के संदर्भ में,सूत्र $E(eV) = \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$ है।
दिए गए मान को रखने पर: $E = \frac{12400}{1} = 12400 \; eV$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों और मानक अनुमान $hc \approx 12375 \; eV\cdot\mathring{A}$ का उपयोग करते हुए,गणना करने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.602 \times 10^{-19} \times 10^{-10}} \approx 12415 \; eV$ आता है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,निकटतम मान $12375 \; eV$ है।

(C) आपतित इलेक्ट्रॉन पुंज की ऊर्जा $E = eV = 60000 \ eV$ है।
$K$-कोश के इलेक्ट्रॉन की बंधन ऊर्जा $40000 \ eV$ है।
चूंकि आपतित इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा $(60000 \ eV)$,$K$-कोश के इलेक्ट्रॉनों की बंधन ऊर्जा $(40000 \ eV)$ से अधिक है,इसलिए आपतित इलेक्ट्रॉनों के पास $K$-कोश के इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है।
जब $K$-कोश का इलेक्ट्रॉन बाहर निकलता है,तो उच्च ऊर्जा स्तर से एक इलेक्ट्रॉन $K$-कोश में संक्रमण करता है,जिससे सभी श्रेणियों $(K, L, M, \dots)$ की अभिलक्षणिक $X$-किरणें उत्सर्जित होती हैं।
इसके अतिरिक्त,लक्ष्य (target) में आपतित इलेक्ट्रॉनों के मंदन से सतत $X$-किरणें (Bremsstrahlung) उत्पन्न होती हैं।
अतः,सतत और अभिलक्षणिक $X$-किरणों की सभी श्रेणियाँ उत्पन्न होंगी।

(C) अभिलक्षणिक $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब उच्च ऊर्जा कोश से एक इलेक्ट्रॉन आंतरिक कोश की रिक्ति में संक्रमण करता है।
$K$-श्रेणी के लिए,रिक्ति $K$-कोश $(n = 1)$ में होती है।
- $K_{\alpha}$ $X$-किरण $L$-कोश $(n = 2)$ से $K$-कोश $(n = 1)$ में संक्रमण द्वारा उत्पन्न होती है।
- $K_{\beta}$ $X$-किरण $M$-कोश $(n = 3)$ से $K$-कोश $(n = 1)$ में संक्रमण द्वारा उत्पन्न होती है।
- $K_{\gamma}$ $X$-किरण $N$-कोश $(n = 4)$ से $K$-कोश $(n = 1)$ में संक्रमण द्वारा उत्पन्न होती है।
अतः,$K_{\beta}$ $X$-किरण के लिए,संक्रमण $n = 3$ से $n = 1$ है।

(D) $X-$किरणों की भेदन क्षमता उनकी ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है,जो उनकी आवृत्ति के सीधे आनुपातिक और उनकी तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
कैथोड और एनोड के बीच विभवांतर बढ़ाने से इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे $X-$किरणों की ऊर्जा और भेदन क्षमता बढ़ जाती है।
हालाँकि,फिलामेंट में प्रवाहित धारा केवल कैथोड से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या को नियंत्रित करती है (थर्मियोनिक उत्सर्जन)।
फिलामेंट धारा बढ़ाने से उत्पन्न $X-$किरणों की तीव्रता (फोटॉनों की संख्या) तो बढ़ती है,लेकिन यह व्यक्तिगत फोटॉनों की ऊर्जा को नहीं बदलती है।
इसलिए,भेदन क्षमता फिलामेंट में प्रवाहित धारा पर निर्भर नहीं करती है।

(A) विद्युत धारा $i$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $i = \frac{Ne}{t}$ है,जहाँ $N$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,$e$ मूल आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ है,और $t$ समय है।
प्रति सेकंड लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को $\frac{N}{t}$ के लिए व्यवस्थित करते हैं:
$\frac{N}{t} = \frac{i}{e}$
यहाँ $i = 3.2 \text{ mA} = 3.2 \times 10^{-3} \text{ A}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ दिया गया है:
$\frac{N}{t} = \frac{3.2 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$\frac{N}{t} = 2 \times 10^{16} \text{ इलेक्ट्रॉन/सेकंड}$.

(D) अभिलक्षणिक $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब उच्च ऊर्जा कोश से एक इलेक्ट्रॉन परमाणु के आंतरिक कोश की रिक्ति में संक्रमण करता है।
$K$-श्रेणी के लिए,रिक्ति $n = 1$ कोश में होती है।
विशिष्ट संक्रमणों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$K_{\alpha}: n = 2 \to n = 1$
$K_{\beta}: n = 3 \to n = 1$
$K_{\gamma}: n = 4 \to n = 1$
आरेख में दिखाए अनुसार,$K_{\gamma}$ संक्रमण $n = 4$ कोश से $n = 1$ कोश में जाने वाले इलेक्ट्रॉन के अनुरूप है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) $X-$किरणें उच्च-ऊर्जा वाले फोटॉन से बनी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं।
फोटॉन विद्युत रूप से तटस्थ कण होते हैं,जिसका अर्थ है कि उन पर कोई शुद्ध विद्युत आवेश नहीं होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान कण पर कार्य करने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $X-$किरणों के लिए आवेश $q = 0$ है,इसलिए उन पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}$ शून्य होता है।
अतः,$X-$किरणें एक प्रबल एकसमान चुंबकीय क्षेत्र से गुजरते समय कोई विक्षेपण अनुभव नहीं करती हैं।

(D) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है,जहाँ इलेक्ट्रॉन की संपूर्ण गतिज ऊर्जा अधिकतम आवृत्ति वाले फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है:
$E = eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$
अतः,$\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
प्लांक नियतांक $(h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s)$,प्रकाश की गति $(c = 3 \times 10^8 \; m/s)$,और इलेक्ट्रॉन का आवेश $(e = 1.6 \times 10^{-19} \; C)$ के मान रखने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times V} \; m$
$\lambda_{\min} \approx \frac{12400}{V} \; \mathring{A}$.

(C) सॉफ्ट और हार्ड $X-$किरणों के बीच मुख्य अंतर उनकी ऊर्जा और आवृत्ति में होता है। हार्ड $X-$किरणों की ऊर्जा और आवृत्ति सॉफ्ट $X-$किरणों की तुलना में अधिक होती है। सॉफ्ट $X-$किरणों की ऊर्जा और आवृत्ति कम होती है,जिससे उनकी भेदन क्षमता कम होती है। अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) $X$-किरणों की भेदन क्षमता उस पदार्थ के घनत्व और परमाणु क्रमांक पर निर्भर करती है जिससे वे गुजरती हैं।
उच्च घनत्व और उच्च परमाणु क्रमांक वाले पदार्थ $X$-किरणों को अधिक प्रभावी ढंग से अवशोषित करते हैं,जिससे उनकी भेदन दूरी कम हो जाती है।
दिए गए विकल्पों में,हवा,लकड़ी और पानी की तुलना में लोहे का घनत्व और परमाणु क्रमांक सबसे अधिक है।
इसलिए,$X$-किरणें लोहे में न्यूनतम दूरी तय करेंगी।

(A) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न $X$-रे की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है: $\lambda_{\min} = \frac{12400}{V} \mathring{A}$ (जहाँ $V$ वोल्ट में है)।
दिए गए मान के लिए अधिक सटीक स्थिरांक $12375$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_{\min} = \frac{12375}{V} \mathring{A}$
दिया गया है कि $\lambda_{\min} = 0.4125 \mathring{A}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$0.4125 = \frac{12375}{V}$
$V = \frac{12375}{0.4125} = 30000 \text{ V} = 30 \text{ kV}$।
अतः,त्वरक वोल्टेज $30 \text{ kV}$ है।

(B) लाक्षणिक $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब किसी तत्व पर फोटॉन,इलेक्ट्रॉन या आयनों जैसे उच्च ऊर्जा वाले कणों की बौछार की जाती है।
जब कोई आपतित कण परमाणु में एक बद्ध इलेक्ट्रॉन से टकराता है,तो वह इलेक्ट्रॉन परमाणु की आंतरिक कक्षा से बाहर निकल जाता है।
इलेक्ट्रॉन के बाहर निकलने के बाद,परमाणु में एक रिक्त ऊर्जा स्तर रह जाता है,जिसे 'कोर होल' (core hole) कहा जाता है।
इसके बाद बाहरी कक्षाओं के इलेक्ट्रॉन आंतरिक कक्षा में गिरते हैं,और उच्च तथा निम्न ऊर्जा स्तरों के बीच के अंतर के बराबर ऊर्जा वाले क्वांटाइज्ड फोटॉन उत्सर्जित करते हैं।
चूंकि प्रत्येक तत्व के पास ऊर्जा स्तरों का एक अनूठा समूह होता है,इसलिए उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर की ओर संक्रमण ऐसी $X$-किरणें उत्पन्न करता है जिनकी आवृत्तियाँ प्रत्येक तत्व के लिए लाक्षणिक होती हैं।

(D) $X$-किरणें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जो ऊर्जा और संवेग दोनों वहन करती हैं। जब वे धातु की सतह पर आपतित होती हैं,तो वे धातु के इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के साथ परस्पर क्रिया करती हैं।
$1$. ऊर्जा स्थानांतरण: $X$-किरणें प्रकाश विद्युत प्रभाव या कॉम्पटन प्रकीर्णन जैसी प्रक्रियाओं के माध्यम से अपनी ऊर्जा धातु की सतह को स्थानांतरित करती हैं।
$2$. बल और दबाव: चूंकि $X$-किरणों में संवेग $(p = E/c)$ होता है,इसलिए जब वे धातु द्वारा अवशोषित या परावर्तित होती हैं,तो वे सतह पर विकिरण दबाव डालती हैं। यह दबाव धातु की सतह पर एक बल के रूप में कार्य करता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(A) $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{V \text{ (वोल्ट में)}}$।
दिया गया विभवांतर $V = 40 \ kV = 40,000 \ V$ है।
मान रखने पर: $\lambda_{\min} = \frac{12400}{40000} \ \mathring{A} = 0.31 \ \mathring{A}$।
अतः,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $0.31 \ \mathring{A}$ है।

(D) कूलिज ट्यूब में उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
यहाँ,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ (प्लांक नियतांक),$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ (प्रकाश की गति),$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश),और $V = 100 \ kV = 10^5 \ V$ है।
मान रखने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 10^5} \ m$.
$\lambda_{\min} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-14}} \ m$.
$\lambda_{\min} \approx 12.43 \times 10^{-12} \ m = 0.1243 \ \mathring A$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.123 \ \mathring A$ है।

(D) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न $X$-किरणों की अधिकतम आवृत्ति डुआन-हंट नियम द्वारा निर्धारित की जाती है,जिसके अनुसार अधिकतम आवृत्ति $\nu_{\max} = \frac{eV}{h}$ होती है।
हालाँकि,प्रश्न अभिलक्षणिक (characteristic) $X$-किरणों को संदर्भित करता है। मोजले के नियम के अनुसार,अभिलक्षणिक $X$-किरणों की आवृत्ति $\nu = a(Z - b)^2$ द्वारा दी जाती है।
$K_{\alpha}$ रेखा के लिए,स्क्रीनिंग स्थिरांक $b = 1$ है। अतः,आवृत्ति $(Z - 1)^2$ के समानुपाती होती है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न विशेष रूप से अभिलक्षणिक विकिरण के लिए मोजले के नियम द्वारा परिभाषित संबंध को लक्षित करता है।

(B) $X-$किरणें विद्युत चुम्बकीय तरंगें होती हैं।
सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें निर्वात में प्रकाश की गति से चलती हैं,जो लगभग $3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
$X-$रे ट्यूब का ऑपरेटिंग विभव उत्पन्न $X-$किरणों की ऊर्जा और आवृत्ति को प्रभावित करता है,लेकिन यह उनके वेग को नहीं बदलता है।
अतः,$X-$किरणों का वेग $3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।

(B) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न $X$-किरणों की तीव्रता प्रति इकाई समय में लक्ष्य (target) से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर निर्भर करती है,जो फिलामेंट करंट (थर्मियोनिक उत्सर्जन) द्वारा निर्धारित होती है।
त्वरक वोल्टेज (विभवांतर) को बदलने से इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा और $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) प्रभावित होती है,लेकिन यह उत्पन्न $X$-किरणों की कुल तीव्रता को महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलता है।
इसलिए,यदि वोल्टेज दोगुना कर दिया जाता है,तो $X$-किरणों की तीव्रता अपरिवर्तित रहती है।

(D) $X-ray$ ट्यूब की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$।
यहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ का मान रखने पर,हमें सरल सूत्र प्राप्त होता है: $\lambda_{\min} (\mathring{A} \text{ में}) \approx \frac{12400}{V (\text{वोल्ट में})}$।
दिया गया है कि $\lambda_{\min} = 2.5 \times 10^{-10} \ m = 2.5 \ \mathring{A}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $2.5 = \frac{12400}{V}$।
$V = \frac{12400}{2.5} = 4960 \ V$।
अतः,$V \approx 5000 \ V = 5 \ kV$।

(C) $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) सूत्र द्वारा दी जाती है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$,जहाँ $eV$ लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{K.E.}$।
इसलिए,जब लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ बढ़ाई जाती है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min}$ कम हो जाती है।

(C) $X$-किरणें बहुत कम तरंग दैर्ध्य वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं। प्रयोगशाला में,इन्हें $X$-रे ट्यूब का उपयोग करके उत्पन्न किया जाता है। इस प्रक्रिया में,उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की एक किरण को उच्च विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है और उच्च परमाणु क्रमांक वाली भारी धातु (जैसे टंगस्टन या मोलिब्डेनम) से बने लक्ष्य पर टकराया जाता है। जब ये तीव्र गति वाले इलेक्ट्रॉन लक्ष्य से टकराते हैं,तो वे अचानक धीमे हो जाते हैं,और उनकी गतिज ऊर्जा $X$-किरण फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है। इसलिए,सही विकल्प $C$ है।